精品解析：福建省龙岩市永定区2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

2025-2026学年第二学期期末质量检测 八年级数学试题 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 满分：150分） 注意：请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！本卷上答案无效 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 一次函数的图象与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，能组成直角三角形三边的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列关于正比例函数的说法中，正确的是（ ）． A. 当时， B. 它的图象是一条过原点的直线 C. y随x的增大而增大 D. 它的图象经过第一、三象限 6. 某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，名参赛学生的成绩（单位：分）依次为，，，，，，，，则这组数据的上四分位数为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 7. 如图，在正方形中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（　　） A. x＞﹣2 B. x＞0 C. x＞1 D. x＜1 9. ，两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法错误的是（） A. 甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是 B. 甲出发后被乙追上 C. 甲比乙晚到 D. 甲车行驶或，甲，乙两车相距 10. 如图， ， 以为邻边作， 连接， 则线段长为（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 计算：_______． 12. 若正比例函数的图象经过点 ，则_______． 13. 若点在一次函数图象上， 则______(填或) 14. 如图，在中，，．若是的中点，则的长为_____． 15. 《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请你帮他算一算，该田有____亩．（1亩平方步） 16. “费马问题”是法国数学家皮埃尔·德·费马在1643年提出的一个著名的几何极值问题．问题的核心是：对任意三角形，都存在一个点，使得这个点到该三角形三个顶点的距离之和最小，这个点称为费马点．当的三个内角均小于时，使得的点P即为费马点．如图，若，则的最小值是_______． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，后求值，其中． 19. 如图，在中，点在边上，，点为线段上一点，．求证：． 20. 已知一次函数的图象经过和． （1）画出该一次函数的图象． （2）若点在直线上，求的值． 21. 八年级一班邀请A、B、C、D、E五位评委对甲、乙两位同学的才艺表演打分，并组织全班50名同学对两人民意测评投票，绘制了如下的统计表和不完整的条形统计图： 五位评委的打分表 A B C D E 甲 89 91 93 94 86 乙 88 89 90 98 92 并求得了五位评委对甲同学才艺表演所打分数的平均分和中位数： ；中位数是91分． （1）五位评委对乙同学才艺表演所打分数的平均分为________，中位数为________； （2）________，并补全条形统计图； （3）为了从甲、乙二人中只选拔出一人去参加艺术节演出，班级制定了如下的选拔规则：选拔规则：选拔综合分最高的同学参加艺术节演出，其中，综合分才艺分测评分；；才艺分五位评委所打分数中去掉一个最高分和去掉一个最低分，再算平均分；测评分“好”票数分“较好”票数分“一般”票数分；当时，通过计算说明应选拔哪位同学去参加艺术节演出？ 22. 如图，在矩形中，，． （1）尺规作图：在线段上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若是的中点，连接，求线段的长度． 23. 某企业接到一批服装生产任务，要求天完成，为按时完成任务，若干天后，该企业增加了一定数量的生产工人，该企业天累计生产服装的数量为件，与之间的关系如图所示． （1）这批服装一共有________件； （2）求增加工人后与的函数表达式； （3）已知这批服装的出厂价为每件元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前天为每件元，从第天起每件的成本比原先增加了元，问：前多少天的总利润恰好为元？（利润等于出厂价减去成本） 24. 在菱形中，． （1）如图1，点E为线段的中点，连接若，求线段的长； （2）如图2，P为对角线上一点，连接，点F在上，连接与交于点T，若，求的度数； （3）如图3，M为对角线上一点（M不与A，C重合），以为边，构造如图所示等边，线段与交于点G，连接，Q为线段的中点，连接，请说明． 25. 已知，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，与直线交于点，过点作轴的平行线，点是直线上的一个动点． （1）求点，点的坐标； （2）若，求点的坐标； （3）若点是直线上的一个动点，在平面内是否存在点，使四边形是正方形?若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末质量检测 八年级数学试题 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 满分：150分） 注意：请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！本卷上答案无效 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求函数自变量的取值范围．根据二次根式的非负性列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，， 解得：， 故选：B． 2. 一次函数的图象与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，计算函数的值即可． 【详解】解：令，得， 则一次函数的图象与轴的交点坐标为 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与轴的交点：求出时的值即可得到一次函数与轴的交点坐标． 3. 下列式子计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，正确计算是解题的关键．根据二次根式的四则运算法则求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 故选：B． 4. 下列各组数中，能组成直角三角形三边的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】计算两个较短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，若相等则能组成直角三角形． 