精品解析：江苏省连云港市东海县2025-2026学年度第二学期七年级数学期末试卷

江苏省东海县2025-2026学年度第二学期七年级数学期末试卷（原卷版） 一、选择题（每小题3分，共24分．） 1. 设，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 2. 观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　） A. 轴对称、旋转、平移 B. 旋转、轴对称、平移 C. 轴对称、平移、旋转 D. 平移、轴对称、旋转 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移、旋转、轴对称的特点即可解答． 【详解】解：依次几何变换顺序是轴对称、平移、旋转． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移、旋转、轴对称的特点，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算，幂的运算，合并同类项，积的乘方，幂的乘方，单项式乘多项式，同底数幂的乘法等运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 利用合并同类项，积的乘方，幂的乘方，单项式乘多项式，同底数幂的乘法等运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 下列方程组的解为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】把代入选项A第2个方程不成立，故错误； 把代入选项B第2个方程不成立，故错误； 把代入选项C第1个方程不成立，故错误； 把代入选项D两个方程均成立，故正确； 故选D. 5. 对于命题“若，则”，下面，的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，命题真假的判定，掌握不等式的性质是关键． 根据不等式的性质，代入计算判定即可． 【详解】解：A、当时， ，则，即，原命题为真，不符合题意； B、当时， ，则，即，原命题为真，不符合题意； C、当时， ，则，即，原命题为假，符合题意； D、当时， ，则，即，原命题为真，不符合题意； 故选：C． 6. 一个正方形的边长是a，若边长增加2，则这个正方形的面积增加了（　　） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，整式的加减，解题的关键是掌握正方形的面积公式． 一个正方形的边长是a，若边长增加2，则边长变为，根据正方形的面积公式和作差法求得答案． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 7. 现有一段围墙长20米，王伯伯想紧靠这段围墙圈一块长方形空地作为兔舍饲养小兔．已知他圈好的空地如图所示，是一个长方形，它的一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．设垂直于墙的一边的长度为米，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意可得平行于墙的一边的长为米，垂直于墙的长度要大于0，平行于墙的长度大于0且不能超过墙的长度，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边的长为米， ∴， 解得， 故选：B． 8. 已知关于，的二元一次方程()，则下列四个结论： ①无论为何值时，关于，的方程都有一组解 ②若，则关于，的方程有组正整数解； ③若，则关于，的不等式的解集为； ④若和是关于，的方程的两组解，则．其中正确的结论是( ) A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】①整理方程得出，令，求得；②把代入关于，的二元一次方程得出，根据方程的解为正整数得出，；③把代入关于，的不等式，整理得，根据得出，再解不等式，即可求解；④把和代入关于，的二元一次方程得，根据，进而求得，即可求解． 【详解】解：①已知关于，的二元一次方程， 整理得， 当每取一个值（），方程都有一个公共解， ，， 解得：，， 即这个公共解为，故①正确； ②把代入关于，的二元一次方程得，， 整理得， ∴，， 即这个方程的正整数解有两组，故②正确； ③把代入关于，的不等式得，， 整理得，即， ∵， ，， ∴，故③正确； ④把和代入关于，的二元一次方程， 得， 由上面两式相减得， ， ， ，即．故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 二、填空题（每小题3分，共30分．） 9. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 命题“末位数字是5的数能被5整除”的逆命题是_____ 命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【详解】解：命题“末位数字是5的数能被5整除”的逆命题是能被5整除的数的末位数字是5， 又因为能被5整除的数的末位数字还可以为0， 故命题“末位数字是5的数能被5整除”的逆命题是假命题． 11. 某公司的光刻机使用极紫外光()技术制造芯片，其光源波长为米．数据“”用科学记数法可表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 请写出一个关于x的一元一次不等式，使为该不等式的一个解．不等式为______． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【详解】解：例如， ∴ ∴为该不等式的一个解． ∴符合题意的不等式可以是：(答案不唯一)． 13. 已知，，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，利用多项式乘以多项式的运算法则把代数式展开，再把已知代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 14. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是________边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和与外角和，根据题意，设该多边形的边数为，由题意列方程求解即可得到答案．熟记多边形内角和与外角和是解决问题的关键． 【详解】解：设该多边形的边数为， 这个多边形的内角和为， 多边形的内角和是它的外角和的3倍， ，解得， 故答案为：八． 15. 数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故答案为： 16. 某工厂生产某种零件，若零件的长度为x厘米，为了提高零件合格率，现设计了如下两套质量控制标准：① ；②．若两个标准下允许的长度范围完全一致，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别解两个不等式，进而根据解集相等求得的值，即可求解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 由题意可得：， 解得：． 17. 关于x，y的二元一次方程与的部分解分别如表1，表2： 表1 x … 0 1 2 … y … 2 5 … 表2 x … 0 1 2 3 … y … 3 2 1 0 … 则关于x的不等式 的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据表格数据列出二元一次方程组求解，再解不等式即可． 【详解】解：将代入 ∴，解得， 将代入， ∴，解得 ∴不等式即为 解得． 18. 如图，，点、分别在射线、上，，是面积为的锐角三角形，是线段上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，则的面积最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】：连接，过点作，交于点，根据题意得出，根据垂线段最短可知，当点与点重合时，取最小值，即，即可求解． 【详解】解：连接，过点作，交于点， ，， ， 点关于的对称点是，点关于的对称点是， ，，， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当点与点重合时，取最小值，即， 的面积最小值为． 三、解答题（本题共9小题，共96分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）(用乘法公式计算)． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解； （4）根据平方差公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 20. 解不等式（组）： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：去括号得， 移项合并得， 解得． 【小问2详解】 解不等式①得， ， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集是． 21. 小明解方程组的过程如下所示： 解：由，得③，第一步 解得．第二步 把代入①，得： ， 解得．第三步 原方程组的解为第四步 思考并解决： （1）在上述过程中，第_____步是消元，消元的依据是_____； （2）小明的解答过程是不正确的，请写出正确的解答过程． 【答案】（1）一；等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立； （2）解：， 由，得， 解得 ， 把 代入①，得， 解得， 原方程组的解为． 【解析】 【分析】（1）根据等式的性质作答即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：第一步是消元，消元的依据是等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立； 【小问2详解】 略. 22. 已知两个正整数，，且比大，那么，的平方差一定是的倍数吗？请举例，并用所学知识证明你的结论． 【答案】一定是． 例如：，， 则 ∴此时，的平方差是20的倍数； 证明：设，则，是正整数， ， 是正整数， 也是正整数， 一定是的倍数， 即，的平方差一定是的倍数． 【解析】 【分析】根据题意，先举例，例如：，，代入进行计算；设，则是正整数，计算得出，的平方差为，即可得证． 【详解】略 23. 看图解决问题 （1）观察图中大正方形的构成，用两种不同的方式计算其面积，可以得出代数恒等式： ； （2）利用上述代数恒等式计算： ①； ②先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）①；②， 【解析】 【分析】（1）根据整体考虑是边长为的正方形，从部分考虑是由三个小正方形和六个小长方形组成的，两种方式计算的面积相等，即可得出代数恒等式； （2）①根据（1）的结论进行计算即可求解； ②根据（1）的结论进行化简，再将字母的值代入即可求解． 【小问1详解】 解：从整体考虑是边长为的正方形，其面积为，从部分考虑是由三个小正方形和六个小长方形组成的，其面积和为， 所以有； 【小问2详解】 解：① ； ② ， 当，时， ． 24. 如图，在中，是边上的动点，过点作交于，交的延长线于点． （1）若，，则 ， ； （2）在点运动的过程中，探究是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）， （2）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角的性质求得，进而根据三角形内角和定理求得； （2）根据三角形的外角的性质可得；根据得出．即可得出． 【小问1详解】 解：，， ； ， ， ， 【小问2详解】 是定值，定值为． 是的外角， ； ， ， ， ， ． ， 即是定值，定值为． 25. 某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买个篮球和个足球需要元；购买个篮球和个足球需要元．根据以上信息解答： （1）购买1个篮球和1个足球分别需要多少钱？ （2）学校计划采购篮球、足球共个，总费用不超过元，求至少要买多少个篮球？ （3）在(2)的条件下，若要求篮球不多于个，请写出所有购买方案，并求出最低总费用． 【答案】（1）个篮球和个足球分别需要元、元 （2）个 （3）方案1：购进个篮球，个足球；方案：购进个篮球，个足球；方案：购进个篮球，个足球；方案：购进个篮球，个足球；最低总费用为元 【解析】 【分析】（1）设购买个篮球为元，个足球为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设购进个篮球，则购进个足球，根据题意列出不等式，求得最小整数解，即可求解； （3）根据题意可得的整数值为、、、，得出共有种购买方案，再分别求解即可． 【小问1详解】 解：设购买个篮球为元，个足球为元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买个篮球和个足球分别需要元、元； 【小问2详解】 解：设购进个篮球，则购进个足球， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小整数值为． 答：至少要买个篮球； 【小问3详解】 解：由题意可得：， 又为正整数， 的整数值为、、、． 的值为、、、． 共有种购买方案；分别为： 方案：购进个篮球，个足球，费用为元； 方案：购进个篮球，个足球，费用为元； 方案：购进个篮球，个足球，费用为元； 方案：购进个篮球，个足球，费用为元； 最低总费用为元． 26. 问题与探索 【探索发现】 （1）已知，满足 ①求的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路． 小明：先解方程组，求出，的值，再代入，计算求值． 小红：将，得= ． ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗？没有解决方案的小明询问了智能机器人．请根据智能机器人的提示，先求，的值，再求的值． 设，其中，为常数 【解决问题】 （2）若，满足，为常数且，则的取值范围是 ． 【答案】（1）①；②；； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意进行计算即可求解； ②根据 ，得出，进而计算的值，即可求解； （2）设 ，求得，可得，根据，进而求得的范围． 【小问1详解】 解：①将，得：； ②小红的解法不是巧合，能求的值． ． ∴ 解得：； ∴ 【小问2详解】 设 则 ∴ 解得：； ∴ ∵， ∴ ， ，即 ． 27. 【问题背景】同学们，我们知道 角是一种特殊角，在一些图形中经常出现，掌握它的一些特殊性质可以解决许多问题，今天就让我们一起来认识一下”角． 【问题探究】 （1）在图1网格中用无刻度的直尺作图：以已知线段为一边画一个的角； （2）如图2，四边形是正方形，点为边上一点，请用圆规和无刻度直尺作图：在边上求作一点，使得；(保留作图痕迹，不写作法) 【问题拓展】 （3）小明在完成(2)的作图后，将图形简化为图，即四边形是正方形，点为边上一点，点为边上一点，．他把绕着点顺时针转，并作下列探究： ①用直尺和圆规作出旋转后的； ②小明判断所画图形中有轴对称图形不包含原正方形，请用阴影把轴对称图形标记出来； ③若图中正方形边长为，面积为，则的值为 ． 【答案】（1） （2） （3）①；②；③25 【解析】 【分析】（1）以为腰，点为直角顶点，作等腰直角三角形，即可； （2）过点作，作的角平分线，则； （3）①作，截取，连接， ②根据轴对称图形的性质，用阴影部分标记即可； ③依题意，进而确定，设，，则，，得出，进而根据完全平方公式变形求得的值，即可求解． 【小问1详解】 以为腰，点为直角顶点，作等腰直角三角形，则；图略 【小问2详解】 首先过点作，再作直角的角平分线，则；图略 【小问3详解】 ①作，截取，连接， 则就是求作的图形；图略 ②略 ③， ， ， ， ， 设，，则，， ，即． ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省东海县2025-2026学年度第二学期七年级数学期末试卷（原卷版） 一、选择题（每小题3分，共24分．） 1. 设，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　） A. 轴对称、旋转、平移 B. 旋转、轴对称、平移 C. 轴对称、平移、旋转 D. 平移、轴对称、旋转 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程组的解为的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于命题“若，则”，下面，的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 一个正方形的边长是a，若边长增加2，则这个正方形的面积增加了（　　） A. 4 B. C. D. 7. 现有一段围墙长20米，王伯伯想紧靠这段围墙圈一块长方形空地作为兔舍饲养小兔．已知他圈好的空地如图所示，是一个长方形，它的一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．设垂直于墙的一边的长度为米，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于，的二元一次方程()，则下列四个结论： ①无论为何值时，关于，的方程都有一组解 ②若，则关于，的方程有组正整数解； ③若，则关于，的不等式的解集为； ④若和是关于，的方程的两组解，则．其中正确的结论是( ) A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共30分．） 9. 计算：_______． 10. 命题“末位数字是5的数能被5整除”的逆命题是_____ 命题（填“真”或“假”）． 11. 某公司的光刻机使用极紫外光()技术制造芯片，其光源波长为米．数据“”用科学记数法可表示为______． 12. 请写出一个关于x的一元一次不等式，使为该不等式的一个解．不等式为______． 13. 已知，，则的值等于______． 14. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是________边形． 15. 数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为________． 16. 某工厂生产某种零件，若零件的长度为x厘米，为了提高零件合格率，现设计了如下两套质量控制标准：① ；②．若两个标准下允许的长度范围完全一致，则的值为______． 17. 关于x，y的二元一次方程与的部分解分别如表1，表2： 表1 x … 0 1 2 … y … 2 5 … 表2 x … 0 1 2 3 … y … 3 2 1 0 … 则关于x的不等式 的解集为______． 18. 如图，，点、分别在射线、上，，是面积为的锐角三角形，是线段上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，则的面积最小值为______． 三、解答题（本题共9小题，共96分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）(用乘法公式计算)． 20. 解不等式（组）： （1）； （2） 21. 小明解方程组的过程如下所示： 解：由，得③，第一步 解得．第二步 把代入①，得： ， 解得．第三步 原方程组的解为第四步 思考并解决： （1）在上述过程中，第_____步是消元，消元的依据是_____； （2）小明的解答过程是不正确的，请写出正确的解答过程． 22. 已知两个正整数，，且比大，那么，的平方差一定是的倍数吗？请举例，并用所学知识证明你的结论． 23. 看图解决问题 （1）观察图中大正方形的构成，用两种不同的方式计算其面积，可以得出代数恒等式： ； （2）利用上述代数恒等式计算： ①； ②先化简，再求值：，其中，． 24. 如图，在中，是边上的动点，过点作交于，交的延长线于点． （1）若，，则 ， ； （2）在点运动的过程中，探究是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 25. 某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买个篮球和个足球需要元；购买个篮球和个足球需要元．根据以上信息解答： （1）购买1个篮球和1个足球分别需要多少钱？ （2）学校计划采购篮球、足球共个，总费用不超过元，求至少要买多少个篮球？ （3）在(2)的条件下，若要求篮球不多于个，请写出所有购买方案，并求出最低总费用． 26. 问题与探索 【探索发现】 （1）已知，满足 ①求的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路． 小明：先解方程组，求出，的值，再代入，计算求值． 小红：将，得= ． ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗？没有解决方案的小明询问了智能机器人．请根据智能机器人的提示，先求，的值，再求的值． 设，其中，为常数 【解决问题】 （2）若，满足，为常数且，则的取值范围是 ． 27. 【问题背景】同学们，我们知道 角是一种特殊角，在一些图形中经常出现，掌握它的一些特殊性质可以解决许多问题，今天就让我们一起来认识一下”角． 【问题探究】 （1）在图1网格中用无刻度的直尺作图：以已知线段为一边画一个的角； （2）如图2，四边形是正方形，点为边上一点，请用圆规和无刻度直尺作图：在边上求作一点，使得；(保留作图痕迹，不写作法) 【问题拓展】 （3）小明在完成(2)的作图后，将图形简化为图，即四边形是正方形，点为边上一点，点为边上一点，．他把绕着点顺时针转，并作下列探究： ①用直尺和圆规作出旋转后的； ②小明判断所画图形中有轴对称图形不包含原正方形，请用阴影把轴对称图形标记出来； ③若图中正方形边长为，面积为，则的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $