福建厦门集美区2025—2026学年第二学期七年级期末综合练习数学

**基本信息** 七年级期末数学综合练习，以几何、代数、统计为核心，融入新能源液晶屏测试、传统建筑“叠涩”工艺等真实情境，突出数学眼光观察、思维推理与语言表达的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|对顶角、平行线性质、不等式性质|结合园林木材选择考频数分布直方图分析| |填空题|8/34|无理数、坐标变换、平移对称|定义“平移对称图形”考几何直观与空间观念| |解答题|9/84|方程组、三角形平移、重心计算|以“叠涩”工艺为载体，探究重心坐标与结构稳定性，体现创新应用与模型意识|

2025—2026学年第二学期七年级期末综合练习 数学参考答案 说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 A C B A B D C B 二、填空题（本大题共8小题，共34分） 9．（1） 3 （2） －2 （3） 10． m＞0 11．3x＋y＝16 12．（答案不唯一） 13．a＞3 14．7 15. 三角形OHG ； EF（或EH或FG或HG） 16． － ≤t ≤n 三、解答题（本大题有9小题，共84分） 17．（本题满分8分） 解方程组： 解法一（代入消元）： 解：由①得 x＝y＋3．③ ……………………………3分 把③代入②，得 y＋3＋3y＝7， 4y＋3＝7， y＝1. ……………………………5分 将y＝1代入①，得 x－1＝3， x＝4． 所以这个方程组的解为 ……………………………8分 解法二（加减消元）： 解：由②－①，得 （x＋3y）－（x－y）＝4…………………………3分 4y＝4， y＝1． ……………………………5分 将y＝1代入①，得 x－1＝3， x＝4． 所以这个方程组的解为 ………………………8分 18.（本题满分12分） （1）（本小题满分6分） 解：4x－4≤2＋x ………………………1分 4x－x≤2＋4． ………………………2分 3x≥6 ………………………3分 x≥2． ………………………4分 这个不等式的解集在数轴上表示如下： ………………………6分 （2）（本小题满分6分） 解：解不等式组： 由①得∶x＜8－5， ………………………1分 x＜3． ………………………2分 由②得∶x－6≤3（x＋2）， ………………………3分 x－6≤3x＋6， ………………………4分 x－3x≤12， －2x≤12 x ≥－6 ………………………5分 所以不等式组的解集为：－6≤x＜3． ………………………6分 19.（本题满分8分） （1）（本小题满分4分） 因为该班级一共要购买20件奖品，设购买x本笔记本， 所以购买（20－x）根中性笔． ……………………1分 又因为笔记本的价格为16元/本，中性笔的价格为4元/支， 所以购买这批奖品的费用为16x＋4（20－x）＝12x＋80． ………4分 （2）（本小题满分4分） 因为购买这批奖品的总费用不超过200元 所以12x＋80≤200． ……………………6分 图8 解不等式，得x≤10． 所以该班级最多能买10本笔记本． ……………………8分 20．（本题满分8分） （1）（本小题4分） 证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC＋∠ACD＝180°． ……………………2分 ∵∠ACD＝60°， ∴∠BAC＝180°－∠ACD＝120°． ……………………3分 ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝×120°＝60°．……………………4分图8 （2）（本小题4分） 解：GF∥CE，理由如下： ……………………5分 ∵∠HAB与∠CFG互余， ∴∠HAB＋∠CFG＝90°． ∵CE⊥AC， ∴∠HCE＝90°． ∴∠HCD＋∠DCE＝90°． ……………………6分 ∵AB∥CD， ∴∠HAB＝∠HCD． ……………………7分 ∴∠CFG＝∠DCE． ∴GF∥CE． ……………………8分 21．（本题满分8分） （1）（本小题4分） 解：如图所示， ……………………3分 根据图9中的趋势图，可以预估2026年的GDP约为9000亿元.（备注：预估值误差范围9000±500） ……………………4分 （2）（本小题4分） 解：不认同，理由如下： 由图10看出 2021年的GDP中第一产业占比为36%，第一产业经济总收入为4000×36%＝1440亿元， 2021年的GDP中第二产业占比为27%，第二产业经济总收入为4000×27%＝1080亿元， 2021年的GDP中第三产业占比为20%，第三产业经济总收入为4000×20%＝800亿元， 2021年的GDP中其他产业占比为17%，其他产业经济总收入为4000×17%＝680亿元， ……………………5分 2025年的GDP中第一产业占比为20%，第一产业经济总收入为8000×20%＝1600亿元， 2025年的GDP中第二产业占比为25%，第二产业经济总收入为8000×25%＝2000亿元， 2025年的GDP中第三产业占比为40%，第三产业经济总收入为8000×40%＝3200亿元， 2025年的GDP中其他产业占比为15%，其他产业经济总收入为8000×15%＝1200亿元， ……………………6分 虽然2025年的GDP中第一产业、第二产业、其他产业的占比相对于2021年的占比有所下降，但实际经济总收入均在增长，因此小张的说法不正确. ……………………8分 22.（1）（本小题4分） 解：当c＝1时，上述式子可化为3a＋2b＋1＝5， 2a＋b－3＝1. ……………………1分 联立， ， 解得， ……………………4分 （2）（本小题4分） 解法1：因为3a＋2b＋c＝5，2a＋b－3c＝1. 所以m＝5a＋3b＋c＝（3a＋2b＋c）＋（2a＋b－3c）＋3c＝6＋3c， ……………5分 n＝a＋b＋2＝（3a＋2b＋c）－（2a＋b－3c）＋2＝6－4c. ……………6分 令m－n＝（6＋3c）－（6－4c）=7c， ……………7分 因为c为非负数， 所以7c≥0，即m≥n. ……………8分 解法2：因为2a＋b－3c＝1， 所以b＝1－2a＋3c. ① 把①式代入3a＋2b＋c＝5，得3a＋2（1－2a＋3c）＋c＝5， 化简得a＝7c－3. ② 把②式代入①式得b＝1－2（7c－3）＋3c，得b＝－11c＋7. ③ 把②式和③式分别代入m＝5a＋3b＋c，得 m＝5（7c－3）＋3（－11c＋7）＋c＝6＋3c， ……………………5分 把②式和③式分别代入n＝a＋b＋2，得 n＝（7c－3）＋（－11c＋7）＋2＝6－4c ……………………6分 令m－n＝（6＋3c）－（6－4c）=7c， ……………………7分 因为c为非负数， 所以7c≥0，即m≥n. ……………………8分 23.（本题满分10分）图11 （1）（本小题满分5分） 证明：∵AD平移得到BC ∴AB∥DC． ……………………2分 ∴∠DCF=∠ABC，∠ABE＝∠BEC. …………3分 ∵CG平分∠DCF， ∴∠FCG＝∠GCE=∠DCF．…………4分 ∵∠BEC＝∠FCG＝∠DCF， ∴∠ABE＝∠DCF＝∠ABC． ∴BE平分∠ABC． ……………………5分 （2）（本小题满分5分） ①当H在A的左侧，过点E作EK∥MN ∵EK∥MN，PQ∥MN ∴EK∥PQ． ∴∠DHE＝∠HEK， ∠EBC＝∠KEB …………6分 ∵∠DHE＋∠EBC＋∠AEH＝90° ∴∠HEK＋∠KEB＋∠AEH＝90° ∴∠AEB＝90°． …………………7分 ∵CG∥BE ∴∠CGE＝∠BEA＝90°，即CG⊥AF． 根据垂线段最短，有CG＜CE． ………………8分 解法1： ②当H在A的右侧， 设∠ABE＝∠EBC＝α， ∵AB∥DC， ∴∠ABE＋∠BED＝180°， ∴∠BED＝180°－α， ∵EH平分∠BED， ∴∠BEH＝∠BED＝90°－α． 同①的解法可得，∠DHE＋∠EBC＝∠BEH＝90°－α． ∵∠DHE＋∠EBC＋∠AEH＝90°， ∴∠AEH＝α． ∴∠AEB＝∠BEH－∠AEH＝90°－α． ∴∠AEC＝∠AEB＋∠EBC＝90°，即CE⊥AF 根据垂线段最短，有CE＜CG． 解法2：当H在A的右侧， 设∠DHE＝x ，∠EBC＝y ∵∠DHE＋∠EBC＋∠AEH＝90° ∴∠AEH＝90°－x－y． ………………8分 同①的解法可得，∠HEB＝x＋y． ∵EH平分∠BED， ∴∠DEH＝∠HEB＝x＋y． ∵BE平分∠ABC，且AB∥DC， ∴∠ABE＝∠EBC＝∠BEC＝y ∵∠DEH＋∠HEK＋∠KEC＝180° ∴x＋y＋x＋2y＝180°． ∴2x＋3y＝180°． ∵∠AEC＝∠HEC－∠AEH＝x＋2y－(90°－x－y) ＝3x＋2y－90°＝90°． ∴∠CEF＝90°,即CE⊥AF 根据垂线段最短，CE＜CG． ………………10分 24．（本题满分10分） 解：（1）（本小题满分4分） 当a＝1，b＝3，m＝3时， A（0，1），B（0，3），C（1，0），D（1，4）. 因为平移过程中，三角形上所有的点都做相同的平移， 所以对应点的坐标变化规律与图形的平移规律相同. 因为点A（0，1）的对应点为点D（1，4） 所以三角形ABC先向右平移1个单位长度， 再向上平移3个单位长度得到三角形DEF . …………2分 又因为B（0，3），C（1，0）， 所以E（1，6），F（0，3）， 如图所示，三角形DEF即为所求． ………………4分 （2）（本小题满分6分） 因为平移过程中，三角形上所有的点都做相同的平移， 所以对应点的坐标变化规律相同. 所以点A（0，a）平移得到点D（a，a＋3） 所以横向的平移量为a，纵向平移量为3. 又因为B（0，b）的对应点E（2m－3b，a＋5） 所以2m－3b＝a，a＋5－b＝3. ……………………6分 解得b＝a＋2，m＝2a＋3. ……………………7分 ②由①可知： 因为A（0，a），B（0，a＋2），C（－a，a）， D（a，a＋3），E（a，a＋5），F（0，a＋3） 如图，AC与ED的交点G（a，a）， 因为D，F纵坐标相同，C，G纵坐标相同，E，D横坐标相同 所以DF∥x轴，CG∥x轴，ED∥y轴 所以CG⊥ED，DG⊥DF 所以S1＝·ED·CG，S2＝·DF·DG ……………………8分 又因为C（－a，a＋3），D（a，a＋3），E（a，a＋5），F（0，a＋3） 所以ED＝yE－yD＝2，DF＝xD－xF＝a，CG＝xG－xC＝2a，DG＝yD－yG＝3， ……………………9分 所以S1＝×2×2a＝2a，S2＝·a×3＝ 所以S1＝S2 ……………………10分 25.（本题满分12分） （1）（本小题满分4分） ① 第一块至第四块的重心横坐标分别为： 25，20，15，10. …………………2分 ②根据题中信息，由第1，2，3块木块组成的整体结构的重心横坐标为 ＝20， 而20＝20. 整体的重心落在最底层木块的范围内，因此不会倒塌. …………………4分 （2）（本小题满分4分） 在均匀伸出的情况下，设上面一块木块相对于下面一块木块伸出的长度都为x， 则1—5块木块作为一个整体，其重心的横坐标为： . …………………6分 根据不倒塌的条件，则有： ≤20，………7分 解得：x≤ . 所以上面一块木块相对于下面一块木块伸出的长度x的范围为0＜x≤ . ……8分 （3）（本小题满分4分） 猜想xn与n（n≥1）的数量关系为xn＝. …………………10分 理由如下： ①当n＝2时，设伸出量为x，第1-2块木块作为一个整体，其重心的横坐标为： ， 根据不倒塌的条件，则有≤20， 解得x≤5. 所以x2＝5. ②当n＝3时，设伸出量为x，第1-3块木块作为一个整体，根据不倒塌的条件，则有： ≤20， 解得x≤， 所以x3＝. ③当n＝4时，同理可得：x4＝.. 观察一列数：20，5，，.，… 所以猜想xn＝. ………………12分 数学参考答案第5页 共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 准考证号：___________ 姓名：__________ （在此卷上答题无效） 2025—2026学年第二学期七年级期末综合练习 数 学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1.下列各图中的∠1和∠2是对顶角的是D. C. A. 图1 B. 2.下列调查中，适宜用全面调查的是 A.调查某批次灯泡的使用寿命 B.调查某批次汽车的抗撞击能力 C.了解全班同学的身高情况 D.了解福建省七年级学生的睡眠时长 3.如图1，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AC⊥AB，AE⊥BC于点E，下列线段的长表示点A到直线BC的距离的是图2 A.AB B.AE C.AC D.AD 4.如图2，直线a∥b，下列角中，与∠1相等的是 A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 图3 5.若a＜b，则下列不等关系成立的是 A.a＋3＜b＋1 B.a－2＜b－2 C.－2a＜－2b D.＞ 6.如图3，正方形ABCD的面积为6，数轴上点A的坐标为0.以点A为圆心，AB的长为半径画弧，与数轴分别交于点M，N， MN的长为 A.6 B.12 C. D.2 7.为迎接园艺博览会，某园林计划搭建一个主展馆.主展馆的一面展示墙由40根圆柱形木材构成，研究表明，当墙体构件的粗细较为一致时，会形成均匀的光影过滤网的视觉效果.供应商现有若干根符合承重要求的圆柱形木材，并按木材的直径画出了频数分布直方图，如图4所示.根据统计结果，为达到均匀的光影过滤网的视觉效果，该园林选择的木材直径r（单位：mm）的范围最适宜的是 图4 A.80≤r＜89 B.83≤r＜92 C.89≤r＜95 D.92≤r＜98图5 8.如图5，在平面直角坐标系中，若点M，N的坐标分别为（－m，m＋2），（2m，4m－2），则该平面直角坐标系的原点为 A.点A B.点B C.点C D.点D 二、填空题（本大题有8小题，共34分） 9.计算：（1）＝ ；（2）＝ ；（3）2－＝ ． 10.若点P（m，2）在第一象限内，则m的取值范围是 . 11.在足球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分.某队在一轮比赛中得到16分，设这个队胜x场，负y场，可列方程： . 12.已知m是无理数，且0＜m＜4，请写出一个符合条件的m： . 13.若x＝1是不等式ax＋2a＞3x的解，则a的取值范围是 . 14.某新能源车企随机抽取80台某型号的车载液晶屏进行测试．在特定条件下，这批液晶屏持续亮屏时长t（单位：千小时）如表一所示． 表一 分组 0.2≤t＜0.5 0.5≤t＜0.8 0.8≤t＜1.1 1.1≤t＜1.4 1.4≤t＜1.7 频数 2 3 5 48 22 该车企计划采购8万台该型号车载液晶屏，估计这批液晶屏在该特定条件下持续亮屏时长不低于1.1千小时的台数（单位：万）约为 . 15.定义：将一个图形沿着某一方向进行平移后能够与另外一个图形重合，这两个图形称为平移对称图形.图6 如图6，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接EH，EF，FG，HG ，HF交EG于点O，将正方形分成8个完全相同的三角形.三角形BEF的平移对称三角形是 ，平移的距离为 .（用图中线段表示） 16.正方形ABCD的顶点坐标分别是A(1，1)，B(2，1)，C(2，2)，D(1，2)，将正方形ABCD上每个点（a，b）都变为（am，bm），得到正方形AmBmCmDm，其中m≠0.若正方形 An＋tBn＋tCn＋tDn＋t与正方形AnBnCnDn有公共点，n，t为常数，且n≥1，则t的取值范围是 .（用含n的式子表示） 三、解答题（本大题有9小题，共84分） 17.（本题满分8分） 解方程组： 18.（本题满分12分） （1）解不等式：4(x－1)≥2＋x，并在图7的数轴上表示解集； （2）解不等式组：图7 19.（本题满分8分） 班级打算购买某款笔记本和中性笔作为奖品，奖励在绘画比赛中获奖的学生.笔记本的价格为16元/本，中性笔的价格为4元/支，该班级一共要购买20件奖品.设购买x本笔记本 （1）用含有x的代数式表示购买这些奖品的费用； （2）若购买这些奖品的费用不超过200元，那么该班级最多能买多少本笔记本？ 20.（本题满分8分） 如图8，直线AB∥CD，分别与CH交于点A，C，∠BAC的平分线AE交CD于点F，CE⊥AC. （1）若∠ACD＝60°，求∠BAE的度数； （2）G是AC上一点，连接GF，∠HAB与∠CFG互余，判断GF与CE的位置关系，并说明理由.图8 21.（本题满分8分） 某地区在“十四五”（2021—2025年）期间经济发展取得一定的成效，统计部门用横轴表示年份，用纵轴表示GDP，描出了2021—2025年期间该地区的GDP关于年份的散点，如图9所示.该地区在2021年和2025年的GDP中“第一产业” “第二产业” “第三产业” “其他产业”的占比情况如图10所示. 说明：第一产业主要指农业、林业、牧业、渔业等；第二产业主要指制造业、矿业、建筑业、电力等工业；第三产业主要指服务业，涵盖批发零售、金融、教育医疗等.图9 图10 （1）在图9中画出趋势图，标出表示2026年GDP的点，并预估该地区2026年的GDP； （2）根据上述数据，小张认为在“十四五”期间该地区大力发展第三产业，导致第一产业、第二产业、其他产业萎缩，你认同他的说法吗？通过计算，说明你判断的依据. 22.（本题满分8分） 已知a，b，c满足3a＋2b＋c＝5，2a＋b－3c＝1． （1）当c＝1时，求a，b的值； （2）若c为非负数，且m＝5a＋3b＋c，n＝a＋b＋2，判断m和n的大小关系，并说明理由. 23.（本题满分10分） 如图11，MN∥PQ，点A，D在直线MN上，将线段AD平移得到线段BC，使得点B在直线PQ上，连接CD. E是CD上一点，射线AE交PQ于点F，连接BE，∠DCQ的平分线交AF于点G，∠BEC＝∠FCG. （1）证明BE平分∠ABC； （2）∠BED的平分线EH交直线MN于点H，若∠DHE＋∠EBC＋∠AEH＝90°，试判断线段CE和CG的大小关系，并说明理由. 备用图 图11 24.（本题满分10分） 在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点坐标分别为A（0，a），B（0，b），C（－a，m－），其中a＞0，将三角形ABC平移得到三角形DEF，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，其中点D的坐标为（a，a＋3）. （1）当a＝1，b＝3，m＝3时，判断三角形ABC如何平移得到三角形DEF，并在图12中画出三角形DEF； （2）若点E的坐标为（2m－3b，a＋5）， ①求m，a的数量关系； ②记三角形CDE的面积为S1，三角形CDF的面积为S2，探究S1和S2的关系. 图12 25.（本题满分12分） 在传统建筑中，常用一种叫做“叠涩”的工艺：将石块逐层向外挑出，层层叠垒，形成屋檐、穹顶等建筑造型，该建筑工艺依靠每层石块摩擦力和控制重心位置分布维持平衡. 某实践小组将探究“叠涩”工艺作为研究主题，为了模拟搭建叠涩结构，他们准备了若干块长度为20cm且质地均匀的相同长方体木块，并查阅了资料，资料显示： ①质地均匀的长方体木块，重心位于几何体的中心，从前面看，位于长方形对角线的交点处； ②整个结构不倒塌的条件是除最底层的木块之外，其余所有木块作为一个整体的重心，必须落在最底层木块的范围内. 他们打算借助平面直角坐标系来研究叠涩结构，如图13，当只有一块木块时，重心的横坐标为＝10.如图14，将木块从上到下依次记为第1块、第2块、第3块，…，根据物理规律，整体重心的横坐标G 是各个木块重心横坐标的平均值.图15 图14 图13 （1）【探究1】叠涩结构的重心 如图15，他们用4块木块做出一个叠涩结构，若第1块相对第2块，第2块相对第3块，第3块相对第4块的伸出量都为5cm. ①分别写出这4块木块的重心横坐标； ②判断他们模拟的叠涩结构是否会倒塌，并说明理由； （2）【探究2】等距伸出的叠涩结构 若上面一块木块相对于下面一块木块伸出的长度都相同，该小组计划搭建出一个6层的叠涩结构，若该叠涩结构不倒塌，求上面一块木块相对于下面一块木块伸出的长度的取值范围； （3）【探究3】不等距伸出的叠涩结构 第1块相对于第2块的最大伸出量为x1＝10cm，第2块相对于第3块，第3块相对于第4块，…，第n块相对于第（n＋1）块的最大伸出量分别记为x2，…，xn，若每一块都以最大伸出量进行叠放，要保证模拟的叠涩结构不倒塌，试猜想xn与n的数量关系，并简要说明你提出猜想的依据. 数学试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $