精品解析：福建省宁德市2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

2025−2026学年度第二学期七年级期末考试 数学试题 （满分：100分；考试时间：90分钟） 友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 以下是我国自主研发的人工智能大模型图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. 盘古 B. 豆包 C. D. 千问 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 石墨烯是材料界备受瞩目的新兴材料．如图是二维石墨烯的晶格结构，已知石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将数据用科学记数法表示为． 3. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 今天下雨，明天还下雨 B. 将铁块投入水中，铁块下沉 C. 明天的太阳从西边升起 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上 【答案】C 【解析】 【详解】不可能事件是一定条件下一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，必然事件是一定条件下一定发生的事件． 选项A，今天下雨，明天可能下雨也可能不下雨，属于随机事件，不符合要求； 选项B，铁块密度大于水，投入水中一定下沉，属于必然事件，不符合要求； 选项C，太阳始终从东边升起，明天太阳从西边升起一定不会发生，属于不可能事件，符合要求； 选项D，抛掷一枚硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求． 4. 已知三角形两边长分别是和，那么第三边的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合选项选出符合要求的答案． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得 观察选项，只有符合取值范围． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A、，A计算错误； 选项B、，∴ B计算错误； 选项C、和不是同类项，不能合并，C计算错误； 选项D、，D计算正确． 6. 为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形的稳定性 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定斜拉木条后木框形成的新的几何图形．因为钉斜拉木条的目的是防止木框变形，即提升结构的稳定性，所以对应寻找该几何图形的相关性质，匹配选项中对应的几何原理． 【详解】解：A选项、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据． B选项、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据． C选项、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形． D选项、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据． 7. 如图，直线，被所截，若要添加一个条件使得，则可以添加的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理判断即可． 【详解】选项A，为同位角，不一定能使得，不符合题意； 选项B，为邻补角，不一定能使得，不符合题意； 选项C，是同位角，，，不一定能得到，不一定能使得，不符合题意； 选项D，为同位角，， ，符合题意． 8. 如图，在四边形中，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离等于 B. 点到直线的距离等于 C. 点到直线的距离等于 D. 点到直线的距离等于 【答案】A 【解析】 【分析】明确点到直线的距离定义：从直线外一点向直线作垂线，该点与垂足间的线段长度即为点到直线的距离．结合已知垂直条件，判断的长度是否为对应点到直线的距离。对其余选项，结合已知的、等条件，逐一判断各选项描述的距离是否等于对应已知边长． 【详解】选项A：∵， ∴就是点到直线的垂线段， ∵， ∴点到直线的距离等于3， A说法正确． 选项B：题目没有给出，点到直线的垂线段不是， 无法确定距离为3， B错误． 选项C：由可知，点到直线的距离是的长度，不是的长度5， C错误． 选项D：仅已知，没有给出，点到直线的距离不是的长度5， D错误． 9. 如图，小明利用尺规作，在作图过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由作法易得，， 在和中， ， ，即选项B符合题意． 10. 在弹性限度内，下表呈现了某种弹簧长度与所挂物体质量关系的一组数据，根据表格估计当弹簧长度为时，所挂物体质量可能为（ ） 所挂物体质量（） 弹簧长度（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由表格数据可知弹簧长度y与所挂物体质量x符合一次函数关系，设出一次函数解析式，代入数据求出解析式，再将代入即可求出对应x的值． 【详解】解：由表格可知，所挂物体质量每增加，弹簧长度增加，故弹簧长度y与所挂物体质量x符合一次函数关系, 设y与x的函数解析式为 ∵由表格可知时；时 ∴可得方程组 . 解得. ∴函数解析式为. 把代入解析式得：. 解得 ∴所挂物体质量为． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，满分分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是零指数幂，解题关键是熟练掌握零指数幂． 零指数幂法则：任何一个不等于零的数的零次幂都等于，据此即可得解． 【详解】解：根据零指数幂可得：． 故答案为：． 12. 在直角中，，，则________°． 【答案】50 【解析】 【分析】根据直角三角形有一个内角为，结合已知条件分类讨论，排除不符合的情况，即可求解． 【详解】解：是直角三角形， 有一个内角为， 分三种情况讨论： 若， 则， 满足，符合题意； 若，与已知矛盾，舍去； 若，与已知矛盾，舍去； 综上，． 13. 如图是一款便携折叠椅及它的侧面示意图，折叠椅椅脚，交于点，且点是，的中点．若上方椅面宽度，则椅脚底部的宽度是________． 【答案】26 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵点是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 一个不透明的布袋中共有个球，它们除颜色外其余均相同．已知从中随机摸出个球，摸到红球的概率为，则布袋中红球的个数是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据概率计算公式，摸到红球的概率等于红球个数除以球的总个数，代入已知条件即可计算出红球个数． 【详解】解：设布袋中红球的个数为， 由题意得，球的总个数为，摸到红球的概率为 根据概率公式可得，解得 ∴布袋中红球的个数是． 15. 如图，将大正方形分成个部分，分别用两种方法求大正方形的面积，可以得到等式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， ∴可以得到等式：． 16. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是直线上一个动点，若周长的最小值是，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】将的周长转化为的形式，从而求出的长，再利用三角形三边关系确定最大值即可．　 【详解】如图，连接， 是的垂直平分线， ， 的周长为：， 长度是定值， 要使的周长最小，即的值最小， 根据两点之间，线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度，为， 周长的最小值为：， 则， 根据三角形任意两边之差小于第三边，可得， 当，，三点共线时，取得最大值， 即的最大值是． 三、解答题（本大题共题，满分分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 请将下面的说理过程和理由补充完整，其中括号中填写说理依据． 如图，在中，，点在上，，，．说明：． 解：因为，（已知） 所以① ．（② ） 因为，（已知） 所以．（等量代换） 因为，（已知） 所以③ ． 因为，（已知） 所以④ ． 所以．（⑤ ） 【答案】①；②两直线平行，内错角相等；③；④； ⑤同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定完成填空即可求解． 【详解】解：因为，（已知） 所以．（两直线平行，内错角相等） 因为，（已知） 所以．（等量代换） 因为，（已知） 所以． 因为，（已知） 所以． 所以．（同旁内角互补，两直线平行） 19. 城市某路口有四个车道：号为左转专用道、号为可变车道、号为直行道、号为右转专用道．其中号可变车道的导向设置规则是：当左转车流量较大时，设置为左转车道；当直行车流量较大时，设置为直行车道．下图记录了某工作日期间，左转车流量和直行车流量随时间变化的情况．请根据图象填空． （1）上图反映的是左转车流量、直行车流量和时间之间的关系，其中自变量是 ； （2）直行车流量在时是 辆/分，在 时左右达到最大车流量；在期间，直行车流量在 （填“上升”或“下降”）； （3）根据号可变车道的导向设置规则，在时，号车道应设置为 （填“左转”或“直行”）； （4）在之后，号车道第二次变更行驶方向的时间大约是 时． 【答案】（1）时间 （2），，上升 （3）直行 （4） 【解析】 【分析】（1）根据自变量的定义求解； （2）根据图象求解即可； （3）由图象得，在时，直行车流量大于左转车流量，然后根据号可变车道的导向设置规则求解即可； （4）由左转和直行车流量图象的第二个交点判断即可． 【小问1详解】 解：由图象得，自变量是时间； 【小问2详解】 解：直行车流量在时是10辆/分，在时左右达到最大车流量；在期间，直行车流量在上升； 【小问3详解】 解：由图象得，在时，直行车流量大于左转车流量， ∴号车道应设置为直行； 【小问4详解】 解：由图象得，在时，左转车流量大于直行车流量， ∴号车道为左转， 在之后，直行车流量开始大于左转车流量，此时第一次变更行驶方向； 在之后，左转车流量开始大于直行车流量，此时第二次变更行驶方向． 20. 某乒乓球机器人训练系统将标准球台虚拟划分为个面积相等的小方格，其中：刁钻落点区占个小方格，常规落点区占个小方格，易接落点区占个小方格．机器人发球时可选择不同模式． （1）教练为新手小明设置“全台不定点”模式：每次发球的落点随机分布在球台上，且落在每个小方格的可能性相同．求一次发球落在刁钻落点区的概率． （2）教练为高手小强设置“个性化训练”模式：发球落点非均匀分布．小强在训练中前个球落在刁钻落点区，第个球落在常规落点区，问第个球落在刁钻落点区的可能性是否一定比落在常规落点区大？请说明理由． 【答案】（1） （2）不是（不一定）．理由是：仅根据前次极少的发球试验结果，无法反映事件发生的概率，因此第个球落在刁钻落点区的可能性不一定比常规落点区大 【解析】 【分析】（1）根据等可能条件下概率公式，用刁钻落点小方格数量除以总方格数量，直接计算对应概率； （2）明确单次、少量试验得到的落点结果属于频率，频率不能代表事件发生的理论概率，据此判断可能性大小关系并说明理由． 【小问1详解】 解：球台共划分个面积相等的小方格，乒乓球落在每个方格的可能性相同，其中刁钻落点区有个小方格， 所以（刁钻落点区）， 答：一次发球落在刁钻落点区的概率是． 【小问2详解】 略 21. 七巧板是中国古代一种几何与艺术相结合的益智玩具．活动课上，老师要求大家模仿七巧板设计一款专属于自己的“五巧板”：将一个正方形分割成五个小块，并用这副“五巧板”拼接图案． （1）如图，小颖设计了一款她的专属“五巧板”．其中，点，分别为正方形边，的中点，点为的中点． （注：在正方形中，，） ①请说明：； ②小颖用她的专属“五巧板”拼成了如图所示的五边形．请在图中画出拼接示意图：用直尺画出分割线（线条清晰的实线），并按与图的对应关系给五个小块标上相同序号． （2）请在图的正方形中，设计一款你的专属“五巧板”，并用该“五巧板”，在空白方格中拼一个轴对称的五边形或六边形，要求“五巧板”的五个小块全部用上，拼出的图形无重叠、无空隙，且为封闭的凸多边形．（注：所拼成的多边形不能与图的五边形全等） 【答案】（1）①证明：如图， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 拼接示意图如图所示： （2）如图（答案不唯一）： 【解析】 【分析】（1）①容易证明，因此； ②将图1中的五巧板按照尺寸重新拼接即可； （2）先用格点线分割正方形，再拼接成五边形或六边形即可． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 22. 对于整数和，如果是的倍数，则称与是一组“倍准平方和数对”．例如：因为，且是的倍数，所以和是一组“倍准平方和数对”． （1）根据定义判断：整数和① 一组“倍准平方和数对”，整数和② 一组“倍准平方和数对”；（在①，②处填“是”或“不是”） （2）小明猜想：如果和是一组“倍准平方和数对”，那么和也是一组“倍准平方和数对”；请将下面小明的说理过程补充完整： 理由如下： 因为和是一组“倍准平方和数对”， 所以存在整数，使得． 因为 ③ ． 因为是整数，所以是④ 的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”． （3）若与是一组“倍准平方和数对”，请你说明：和也是一组“倍准平方和数对” 【答案】（1）①不是，②是 （2）③，④ （3）证法：∵和是一组“倍准平方和数对”， ∴存在整数，使得； ∵， ， ， ， ， ， 又因为，，为整数， 所以是的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”． 证法：∵和是一组“倍准平方和数对”， ∴存在整数，使得； ∴， ∵， ， ， ， 又因为，，为整数， 所以是的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”． 【解析】 【分析】（1）根据“倍准平方和数对”的定义，将两组整数分别代入求解，看是否满足“倍准平方和数对”的定义即可求解； （2）利用等量代换即可求解； （3）模仿小问（2）的求解过程即可求解， 【小问1详解】 解：根据“倍准平方和数对”的定义， ， 不是的倍数， ∴整数和不是一组“倍准平方和数对”； ∵， 是的倍数， ∴整数和是一组“倍准平方和数对”； 【小问2详解】 证明：因为和是一组“倍准平方和数对”， ∴存在整数，使得． 因为 ． 因为是整数，所以是的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”． 【小问3详解】 证明：见答案 23. 如图，在长方形中，，点是的中点，点在边上，将沿折叠，使得点的对应点落在边上，得到．再将四边形沿折叠，得四边形，交于点．连接，．（注：在长方形中，，） （1）说明：平分； （2）说明：； （3）探究与的关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵沿折叠得， ∴． ∵点是中点， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴平分． （2）证法：如图，延长交于点． 由折叠可知，关于对称， ∴，． ∴，． ∵， ∴． 由（1）得． 又∵， ∴． ∴． ∴ 证法：如图，延长至点，使得，连接，． ∵， 由线段垂直平分线的性质得． 由“三线合一”得． ∴ 由折叠得，， ∴，． 由（1）知， ∴． ∴． ∴ （3）． 证法：由（1）可设，则． ∵， ∴． ∴． 由折叠可知， ∴ ． ∵沿折叠得到， ∴． ∴． ∴． 证法：∵沿折叠得， ∴． ∴， ． ∵四边形折叠得四边形， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再由折叠确定，利用等边对等角及平行线的性质得出，即可证明； （2）方法一：延长交于点．根据轴对称得出，，再根据全等三角形的判定和性质得出，，即可证明；方法二：延长至点，使得，连接，，根据线段垂直平分线的性质得出，确定，再由全等三角形的判定和性质得出，即可证明； （3）方法一：设，则，根据题意得出，，然后结合图形求解即可；方法二：根据折叠得出，确定，，利用平行线的判定和性质即可得出结果． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度第二学期七年级期末考试 数学试题 （满分：100分；考试时间：90分钟） 友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 以下是我国自主研发的人工智能大模型图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. 盘古 B. 豆包 C. D. 千问 2. 石墨烯是材料界备受瞩目的新兴材料．如图是二维石墨烯的晶格结构，已知石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 今天下雨，明天还下雨 B. 将铁块投入水中，铁块下沉 C. 明天的太阳从西边升起 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上 4. 已知三角形两边长分别是和，那么第三边的长可以是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形的稳定性 D. 三角形两边之和大于第三边 7. 如图，直线，被所截，若要添加一个条件使得，则可以添加的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离等于 B. 点到直线的距离等于 C. 点到直线的距离等于 D. 点到直线的距离等于 9. 如图，小明利用尺规作，在作图过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 10. 在弹性限度内，下表呈现了某种弹簧长度与所挂物体质量关系的一组数据，根据表格估计当弹簧长度为时，所挂物体质量可能为（ ） 所挂物体质量（） 弹簧长度（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共小题，每小题分，满分分） 11. 计算：______． 12. 在直角中，，，则________°． 13. 如图是一款便携折叠椅及它的侧面示意图，折叠椅椅脚，交于点，且点是，的中点．若上方椅面宽度，则椅脚底部的宽度是________． 14. 一个不透明的布袋中共有个球，它们除颜色外其余均相同．已知从中随机摸出个球，摸到红球的概率为，则布袋中红球的个数是________． 15. 如图，将大正方形分成个部分，分别用两种方法求大正方形的面积，可以得到等式：________． 16. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是直线上一个动点，若周长的最小值是，则的最大值是________． 三、解答题（本大题共题，满分分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 请将下面的说理过程和理由补充完整，其中括号中填写说理依据． 如图，在中，，点在上，，，．说明：． 解：因为，（已知） 所以① ．（② ） 因为，（已知） 所以．（等量代换） 因为，（已知） 所以③ ． 因为，（已知） 所以④ ． 所以．（⑤ ） 19. 城市某路口有四个车道：号为左转专用道、号为可变车道、号为直行道、号为右转专用道．其中号可变车道的导向设置规则是：当左转车流量较大时，设置为左转车道；当直行车流量较大时，设置为直行车道．下图记录了某工作日期间，左转车流量和直行车流量随时间变化的情况．请根据图象填空． （1）上图反映的是左转车流量、直行车流量和时间之间的关系，其中自变量是 ； （2）直行车流量在时是 辆/分，在 时左右达到最大车流量；在期间，直行车流量在 （填“上升”或“下降”）； （3）根据号可变车道的导向设置规则，在时，号车道应设置为 （填“左转”或“直行”）； （4）在之后，号车道第二次变更行驶方向的时间大约是 时． 20. 某乒乓球机器人训练系统将标准球台虚拟划分为个面积相等的小方格，其中：刁钻落点区占个小方格，常规落点区占个小方格，易接落点区占个小方格．机器人发球时可选择不同模式． （1）教练为新手小明设置“全台不定点”模式：每次发球的落点随机分布在球台上，且落在每个小方格的可能性相同．求一次发球落在刁钻落点区的概率． （2）教练为高手小强设置“个性化训练”模式：发球落点非均匀分布．小强在训练中前个球落在刁钻落点区，第个球落在常规落点区，问第个球落在刁钻落点区的可能性是否一定比落在常规落点区大？请说明理由． 21. 七巧板是中国古代一种几何与艺术相结合的益智玩具．活动课上，老师要求大家模仿七巧板设计一款专属于自己的“五巧板”：将一个正方形分割成五个小块，并用这副“五巧板”拼接图案． （1）如图，小颖设计了一款她的专属“五巧板”．其中，点，分别为正方形边，的中点，点为的中点． （注：在正方形中，，） ①请说明：； ②小颖用她的专属“五巧板”拼成了如图所示的五边形．请在图中画出拼接示意图：用直尺画出分割线（线条清晰的实线），并按与图的对应关系给五个小块标上相同序号． （2）请在图的正方形中，设计一款你的专属“五巧板”，并用该“五巧板”，在空白方格中拼一个轴对称的五边形或六边形，要求“五巧板”的五个小块全部用上，拼出的图形无重叠、无空隙，且为封闭的凸多边形．（注：所拼成的多边形不能与图的五边形全等） 22. 对于整数和，如果是的倍数，则称与是一组“倍准平方和数对”．例如：因为，且是的倍数，所以和是一组“倍准平方和数对”． （1）根据定义判断：整数和① 一组“倍准平方和数对”，整数和② 一组“倍准平方和数对”；（在①，②处填“是”或“不是”） （2）小明猜想：如果和是一组“倍准平方和数对”，那么和也是一组“倍准平方和数对”；请将下面小明的说理过程补充完整： 理由如下： 因为和是一组“倍准平方和数对”， 所以存在整数，使得． 因为 ③ ． 因为是整数，所以是④ 的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”． （3）若与是一组“倍准平方和数对”，请你说明：和也是一组“倍准平方和数对” 23. 如图，在长方形中，，点是的中点，点在边上，将沿折叠，使得点的对应点落在边上，得到．再将四边形沿折叠，得四边形，交于点．连接，．（注：在长方形中，，） （1）说明：平分； （2）说明：； （3）探究与的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $