精品解析：四川省德阳市中江县2025-2026学年下学期八年级数学期末试卷

八年级下期数学练习题 说明： 本练习题满分150分，120分钟完成． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项：，被开方数9是能开得尽方的数，不是最简二次根式； B选项：，被开方数0.64是能开得尽方的数，且化为分数后含分母，不是最简二次根式； C选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式； D选项：的被开方数46不含分母，且，不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式． 2. 要使二次根式有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：二次根式有意义的条件是， ， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件及解不等式，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 3. 下列条件中，能判定一个三角形是直角三角形的是（ ） A. 三个角的比为 B. 三条边满足关系 C. 三条边的比为 D. 角满足关系 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定规则，已知角可计算是否存在角，已知边可利用勾股定理逆定理验证，逐一分析选项即可得出结论． 【详解】解：A选项，∵三个角的比为，三角形内角和为， ∴最大角为，没有直角，不能判定为直角三角形，不符合题意； B选项，∵三边满足，移项得，符合勾股定理逆定理， ∴能判定该三角形是直角三角形，符合题意； C选项，∵三边比为，设三边长为， ∵，， ∴，不符合勾股定理逆定理，不能判定为直角三角形，不符合题意； D选项，∵仅知道，无法确定存在的角， 例如满足条件但不是直角三角形， ∴不能判定为直角三角形，不符合题意． 4. 下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ） A. 的值随着增大而增大 B. 函数图象与轴的交点坐标为 C. 函数图象经过第一、三、四象限 D. 图象经过点 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性判断选项A，求函数与y轴的交点坐标判断选项B，根据k和b的符号判断函数图象经过的象限判断选项C，代入点的横坐标计算纵坐标验证选项D． 【详解】解：对于A，∵一次函数中，， ∴的值随的增大而减小，A错误，不符合题意； 对于B，∵当时，， ∴函数图象与轴的交点坐标为，B错误，不符合题意； 对于C，∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，C错误，不符合题意； 对于D，∵当时，， ∴图象经过点，D正确，符合题意． 5. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等． 6. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用统计量作决策，熟记平均数及方差的意义是解决问题的关键． 根据平均数和方差的意义，平均数高表示成绩好，方差小表示发挥稳定，结合表中数据，选择平均数最高且方差最小的同学即可得到答案． 【详解】解：由表中数据可知，乙和丁的平均数最高，甲和乙的方差最小， 乙同学平均数最高且方差最小， 因此选择乙， 故选：B． 7. 如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式，由题意可得，延长交轴于点，证明，得出，即，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图，延长交轴于点， 由题意可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 故选：B． 8. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则有，由题意易得，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：设，则有， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 9. 学习特殊平行四边形的判定知识后，某数学小组开展作图探究活动，尝试在平行四边形中构造菱形，分析不同作图方案的正误．在平行四边形中，，，要求在边，上分别找到点，，使四边形是菱形．数学小组给出了两种方案，下列判断正确的是（ ） 方案Ⅰ：作的垂直平分线，分别交、于点、，连接、． 方案Ⅱ：作，的平分线，分别交、于点、． A. 只有方案Ⅰ可行 B. 只有方案Ⅱ可行 C. 方案Ⅰ、Ⅱ都可行 D. 方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，线段垂直平分线与角平分线的尺规作图及菱形的判定进行求解即可． 【详解】解：方案Ⅰ：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图可知：垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 方案Ⅱ：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，的平分线分别交、于点、， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由题意无法得到该四边形的一组邻边相等，所以四边形不一定是菱形； 综上：只有方案Ⅰ可行． 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段：上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义和一次函数交点问题，先根据新定义确定变换后新图形的形状，再结合直线特点分析交点个数要求，最后列不等式求解的取值范围。 【详解】由题意知，原线段上点，， 令，即，解得． 当时，，变换点坐标为， 变换后得到线段； 当时，，变换点坐标为，可得， 变换后得到线段． 易知直线恒过点， ， 直线与y轴上的线段恒有个交点，要使直线与新图形有个交点，只需直线与x轴上的线段再有一个交点即可， 令，得直线与x轴交点横坐标，需满足， 由，可知， 解不等式，两边乘，得，即， 解不等式，两边乘，得，即， 因此的取值范围是． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡对应的位置上．） 11. 在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点到坐标轴的距离，勾股定理，解题的关键是熟知坐标系中的点的含义．根据直角坐标系内的点的坐标特点，勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， 由， 得，， 则， 故答案为：． 12. 当时，化简：________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 13. 如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点A，B，与正比例函数的图像相交于点，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握根据函数图象求解不等式解集的方法是解题的关键．将不等式变形，结合函数图象，找出一次函数图象在正比例函数图象上方（包括交点）时的取值范围． 【详解】解：不等式可变形为． 从函数图象角度看，就是一次函数的函数值不小于正比例函数的函数值时的取值． ∵两函数图象交点的横坐标为（由图象中点横坐标是 ）， ∴当时，一次函数的图象在图象上方（包括交点），此时成立 ∴ 不等式的解集是． 故答案为： ． 14. 窗棂是德阳石刻公园中极具特色的传统文化元素，常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等，其中冰裂纹窗棂以冰雪消融、万物复苏的意象，承载着美好、如意即将到来的寓意，常被雕刻在石刻艺术长廊的门窗上．图①中的窗棂是石刻公园某处冰裂纹窗棂的图案，图②是这种窗棂中的部分图案，若，则________． 【答案】335 【解析】 【分析】根据多边形的外角和进行求解即可． 【详解】解：设的邻补角为，的邻补角为，的邻补角为， ∴，， ∵， ∴， ∴． 15. 如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则则其中正确的是________． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】由题意易得，，，则有，然后可得四边形是矩形，进而根据矩形的性质、正方形的性质与判定及全等三角形的性质与判定进行排除选项即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为6， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，故①正确； ∵为的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴矩形是正方形，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上所述：正确的是①②． 三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 数学文化是数学学科的灵魂，不仅能激发学生的数学学习兴趣，更承载着人类文明的发展脉络．从《九章算术》中“方田”“粟米”的实用智慧，到笛卡尔坐标系的创立开启解析几何新时代，从祖冲之的圆周率探索到杨辉三角的规律传承，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新思维与人文底蕴，值得每一位学生去挖掘与传承．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分三组：A．，B．，C．，）下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，， 九年级名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：，，， 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级学生有人，九年级学生有人．估计该校八、九年级学生中数学文化知识为”优秀“（）的总共有多少人？ 【答案】（1），， （2）九年级更好，因为九年级的平均数、中位数及众数都更高，所以高分更多 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义进行求解即可； （2）根据题意可直接进行求解； （3）根据题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴九年级的中位数为， 八年级众数为； ，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）； 答：该校八、九年级学生中数学文化知识为”优秀“（）的总共有人． 18. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）连接，交于点，先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，则可得，再根据求解即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴互相平分， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的解析式； （2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标． 【答案】（1）y＝﹣2x+6；（2）M（3，6）或（﹣1，2）． 【解析】 【分析】（1）把点C的坐标代入y＝x＋3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式； （2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标． 【详解】解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3， ∴B（﹣3，0）， 把x＝1代入y＝x+3得y＝4， ∴C（1，4）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6； （2）AB＝3﹣（﹣3）＝6， 设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6）， MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6， 解得a＝3或a＝﹣1， ∴M（3，6）或（﹣1，2）． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键． 20. 年春晚，宇树机器人大放异彩，凭借春晚舞台一跃成为“科技顶流”．德阳市某中学深耕科创教育，开设机器人编程校本课程，计划购买A，B两种型号的机器人模型用于教学实践．据市场调查发现：购买A型机器人模型的单价比B型机器人模型的单价多元，且购进台A型机器人模型和台B型机器人模型刚好花费元． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）若学校准备再次购买A型和B型的机器人模型共台，助力校本课程升级，且购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的倍，应如何购买才能使A，B两种型号的机器人模型的购买总费用最低，并求出最低费用． 【答案】（1）A型机器人模型的单价为元，则B型机器人模型的单价为元 （2）购买A型机器人台，购买B型机器人台，购买总费用最低，最低费用为元 【解析】 【分析】（1）设A型机器人模型的单价为元，则B型机器人模型的单价为元，由题意得，然后进行求解即可； （2）设购买A型机器人台，则购买B型机器人台，购买总费用为元，由题意得，，然后根据一次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：设A型机器人模型的单价为元，则B型机器人模型的单价为元，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：A型机器人模型的单价为元，则B型机器人模型的单价为元． 【小问2详解】 解：设购买A型机器人台，则购买B型机器人台，购买总费用为元，由题意得： ，解得：， ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，购买总费用取得最小值，即为； 答：购买A型机器人台，购买B型机器人台，购买总费用最低，最低费用为元． 21. 过等腰直角三角形的直角顶点，在三角形的外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点，与交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接，求的度数； （3）求证：． 【答案】（1）证明：由轴对称的性质可知：垂直平分， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） （3）证明：在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质可知：垂直平分，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解； （3）由勾股定理可得，，然后问题可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 略 22. 平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，不论为何值时，直线：都经过轴上一定点． （1）点的坐标为____； （2）如图，当时，将线段沿某个方向平移，使得与点对应的点恰好在直线上，点对应的是点，若四边形为矩形，求出点的坐标； （3）如图，当的取值发生变化时，直线：绕着点旋转，当它与直线相交的夹角为时，把与直线的交点记为点，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）的面积为或 【解析】 【分析】（1）根据直线过定点的问题进行求解即可； （2）由题意易得点B坐标为，点C坐标为，四边形是平行四边形，要使四边形是矩形，则需满足，设，然后根据两点间距离公式及等积法可进行求解； （3）连接，过A作于H，直线l：与直线交于P，由题意易得，则是等腰直角三角形，设，然后可得，进而根据两点间距离公式可得p的值，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：∵都经过轴上一定点， ∴当时，则有， 把代入得：， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图， 在中，令得，令得， ∴点B坐标为，点C坐标为， 当时，， 根据平移的性质，可得， ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是矩形，则需满足， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设直线的直线解析式为，则有： ，解得， ∴直线的直线解析式为， 联立，解得：， ∴， ∴点是由点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得到， ∵点对应的是点， ∴点N的坐标为； 【小问3详解】 解：连接，过A作于H，直线l：与直线交于P，如图： ∵直线l与直线相交的夹角为， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由两点间的距离公式得：， 化简变形可得， 解得， ∴点P的坐标为或， ∵， ∴当时，则有； 当时，则有； 综上所述：的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下期数学练习题 说明： 本练习题满分150分，120分钟完成． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使二次根式有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，能判定一个三角形是直角三角形的是（ ） A. 三个角的比为 B. 三条边满足关系 C. 三条边的比为 D. 角满足关系 4. 下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ） A. 的值随着增大而增大 B. 函数图象与轴的交点坐标为 C. 函数图象经过第一、三、四象限 D. 图象经过点 5. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 6. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（ ） A. B. C. D. 9. 学习特殊平行四边形的判定知识后，某数学小组开展作图探究活动，尝试在平行四边形中构造菱形，分析不同作图方案的正误．在平行四边形中，，，要求在边，上分别找到点，，使四边形是菱形．数学小组给出了两种方案，下列判断正确的是（ ） 方案Ⅰ：作的垂直平分线，分别交、于点、，连接、． 方案Ⅱ：作，的平分线，分别交、于点、． A. 只有方案Ⅰ可行 B. 只有方案Ⅱ可行 C. 方案Ⅰ、Ⅱ都可行 D. 方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段：上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡对应的位置上．） 11. 在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为____． 12. 当时，化简：________． 13. 如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点A，B，与正比例函数的图像相交于点，则关于的不等式的解集为_____． 14. 窗棂是德阳石刻公园中极具特色的传统文化元素，常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等，其中冰裂纹窗棂以冰雪消融、万物复苏的意象，承载着美好、如意即将到来的寓意，常被雕刻在石刻艺术长廊的门窗上．图①中的窗棂是石刻公园某处冰裂纹窗棂的图案，图②是这种窗棂中的部分图案，若，则________． 15. 如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则则其中正确的是________． 三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 数学文化是数学学科的灵魂，不仅能激发学生的数学学习兴趣，更承载着人类文明的发展脉络．从《九章算术》中“方田”“粟米”的实用智慧，到笛卡尔坐标系的创立开启解析几何新时代，从祖冲之的圆周率探索到杨辉三角的规律传承，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新思维与人文底蕴，值得每一位学生去挖掘与传承．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分三组：A．，B．，C．，）下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，， 九年级名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：，，， 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级学生有人，九年级学生有人．估计该校八、九年级学生中数学文化知识为”优秀“（）的总共有多少人？ 18. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，，求的长． 19. 如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的解析式； （2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标． 20. 年春晚，宇树机器人大放异彩，凭借春晚舞台一跃成为“科技顶流”．德阳市某中学深耕科创教育，开设机器人编程校本课程，计划购买A，B两种型号的机器人模型用于教学实践．据市场调查发现：购买A型机器人模型的单价比B型机器人模型的单价多元，且购进台A型机器人模型和台B型机器人模型刚好花费元． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）若学校准备再次购买A型和B型的机器人模型共台，助力校本课程升级，且购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的倍，应如何购买才能使A，B两种型号的机器人模型的购买总费用最低，并求出最低费用． 21. 过等腰直角三角形的直角顶点，在三角形的外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点，与交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接，求的度数； （3）求证：． 22. 平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，不论为何值时，直线：都经过轴上一定点． （1）点的坐标为____； （2）如图，当时，将线段沿某个方向平移，使得与点对应的点恰好在直线上，点对应的是点，若四边形为矩形，求出点的坐标； （3）如图，当的取值发生变化时，直线：绕着点旋转，当它与直线相交的夹角为时，把与直线的交点记为点，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $