精品解析：江苏省连云港市2025-2026学年度第二学期期末学业水平质量监测八年级数学试题

八年级期末调研考试 数学试题 温馨提示： 1．本试题共6页，27题．全卷满分150分，考试时间为100分钟． 2．请在答题卡规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的姓名及考试号． 4．选择题答题，用2B铅笔填涂在答题卡的相应位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再重新填涂． 5．如需作图，用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 某文具店销售一种水彩笔，每支元，小明买了2支，则小明一共花了（） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 若与是同类二次根式，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 3. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 有2个人同月过生日的次数 79 229 385 781 1251 1562 有2个人同月过生日的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则以下对实数m的估算正确的（ ） A. B. C. D. 6. 若，则值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 7. 如图1，矩形纸带中，，沿虚线将纸带折起压平成图2，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为正方形的对角线上任一点，过点作于点，于点，连接．给出以下4个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①③ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 使有意义的的取值范围是______． 10. 已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，且DE＝3cm，则BC＝___________cm． 11. 在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点的坐标是______． 12. 若关于的方程有增根，则增根为______． 13. 将事件①水中捞月；②购买1张福利彩票中奖；③玩“石头、剪刀、布”游戏，出“剪刀”时获胜；按发生的概率从小到大的顺序排列为______．（只填序号） 14. 因式分解：_______________________． 15. 在等腰梯形中，，，，，．梯形的周长为______． 16. 点，在直线上，则______．（用“”“”“”填空） 17. 图1中以为顶点的矩形对角线有条，对角线长的平方为；图2中以为顶点的矩形的对角线有条，对角线长的平方和为，以此类推，第个图中以为顶点的矩形对角线长的平方和为______．（注：用含的代数式表示，其中） 18. 如图所示，正方形的边长为2，点，点，分别是边，边上任意一点，且，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解答下列问题： （1）解分式方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 21. 证明：无论取何值，代数式的值不小于4． 22. 目前，技术在生活、学习、产业等领域的应用日益广泛．为了解学生对不同应用领域的关注偏好，某数学小组设计了如下问卷对本校部分学生进行了调查，并统计了相关数据．（被调查学生均对两个问题按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你最关注的应用领域是（ ）．（单选） A．智能机器人（如服务机器人、工业机器人） B．图像生成（如绘画、设计类工具） C．智能学习助手（如答疑、学情分析工具） D．语音交互（如智能音箱、语音翻译） 问题2：你每周使用的时间是________． 【整理数据】 第一步：将“问题1”的数据进行整理后，得到如下统计表； 学生最关注的应用领域人数统计表 应用领域 人数 频率 A B 12 C 15 D 3 合计 第二步：将“问题2”中学生每周使用的时间（单位：）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成下图尚不完整的频数分布直方图． 【解答问题】 （1） ， ，并补全频数分布直方图； （2）该校共有2800名学生，请你估计每周使用的时间不少于的学生人数． 23. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有出钱三百八十四，买大竹；出钱一百六十八，买小竹，其数半之；欲其大小率之，问大、小竹各几何？”原文大意为：今花384钱，买大竹，花168钱，买小竹，买小竹的数量是买大竹数量的一半，每个大、小竹的价格相差1钱，求大、小竹各买多少个？ 24. 如图所示，平行四边形中，点在边上，点在边上，作点关于的对称点使点与点重合． （1）请用无刻度直尺和圆规作出点，点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，，试判断四边形是怎样的四边形？请说明理由． 25. 我市医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果按指定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（时）的变化情况如图所示． （1）求与之间的函数表达式（），并写出点表示的意义； （2）若每毫升血液中含药量为4微克及以上时治疗疾病才有效，求这个有效时长． 26. 【阅读理解】已知关于的方程的解为，．又，所以上述方程恒等变形为，且解为，． 【简单应用】 （1）若方程的两个解分别为，（），则______，_____； 【灵活应用】 （2）关于的方程的两个解分别为，，求的值； 【迁移应用】 （3）已知菱形的面积为2，对角线，（），且，求的值． 27. 综合探究 【问题原型】 （1）如图1，已知正方形，，分别是边及其延长线上一点，连接，垂直且与平分线交于点，点在边上，，连接． 求证：． 【变式探究】 （2）如图2，在菱形中，，若是边延长线上一点，连接，作，与的一条三等分线交于点，且． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，，为海面上两个小岛，一游艇在距离岛2海里的处，望向岛和岛的视角，游艇沿着与成的方向前进了4海里，到达处，此时望向岛和岛的视角．则，两个小岛之间的距离为 海里． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期末调研考试 数学试题 温馨提示： 1．本试题共6页，27题．全卷满分150分，考试时间为100分钟． 2．请在答题卡规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的姓名及考试号． 4．选择题答题，用2B铅笔填涂在答题卡的相应位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再重新填涂． 5．如需作图，用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 某文具店销售一种水彩笔，每支元，小明买了2支，则小明一共花了（） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用“总价=单价×数量”的基本数量关系计算总花费，即可得到结果． 【详解】解：∵水彩笔每支单价为元，小明购买数量为2支， ∴总花费为元． 2. 若与是同类二次根式，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】同类二次根式的定义为：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式，据此判断即可． 【详解】A、时，，与不是同类二次根式； B、时，，与不是同类二次根式； C、时，，与是同类二次根式； D、时，，与不是同类二次根式． 3. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 有2个人同月过生日的次数 79 229 385 781 1251 1562 有2个人同月过生日的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率，观察表格中频率的变化趋势即可求解． 【详解】解：由表格数据可知，随着试验次数不断增大，该事件的频率逐渐稳定在附近． ∴估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是． 4. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， 对选项A，不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，故A错误； 对选项B，不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，故B错误； 对选项C，不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，故C错误； 对选项D，不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，故D正确． 5. 已知，则以下对实数m的估算正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：， ，即， 故选：B． 6. 若，则值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题可利用平方差公式分解原式，再结合已知条件化简求值，用到整式乘法的平方差公式知识点． 【详解】解：∵， ∴． 7. 如图1，矩形纸带中，，沿虚线将纸带折起压平成图2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先推导出，，再根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图 由图及题意，可得 ，， 即， ∴． 8. 如图，为正方形的对角线上任一点，过点作于点，于点，连接．给出以下4个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，延长交于，证明，得出，，即可判断①；得出，即可判断④；求出即可判断②，根据当为中点，或、时，是等腰三角形，即可判断③． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，，故①正确； ∴，故④正确； ∵，， ∴，即，故②正确； 只有当为中点，或、时，才是等腰三角形，为任意一点时，三边长度不一定相等，不一定是等腰三角形，故③错误； 综上所述，正确的有①②④． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 使有意义的的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的性质，二次根式的被开方数必须大于等于，可得 解得． 10. 已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，且DE＝3cm，则BC＝___________cm． 【答案】6 【解析】 【分析】由D，E分别是边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得BC的值即可． 【详解】解：如图： ∵△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点， ∴DE是三角形的中位线， ∵DE=3cm， ∴BC=2DE=6cm． 故答案为：6． 【点睛】本题重点考查了中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 11. 在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】点平移的坐标变化规律为：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】解：点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得点的坐标为，即． 12. 若关于的方程有增根，则增根为______． 【答案】 【解析】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，确定增根只需令分式方程的最简公分母等于0，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程有增根， ∴ 解得． 13. 将事件①水中捞月；②购买1张福利彩票中奖；③玩“石头、剪刀、布”游戏，出“剪刀”时获胜；按发生的概率从小到大的顺序排列为______．（只填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先判断各事件的类型，得到各事件发生的概率范围，再比较概率大小，即可完成排序． 【详解】解：①水中捞月是不可能事件，因此发生的概率； ②购买张福利彩票中奖是随机事件，发生的概率满足； ③玩“石头、剪刀、布”游戏，对方共有种等可能的出法，出“剪刀”时获胜只有种等可能情况，因此； 比较概率大小得 ， 因此按发生的概率从小到大的顺序排列为①②③． 14. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 15. 在等腰梯形中，，，，，．梯形的周长为______． 【答案】36 【解析】 【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用等腰梯形性质得到下底被截得的线段长，再结合直角三角形性质求出腰长，最后根据周长公式计算即可． 【详解】解：分别过点，作于点，于点， 则， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ， 在中，， ， ， ， ， 梯形的周长为． 16. 点，在直线上，则______．（用“”“”“”填空） 【答案】＞ 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性．再根据两点纵坐标的大小关系，比较横坐标的大小． 【详解】解：∵直线，一次项系数， ∴随的增大而减小， ∵点，在直线上，且， 即点的纵坐标小于点的纵坐标． ∴可得． 17. 图1中以为顶点的矩形对角线有条，对角线长的平方为；图2中以为顶点的矩形的对角线有条，对角线长的平方和为，以此类推，第个图中以为顶点的矩形对角线长的平方和为______．（注：用含的代数式表示，其中） 【答案】 【解析】 【分析】第个图对角线长的平方和为，第个图对角线长的平方和为第个图对角线长的平方和为，得到第个图中以为顶点的矩形对角线长的平方和为，即可求解． 【详解】解：第个图对角线长的平方和为， 第个图对角线长的平方和为 第个图对角线长的平方和为， ， 第个图中以为顶点的矩形对角线长的平方和为． 18. 如图所示，正方形的边长为2，点，点，分别是边，边上任意一点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点旋转，得到，连接，证明，得到，进而得到，得到当三点共线时，取得最小值为的长，过点作，，得到四边形为矩形，为等腰直角三角形，进而求出，推导出，，根据勾股定理，求出，则的最小值为，即可解答． 【详解】解：∵正方形， ∴， 如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则：，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 过点作，，则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 在中，， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解答下列问题： （1）解分式方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘，得 ， ， ， 经检验是原方程的解． 【小问2详解】 解：原式 当时，． 21. 证明：无论取何值，代数式的值不小于4． 【答案】证明： ， 无论取何值，代数式的值不小于4． 【解析】 【分析】先对代数式进行配方，再根据平方的非负性证明． 【详解】略 22. 目前，技术在生活、学习、产业等领域的应用日益广泛．为了解学生对不同应用领域的关注偏好，某数学小组设计了如下问卷对本校部分学生进行了调查，并统计了相关数据．（被调查学生均对两个问题按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你最关注的应用领域是（ ）．（单选） A．智能机器人（如服务机器人、工业机器人） B．图像生成（如绘画、设计类工具） C．智能学习助手（如答疑、学情分析工具） D．语音交互（如智能音箱、语音翻译） 问题2：你每周使用的时间是________． 【整理数据】 第一步：将“问题1”的数据进行整理后，得到如下统计表； 学生最关注的应用领域人数统计表 应用领域 人数 频率 A B 12 C 15 D 3 合计 第二步：将“问题2”中学生每周使用的时间（单位：）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成下图尚不完整的频数分布直方图． 【解答问题】 （1） ， ，并补全频数分布直方图； （2）该校共有2800名学生，请你估计每周使用的时间不少于的学生人数． 【答案】（1）30，，补全频数分布直方图如图 （2）每周使用的时间不少于的学生人数是1540人 【解析】 【分析】（1）先根据表格中D的人数和频率求出调查的总人数，继而求出a，b的值，再用总人数减去其余三组的人数求出使用的时间在这一组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）用样本估计总体的方法解答即可． 【小问1详解】 解：∵（人）， ∴（人），， （人），作图略； 【小问2详解】 解：（人）， 答：每周使用的时间不少于的学生人数是1540人． 23. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有出钱三百八十四，买大竹；出钱一百六十八，买小竹，其数半之；欲其大小率之，问大、小竹各几何？”原文大意为：今花384钱，买大竹，花168钱，买小竹，买小竹的数量是买大竹数量的一半，每个大、小竹的价格相差1钱，求大、小竹各买多少个？ 【答案】买小竹24个，买大竹48个 【解析】 【分析】设买小竹个，买大竹个，根据题意列分式方程求解． 【详解】解：设买小竹个，买大竹个， 由题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， 故小竹买了24个， 则大竹买了：（个）． 答：买小竹24个，买大竹48个． 24. 如图所示，平行四边形中，点在边上，点在边上，作点关于的对称点使点与点重合． （1）请用无刻度直尺和圆规作出点，点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，，试判断四边形是怎样的四边形？请说明理由． 【答案】（1）如图所示，点，点即为所求， （2）四边形是菱形， 证明：如图，设交于点， 四边形是平行四边形， ， ， 点，点关于对称， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形. 【解析】 【分析】（1）根据点与点关于对称，连接，作线段的垂直平分线分别交、于点，点即为所求. （2）设交于点，根据点，点关于对称，得到，同时证明，得到，继而证明四边形是菱形. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 25. 我市医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果按指定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（时）的变化情况如图所示． （1）求与之间的函数表达式（），并写出点表示的意义； （2）若每毫升血液中含药量为4微克及以上时治疗疾病才有效，求这个有效时长． 【答案】（1），点表示的含义：服用2小时后，每毫升血液中含药量达到最高，最高为8微克． （2）有效时长为5小时 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求一次函数，再根据一次函数的图像与性质，确定点A表示的含义即可； （2）根据分段函数解析式以及点的纵坐标求出横坐标，进而求出有效时间即可． 【小问1详解】 解：当时，设一次函数表达式， 将，分别代入（）， 可得， 解得， ∴，点表示的含义：服用2小时后，每毫升血液中含药量达到最高，最高为8微克． 【小问2详解】 解：当时，设一次函数， 将代入，可得，解得：， ， 当时，； 当时，， ， 有效时长为5小时． 26. 【阅读理解】已知关于的方程的解为，．又，所以上述方程恒等变形为，且解为，． 【简单应用】 （1）若方程的两个解分别为，（），则______，_____； 【灵活应用】 （2）关于的方程的两个解分别为，，求的值； 【迁移应用】 （3）已知菱形的面积为2，对角线，（），且，求的值． 【答案】（1）1，2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将方程化为，再根据题意进行求解即可； （2）先将方程化为，再根据题意进行求解即可； （3）设，根据菱形的面积公式，推导出，由，得到，将方程化为，根据题意得到（舍去）或，求出（负值已舍去），进而求出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵方程， ∴， ∴方程的两个解，； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∴ ， ∴或， 解得，， ； 【小问3详解】 解：设， 菱形的面积是2， ∴， ， ， ， ， ∴， （舍去）或， 解得（负值已舍去）， ∴，， ． 27. 综合探究 【问题原型】 （1）如图1，已知正方形，，分别是边及其延长线上一点，连接，垂直且与平分线交于点，点在边上，，连接． 求证：． 【变式探究】 （2）如图2，在菱形中，，若是边延长线上一点，连接，作，与的一条三等分线交于点，且． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，，为海面上两个小岛，一游艇在距离岛2海里的处，望向岛和岛的视角，游艇沿着与成的方向前进了4海里，到达处，此时望向岛和岛的视角．则，两个小岛之间的距离为 海里． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，． ， ，， ． 平分， ， ． ， ． ， ． ， ， ， ， ． （2）如图2，延长到，使，连接， , ． ， ． 四边形是菱形， ， ， ． ， ． ， ， ， ， ， ， ； （3）14 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，证明即可； （2）结合第（1）问的图形结构和解题方法，首先尝试构造与全等的三角形，即延长到，使，连接，然后利用全等的判定方法证明即可； （3）根据前面的解题经验以及所给的条件，构造前两问中的图形结构即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3， 延长到， 使， 连接；分别取的中点， 连接；延长到. ， ， ， 在中， ， ， 分别为，的中点， ， ， 在和中， ， 如图3， 过点C作 ， 在中， 是的中点， 在中， 由勾股定理， 得 【点睛】解决本题时，要注意问题之间的前后联系，利用前面问题的解题方法和思路解决后续的问题；另外，要熟练掌握一些典型的几何模型，如本题中出现的“一线三等角”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $