精品解析：重庆市八中宏帆中学校2025-2026学年人教版六年级下学期毕业学业水平自测数学试卷

重庆小升初【2026.4.19】宏八数学 一、计算题 1. 计算题。 987÷988 2008×20092009－2009×20082008 48×＋23×＋25× 二、填空题 2. 春节期间王强到外婆家拜年，看到墙上有一张如图所示的扇形贴画，王强觉得很好看，于是回家后自己也学着画了一张。如果王强用四种颜色的彩笔给这幅贴画涂色，其中每个区域只能涂一种颜色，且相邻区域的颜色不同，一共有________种涂法。 3. a、b、c、d、e这五个数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，20，50，60，100，120，300那么，这五个数中从小到大排列第2个数的平方是_______。 4. 一个口袋里装着分别写有整数1，2，3，…，135的红色卡片各一张，每张卡片上写有一个数字，且每张卡片上的数字各不相同。现在从这个口袋里任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数之和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色卡片上放回口袋里。经过若干次操作后，口袋里还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片。已知这两张红色卡片上写的数分别是19和97，那么这张黄色卡片上写的数是________。 5. 有三个连续的偶数，他们都小于2014，其中最小的数能被9整除，中间的数能被11整除，最大的数能被13整除，则最小的数为_________。 6. 在算式a÷b÷c÷d÷e÷f÷g中，任意加括号来指出运算顺序。例如（（a÷b）÷c）÷（d÷e）÷（f÷g）为其中一种方法，则所有可能添加括号的方法，一共可以得到_______种不同的运算结果。 三、解答题 7. A、B两地相距1000米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B两地间往返锻炼。乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行60米。在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距B地最近（从后面追上也算作相遇）？最近距离是多少？ 8. 如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积？ 9. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的倍。上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有的人去甲工地，其他工人到乙工地，到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做一天。上午和下午的各工作量各占一半，那么这批工人有多少人？ 10. 俄国文学家列夫·托尔斯泰的庄园里有大、小两片草地，每年秋天，农民们都要将草收割贮存起来，冬季当作牲畜的饲料，大草地的面积恰好为小草地面积的2倍。这一年有一些割草人去草地割草，上午他们都在大草地里干活，午后这些人平均分成两半，一半人继续留在大草地割草，到傍晚收工时（上、下午工作时间相同）恰好刚收割完：另一半人到小草地干活，收工时仅剩下一小块没有割完，这一小块草地恰好够一个人收割一天。工头去托尔斯泰那儿结账时，讲了上述情况，话音刚落，托尔斯泰就算出了共有多少个割草人，同学们你们能算出来吗？ 11. 从10个英语字母A、B、C、D、E、F、G、X、Y、Z中，任选5个字母组成一个“词”（字母允许重复），将所有可能的“词”按辞典顺序（即英汉辞典中英语词汇的排列顺序）排列，得到一个“词表”：AAAAA，AAAAB，AAAAC，……。，AAAAZ；AAABA，AAABB，AAABC，……，AAABZ；；ZZZZY，ZZZZZ。设位于“词”CYZGD与“词”XEFBA之间（这两个词除外）的“词”有k个，请写出“词表”中的第k个词是_________。 四、综合运用 12. 仔细观察表3，完成下列问题。 （1）小爱同学设计了一个由方格组成的圈数工具（如图1所示），在数表里圈了两组数（数表中的阴影部分）。请你从中任选一组求这6个数的和。列式并写出计算过程。 （2）如果小爱用这个圈数工具在数表中任意地圈数，请用含有字母a与b的等式表示这两个数之间的关系（与的位置如图2）。 （3）请你设计一个新的圈数工具在上面数表中圈数（圈数工具的方格与方格之间必须有连接的点或边），使它圈出的5个数之和是其中一个数（a）的5倍。在下面的方格图里画图表示，每个工具都要在相应的方格里写上a。至少设计出6种圈数工具。（与图例重复不得分。） 13. 对于各个数位上的数字均不相同的四位正整数，若千位数字的两倍与十位数字的和为7，百位数字与个位数字的和为9，则称之为“双奇数”，一个“双奇数”m＝abcd，若为整数，则称m为“整型双奇数”。 （1）求所有“整型双奇数”m的和为______。 （2）若“整型双奇数”m可以分解为x2－y2（x，y均是自然数），规定，当最小时，求F（m）的值。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆小升初【2026.4.19】宏八数学 一、计算题 1. 计算题。 987÷988 2008×20092009－2009×20082008 48×＋23×＋25× 【答案】2；； 7；； 4.86；； 0；； 8520；－35.58； ；； ；50.5 【解析】 【分析】（1）将小数化为分数，按照运算顺序计算，注意乘法分配律的逆运算可能简化过程。 （2）将带分数化为假分数，再进行除法运算，注意约分。 （3）利用乘法分配律，将48分别乘括号内的分数，简化计算。 （4）将百分数化为分数，先算括号内的减法，再算除法。 （5）统一化为小数计算，注意运算顺序。 （6）先将百分数化为分数，去括号后通分计算，最后约分。 （7）利用积的变化规律，将20092009拆分为2009×10001，将20082008拆分为2008×10001，利用乘法分配律简算。 （8）按照运算顺序，先算乘法，再算加法，注意分数的通分。 （9）利用积不变性质，将各项转化为含有公因数12.5的形式，再利用乘法分配律简算。 （10）将分数化为小数，提取公因数14.4进行简算，注意结果可能为负数。 （11）将带分数和小数化为分数或统一形式，按照先乘除后加减的顺序计算。 （12）先算小括号，再算中括号，最后算除法，注意分数与小数的互化。 （13）将每个分数拆分为1＋的形式，利用裂项相消法简算。 （14）分子利用平方差公式分组计算，分母利用等差数列求和公式计算。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）2008×20092009－2009×20082008 ＝2008×2009×10001－2009×2008×10001 ＝0 （8）48×＋23×＋25× ＝＋＋3375 ＝＋＋3375 ＝＋3375 ＝ （9） （10） （11） （12） （13） （14） 二、填空题 2. 春节期间王强到外婆家拜年，看到墙上有一张如图所示的扇形贴画，王强觉得很好看，于是回家后自己也学着画了一张。如果王强用四种颜色的彩笔给这幅贴画涂色，其中每个区域只能涂一种颜色，且相邻区域的颜色不同，一共有________种涂法。 【答案】120 【解析】 【分析】 先染相邻区域最多的中间区域，然后外围使用环形染色，中间A有4种颜色可染，剩下3种颜色进行环染5个区域，根据环形染色公式，用（a＋1）种颜色染n（n为奇数）个区域组成的环形，共有（an－a）种染法，据此可知用25－2即可求出题目中环形染色共有40种，再根据乘法原理，用4×40即可求出题目中一共有多少种染色方法。 【详解】4×（25－2） ＝4×（32－2） ＝4×30 ＝120（种） 一共有120种涂法。 【点睛】解答本题的关键是掌握环形染色公式，当n为奇数时，环形染色方法有（an－a）种，当n为偶数时，环形染色方法有（an＋a）种。 3. a、b、c、d、e这五个数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，20，50，60，100，120，300那么，这五个数中从小到大排列第2个数的平方是_______。 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查数的推理。可以先设五个数满足a＜b＜c＜d＜e，那么最小的乘积一定是最小两数相乘：ab＝3；第二小的乘积是ac＝6；最大的乘积一定是最大两数相乘：de＝300；第二大的乘积是ce＝120。得出a，c，d，e与b的关系，分别是，，，，这样列出其他乘积：，，……，寻找其他乘积与的关系即可求出，即这五个数中从小到大排列第2个数的平方。 【详解】设a＜b＜c＜d＜e，则ab＝3，ac＝6，ce＝120，de＝300。 由，两式相除得，即，得c＝2b，且。 由，两式相除得，即，得，且。 则其他6个积可以表示为： 可得比例关系 对比15，18，20，50，60，100这6个积与上面式子的关系有：，所以，得。 4. 一个口袋里装着分别写有整数1，2，3，…，135的红色卡片各一张，每张卡片上写有一个数字，且每张卡片上的数字各不相同。现在从这个口袋里任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数之和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色卡片上放回口袋里。经过若干次操作后，口袋里还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片。已知这两张红色卡片上写的数分别是19和97，那么这张黄色卡片上写的数是________。 【答案】3 【解析】 【分析】因为每次若干个数，进行了若干次，所以比较难把握，不妨从整体考虑，之前先退到简单的情况分析：假设有2个数20和30，它们的和除以17得到黄卡片数为16，如果分开算分别为3和13，再把3和13求和除以17仍得黄卡片数16，也就是说不管几个数相加，总和除以17的余数不变，回到题目，解决问题。根据题意可知，红色所有卡片数字之和（19、97除外）除以17的余数是最后一张黄色卡片上的余数，且余数小于17，据此用除法解答。 【详解】（1＋2＋3＋…＋135－19－97）÷17 ＝[（1＋135）×135÷2－19－97]÷17 ＝[136×135÷2－19－97]÷17 ＝[9180－19－97]÷17 ＝9064÷17 ＝533……3 又黄色卡片上的数在0~16之间，所以黄色卡片上的数是3。 【点睛】此题解答的关键在于从整体考虑，从简单的情况分析求解。 5. 有三个连续的偶数，他们都小于2014，其中最小的数能被9整除，中间的数能被11整除，最大的数能被13整除，则最小的数为_________。 【答案】1296 【解析】 【分析】设最大数为n，这三个数的连续的偶数，中间的数是（n－2），最小的数是（n－4），因为最大的数能被13整除，则n÷13……0；因为（n－2）能被11整除，根据余数的定理，n÷11……2，同理 n÷9……4，很容易发现n最小为13，所以n＝[9，11，13]k＋13＝1287k＋13，故最小的偶数为1287＋13－4＝1296。 【详解】9×11×13＝1287 1287＋9＝1296，能被9整除； 1287＋11＝1298，能被11整除； 1287＋13＝1300，能被13整除。 则最小的数为1296。 【点睛】中国的剩余定理：一个数除以其他的几个除数的余数各不相同，先找出这个数最小的数是多少，再找出这三个数的最小公倍数，即这个数可以是最小公倍数的倍数加上最小的数。 例：一个是被3除余2，被5除余3，被7除余2，最小的数的23。，则这个数＝105k＋23 6. 在算式a÷b÷c÷d÷e÷f÷g中，任意加括号来指出运算顺序。例如（（a÷b）÷c）÷（d÷e）÷（f÷g）为其中一种方法，则所有可能添加括号的方法，一共可以得到_______种不同的运算结果。 【答案】32 【解析】 【分析】在算式a÷b÷c÷d÷e÷f÷g中，加括号会改变除号后面的运算符号，每次改变运算符号运算结果都不同，不管在哪里加括号a÷b是个定值，只需考虑c、d、e、f、g前面符号的变化，它们每个都只有乘除2种符号，用乘法计算可得总数。 【详解】2×2×2×2×2 ＝4×2×2×2 ＝8×2×2 ＝16×2 ＝32（种） 三、解答题 7. A、B两地相距1000米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B两地间往返锻炼。乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行60米。在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距B地最近（从后面追上也算作相遇）？最近距离是多少？ 【答案】第3次；米 【解析】 【分析】先用速度和乘时间求出两人30分钟一共走的总路程。利用路程和÷速度和求迎面相遇时间，路程差÷速度差求追及相遇时间，算出每一次相遇的时刻，把超过30分钟的舍去。再用速度×时间算出甲走过的路程，结合全程求出相遇点到B地的距离，最后对比所有距离，找到最近的位置。 【详解】速度和：150＋60＝210（米/分） 速度差：150－60＝90（米/分） 第1次相遇： 时间：1000÷210＝（分） 甲路程：60×＝（米） 距B地：1000－＝（米） 第2次相遇： 时间：1000÷90＝（分） 甲路程：60×＝（米） 距B地：1000－＝（米） 第3次相遇： 时间：3000÷210＝（分） 甲路程：60×＝（米） 距B地：1000－＝（米） 第4次相遇： 时间：5000÷210＝（分） 甲路程：60×＝（米） 距B地：－1000＝（米） 下一次相遇： 时间：3000÷90＝（分） ＞30，超出时间限制，舍去。 比较大小：＜＜＜ 答：第3次相遇距离B地最近，距离为米。 8. 如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积？ 【答案】100平方厘米 【解析】 【分析】连接BD、EG和FK，如图，则BD∥EG∥FK，根据平行线之间的垂线段相等可知，三角形EGD与三角形BEG等底等高，则这两个三角形的面积相等，又因三角形GEQ是二者的公共部分，它们都去掉三角形GEQ，则剩余部分的面积仍然相等，即三角形QGD与三角形BEQ面积相等；同样的办法可以推出，三角形GFK与三角形EFK的面积相等，去掉公共部分三角形OKF，则三角形EKO与三角形GOF的面积相等，于是阴影部分就全部转化到了正方形BEFG中，即阴影部分的面积就等于正方形BEFG的面积，于是利用正方形的面积公式即可求解。 【详解】据分析可得：10×10＝100（平方厘米） 答：阴影部分的面积是100平方厘米。 【点睛】此题难度较大，推出阴影部分的面积就是等于正方形BEFG的面积，是解答本题的关键。 9. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的倍。上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有的人去甲工地，其他工人到乙工地，到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做一天。上午和下午的各工作量各占一半，那么这批工人有多少人？ 【答案】36人 【解析】 【分析】题目本身比较复杂，涉及的“量”与“关系”比较多，然而解题的关键在于抓住“甲工地的工作做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天”找到乙工地剩余工作量相当于甲工地的几分之几。 【详解】根据上午去甲工地人数是去乙工地人数的3倍，可知上午去甲工地人数是这批工人的，去乙工地人数是这批工人的。又下午去甲工地人数是这批工人，可知去乙工地人数是这批工人的。 由此可知，甲工地上午、下午所完成的工作量之比是，即上午完成甲工地总工作量的，下午完成甲工地总工作量的。这样，上午乙工地完成的工作量相当于甲工地的，下午乙工地完成的工作量相当于甲工地的，这样乙工地剩余的工作量相当于甲工地的。 因为乙工地剩下的工作量还需要4名工人再做1天，所以这批工人数是： （人） 答：这批工人有36人。 10. 俄国文学家列夫·托尔斯泰的庄园里有大、小两片草地，每年秋天，农民们都要将草收割贮存起来，冬季当作牲畜的饲料，大草地的面积恰好为小草地面积的2倍。这一年有一些割草人去草地割草，上午他们都在大草地里干活，午后这些人平均分成两半，一半人继续留在大草地割草，到傍晚收工时（上、下午工作时间相同）恰好刚收割完：另一半人到小草地干活，收工时仅剩下一小块没有割完，这一小块草地恰好够一个人收割一天。工头去托尔斯泰那儿结账时，讲了上述情况，话音刚落，托尔斯泰就算出了共有多少个割草人，同学们你们能算出来吗？ 【答案】8个 【解析】 【分析】设半组人半天的割草量为1份，则全组人半天的割草量为2份；所以，在大草地上的割草量为1＋2＝3份；因为大草地的面积是小草地面积的2倍，因此小草地上的总割草量为3÷2＝1.5份；在这1.5份中有半组人半天割草量1份，则剩下0.5份就是由一个人1天完成，也就是一个人半天完成0.25份；已知全组人半天的割草量为2份，用2份除以一个人半天完成0.25份，就可以计算出总人数。 【详解】解：设半组人半天的割草量为1份，则全组人半天的割草量为：1×2＝2（份）； 大草地的割草量：2＋1＝3（份），小草地的割草量：3÷2＝1.5（份）； 小草地剩余的割草量：1.5－1＝0.5（份），即1人1天的工作量； 1人半天的工作量：0.5÷2＝0.25（份）； 割草总人数：2÷0.25＝8（人） 答：共有8个割草人。 11. 从10个英语字母A、B、C、D、E、F、G、X、Y、Z中，任选5个字母组成一个“词”（字母允许重复），将所有可能的“词”按辞典顺序（即英汉辞典中英语词汇的排列顺序）排列，得到一个“词表”：AAAAA，AAAAB，AAAAC，……。，AAAAZ；AAABA，AAABB，AAABC，……，AAABZ；；ZZZZY，ZZZZZ。设位于“词”CYZGD与“词”XEFBA之间（这两个词除外）的“词”有k个，请写出“词表”中的第k个词是_________。 【答案】EFFEF 【解析】 【分析】将字母A到Z依次对应数字0到9，5个字母组成一个词，把这个词看作五位数；词表第一个词AAAAA对应的数就是00000，可知第一个词对应数值是0，因此词的序号等于对应数值加1；要求k值，计算两个词序号的差，再减去1（因为不包含这两个词本身），得到k。根据求得的k值，确定第k个词对应的数值，再将数值还原为字母。 【详解】10个字母，按辞典顺序排列为：A、B、C、D、E、F、G、X、Y、Z。 将这10个字母依次对应数字0至9，对应关系如下： A，B，C，D，E，F，G，X，Y，Z。 此时，每个词对应一个五位数。例如，AAAAA对应，它是词表中的第1个词，因此，词的序号＝对应数值＋1。 对于CYZGD，C对应2，Y对应8，Z对应9，G对应6，D对应3，组成的数值为28963，该词的序号为：28963＋1＝28964； 对于XEFBA，X对应7，E对应4，F对应5，B对应1，A对应0，组成的数值为74510，该词的序号为：74510＋1＝74511； k为位于这两个词之间（不含这两个词）的词的个数：， 词表中的第45546个词，该词对应的数值为：， 将数值为45545的每一位数字还原为字母：万位E，千位F，百位F，十位E，个位F，所以，第k个词是EFFEF。 四、综合运用 12. 仔细观察表3，完成下列问题。 （1）小爱同学设计了一个由方格组成的圈数工具（如图1所示），在数表里圈了两组数（数表中的阴影部分）。请你从中任选一组求这6个数的和。列式并写出计算过程。 （2）如果小爱用这个圈数工具在数表中任意地圈数，请用含有字母a与b的等式表示这两个数之间的关系（与的位置如图2）。 （3）请你设计一个新的圈数工具在上面数表中圈数（圈数工具的方格与方格之间必须有连接的点或边），使它圈出的5个数之和是其中一个数（a）的5倍。在下面的方格图里画图表示，每个工具都要在相应的方格里写上a。至少设计出6种圈数工具。（与图例重复不得分。） 【答案】（1）3＋12＋13＋21＋22＋23 ＝28＋21＋22＋23 ＝49＋22＋23 ＝71＋23 ＝94 （2）b＝a＋11 （3）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据数表中数的排列规律以及图1中所圈数的关系，如果最上层的这个数为3，则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23。求这6个数的和即可。 （2）根据数表中数的排列规律及a、b的位置关系可知：b＝a＋11。 （3）根据题意找到符合题意的圈数工具，完成作图即可。 【小问1详解】 如果最上层的这个数为3，则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23，这6个数的和为： 3＋12＋13＋21＋22＋23 ＝28＋21＋22＋23 ＝49＋22＋23 ＝71＋23 ＝94 答：这六个数的和为94。（答案不唯一） 【小问2详解】 根据分析可知：b＝a＋11 【小问3详解】 略 13. 对于各个数位上的数字均不相同的四位正整数，若千位数字的两倍与十位数字的和为7，百位数字与个位数字的和为9，则称之为“双奇数”，一个“双奇数”m＝abcd，若为整数，则称m为“整型双奇数”。 （1）求所有“整型双奇数”m的和为______。 （2）若“整型双奇数”m可以分解为x2－y2（x，y均是自然数），规定，当最小时，求F（m）的值。 【答案】（1）4276 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“双奇数”的定义，千位数字与十位数字满足，百位数字与个位数字满足。利用的取值范围确定和的可能情况，再结合为整数这一条件，推导出与25的倍数关系，从而筛选出符合各位数字均不相同的“整型双奇数”，最后求和。 （2）利用平方差公式的逆运算思想，将分解为与的乘积。要使最小，需使分母尽可能大，分子尽可能小。通过比较符合条件的数的分解情况，确定和的值，进而求出。 【小问1详解】 设这个四位正整数的千位、百位、十位、个位数字分别为、、、。 根据题意可得：，。 因为是千位数字，所以，且是数位上的数字，。 由，可知，即，所以可以取、、。 当时，； 当时，； 当时，。 又因为为整数，将，代入式子中： 要使结果为整数，必须是25的因数。 25的因数有1、5、25。 因为，，且，，所以最大为12，故只能取1或5。 情况一：当时。 因为，所以，。 此时，。 数字为1059，各位数字均不相同，符合题意。 情况二：当时。 若，则。此时，。数字为1455，个位与十位数字相同，不符合题意，舍去。 若，则。此时，。数字为2336，百位与十位数字相同，不符合题意，舍去。 若，则。此时，。数字为3217，各位数字均不相同，符合题意。 综上所述，符合条件的“整型双奇数”有1059和3217。 它们的和为： 1059＋3217＝4276 【小问2详解】 由题意知。 令，，则，且。 因为、均是自然数，且为正整数，所以。 要使最小，则应尽可能小，应尽可能大。 对于： 。 当，时，； 当，时，。 对于： 3217只能分解为1×3217。 当，时，。 比较、和的大小： 最小。 所以当时，取得最小值。 此时，。 两式相加得：，解得。 两式相减得：，解得。 所以 答：的值为。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $