精品解析：江苏泰州市姜堰区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一个选项最符合题目要求，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列调查，适合采用抽样调查的是（ ） A. 一批电风扇的使用寿命 B. 苏科版八下数学教材中的印刷错误 C. 某校一个班级学生的视力情况 D. 一捆百元钞票中是否有假钞 【答案】A 【解析】 【分析】根据调查是否具有破坏性、范围大小、对结果准确性的要求判断即可． 【详解】解：A．测试一批电风扇的使用寿命会对电风扇造成损坏，无法逐一测试，适合采用抽样调查； B．检查教材印刷错误要求结果准确，总体规模小，适合普查； C．一个班级学生数量少，调查方便，适合普查； D．检查假钞要求准确无误，必须全面检查，适合普查． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对选项A，，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式； 对选项B，，被开方数是小数即含分母，∴不是最简二次根式； 对选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，∴是最简二次根式； 对选项D，，被开方数含能开得尽方的因式，∴不是最简二次根式. 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，且变形需正确，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、从左到右是整式乘法，是将几个整式的积化为多项式，不是因式分解，不符合要求； B、展开右侧得，变形错误，不符合要求； C、右侧是，是和的形式，不是几个整式的积，不符合要求； D、将多项式化为整式的平方，即整式积的形式，且变形正确，符合因式分解的定义． 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，根据性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵分式有意义的前提是． 对于A选项，取，左边，右边，，A错误． 对于B选项，∵，根据分式基本性质，分子分母同乘不为0的，可得，等式成立，B正确． 对于C选项，当时，无意义，等式不成立，C错误． 对于D选项，取，左边，右边，，D错误． 5. 关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 实数根的个数与k的取值有关 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】当时方程有两个不相等的实数根，时有两个相等的实数根，时没有实数根，计算判别式并判断其符号即可得到结论． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，，， 计算判别式得： ， ∵， ∴恒成立， ∴方程有两个不相等的实数根． 6. 如图，在菱形中，，点E在上，将沿着折叠，使点B的对应点F正好落在边上，对角线交折痕于点G，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质和折叠的性质解题． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， 解得． 8. 数学学习小组做某油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 “该批油菜籽发芽”概率的估计值是________（精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】根据大量重复试验下，频率的稳定值即为概率的估计值，观察表格中频率的稳定值即可求解． 【详解】解：由表格可知，随着试验次数不断增加，该批油菜籽发芽的频率稳定在附近，因此“该批油菜籽发芽”概率的估计值为． 9. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】此题考查因式分解，解题关键是利用平方差公式进行分解，且在实数范围内分解． 10. 已知关于x的方程的两根分别为，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】已知一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求出和的值，再计算即可. 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴， ， ∴. 11. 下列谚语：①天有不测风云，人有旦夕祸福；②野火烧不尽，春风吹又生；③危楼高百尺，手可摘星辰．请将这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列________． 【答案】③①② 【解析】 【分析】先判断三个事件的类型，分别得到各事件发生的概率，再比较概率大小进行排序. 【详解】根据事件的分类，对三个事件逐一判断： ③“危楼高百尺，手可摘星辰”是不可能事件，不可能事件发生的概率为，即； ①“天有不测风云，人有旦夕祸福”是随机事件，随机事件发生的概率满足； ②“野火烧不尽，春风吹又生”是必然事件，必然事件发生的概率为，即； 比较概率大小可得 ，因此按发生的概率从小到大的顺序排列为③①②. 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由，变形可得，代入所求代数式，化简即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴两边同乘以可得， 变形，得， ∴． 13. 若关于x的分式方程有增根，则k的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】分式方程的增根是使分式分母为零，且是分式方程化为整式方程后的根，先确定增根的值，再将增根代入所得整式方程即可求出的值． 【详解】解：对于分式方程， 令分母，得，因此该分式方程的增根为， 方程两边同乘最简公分母，得 将增根代入上述整式方程，得 解得． 14. 如图，在梯形中，，，，若，，则梯形的面积是________． 【答案】40 【解析】 【分析】过点作交于点，结合矩形的性质和勾股定理解题． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴ ． 15. ，像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察题目给出的复合二次根式，构造完全平方的方法化简即可． 【详解】解：． 16. 如图，在矩形中，，，点在边上，，点为射线上一动点，在直线的右侧作正方形，对角线，相交于点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作、的垂线，垂足为、，连接，作于点，过点作的垂线，交的延长线于点，由正方形的性质容易证明，则，从而证明四边形是正方形，因此．容易判断和都是等腰直角三角形，则，，进而证明四边形是矩形，则，最后由垂线段最短可得的最小值为． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、，连接，作于点，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原方程无解 （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， 化简，得， 解得，． 19. 已知关于x的方程． （1）若该方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若是该方程的一个实数根，求该方程另一个实数根及的值． 【答案】（1） （2）另一个实数根为， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，从而求出k的值； （2）将代入方程，求出k的值，再将k的值代入原方程，求解出另一实数根即可． 【小问1详解】 解：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； 【小问2详解】 解：∵是方程的一个实数根， ∴将代入，得， ， 解得， 当时，原方程为， 因式分解，得， 解得或， ∴方程的另一实数根为． 20. 为了解某校初二年级学生的睡眠时长，随机抽取了初二年级男生和女生各位，对其同一天的睡眠时长进行调查，并对数据进行处理．下面给出了相关信息． ．睡眠时长（单位：小时）： 男生 女生 b．睡眠时长频数分布直方图（分组：，，，，）； 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全男生睡眠时长频数分布直方图； （2）若该校初二年级共有名学生，男女生人数分布扇形统计图如图所示，请你估算该年级学生睡眠时长不足小时的人数； （3）教育部规定初中生每天睡眠时长不得低于小时，该校白天会再安排学生进行一小时午睡．若该校各年级男女生人数一样多，现从初二年级学生中随机抽取一个人，请估计该生达到教育部规定标准睡眠时长的概率． 【答案】（1）补全男生睡眠时长频数分布直方图如图所示， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据统计表中的数据补全直方图中缺少的睡眠时长为小时的人数为人即可． （2）根据扇形统计图得到初二年级男生占比，统计本次调查中男、女生睡眠时间不足小时的人数，再根据用样本估计总体计算初二年级中男、女生睡眠时间不足小时的人数即可． （3）先计算出本次抽样调查中达到教育部规定标准睡眠时长的概率，再根据用样本估计总体即可得出答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：男生占初二年级总人数的：， ∵随机抽取的位男生中睡眠时长不足小时的人数为人，位女生中为人， ∴（人）； ∴该年级学生睡眠时长不足小时的人数约为人； 【小问3详解】 解：∵该校白天会再安排学生进行一小时午睡，（小时）， ∴随机抽取的位男生中睡眠时长不低于小时的人数为人，位女生中为人， ∴本次抽样调查中达到教育部规定标准睡眠时长的概率为． 答：该生达到教育部规定标准睡眠时长的概率为． 21. 泰州斩获年苏超冠军，全城沸腾．级景区溱湖湿地公园乘势发力，以生态风光联动城市体育荣光，推出多重惠民活动，广邀各地游客打卡水乡湿地．推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过人，每张票价元；如果超过人，每增加一人，每张票价降低元，但每张票价不得低于元． （1）若某旅行社购入团体票张，共需________元； （2）若某旅行社支付团体票费用元，则该旅行社购买了多少张团体票？ 【答案】（1） （2）旅行社一共购买了张团体票 【解析】 【分析】（1）根据题意计算购入团体票张优惠后的票价，再和元比较，进而得出共需支付的费用． （2）设旅行社一共购买了张团体票，首先计算出当团体人数大于等于时，票价达到最低为元，再根据不能被整除，得出的取值范围，根据票价票数总价列方程，解得满足题意的的值． 【小问1详解】 解：∵某旅行社购入团体票张， ∴每张票价：（元）， ，按每张票价元， ∴共需花费：（元）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设旅行社一共购买了张团体票， ∵（人）， （人）， ∴当团体人数大于等于时，票价达到最低为元， ∵，， ∴不能被整除， ∴， 根据题意可列方程：， 解得：， ∵， ∴． 答：旅行社一共购买了张团体票． 22. 在中，，点D，E分别为边，的中点． （1）如图1，仅用圆规，在边上找一点F，使四边形为矩形（保留作图痕迹）； （2）如图2，连接，若，求的度数． 【答案】（1）解：所求图形，如图所示； （2） 【解析】 【分析】（1）以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点F，则点F为所求； （2）由矩形的性质得到，结合得出，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，即可得出是等边三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， ∵点D，E分别是，的中点， ∴， 由作图有， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点D是中点， ∴， ∴， ∵， ， 在中，E为中点， ， ∴， 为等边三角形， ， ， ． 23. 按要求完成各题 （1）已知，试比较与的大小； （2）计算：； （3）直接写出：（为大于的正整数）________ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用作差法计算，通分可得，结合判断符号，并得出结论； （2）根据（1）的结论可知，，依次裂项后求和即可； （3）仿照（2）的解法，裂项后求和即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 24. 现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为，的正方形，C类纸片是长、宽分别为，的矩形纸片． （1）若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求的值； （2）若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 【答案】（1） （2）①拼图如下： ② 【解析】 【分析】（1）由面积相等列出方程，求解出的值即可； （2）①将3张A和2张C拼成一列，3张C和2张B拼成一列即可； ②由面积相等列出方程，求解出的值，再求出长方形的长即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，则， ∵， ∴，则； 【小问2详解】 ①略 ②由题意可知：， 整理，得， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， ∴大长方形的长为：． 25. 在中，，、分别为边、的中点，、相交于点，、相交于点． （1）如图1，若，，则四边形的面积为________； （2）试判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图2，点O在四边形内，若，，．求的长． 【答案】（1） （2）四边形为矩形，理由如下： 连接， 四边形为平行四边形， ，， M、N分别为、中点， ，， 又，即， ， 且，且，且， 四边形、四边形、四边形为平行四边形， ，，， 四边形为平行四边形， 又，， ， ， ， 四边形为矩形； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据平行四边形的性质和M、N分别为、中点，得到四边形、为平行四边形，再根据得到四边形、为菱形，根据菱形的性质得到和，从而确定，再过点D作， 根据锐角三角函数解直角三角形得到，最后求出四边形的面积； （2）连接，根据平行四边形的性质和判定和M、N分别为、中点，以及，确定四边形为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，从而证明四边形为矩形； （3）设矩形的长和宽分别为，点O到、的距离分别为，，则点O到、的距离分别为，，根据矩形的性质和判定得到对应边相等，再根据勾股定理得到，求出的长． 【小问1详解】 解：如图1，过点D作，连接， 四边形为平行四边形， ，， M、N分别为、中点， ，， ，且， 四边形为平行四边形， 同理，四边形为平行四边形， 又，即， ， 四边形为菱形， 同理，四边形为菱形， ，，且，，，， ， 即， ， 同理，， ， 即， ，，， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设矩形的长和宽分别为，过点O作，， 由（2）知，四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， 同理，四边形为矩形， ，，，， 设点O到、的距离分别为，，则点O到、的距离分别为，，即，，，， ， ， 又， 四边形为矩形， 同理，四边形、、均为矩形， ，，，， 在中，根据勾股定理得：， 同理，，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定、菱形的性质和判定、矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数解直角三角形、四边形面积公式，解题关键是构造辅助线，通过等量代换进行转化． 26. 【问题情境】 课本P173阅读：在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶（约）提出了解决“已知三角形三条边，求三角形面积”这个问题的办法，即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为，，，那么三角形的面积S的计算公式为． 古希腊数学家海伦（约1世纪）也给出了根据三角形三边求面积的公式，即“海伦公式”：，其中． 数学学习小组成员小丽借助自主学习时找到了《数书九章》中的原文：沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？ 释义：一块三角形沙田，小边长13里，中边长14里，最大边长15里，求此三角形沙田的面积？ 【探索思考】 （1）问题一：合理应用上述公式，计算边长分别是，，的三角形面积为________； （2）问题二：合理应用上述公式，求《数书九章》中“沙田”的面积； 【问题解决】 （3）问题三：我们都知道计算三角形面积的常用公式．阅读文中也提到秦九韶公式和海伦公式间可相互推导，则它们与三角形面积常用公式间可相互推导吗？ 小丽说：在中，，，的对边分别记为，，，我不妨设，边上的高，如图1，则我可由三角形面积常用公式推导出秦九韶公式．请你帮助她完善推导过程； 【拓展应用】 （4）问题四：如图2，在中，对角线，其周长为，则此平行四边形面积的最大值为________．（直接写出答案） 【答案】（1） （2）三角形沙田面积为平方里 （3）设，则， ∵为的高， ∴， 由勾股定理可得，，， ∴， 解得：， ∵，即， ∴ ． （4） 【解析】 【分析】（1）使用“秦九韶公式”计算面积即可； （2）使用“海伦公式”计算面积即可； （3）使用勾股定理可得，，变形得，从而得到，使用计算面积并化简即可； （4）设，则，利用“海伦公式”可计算得，结合非负数的性质可得的最大值为，因此面积的最大值为． 【小问1详解】 解：设，，， 由“秦九韶公式”可得，； 【小问2详解】 解：设，，， 由“海伦公式”可得，， ∴（平方里）． 答：三角形沙田面积为平方里． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：设， ∵的周长为， ∴， ∴， 由“海伦公式”可得，， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴的最大值为， ∴面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一个选项最符合题目要求，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列调查，适合采用抽样调查的是（ ） A. 一批电风扇的使用寿命 B. 苏科版八下数学教材中的印刷错误 C. 某校一个班级学生的视力情况 D. 一捆百元钞票中是否有假钞 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 实数根的个数与k的取值有关 D. 没有实数根 6. 如图，在菱形中，，点E在上，将沿着折叠，使点B的对应点F正好落在边上，对角线交折痕于点G，则（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 8. 数学学习小组做某油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 “该批油菜籽发芽”概率的估计值是________（精确到）． 9. 因式分解：___________． 10. 已知关于x的方程的两根分别为，，则________． 11. 下列谚语：①天有不测风云，人有旦夕祸福；②野火烧不尽，春风吹又生；③危楼高百尺，手可摘星辰．请将这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列________． 12. 若，则________． 13. 若关于x的分式方程有增根，则k的值为________． 14. 如图，在梯形中，，，，若，，则梯形的面积是________． 15. ，像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 16. 如图，在矩形中，，，点在边上，，点为射线上一动点，在直线的右侧作正方形，对角线，相交于点，连接，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知关于x的方程． （1）若该方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若是该方程的一个实数根，求该方程另一个实数根及的值． 20. 为了解某校初二年级学生的睡眠时长，随机抽取了初二年级男生和女生各位，对其同一天的睡眠时长进行调查，并对数据进行处理．下面给出了相关信息． ．睡眠时长（单位：小时）： 男生 女生 b．睡眠时长频数分布直方图（分组：，，，，）； 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全男生睡眠时长频数分布直方图； （2）若该校初二年级共有名学生，男女生人数分布扇形统计图如图所示，请你估算该年级学生睡眠时长不足小时的人数； （3）教育部规定初中生每天睡眠时长不得低于小时，该校白天会再安排学生进行一小时午睡．若该校各年级男女生人数一样多，现从初二年级学生中随机抽取一个人，请估计该生达到教育部规定标准睡眠时长的概率． 21. 泰州斩获年苏超冠军，全城沸腾．级景区溱湖湿地公园乘势发力，以生态风光联动城市体育荣光，推出多重惠民活动，广邀各地游客打卡水乡湿地．推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过人，每张票价元；如果超过人，每增加一人，每张票价降低元，但每张票价不得低于元． （1）若某旅行社购入团体票张，共需________元； （2）若某旅行社支付团体票费用元，则该旅行社购买了多少张团体票？ 22. 在中，，点D，E分别为边，的中点． （1）如图1，仅用圆规，在边上找一点F，使四边形为矩形（保留作图痕迹）； （2）如图2，连接，若，求的度数． 23. 按要求完成各题 （1）已知，试比较与的大小； （2）计算：； （3）直接写出：（为大于的正整数）________ 24. 现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为，的正方形，C类纸片是长、宽分别为，的矩形纸片． （1）若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求的值； （2）若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 25. 在中，，、分别为边、的中点，、相交于点，、相交于点． （1）如图1，若，，则四边形的面积为________； （2）试判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图2，点O在四边形内，若，，．求的长． 26. 【问题情境】 课本P173阅读：在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶（约）提出了解决“已知三角形三条边，求三角形面积”这个问题的办法，即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为，，，那么三角形的面积S的计算公式为． 古希腊数学家海伦（约1世纪）也给出了根据三角形三边求面积的公式，即“海伦公式”：，其中． 数学学习小组成员小丽借助自主学习时找到了《数书九章》中的原文：沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？ 释义：一块三角形沙田，小边长13里，中边长14里，最大边长15里，求此三角形沙田的面积？ 【探索思考】 （1）问题一：合理应用上述公式，计算边长分别是，，的三角形面积为________； （2）问题二：合理应用上述公式，求《数书九章》中“沙田”的面积； 【问题解决】 （3）问题三：我们都知道计算三角形面积的常用公式．阅读文中也提到秦九韶公式和海伦公式间可相互推导，则它们与三角形面积常用公式间可相互推导吗？ 小丽说：在中，，，的对边分别记为，，，我不妨设，边上的高，如图1，则我可由三角形面积常用公式推导出秦九韶公式．请你帮助她完善推导过程； 【拓展应用】 （4）问题四：如图2，在中，对角线，其周长为，则此平行四边形面积的最大值为________．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $