2025-2026学年高二下学期数学期末自编模拟练习四（人教A版）

**基本信息** 高二数学期末模拟卷聚焦选择性必修第二、三册，以AI技术、能源安全等时代情境为载体，通过导数应用、概率统计等问题设计，考查数学抽象、数据建模及逻辑推理能力，实现知识巩固与创新应用的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|导数切线、二项式定理、杨辉三角|第3题双面团牌涂色结合排列组合，第10题杨辉三角性质体现文化传承| |填空题|3题/15分|二项式系数、定积分、志愿者分配|第14题含2问，融合分配问题与数学期望，考查综合应用| |解答题|5题/77分|回归分析、导数极值、概率分布列|15题能源数据线性回归，18题AI使用情况独立性检验，19题导数综合证明，突出数学建模与逻辑推理|

2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟练习四 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2.已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（    ） A．36 B．48 C．54 D．56 4.已知随机变量，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数据、、、的平均数，方差为．设，数据、、、的方差为，数据、、、、、、、的方差为，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 6.甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率是（ ） A． B． C． D． 7.已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 8．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知某软件公司开发了一款新型智能解题软件，现将该软件上市后的月份以及当月获得的利润（单位：万元）统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（     ） 月份 1 2 3 4 5 利润 6 7 9 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润平均提高万元 C．可以估计上市后的第7个月的利润为万元 D．上市后的第4个月的利润的残差为万元 10.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第2026行的第1013个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 11.已知函数，是其导函数，则（    ） A． B．的单调递减区间为 C．是的极小值点 D．的图象的对称中心为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.二项式的展开式中，的系数为________. 13．已知，则______． 14. 第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事.若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少能分配到1名志愿者，共有_____种分配方法.设这4名志愿者中被分配到A场馆的人数为，则的数学期望为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 16.（15分）已知函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)若，不等式有唯一的负整数解，求实数的取值范围． 17.（15分）为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率. (1)从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率. (2)从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设为患该疾病的人数，求的分布列及数学期望. (3)若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率. 18.（17分）随着人工智能技术的迅猛发展，大型语言模型正以前所未有的速度渗透至人们的生活场景.作为其中的代表性模型之一，凭借其强大的推理性能赢得了广泛关注.为全面了解人们对的真实使用情况，某新闻媒体机构随机挑选男、女志愿者各100名进行问卷调查，得到如下列联表： 性别 使用情况 男 女 合计 喜爱 60 40 100 不喜爱 40 60 100 合计 100 100 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析喜爱的程度是否与性别有关； (2)现使用解答代数问题和几何问题，规则如下：每次解答一类问题中的一个不同题目，且相互独立.若答案正确，则继续解答同类中问题；若答案错误，则解答另一类中的问题.每次解答代数问题的正确率为，每次解答几何问题的正确率为.已知第1次解答问题是代数问题和几何问题的概率均为. （ⅰ）求第2次解题时解答代数问题的概率； （ⅱ）记前次（即从第1次到第次）解答中，解答代数问题的次数为，求. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 19．（17分）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)已知，若，且，证明：. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟练习四 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 2.已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为随机变量，且， 根据正态分布曲线关于直线对称可得，解得， 所以， 由得，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，选项C正确. 故选：C. 3.树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（    ） A．