精品解析：福建省厦门市集美区2024-2025学年七年级下学期数学期末考试卷

2024-2025学年第二学期七年级期末综合练习数学 （本试卷共6页，满分150分） 注意事项： 1、答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 2. 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（ ）． A. 随机选取一个班的学生 B. 随机选取一个体育队的学生 C. 在全校女生中随机选取人 D. 在全校学生中随机选取人 3. 如图，直线被直线所截，下列角中，大小与相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将线段向右平移，得到线段，连接，，，下列线段中长度为是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个不等式组的解集在数轴上表示出来的结果如图所示，则下列实数是该不等式组的解的是（ ） A. B. C. 5 D. 7. 命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”反映了直线位置关系的“传递性”，利用传递性提出下列命题： ①对于实数，如果，那么； ②对于实数，如果与互相反数，与互为相反数，那么与互为相反数； ③对于平面内的直线，如果，那么； ④对于平面内的角，如果与互余，与互余，那么与互余． 上述命题中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 2025年春节贺岁电影《哪吒之魔童闹海》自1月29日上映以来受到广泛好评，如图的统计图描述了该电影在某城市1月29日至2月3日期间的单日票房及单日票房占单日总票房的占比情况（单日总票房：在特定的一天内，所有影院放映电影所获得的票房收入总和），根据呈现出来的趋势，下列说法较为合理的是（ ） A. 1月29日至2月3日期间，1月31日的单日总票房最高 B. 1月29日至2月3日期间，单日总票房呈现先上升后下降 C. 预测2月4日，单日票房将高于9千万元 D. 预测2月4日，单日总票房将低于8千万元 二、填空题（本大题有6小题，共26分） 9 计算： （1）_____； （2）_____； （3）_____． 10. 若是关于的二元一次方程的解，则的值为_____． 11. 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元，设送件报酬为元/件，揽件报酬为元/件，根据题意，可列方程：_____． 12. 如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理：_____． 13. 如图是两艘舰艇位置示意图，舰距离舰16海里，用方向和距离描述舰相对舰的位置为_____． 14. 中国古代有一种逐位估值求算术平方根的方法，称为开方术．假设为被开方数且其算术平方根为正整数，其中为第一商，为第二商，，若算术平方根为两位数，可表示为，则．以为例： （1）分节定位：从右至左，每两位分一节得7，84； （2）求第一商：找最大正整数，使（首节），得，余； （3）降位：余数3与下一节84组合为384； （4）求第二商：找最大正整数，使，即：，得，余； （5）结果：合并商数，得． 若算术平方根为三位数，可表示为，其中为第三商．将求得的第二商的余数与下一节组合，得到组合数，找最大正整数，使，可求．根据上述算法，求64516的第二商_____，其算术平方根为_____． 三、解答题（本大题有9小题，共92分） 15. 解方程组：． 16. （1）解不等式，并在如图的数轴上表示解集； （2）解不等式组：． 17. 如图，在四边形中，射线交于点，连接，． （1）若，求的度数； （2）若，判断直线和的位置关系，并说明理由． 18. 2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》，强调落实健康第一的教育理念，实施学生体质强健计划．某中学响应号召，开展篮球比赛，以此激励学生积极参与体育运动．在其中一场篮球比赛中，七年（1）班队通过罚篮得分为10分，投进2分球和3分球共48个．如果七年（1）班队在这场比赛中总分超过110分，那么他们至少投进多少个3分球？ 19. 某校初一年学生在学期末进行体育统一测试，体育老师随机抽取了50名学生统计60秒跳绳的次数．体育老师将这部分学生60秒跳绳的次数（单位：次）分为6组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：组：，整理后绘制了图9的频数分布直方图． 请根据上述信息，解答下列问题． （1）补全如图的频数分布直方图； （2）若规定学生60秒跳绳的次数超过140次为“优秀”，该校初一年级共有650名学生，请估计初一年级达到“优秀”的学生人数． 20. 某农场有一块长、宽的长方形闲置土地，农场工作人员将这块土地划分为两块小长方形土地，分别种植两种不同的农作物．如图所示，第一次种植，工作人员过长方形土地长边上一端处，作这条边的垂线，把这块土地分成两块长方形土地，较大一块土地种植甲作物，较小一块土地种植乙作物，共计收成；第二次种植，工作人员过长方形土地长边上一端处，作这条边的垂线，把这块土地分成两块长方形土地，较小一块土地种植甲作物，较大一块土地种植乙作物，共计收成． （1）求甲、乙两种作物每平方米的产量； （2）已知第一次种植的作物全部售出后共收入2400元，若这两种作物的价格保持不变，第二次种植的作物全部售出后的收入是否有可能高于第一次？若可能，求甲作物售价的取值范围；若不可能，请说明理由． 21. 在平面直角坐标系中，正方形的3个顶点的坐标分别是． （1）在如图的平面直角坐标系中画出正方形，并直接写出点的坐标； （2）在平面直角坐标系中，二元一次方程的图象都是一条直线，直线上每个点的坐标都是这个方程的一个解．记二元一次方程的图象为直线，将正方形沿着直线进行平移，得到正方形． ①记点的坐标为，求证：； ②若点的坐标为，判断点是否有可能在正方形的内部？若可能，求的取值范围；若不可能，请说明理由． 22. 如图1，，是直线上的动点，连接，的平分线交直线于点． （1）证明：； （2）是射线上的动点，平分交直线于点，过点作交于点． ①如图2，若，于点，求的度数； ②探究在点和点的运动过程中，是否存在的情形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 23. 某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动． 【探究一】正方形纸张的对角线的长 如图1，该小组用了两个面积为的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个面积为的大正方形． （1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____； 【探究二】A型纸中的奥秘 根据国际标准，系列纸为长方形，其中A4纸的宽为．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠． 根据上述操作过程， （2）直接写出A4纸的长； （3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号） 【探究三】拓展迁移 该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸．他们用5个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长，截取该长度，画出一张型纸． （4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期七年级期末综合练习数学 （本试卷共6页，满分150分） 注意事项： 1、答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点坐标可以是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了在x轴上的点的坐标特点，在x轴上点的纵坐标为0，据此可得答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点在轴上， ∴点P的纵坐标为0， ∴四个选项中，只有B选项中的坐标符合题意， 故选；B． 2. 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（ ）． A. 随机选取一个班的学生 B. 随机选取一个体育队的学生 C. 在全校女生中随机选取人 D. 在全校学生中随机选取人 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抽样调查的知识．注意选取的样本需要有代表性和广泛性．因为抽样时要注意样本的代表性和广泛性，根据样本的代表性即可作出判断． 【详解】解：随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，抽样时要注意样本的代表性和广泛性，在全校学生中随机选取人，这些对象具有代表性和广泛性． 故选：． 3. 如图，直线被直线所截，下列角中，大小与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解；由题意得，， 故选：B． 4. 如图，将线段向右平移，得到线段，连接，，，下列线段中长度为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：由平移的性质可得， 故选：C． 5. 若，则下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原式成立，不符合题意； B、由可得，原式成立，不符合题意； C、由可得，不一定得到，原式不一定成立，符合题意； D、由可得，原式成立，不符合题意； 故选：C． 6. 一个不等式组的解集在数轴上表示出来的结果如图所示，则下列实数是该不等式组的解的是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，无理数的估算，根据数轴可得该不等式组的解集为大于等于3且小于等于4，再估算出四个实数的范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该不等式组的解集为大于等于3且小于等于4， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴只有是该不等式组的解， 故选：B． 7. 命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”反映了直线位置关系的“传递性”，利用传递性提出下列命题： ①对于实数，如果，那么； ②对于实数，如果与互为相反数，与互为相反数，那么与互为相反数； ③对于平面内的直线，如果，那么； ④对于平面内的角，如果与互余，与互余，那么与互余． 上述命题中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，实数比较大小，平行线的判定，垂线的定义，相反数的定义，同角的余角相等，判断各命题是否具有传递性，即若A与B有某关系，B与C有同样关系，则A与C必有该关系，据此求解即可． 【详解】解：实数的大小关系具有传递性．若且，则，故①是真命题． 相反数不具有传递性．若与互为相反数，则，若与互为相反数，则，则，而非与互为相反数，故②是假命题． 平面内垂直关系不具有传递性．若，则与可能平行或在同一直线上，而非垂直，故③是假命题． 互余关系不具有传递性．若与互余，与互余，则，但与未必互余（除非），故④是假命题． 综上，真命题仅①， 故选A． 8. 2025年春节贺岁电影《哪吒之魔童闹海》自1月29日上映以来受到广泛好评，如图的统计图描述了该电影在某城市1月29日至2月3日期间的单日票房及单日票房占单日总票房的占比情况（单日总票房：在特定的一天内，所有影院放映电影所获得的票房收入总和），根据呈现出来的趋势，下列说法较为合理的是（ ） A. 1月29日至2月3日期间，1月31日的单日总票房最高 B. 1月29日至2月3日期间，单日总票房呈现先上升后下降 C. 预测2月4日，单日票房将高于9千万元 D. 预测2月4日，单日总票房将低于8千万元 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，频数分布直方图，根据统计图所给的信息分别求出这6天的单日总票房即可得到答案． 【详解】解：由题意得，1月29日的总票房为千万元， 1月30日的总票房为千万元， 1月31日的总票房为千万元， 2月1日的总票房为千万元， 2月2日的总票房为千万元， 2月3日的总票房为千万元， A、∵， ∴1月29日至2月3日期间，1月29日的单日总票房最高，原说法错误，不符合题意； B、1月29日至2月3日期间，单日总票房呈下降趋势，原说法错误，不符合题意； C、预测2月4日，单日票房将低于千万元，原说法错误，不符合题意； D、预测2月4日，单日总票房将低于8千万元，原说法正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题有6小题，共26分） 9. 计算： （1）_____； （2）_____； （3）_____． 【答案】 ①. 3 ②. 4 ③. 【解析】 【分析】本题考查算术平方根和立方根，二次根式的加减，掌握平方根、立方根是解题的关键 （1）根据算术平方根的定义求解； （2）根据立方根的定义求解； （3）根据二次根式的加减求解； 【详解】（1）∵，∴； （2）∵，∴ ； （3）； 故答案为：3，4， 10. 若是关于的二元一次方程的解，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入方程，得：， 解得：； 故答案为：3． 11. 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元，设送件报酬为元/件，揽件报酬为元/件，根据题意，可列方程：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程，读懂题意，根据提议找出等量关系列出方程是解本题的关键． 根据题目中的送件数、揽件数和总报酬，建立二元一次方程即可． 【详解】根据题意得：． 故答案为：． 12. 如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理：_____． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键．根据平行线的判定解答即可． 【详解】解：依据的数学道理是：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 13. 如图是两艘舰艇的位置示意图，舰距离舰16海里，用方向和距离描述舰相对舰的位置为_____． 【答案】南偏西，海里处 【解析】 【分析】本题考查用方向角和距离表示实际位置，根据方向角的表示方法，得到舰在舰的北偏东，距离海里处，进而得到舰相对舰的位置为南偏西，距离海里处，即可． 【详解】解：由图可知：舰在舰的北偏东，海里处， ∴舰相对舰的位置为南偏西，海里处； 故答案为：南偏西，海里处 14. 中国古代有一种逐位估值求算术平方根的方法，称为开方术．假设为被开方数且其算术平方根为正整数，其中为第一商，为第二商，，若算术平方根为两位数，可表示为，则．以为例： （1）分节定位：从右至左，每两位分一节得7，84； （2）求第一商：找最大正整数，使（首节），得，余； （3）降位：余数3与下一节84组合为384； （4）求第二商：找最大正整数，使，即：，得，余； （5）结果：合并商数，得． 若算术平方根为三位数，可表示为，其中为第三商．将求得的第二商的余数与下一节组合，得到组合数，找最大正整数，使，可求．根据上述算法，求64516的第二商_____，其算术平方根为_____． 【答案】 ①. 5 ②. 254 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，一元一次不等式，根据题目所给的方法进行解答即可． 【详解】解：（1）首先对进行分节定位：从右至左，每两位分一节，得到6，45，16． （2）求第一商a：找最大正整数a，使（首节），得，余． （3）降位：余数2与下一节45组合为245． （4）求第二商b：找最大正整数b，使，即， ∴． 当时，； 当时，，所以，余． （5）继续降位：余数20与下一节16组合为2016． （6）求第三商c：此时，找最大正整数c，使，即，则． 当时，，所以． 结果：算术平方根为． ∴第二商，算术平方根为． 故答案为：5，254． 三、解答题（本大题有9小题，共92分） 15. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，直接利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：， ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴． 16. （1）解不等式，并在如图的数轴上表示解集； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的解法，求不等式组的解集，解题的关键是​数轴表示解集时，​实心点​与空心点的区别． （1） 解一元一次不等式，移项化简后表示在数轴上； （2）解不等式组，分别求各不等式解集后取公共部分。 【详解】解：（1）解不等式 ：​​， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， ​该不等式解集在数轴上表示​为： ； (2) 解不等式组 ，​ ​解不等式，得， ​解不等式。 得， ​该不等组的解集为，. 17. 如图，在四边形中，射线交于点，连接，． （1）若，求的度数； （2）若，判断直线和的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据垂直找角之间的关系，再利用角之间的关系找边之间的关系． （1）根据垂直的定义可得：，根据平角是可得：，从而可求； （2）根据直角三角形的两个锐角互余可知，根据同角的余角相等可得：，根据同位角相等，两直线平行，可证结论成立． 【小问1详解】 解：， ， ，， ． 【小问2详解】 解：， 理由如下， ， ， ， 又， ， ． 18. 2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》，强调落实健康第一的教育理念，实施学生体质强健计划．某中学响应号召，开展篮球比赛，以此激励学生积极参与体育运动．在其中一场篮球比赛中，七年（1）班队通过罚篮得分为10分，投进2分球和3分球共48个．如果七年（1）班队在这场比赛中总分超过110分，那么他们至少投进多少个3分球？ 【答案】他们至少投进5个3分球 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设他们投进了个3分球，则投进了个2分球，根据题意建立不等式，解不等式求出不等式的解集，则可得的最小正整数值，由此即可得． 【详解】解：设他们投进了个3分球，则投进了个2分球， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最小正整数值为5， 答：他们至少投进5个3分球． 19. 某校初一年学生在学期末进行体育统一测试，体育老师随机抽取了50名学生统计60秒跳绳的次数．体育老师将这部分学生60秒跳绳的次数（单位：次）分为6组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：组：，整理后绘制了图9的频数分布直方图． 请根据上述信息，解答下列问题． （1）补全如图的频数分布直方图； （2）若规定学生60秒跳绳的次数超过140次为“优秀”，该校初一年级共有650名学生，请估计初一年级达到“优秀”的学生人数． 【答案】（1）见解析 （2）195 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，读懂直方图是解题的关键． （1）求出E组的学生人数，即可补全频数分布直方图； （2）用“学生60秒跳绳的次数超过140次的人数”除以抽取学生总数，再乘以该校初一年级学生总数，即可解答． 【小问1详解】 解：E组：的人数为：（名）， 补全频数分布直方图，如图 【小问2详解】 （名）． 答：初一年达到“优秀”的学生人数有195名． 20. 某农场有一块长、宽的长方形闲置土地，农场工作人员将这块土地划分为两块小长方形土地，分别种植两种不同的农作物．如图所示，第一次种植，工作人员过长方形土地长边上一端处，作这条边的垂线，把这块土地分成两块长方形土地，较大一块土地种植甲作物，较小一块土地种植乙作物，共计收成；第二次种植，工作人员过长方形土地长边上一端处，作这条边的垂线，把这块土地分成两块长方形土地，较小一块土地种植甲作物，较大一块土地种植乙作物，共计收成． （1）求甲、乙两种作物每平方米的产量； （2）已知第一次种植的作物全部售出后共收入2400元，若这两种作物的价格保持不变，第二次种植的作物全部售出后的收入是否有可能高于第一次？若可能，求甲作物售价的取值范围；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）甲、乙两种作物每平方米的产量分别为和 （2）当时，第二次种植的作物全部售出后的收入高于第一次 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式是解题的关键： （1）设甲、乙两种作物每平方米的产量分别为，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设甲作物每千克售价为 元，乙作物每千克售价为元，根据第一次种植作物全部售出后共收入2400元，得到，得到，当第二次的费用高于2400时，得到，把代入，求出的范围，再根据，，求出的范围即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种作物每平方米的产量分别为， 由题意，得：， 解得：， 答：甲、乙两种作物每平方米的产量分别为和； 【小问2详解】 解：设甲作物每千克售价为 元，乙作物每千克售价为元， 由题意，得：， 即：， ∴， 第二次的总费用为：， 当时，则：， ∴，解得：， ∵， ∴， 又∵， ∴当时，第二次种植的作物全部售出后的收入高于第一次． 21. 在平面直角坐标系中，正方形的3个顶点的坐标分别是． （1）在如图的平面直角坐标系中画出正方形，并直接写出点的坐标； （2）在平面直角坐标系中，二元一次方程的图象都是一条直线，直线上每个点的坐标都是这个方程的一个解．记二元一次方程的图象为直线，将正方形沿着直线进行平移，得到正方形． ①记点的坐标为，求证：； ②若点的坐标为，判断点是否有可能在正方形的内部？若可能，求的取值范围；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）图见解析， （2）①见解析②存在， 【解析】 【分析】本题考查坐标与平移，解一元一次不等式组，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据题意，画出正方形，进而写出点的坐标即可； （2）①先求出点在直线上，进而得到点在直线上，将代入，即可得出结果； ②根据平移，求出，代入直线解析式，进而得到，推出，求出点落在上时，的值，求出此时的坐标，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意，画出正方形，如图所示： 由图可知：； 【小问2详解】 ①证明：∵， ∴， ∴点在直线上， ∵将正方形沿着直线进行平移，得到正方形， ∴在直线上， ∵， ∴， ∴， ∴； ②可能；∵， ∴在点上方2个单位处， ∵平移， ∴点在点上方2个单位处， ∵点的坐标为， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点落在上时，则：的纵坐标为3，此时的纵坐标为， ∴，解得：， ∴此时， ∴时，即：，点落在正方形的内部． 22. 如图1，，是直线上的动点，连接，的平分线交直线于点． （1）证明：； （2）是射线上的动点，平分交直线于点，过点作交于点． ①如图2，若，于点，求的度数； ②探究在点和点的运动过程中，是否存在的情形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）① ②存在 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质和平行线的性质即可得证； （2）①由（1）可知，再由，可得，又由于平分可得，，最后由即可求得的度数； ②先固定点E，再依据点G的运动情况进行分析角度变化趋势即可． 【小问1详解】 是的平分线， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①由（1）得， ， ， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ； ②存在的情形，理由如下： 固定点E，设，则由（1）可知， 由题意得，当点G在射线上运动到足够远时： 和均在直线上，， ，且可变得任意小， 平分，当G足够远时，趋于定角，方向稳定，且， 此时趋近于固定值， 因此，存在G的位置使， 此时，故， 故的度数的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、几何动态问题的知识，处理动态问题时可先固定一个点再根据题意分析另一个动点在极限位置时的角度变化趋势，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动． 【探究一】正方形纸张的对角线的长 如图1，该小组用了两个面积为的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个面积为的大正方形． （1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____； 【探究二】A型纸中的奥秘 根据国际标准，系列纸为长方形，其中A4纸的宽为．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠． 根据上述操作过程， （2）直接写出A4纸的长； （3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号） 【探究三】拓展迁移 该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸．他们用5个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长，截取该长度，画出一张型纸． （4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤） 【答案】（1）（2）（3）长为，宽为（4）图见解析 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，算术平方根的实际应用，熟练掌握折叠的性质，算术平方根的定义，是解题的关键： （1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长，进行求解即可； （2）根据折叠得到A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比即为：，进行求解即可； （3）纸是由纸经过4次折叠后得到的，进而得到纸的长和宽均为纸的长和宽的4倍，进行求解即可； （4）设型纸的长为，宽为，根据题意得到，得到M型纸的长为，而5个小正方形的面积恰好为，进而得到M型纸的长为5个小正方形构成的一个大正方形的边长，画图即可． 【详解】解：（1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为，即小正方形的对角线长为； 故答案为：； （2）由图可知，折叠上去的斜边正好与长方形的长相等， ∴A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比， 由（1）可知，正方形的对角线与边长的比为， ∴故A型纸的长与宽的比为， ∵纸的宽为， ∴纸长为； （3）∵纸是由纸经过4次折叠后得到的， ∴纸的长和宽均为纸的长和宽的4倍， ∵纸的长为，宽为， ∴纸的长和宽分别为和； （4）设型纸的长为，宽为， ∵该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形， ∴小长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴M型纸的长为， ∵5个小正方形的面积恰好为， ∴将5个小正方形按照如下图剪拼成一个大正方形的边长即为M型纸的长， 因此如下图即为所求： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$