第五章 复数 素养评估专项训练题(二)-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

**基本信息** 聚焦复数核心概念与运算，构建从定义到应用的逻辑链条，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-5、多选9-10（10题）|概念判断与性质应用|实部虚部→纯虚数条件→命题真假判断| |运算求解|填空12、解答15（2题）|代数运算与化简|加减乘运算法则应用| |方程应用|单选7-8、解答16-17（4题）|复数方程求解与分类讨论|复数根与方程系数关系→参数分类讨论| |综合拓展|填空14、解答18-19（3题）|集合与模的最值综合|复数与集合交汇→模的几何意义应用|

第五章《复数》素养评估专项训练题(试卷二) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数z=1－i，则z的虚部是 (　　) A．－1 B．－i C．i D．1 2.已知i是虚数单位，复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为 (　　) A．2 B．－2 C．±2 D．4 3．已知复数z＝a－2＋(1＋2a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则实数a＝ (　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 4．设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－1,3) B．(－∞,－1)∪(3，＋∞) C．(－3,1) D．(－∞,－3)∪(1,＋∞) 6．定义运算 ad－bc ，则符合条件i 的复数 z为( ) A． 3－i B． 1+ 3i C． 3 + i D． 1－3i 7．若复数 z = 1－i 是方程 z 2 + az + b = 0 的根，其中 a, b ∈ R ，则 a + 2b 的值为 ( ) A．－4 B． －2 C．0 D．2 8．方程z2－4|z|＋3＝0在复数集内解的个数为 (　　) A．4 B．5 C．6 D．8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题中，不正确的是 (　　) A．1－ai(a∈R)是一个复数 B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数 C．若a＝0，则a＋bi为纯虚数 D．－1没有平方根 10．下列有关复数的结论正确的是 ( ) A．若 z = 1 ，则 z = ±1 B．复数 z =1+2i 是关于 x的方程x2－2x + 5 = 0的一个根 C．若 z 2 > 0 ，则 z ∈ R D．若 z = 1 ，则 z+ 为实数 11.若复数z＝，则下列结论正确的是 (　　) 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若复数z＝(m2－16)＋(m2－3m－4)i为实数零，则实数m的值为________． 13.非零复数 z 的共轭复数为 ，若 z 则 z = ． 14．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩N是M的真子集，M∩N≠∅，且a,b为整数，则a＋b＝__________． 四．解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.计算下列各小题：(1) (1+ 3i) + (－2 + i) + (2－3i) ；(2) (4－ i)(6 + 2i) －(7 － i)(4 + 3i) ； 16．当实数m取什么值时，复数z＝＋(m2－2m)i是：(1)(7分)虚数；(2)(8分) 纯虚数． 17．(15分)(1)已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，求实数a的值．(7分) (2)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．(8分) 18．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，存在实数t，使＝－3ati成立． (1)求证：2a＋b为定值；(8分)(2)若|z－2|≤a，求实数a的取值范围．(9分)　 19．已知复数z满足|z＋＋i|≤1，求：(1)|z|的最大值和最小值；(8分) (2)|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值．(9分)　 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章《复数》素养评估专项训练题(试卷二)及详细解析 一、单选题 1.若复数z=1－i，则z的虚部是 (　　) A．－1 B．－i C．i D．1 1.A 复数1－i的虚部是－1.故选A. 2.已知i是虚数单位，复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为 (　　) A．2 B．－2 C．±2 D．4 2.A 由z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，得解得x＝2.故选A. 3．已知复数z＝a－2＋(1＋2a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则实数a＝ (　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 3.D 由题可知a－2＝1＋2a，解得a＝－3.故选D. 4．设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.B 若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件．故选B. 5.已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－1,3) B．(－∞,－1)∪(3，＋∞) C．(－3,1) D．(－∞,－3)∪(1,＋∞) 5.B 由已知可得a2＞2a＋3，即a2－2a－3＞0，解得a＞3或a＜－1，因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).故选B. 6．定义运算 ad－bc ，则符合条件i 的复数 z为( ) A． 3－i B． 1+ 3i C． 3 + i D． 1－3i 6.【答案】A 【解析】 由题意得 z + zi = 4 + 2i ，则 z i ，故选 A. 7．若复数 z = 1－i 是方程 z 2 + az + b = 0 的根，其中 a, b ∈ R ，则 a + 2b 的值为 ( ) A．－4 B． －2 C．0 D．2 7.D 将 z =1－i代入方程，得 (1－ i)2 + a(1－i) + b = 0 ，得 a + b－(2 + a)i = 0 ，所以 a + b = 0,2 + a = 0 ，即 a =－2, b = 2 ，则 a + 2b = 2 ．故选D 8．方程z2－4|z|＋3＝0在复数集内解的个数为 (　　) A．4 B．5 C．6 D．8 8.C 令z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意得a2－b2＋2abi－4＋3＝0， 得当b＝0时，|a|2－4|a|＋3＝0，解得|a|＝1或|a|＝3，即a＝±1或a＝±3；当a＝0时，|b|2＋4|b|－3＝0，解得|b|＝－2＋或|b|＝－2－(舍去)，即b＝±(－2). 综上共有6个解：z＝±1，或z＝±3，或z＝±(－2)i.故选C. 二、多选题 9.下列命题中，不正确的是 (　　) A．1－ai(a∈R)是一个复数 B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数 C．若a＝0，则a＋bi为纯虚数 D．－1没有平方根 9.BCD 由复数的概念可知命题A正确；形如a＋bi(b∈R)的数，当b＝0时，它不一定是虚数，故命题B不正确；当a＝b＝0时，a＋bi＝0为实数，故命题C不正确；－1的平方根为±i，故命题D不正确．故选BCD. 10．下列有关复数的结论正确的是 ( ) A．若 z = 1 ，则 z = ±1 B．复数 z =1+2i 是关于 x的方程x2－2x + 5 = 0的一个根 C．若 z 2 > 0 ，则 z ∈ R D．若 z = 1 ，则 z+ 为实数 10.BCD 对选项 A：当 z = ±i 也满足 z = 1，所以不止 z = ±1 ，故 A 错；对选项 B：把 z = 1+ 2i，代入方程 x2 －2x + 5 = 0 ，则(1+ 2i)2－2(1+ 2i) + 5 = 1+ 4i + 4i2 －2－4i + 5 = 0 ，故 B 对；对选项 C：设 z = a + bi, (a, b ∈ R) ，则 z 2 = a2－b2 + 2abi,若 z 2 > 0 ，则 z 2必为正实数，需满足： 2ab = 0, 且 a2 －b2 > 0，若b ≠ 0,由 2ab = 0 ,得 a = 0 ，此时 z 2 =－b2 ≤ 0与题意z 2 > 0矛盾.故b = 0, 即 z = a∈ R, 故 C 对；对选项 D，设 z = a + bi, (a, b ∈ R) ，因为z =1 ，所以 a2 + b2 =1,所以 z a + bia + bi a + bi + a－bi = 2a ∈ R ，所以 D 正确.故选：BCD. 11.若复数z＝，则下列结论正确的是 (　　) A．z的共轭复数＝ B．复数z的实部与虚部相等 C．＝ D．复数z在复平面内对应的点在第四象限 11.ACD 因为z＝＝ ＝＝＝－.对于A，＝＋＝，故A正确；对于B，z＝－，实部为，虚部为－，故B错误；对于C，＝＝，故C正确；对于D，z＝－在复平面对应点的坐标为在第四象限，故D正确．故选ACD. 三、填空题 12．若复数z＝(m2－16)＋(m2－3m－4)i为实数零，则实数m的值为________． 12. 4 由题意得解得m＝4. 故答案填4. 13.非零复数 z 的共轭复数为 ，若 z 则 z = ． 13. 设 z = x + yi, x, y ∈ R，则 z = x2 + y2 ，而 z(1－i) = (x + yi)(1－i) = (x + y) + (y－x)i ， 由 z= z(1－i) ，得 整理得 x2 + y 而 z非零，则 所以故答案为 . 14．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩N是M的真子集，M∩N≠∅，且a,b为整数，则a＋b＝__________． 14.1或－1 依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i①，或8＝(a2－1)＋(b＋2)i②，且①②不能同时成立，或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i③.由①得a＝－3，b＝±2，经检验，a＝－3，b＝－2不合题意，舍去,所以a＝－3，b＝2；由②得a＝±3，b＝－2.又a＝－3，b＝－2不合题意，所以a＝3，b＝－2；由③得，a,b无整数解；综上a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2， 所以a＋b＝－1或1.故答案为1或－1． 四、解答题 15.计算下列各小题：(1) (1+ 3i) + (－2 + i) + (2－3i) ；(2) (4－ i)(6 + 2i) －(7 － i)(4 + 3i) ； 15. (1)1+ i ；(2)－5－15i ； (3)i . 【解析】（1）原式 = 1－ 2 + 2 + (3 +1－3)i = 1+ i ．(4分) （2） (4－i)(6 + 2i) －(7－i)(4 + 3i)= 24 + 8i－6i－2i2－(28 + 21i－4i－3i2)= 26 + 2i－(31+17i) =－5－15i. (8分) (13分) 16．当实数m取什么值时，复数z＝＋(m2－2m)i是：(1)(7分)虚数；(2)(8分) 纯虚数． 解析：(1)当解得m≠0且m≠2，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数． (2)当解得m＝－3或2，且m≠0且m≠2；即得m＝－3；故m＝－3时，复数z是纯虚数． 17．(15分)(1)已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，求实数a的值．(7分) (2)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．(8分) 解析：(1)因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得 解得或所以a＝±. (2)设方程的实根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i， 所以由10－m－2m2＝0，解得m=2或－，代入3m2－m－1＝0中，得a＝11或a＝－. 18．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，存在实数t，使＝－3ati成立． (1)求证：2a＋b为定值；(8分)(2)若|z－2|≤a，求实数a的取值范围．(9分)　 解：(1)证明：因为＝－3ati＝＋(－3at)i，则a－bi＝＋(－3at)i， 由复数相等得消去t，可得2a＋b＝6，故2a＋b为定值． (2)因为z－2＝a－2＋bi，且|z－2|≤a，所以 又因为2a＋b＝6，即b＝6－2a，则(a－2)2＋(6－2a)2≤a2， 整理得a2－7a＋10≤0，所以原不等式组即为 解得2≤a≤5；故实数a的取值范围为[2，5]. 19．已知复数z满足|z＋＋i|≤1，求：(1)|z|的最大值和最小值；(8分) (2)|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值．(9分)　 解：(1)设在复平面内复数z对应的点为Z，则满足|z＋＋i|≤1的点Z的集合是圆心为M(－，－1)，半径为1的圆内区域(包括边界)，|z|表示点Z到原点O的距离．如图所示，对应的复数的模为|z|的最大值，对应的复数的模为|z|的最小值．因为||＝＝2， 所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.即|z|的最大值为3，最小值为1. (2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|2＝a2＋b2， |z－1|2＋|z＋1|2＝|a－1＋bi|2＋|a＋1＋bi|2＝(a－1)2＋b2＋(a＋1)2＋b2＝2(a2＋b2)＋2＝2|z|2＋2.由(1)知1≤|z|≤3，所以|z－1|2＋|z＋1|2的最大值为2×32＋2＝20，最小值为2×12＋2＝4. 21 学科网（北京）股份有限公司 $