【详解】解：选项A中，∵，，，∴不能组成直角三角形； 选项B中，∵，，，∴不能组成直角三角形； 选项C中，∵，，即，∴能组成直角三角形； 选项D中，∵，，，∴不能组成直角三角形． 5. 下列关于正比例函数的说法中，正确的是（ ）． A. 当时， B. 它的图象是一条过原点的直线 C. y随x的增大而增大 D. 它的图象经过第一、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A. 当时，代入函数得，故A错误； B. 正比例函数图象必过原点，且为直线，故B正确； C. 因比例系数，随的增大而减小，故C错误； D. 当时，正比例函数图象经过第二、四象限，故D错误； 故选：B． 6. 某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，名参赛学生的成绩（单位：分）依次为，，，，，，，，则这组数据的上四分位数为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【详解】解：方法一：∵将8个成绩从小到大排序得：65，70，75，80，85，92，95，95 ． ∴上四分位数为85，92，95，95的中位数，即（分）． 方法二：∵将8个成绩从小到大排序得：65，70，75，80，85，92，95，95 ，且， ∴上四分位数为（分）． 7. 如图，在正方形中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明△OCD≌△AOE即可得点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E， 在正方形OABC中，∠AOC=90°，AO=CO， ∵∠AOC=∠CDO=90°， ∴∠COD+∠AOE=∠COD+∠OCD=90°， ∴∠OCD=∠AOE， 在△OCD和△AOE中，， ∴△OCD≌△AOE（AAS）， ∴CD=OE=1，OD=AE=， ∴C（-，1）． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8. 如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（　　） A. x＞﹣2 B. x＞0 C. x＞1 D. x＜1 【答案】C 【解析】 【详解】解：当x＞1时，x+b＞kx+4， 即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1． 故选C． 9. ，两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法错误的是（） A. 甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是 B. 甲出发后被乙追上 C. 甲比乙晚到 D. 甲车行驶或，甲，乙两车相距 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发，乙出发后追上甲，可得到乙车行驶的速度是，故A、B正确；根据图像可得当乙到达地时，甲乙相距，从而得到甲比乙晚到，故C正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达地时和当乙车到达地后可得D错误． 【详解】解：由图可得，甲车行驶的速度是， 根据图像可知：甲先出发，甲出发后被乙追上， ∴， ∴， 即乙车行驶的速度是，故A、B正确； 由图可得，当乙到达地时，甲乙相距， ∴甲比乙晚到，故C正确； 由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则， 解得； 当乙车到达地后，， 解得， ∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故D错误． 10. 如图， ， 以为邻边作， 连接， 则线段长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点O，取的中点M，连接，利用直角三角形斜边中线的性质，求出，由平行四边形的性质求得，，推出是中位线，据此求解即可． 【详解】解：连接交于点O，取的中点M，连接， 由条件可知，，， 是的中位线， ， ， ， ， ， 故选：A 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握以上知识点是关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 12. 若正比例函数的图象经过点 ，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的代入求值，掌握正比例函数的性质是解题的关键．把点代入正比例函数解析式即可求解． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 13. 若点在一次函数图象上， 则______(填或) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：由一次函数得， ， ∴随的增大而减小， 由得，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，．若是的中点，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵中，，，是的中点， ∴， 故答案为：． 15. 《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请你帮他算一算，该田有____亩．（1亩平方步） 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用方程思想求得矩形的宽是解答本题的关键． 根据勾股定理求得长方形的宽，然后由长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：设该矩形的宽为x步，则对角线为步， 由勾股定理，得， 解得， 故该矩形的面积为（平方步）（亩）． 故答案是：2． 16. “费马问题”是法国数学家皮埃尔·德·费马在1643年提出的一个著名的几何极值问题．问题的核心是：对任意三角形，都存在一个点，使得这个点到该三角形三个顶点的距离之和最小，这个点称为费马点．当的三个内角均小于时，使得的点P即为费马点．如图，若，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意找出点，再计算，和的长，可得的最小值． 【详解】解：如图， ∵， ∴是等腰三角形， 根据对称性得，费马点在的垂直平分线上， 设点为的中点，连接，则，点在上，且， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得； 在中，，即， ∴， 又， ∴， 解得：， 由对称性得：， 又， ∴ ∴的最小值是． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 18. 先化简，后求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 19. 如图，在中，点在边上，，点为线段上一点，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据四边形是平行四边形，得，，再证明，即可作答． 【详解】略 20. 已知一次函数的图象经过和． （1）画出该一次函数的图象． （2）若点在直线上，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）先描出点和，然后画出一次函数图象即可； （2）先用待定系数法求出一次函数解析式，然后将代入函数解析式求出m的值即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：的图象经过和， ， ， ， 点在直线上， ． 21. 八年级一班邀请A、B、C、D、E五位评委对甲、乙两位同学的才艺表演打分，并组织全班50名同学对两人民意测评投票，绘制了如下的统计表和不完整的条形统计图： 五位评委的打分表 A B C D E 甲 89 91 93 94 86 乙 88 89 90 98 92 并求得了五位评委对甲同学才艺表演所打分数的平均分和中位数： ；中位数是91分． （1）五位评委对乙同学才艺表演所打分数的平均分为________，中位数为________； （2）________，并补全条形统计图； （3）为了从甲、乙二人中只选拔出一人去参加艺术节演出，班级制定了如下的选拔规则：选拔规则：选拔综合分最高的同学参加艺术节演出，其中，综合分才艺分测评分；；才艺分五位评委所打分数中去掉一个最高分和去掉一个最低分，再算平均分；测评分“好”票数分“较好”票数分“一般”票数分；当时，通过计算说明应选拔哪位同学去参加艺术节演出？ 【答案】（1）91.4分；90分 （2）8； （3）解：选拔甲同学或乙同学去参加艺术节演出都可以，说明如下： 甲的才艺分（分）， 甲的测评分（分）， 甲的综合分（分）， 乙的才艺分（分）， 乙的测评分（分）， 乙的综合分（分）， ∵甲的综合分乙的综合分， ∴选拔甲同学或乙同学去参加艺术节演出都可以． 【解析】 【分析】（1）利用中位数及平均数的定义分别求解即可； （2）用样本个数减去其他小组的频数即可求得a的值，从而补全统计图； （3）分别根据打分要求确定两人的成绩，然后即可确定参选人员． 【小问1详解】 解：（分）； 乙成绩从小到大排列为：88、89、90、92、98，可知中位数是90分； 【小问2详解】 解：， 人， 补图略； 【小问3详解】 略． 22. 如图，在矩形中，，． （1）尺规作图：在线段上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若是的中点，连接，求线段的长度． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）以D为圆心长为半径画弧与相交于点E，可得，因为，所以，点E即为所求； （2）过点F作，连接,利用中位线以及勾股定理即可得出结论； 【小问1详解】 以D为圆心长为半径画弧与相交于点E，即为所求， 【小问2详解】 过点F作，连接 ∵是矩形 ∴ ∵点F是的中点 ∴ ， ∵ ∴G是的中点 ∴， ∴ ∴FG是中位线 ∴ 在中 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形性质，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键是找出等量关系构建勾股定理． 23. 某企业接到一批服装生产任务，要求天完成，为按时完成任务，若干天后，该企业增加了一定数量的生产工人，该企业天累计生产服装的数量为件，与之间的关系如图所示． （1）这批服装一共有________件； （2）求增加工人后与的函数表达式； （3）已知这批服装的出厂价为每件元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前天为每件元，从第天起每件的成本比原先增加了元，问：前多少天的总利润恰好为元？（利润等于出厂价减去成本） 【答案】（1） （2） （3）前10天 【解析】 【分析】（1）根据图象可知，这批服装一共有800件； （2）设增加工人后与的函数表达式为，把、代入解析式得到二元一次方程组，解方程组即可； （3）设前天的总利润恰好为13500元，根据题意列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：根据图象可知，这批服装一共有800件； 【小问2详解】 解：设增加工人后与的函数表达式为， 将、代入，得， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：设前天的总利润恰好为13500元． 当时，，不符合题意； 当时，， 解得， 答：前10天的总利润恰好为13500元． 24. 在菱形中，． （1）如图1，点E为线段的中点，连接若，求线段的长； （2）如图2，P为对角线上一点，连接，点F在上，连接与交于点T，若，求的度数； （3）如图3，M为对角线上一点（M不与A，C重合），以为边，构造如图所示等边，线段与交于点G，连接，Q为线段的中点，连接，请说明． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）如图1，连接对角线，先证明是等边三角形，根据是的中点，由等腰三角形三线合一得：，利用勾股定理依次求和的长； （2）根据菱形的性质，全等三角形的判定和性质定理以及等边三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明是等边三角形，再由是等边三角形，得条件证明，则，根据是的中位线，得，由等量代换可得结论． 【小问1详解】 解：如图1，连接，则平分， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图3，延长至，使，连接、， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， 即． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线、三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质和判定，本题证明是关键． 25. 已知，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，与直线交于点，过点作轴的平行线，点是直线上的一个动点． （1）求点，点的坐标； （2）若，求点的坐标； （3）若点是直线上的一个动点，在平面内是否存在点，使四边形是正方形?若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点，点 （2）或 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）分别令，求得点，点； （2）联立得出的坐标，进而根据已知条件得出，即可求得点的坐标； （3）设点、点，当为正方形时，，①点在点的左侧时，过作轴于，过作于，证明，则，，解方程组，即可求解；②当点在点的右侧时，同理可得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：令，解得， 令则，解得， 点，点 【小问2详解】 联立解得： 为 解得： 为或 【小问3详解】 存在点的坐标为或 理由如下：设点、点 当为正方形时， ①点在点的左侧时，如图， 过作轴于，过作于， ， ，． ， 则，， 即 解得：，． 为 ②当点在点的右侧时，如图， 同理可得， ∴，， 即 解得：，， 为 综上，或 【点睛】本题考查了一次函数综合问题，一次函数与坐标轴交点问题，正方形的性质，三角形面积问题，坐标与图形，熟练掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $