从位移、速度、力到向量素养评估专项训练题 2025-2026学年下学期高一数学北师大版必修第二册

从位移、速度、力到向量素养评估专项训练题 一、素养评估精选变式训练题 1．在下列四个有关向量的命题中，说法正确的命题是 (　　) A.向量的模都是正实数 B.单位向量只有一个 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 2．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量的长度都为0 C．单位向量的长度都相等 D．单位向量方向相同 3.在锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法，正确的是(　　) A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是钝角 D．与的夹角是锐角 4.已知单位向量e1与e2的夹角为，则e1与－e2的夹角为(　　) A． B． C． D． 5．(多选)如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是(　　) A．＝ B．||＝|| C．与共线 D．＝ 6.若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是____________． 7．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________． 8.如下图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移． 9.如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形． (1)求与向量相等的向量是什么？ (2)若||＝3，则向量的模等于什么？ 二、核心素养评估提升精练 10．(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在图中标出了4个向量，则下列说法正确的是(　　) A．向量，的模相等 B．||＝ C．向量，共线 D．||＋||＝10 11．已知在四边形ABCD中，＝，且||＝||，tan D＝，则四边形ABCD的形状是________． 12.设a0为单位向量，现有三个有关向量关系的命题：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　) A．0　 B．1　 C．2 　D．3 13.如图所示，△ABC和△A′B′C′是两个在各边的三等分点处相交的全等的等边三角形，图中画出了若干个向量．(1)写出与向量相等的向量； (2)写出与向量共线，且模相等的向量；(3)写出与向量方向相同的向量． 14．如图所示，在▱ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，则集合T中元素的个数为________． 15．在如图所示的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)||＝3，点A在点O的正西方向； (2)|| ＝3，点B在点O的北偏西45°方向． 16．如图，已知以O为圆心，1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点或终点作向量．求： (1)向量与的夹角；(2)与向量垂直的向量； (3)模等于的向量的个数． 素养评估专项训练题答案与解析 一、素养评估精选变式训练题 1.C 对于选项A，向量的模(即向量的长度或大小)都是非负实数，且零向量的模是数0，知A错误；对于选项B,所有单位向量的模都等于1，但不同的单位向量的方向可以不同，知B错误；对于选项C,向量的大小即向量的模(或长度)显然与该向量的方向无关，知C正确；对于选项D,由于任意两个向量都不能比较大小，知D错误.故选C. 2．BC 对于选项A,B，零向量的长度为0，方向是任意的，知A错误，B正确；对于选项C,D，单位向量是长度等于1个单位长度的向量，方向不一定相同，知D错误，C正确．综上，故选BC． 3．B 因为三角形ABC为锐角三角形，则对于选项A，与的夹角是钝角，知A错误；对于选项B，与的夹角是角A当然为锐角，知B正确；对于选项C，与的夹角是角C当然为锐角，知C错误；对于选项D，与的夹角是钝角，知D错误．故选B． 4．B 向量e2与向量－e2方向相反，故e1，e2的夹角与e1，－e2的夹角互补，即e1与－e2的夹角为.故选B. 5．ABC 因为O是正方形ABCD的中心，所以AO＝BO＝OC.对于选项A中，因为与方向相同，长度相等，故A正确；B中，||＝||，故B正确；因为AB∥DC，所以与共线，故C正确；因为与方向不同，所以二者不相等，故D错误．故选ABC． 6.60°因为向量a与b的夹角为60°，所以向量－a与 －b 的夹角也是60°. 7.0 因为向量m与向量是平行向量，所以向量m与向量方向相同或相反．因为向量m与是共线向量，所以向量m与向量方向相同或相反．又由A，B，C是不共线的三点，可知向量与向量不共线，则m＝0.故填0. 故填60°． 8.解：依题意，知上午的位移为，下午的位移为，这一天内的位移为，如右图． 9.解：(1)在平行四边形ABCD和ABDE中，因为＝，＝，所以＝.故与向量相等的向量是，. (2)因为AB∥ED，AB∥DC，且ED与DC有公共点D，所以E，D，C三点共线， 所以||＝||＋||＝2||＝6.故||＝6． 二、核心素养评估提升精练 10．BC 对于选项A，因为||＝＝，||＝＝2，所以||≠||，知A错误；对于选项B，因为||＝＝，知B正确；对于选项C，因为∠CDG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以向量，共线，知C正确；对于选项D，因为||＋||＝＋＝5≠10，知D错误．综上,故选BC． 11.菱形 因为在四边形ABCD中，＝，所以AB∥DC且AB＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形．因为tan D＝，∠D∈(0，π)，所以∠B＝∠D＝.又＝，即AB＝AC，所以△ABC是等边三角形，所以AB＝BC，故四边形ABCD是菱形．故填：菱形 12.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则当a为零向量时，a的方向任意；当a不为零向量时，a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题，综上所述，假命题的个数是3.故选D． 13.解：(1)在图中给出的向量中,与向量相等的向量：′，. (2)在图中给出的向量中,与向量共线，且模相等的向量：，′，，，. (3)图中给的向量中,与向量方向相同的向量：，，，，，，. 14.12 由题可知，集合S中任意两点连成的有向线段共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对相等向量，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.因为集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个．故填12. 15.解：(1)因为||＝3，点A在点O的正西方向，所以向量如图所示． (2)因为||＝3，点B在点O的北偏西45°方向，所以向量如图所示． 16.解：(1)由题意得所对圆心角是45°，即∠DOE＝45°，所以向量与的夹角为45°. (2)由题意得BF是圆O的直径，OD⊥BF，CE∥BF∥AG，如图， 所以与向量垂直的向量有：，，，，，，，，，. (3)以A，B，C，D，E，F，G，H中四点为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一个是正方形ACEG，另一个是正方形BDFH.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一条边对应两个向量)的长度为，故模为的向量共有4×2×2＝16(个). 学科网（北京）股份有限公司 $