36 B．48 C．54 D．56 【答案】C 【解析】若只用2种不同的颜色，则正反面的上下区域同色，中间区域涂剩下的一种颜色即可， 所以有种涂色方法. 若用3种不同的颜色，当正反面都只用2种颜色时，有种涂色方法； 当正面用2种颜色，反面用3种颜色时，则在正面未用的颜色不能涂在反面的中间， 所以有种涂色方法； 同理，当正面用3种颜色，反面用2种颜色时，也有种涂色方法； 当正反两面都用3种颜色时，有种涂色方法. 所以共有54种不同的涂色方法. 故选：C. 4.已知随机变量，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态曲线的性质逐项判断即可. 【解析】 因为，，则， 因为，，则， 对于A，，A错误； 对于B，，故，B错误， 对于CD，， ， 则，D正确； 所以，C错误. 故选：D. 5．已知数据、、、的平均数，方差为．设，数据、、、的方差为，数据、、、、、、、的方差为，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方差的性质可判断A选项；求得，代入代数式可判断B选项；利用方差公式可判断CD选项. 【解析】对于A选项，根据方差的性质可得，A对； 对于B选项，根据平均数的性质可得， 所以，B对； 对于C选项，由平均数的性质可知， 数据、、、的平均数为， 所以数据、、、、、、、的平均数为， ，所以， ，C错； 对于D选项， ，D对. 故选：C. 6.甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解甲获胜的总概率及甲3局获胜的概率，再代入条件概率公式计算即可. 【解析】设事件B为“甲获胜”，事件A为“比赛进行了3局”，则所求为条件概率. 甲获胜分为三类情况： 3局全胜：; 4局获胜：前3局甲胜2局，第4局甲胜，; 5局获胜：前4局甲胜2局，第5局甲胜，; 因此. . 故选：B. 7.已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 【答案】C 【分析】根据二项展开式的形式，结合选项，合理利用赋值法求解，即可得到答案. 【解析】对于A，令，可得，所以A错误； 对于B，令，可得， 因为，所以，所以B错误； 对于C，由，所以除以5所得的余数是，所以C正确； 对于D，由二项式展开式的通项为， 可得为正数，为负数， 所以， 令，可得， 因为，所以，所以D错误. 故选：C. 8．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 所以的大小关系为. 故选：A. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知某软件公司开发了一款新型智能解题软件，现将该软件上市后的月份以及当月获得的利润（单位：万元）统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（     ） 月份 1 2 3 4 5 利润 6 7 9 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润平均提高万元 C．可以估计上市后的第7个月的利润为万元 D．上市后的第4个月的利润的残差为万元 【答案】AC 【解析】由统计表可知： ，， 则回归直线过样本中心点，代入回归方程得， ，解得，故A正确； 回归方程为，斜率为，则每增加1个月份，月利润平均提高万元， 故B错误； 时，万元，故C正确； 由统计表知，第4个月，预测值， 残差万元，故D错误． 故选：AC. 10.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第2026行的第1013个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 【答案】AB 【解析】对于，故A正确； 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为，第1行所有数字之和为， 第2行所有数字之和为，第3行所有数字之和为， 第4行所有数字之和为，以此类推，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第2026行的第个数最大，故C错误； 对于D，由题意，第15行，第4个数为， 倒数第4个数为，即，故D错误. 故选：AB. 11.已知函数，是其导函数，则（    ） A． B．的单调递减区间为 C．是的极小值点 D．的图象的对称中心为 【答案】ABD 【分析】求出函数的导数后讨论其符号从而可判断ABC的正误，根据可判断D的正误. 【解析】，故A正确； 当或时，；当时，， 故的单调递减区间为，故B正确； 由符号变化可得是的极大值点，故C错误； 又 ， 故的图象的对称中心为，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.二项式的展开式中，的系数为________. 【答案】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【解析】，， 则， 即的系数为. 故答案：. 13．已知，则______． 【答案】675. 【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可. 【解析】对求导， 可得， 所以，解得. 故答案：675. 14. 第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事.若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少能分配到1名志愿者，共有_____种分配方法.设这4名志愿者中被分配到A场馆的人数为，则的数学期望为_____. 【答案】 36 【解析】4名志愿者被随机分配到A、B、C三个不同的场馆，每个场馆至少1名志愿者， 故有两名志愿者去同一场馆，有种情况，再将这个2人小组和另外2名志愿者（共三个整体）分配到三个不同的场馆中, 故共有（种）分配方法. 的可能取值为1，2，且，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 【答案】(1)，可用线性回归模型拟合与的关系 (2)，（万亿千瓦时） 【解析】（1）因为， 所以， 所以 ， 故可用线性回归模型拟合与的关系； （2）， 则， 则经验回归方程为， 令，则， 故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时） 16.（15分）已知函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)若，不等式有唯一的负整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，，无极大值； (2) 【分析】（1）利用导数即可求解； （2） 由不等式有唯一的整数解，得到有唯一解， 利用函数的单调性讨论函数与直线有且仅有一个负整数交点即可. 【解析】（1）由， ∴，且时，；时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，无极大值. （2）由，即，令，原不等式等价于只有唯一负整数解，结合与的图象可知， 是过定点的一条直线， 当时，存在无数个负整数解满足该不等式，不满足题意， 当时，需且，得， 解得， 即实数的取值范围是. 17.（15分）为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率. (1)从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率. (2)从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设为患该疾病的人数，求的分布列及数学期望. (3)若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率. 【答案】(1) (2)的分布列为 0 1 2 0.855 0.14 0.005 的期望为 (3) 【分析】（1）用频率估计概率，结合题意运算求解即可； （2）可知随机变量的可能取值为0，1，2，结合独立事件概率公式求分布列和期望； （3）设相应事件，结合全概率公式可得，代入运算求解即可. 【解析】（1）用频率估计概率，从甲社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为. （2）用频率估计概率，从乙社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为， 可知随机变量的可能取值为0，1，2， 则； ； ； 所以的分布列为 0 1 2 0.855 0.14 0.005 的期望为. （3）设甲社区随机抽取1人，该人患该疾病为事件，则， 设该人接种了预防该疾病的疫苗为事件，则，， 因为， 即，解得， 所以从甲社区随机抽取1人，这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率为. 18.（17分）随着人工智能技术的迅猛发展，大型语言模型正以前所未有的速度渗透至人们的生活场景.作为其中的代表性模型之一，凭借其强大的推理性能赢得了广泛关注.为全面了解人们对的真实使用情况，某新闻媒体机构随机挑选男、女志愿者各100名进行问卷调查，得到如下列联表： 性别 使用情况 男 女 合计 喜爱 60 40 100 不喜爱 40 60 100 合计 100 100 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析喜爱的程度是否与性别有关； (2)现使用解答代数问题和几何问题，规则如下：每次解答一类问题中的一个不同题目，且相互独立.若答案正确，则继续解答同类中问题；若答案错误，则解答另一类中的问题.每次解答代数问题的正确率为，每次解答几何问题的正确率为.已知第1次解答问题是代数问题和几何问题的概率均为. （ⅰ）求第2次解题时解答代数问题的概率； （ⅱ）记前次（即从第1次到第次）解答中，解答代数问题的次数为，求. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)在小概率值的独立性检验下，没有充分证据推断喜爱DeepSeek的程度与性别有关，即认为二者无关. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据列联表数据代入卡方公式计算观测值，与临界值比较，得出独立性检验结论. （2）（i）分第一次解答代数题正确、第一次解答几何题错误两类互斥情况，由互斥事件概率加法公式计算第二次解代数题的概率. （ii）构造第次解答代数题的概率序列，推导递推关系，构造等比数列求通项，再利用期望的线性性质求和得到. 【解析】（1）零假设为：喜爱的程度与性别无关. 由列联表得， ∵ ， ∴ 代入数据得. ∵ 小概率值对应的临界值为，， ∴ 没有充分证据拒绝， 即在的检验水平下，认为喜爱的程度与性别无关. （2）记“第次解答代数问题”为事件，，. （i）第2次解答代数问题包含两类互斥情况： ① 第1次解答代数问题且答案正确，概率为； ② 第1次解答几何问题且答案错误，概率为. ∵ 两类事件互斥， ∴ . （ii）由题意得，第次解答代数问题的递推关系为： ， 化简得，. 构造等比数列，令，展开得， 对比递推式得，解得. ∴ 数列是首项为，公比为的等比数列. ∴ ，即. 由期望的可加性，前次解答代数问题的总期望等于每次解答代数问题的概率之和，即 . 19．（17分）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)已知，若，且，证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导，然后求出切点坐标和过切点的线的斜率，代入点斜式方程即可求解； （2）利用二次求导分析原函数的取值范围，对分类讨论，进而求解的取值范围； （3）构造新函数，利用二次求导和均值不等式进行求解. 【解析】（1）当时，， 因为，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）由，则， 令，则， 令，解得， 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，则在上单调递增， 又，所以在上恒成立. 若，令，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又，所以时，单调递减，， 与在上恒成立矛盾. 综上所述，若在上恒成立，则的取值范围是. （3）已知，由（2）可知在上单调递减，在上单调递增. 又，所以在上恒成立，即在上单调递增， 又，所以时，时，. 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以. 设， 则. 设， 则. 所以在上单调递减. 又，所以，从而在上单调递增. 因为，所以. 因为，所以， 又，所以，即. 又在上单调递增，所以，即. 所以，即. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $