精品解析：山东济南市天桥区2025—2026学年第二学期七年级期末学业质量监测数学试题

2025－2026学年第二学期七年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 人工智能迅速崛起，正在渗透到我们工作、生活的各个方面．下列是四款智能助手的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. 文心一言 C. D. 纳米 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 2. 北斗芯片的技术日趋成熟，支持北斗三号系统的（即）工艺芯片已实现规模化应用，用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列计算正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法、除法，幂的乘法运算，逐项判断即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误． 4. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】解：A. 旭日东升是必然事件； B. 画饼充饥是不可能事件； C. 守株待兔是随机事件； D. 竹篮打水是不可能事件； 故选：C． 5. 如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是( ) A. 甲 B. 乙 C. 甲或乙 D. 甲或乙均不可以 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为． ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即 ∴ ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意． 综上所述，剪开的小棒是乙． 故选：B． 6. 2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 7. 小齐在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升米，后水平飞行米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理即可求出距离． 【详解】由图可得，（米）． 8. 下列说法中正确的个数有（　　） ①同位角相等； ②相等的角是对顶角； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤不相交的两条直线叫做平行线； ⑥若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，垂线段定义、平行线定义分别进行分析即可． 【详解】①同位角相等的前提是“两直线平行”，故原题说法错误； ②对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原题说法错误； ③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故原题说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法错误； ⑤同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线，故原题说法错误； ⑥若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直，故原题说法正确； 正确的说法有1个， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂线段的概念，平行线的概念、性质和平行公理，是概念辨析题，熟记不同的概念和定义是本题的关键． 9. 如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，分别交，于点，，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握基本作图是解题的关键．根据作图可得是的垂直平分线，则，根据等边对等角可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：根据作图可得是的垂直平分线， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图1，在中，，于点，动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的关系如图2所示，则的值为（ ） A. 12 B. 14 C. 20 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】先根据结合图2得出，进而利用勾股定理得，，再由运动结合的面积的变化，得出点和点重合时，的面积最大，其值为11，即，进一步即可得出结论． 【详解】解：由图2知，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 在中，①， 设点M到的距离为h， ∴， ∵动点M从A点出发，沿折线方向运动， ∴当点M运动到点B时，的面积最大，即， 由图2知，的面积最大为11， ∴， ∴②， 得，， ∴， ∴（负值舍去）. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 计算的结果是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的项相加即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法：计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率，得到阴影区域面积是关键．根据几何概率的求解方法，求得阴影区域的面积与总面积的比值即可求解． 【详解】解：由图可知，总面积为9个小正方形的面积，其中阴影区域的面积为3个小正方形的面积，则小球停留在阴影区域的概率是， 故答案为：． 13. 已知是完全平方式，则常数m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 14. 如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了中点相关的面积问题，熟练掌握与中点相关面积的计算是解题的关键； 根据中点得到面积关系即可求得. 【详解】解：∵D为BC中点， ∴ 同理可得： ∴ ∵F是EC的中点， 故答案为：1 ． 15. 如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的序号是__________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】作于M，于N，设交于O．证明，利用全等三角形的性质、角平分线的判定、等腰直角三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：如图，作于M，于N，设交于O． ∵， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴，，故①正确， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， 故④正确； 即正确的有①②③④． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 【答案】 0 【解析】 【分析】分别计算乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，再进行加减运算． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，. 【解析】 【分析】先利用乘法公式和单项式乘多项式运算法则展开括号内的整式，合并同类项后进行多项式除以单项式的化简，最后将给定的字母值代入化简后的整式计算结果． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 18. 读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图是一个“互”字，如图是由图抽象出的几何图形，其中，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，且，．求证：． 证明：如图，延长交于点． ∵（已知）， ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴ （等量代换）． ∴（ ）． ∴ （两直线平行，同旁内角互补）． 又∵ （已知）， ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，同角的补角相等，如图，延长交于点，根据两直线平行，内错角相等得，推出，继而得到，由两直线平行，同旁内角互补得，再根据两直线平行，同旁内角互补得，即可得证．掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：如图，延长交于点． ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴（同角的补角相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 19. 如图，点，，，四点在同一直线上，，．若__________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】或；理由如下： ， ，即， ：在和中， ， ； ：在和中， ， ； ：此时条件为、、，此时无法推出． 【解析】 【分析】分别添加三个条件中的个，结合全等三角形的判定方法逐一分析即可． 【详解】略 20． 20. 某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下4匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”获得的数据如下： 抽盲盒次数 100 150 200 500 800 1000 抽到“闪电”的次数 11 20 79 128 161 抽到“闪电”的频率 （1）表中的__________，__________． （2）抽到“闪电”的概率的估计值是__________（精确到）； （3）俱乐部准备的2000个盲盒全部抽完，则抽到“闪电”的次数是多少？ 【答案】（1）；33； （2）； （3）抽到“闪电”的次数是320次 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据求出、的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到“闪电”的概率，用2000乘以抽到“闪电”的概率即可求解． 【小问1详解】 解：表中的，； 【小问2详解】 解：大量重复试验下，抽到“闪电”的概率的估计值是； 【小问3详解】 解：抽到“闪电”的概率为， （次）， 答：抽到“闪电”的次数是320次． 21. 认真阅读下面表格中的实验探究内容并完成其中的任务． 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（、、可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）物体静止在轨道上，其到滑轮的垂直距离为，到滑块的水平距离为．（即，） 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1）绳子的总长度为 （2）滑块向左滑动的距离为 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）利用题意求出的值，再根据勾股定理求出的长度，再算出即可． 【小问1详解】 解：由题意知：是直角三角形，其中，， ， 绳子总长度为． 【小问2详解】 解：若物体升高，此时， 在中，由勾股定理得，， ． 滑块向左滑动的距离为． 22. 如图，的顶点，，都在小正方形的格点上 （1）画，使它与关于直线成轴对称； （2）在直线上求作一点，使点，点到它的距离之和最短； （3）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12 【解析】 【分析】（1）分别确定关于直线的对称点，再顺次连接，即可得到答案； （2）由关于直线对称，连接，交于 即可得到答案； （3）利用长方形的面积减去周围的三角形的面积即可得到答案. 【详解】解：（1）画出如图示； （2）连接，交于则即为所求作的点， （3）＝12. 【点睛】本题考查的是轴对称的作图，利用轴对称确定两条线段和的最小值时点的位置，图形的面积，掌握以上知识是解题的关键. 23. 甲骑电动车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示． （1）在上述变化过程中，自变量是__________，因变量是_______________； （2）两地之间的路程为__________千米； （3）点所代表的实际意义是_________________________； （4）求甲、乙各自的速度． 【答案】（1）甲行驶的时间；甲、乙两人间的距离； （2）240； （3）甲乙两人相遇； （4）甲的速度为，乙的速度为 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义可得答案； （2）图象中s的最大值即为两地之间的路程． （3）由图象可得，甲乙两人相遇时s为，此时时间为M； （4）由（1）和图象可得甲、乙的行驶时间，再根据速度路程时间可以得到求解． 【小问1详解】 解：根据函数的定义可得：在上述变化过程中，自变量是甲行驶的时间，因变量是甲、乙两人间的距离； 【小问2详解】 解：根据函数图象和图象中的数据可知甲、乙两人间的最大距离为240千米， ∴两地之间路程为240千米； 【小问3详解】 解：由图象可得，甲、乙两人间的距离s，在M时为0，即此时甲乙两人相遇； 【小问4详解】 解：由（1）和图象可得甲、乙的行驶时间分别为和， ∴甲的速度是：，乙的速度是：． 24. 学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，，，，． （1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，求的度数； （2）如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图④，保持两个三角尺的顶点，重合，固定三角尺，改变三角尺的摆放位置．当点在直线的下方且这两个三角尺一组边互相平行时，请直接写出所有可能的度数． 【答案】（1）的度数为； （2）解：，理由如下： 过点作，如图3所示， ， ， ，， ，且， ； （3）角度所有可能的值是或或或或 【解析】 【分析】（1）过点作，根据同旁内角互补可得，由平行线性质可知，，代入中即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质可得，，，进而可得． （3）当；；；；五种情况时，分别讨论即可． 【小问1详解】 解：过点作，如图2所示： 依题意得：，，，， ， ， ∵，， ∴，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：角度所有可能的值是或或或或， 理由如下：依题意有以下5种情况： ①当时，如图4①所示： 则， ； ②当时，如图4②所示： 则， ； ③当时，如图4③所示： 则； ④当时，如图4④所示： 则， ， ； ⑤当时，设与交于点，如图4⑤所示： 则， ， ． 综上所述，角度所有可能的值是或或或或． 25. 已知在中，，过点引一条射线，是上一点． 【问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求证：．小明同学展示的做法是：在上取一点使得．通过已知的条件，证明，从而求得的度数，请你帮助小明将下面的证明过程补充完整： 证明：如图1，在上取一点使得， ， ， 同理 ， ， 即， …… 【类比探究】 （2）如图2，已知． ①当射线在内时，求的度数； ②如图3，当射线在下方时，请问的度数与①中相同吗？若相同，请说明理由，若不相同，请求出的度数． 【答案】（1）补充证明如下： 在和中， ， ， ， ； （2）①的度数为；②的度数与①中不相同，的度数为 【解析】 【分析】（1）根据已证条件并结合证明，根据全等三角形的性质得到，据此可得到答案； （2）①在上取一点，，证明，得到，可求出答案；②在延长线上取一点，使得，同理证明，求出，进而求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：①在上取一点，使，如图所示： ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②的度数会变化，理由如下： 在延长线上取一点，使得，如图所示： ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期七年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 人工智能迅速崛起，正在渗透到我们工作、生活的各个方面．下列是四款智能助手的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. 文心一言 C. D. 纳米 2. 北斗芯片的技术日趋成熟，支持北斗三号系统的（即）工艺芯片已实现规模化应用，用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的为（ ） A. B. C. D. 4. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 5. 如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是( ) A. 甲 B. 乙 C. 甲或乙 D. 甲或乙均不可以 6. 2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 小齐在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升米，后水平飞行米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 下列说法中正确的个数有（　　） ①同位角相等； ②相等的角是对顶角； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤不相交的两条直线叫做平行线； ⑥若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 9. 如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，分别交，于点，，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，于点，动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的关系如图2所示，则的值为（ ） A. 12 B. 14 C. 20 D. 22 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 计算的结果是______． 12. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 13. 已知是完全平方式，则常数m的值为________． 14. 如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 15. 如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的序号是__________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图是一个“互”字，如图是由图抽象出的几何图形，其中，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，且，．求证：． 证明：如图，延长交于点． ∵（已知）， ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴ （等量代换）． ∴（ ）． ∴ （两直线平行，同旁内角互补）． 又∵ （已知）， ∴（ ）． ∴（ ）． 19. 如图，点，，，四点在同一直线上，，．若__________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 20． 20. 某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下4匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”获得的数据如下： 抽盲盒次数 100 150 200 500 800 1000 抽到“闪电”的次数 11 20 79 128 161 抽到“闪电”的频率 （1）表中的__________，__________． （2）抽到“闪电”的概率的估计值是__________（精确到）； （3）俱乐部准备的2000个盲盒全部抽完，则抽到“闪电”的次数是多少？ 21. 认真阅读下面表格中的实验探究内容并完成其中的任务． 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（、、可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）物体静止在轨道上，其到滑轮的垂直距离为，到滑块的水平距离为．（即，） 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 22. 如图，的顶点，，都在小正方形的格点上 （1）画，使它与关于直线成轴对称； （2）在直线上求作一点，使点，点到它的距离之和最短； （3）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． 23. 甲骑电动车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示． （1）在上述变化过程中，自变量是__________，因变量是_______________； （2）两地之间的路程为__________千米； （3）点所代表的实际意义是_________________________； （4）求甲、乙各自的速度． 24. 学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，，，，． （1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，求的度数； （2）如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图④，保持两个三角尺的顶点，重合，固定三角尺，改变三角尺的摆放位置．当点在直线的下方且这两个三角尺一组边互相平行时，请直接写出所有可能的度数． 25. 已知在中，，过点引一条射线，是上一点． 【问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求证：．小明同学展示的做法是：在上取一点使得．通过已知的条件，证明，从而求得的度数，请你帮助小明将下面的证明过程补充完整： 证明：如图1，在上取一点使得， ， ， 同理 ， ， 即， …… 【类比探究】 （2）如图2，已知． ①当射线在内时，求的度数； ②如图3，当射线在下方时，请问的度数与①中相同吗？若相同，请说明理由，若不相同，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $