第六章 计数原理 期末复习基础巩固限时小卷（七）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦计数原理核心考点，通过多样化题型构建“概念-方法-应用”逻辑链，强化基础巩固与实际问题解决，体现数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |排列组合应用|7题（单选2-4、多选6、填空8、解答9）|涉及分配、名额分配、选择方案等实际问题|从分类分步计数原理到排列组合公式，再到隔板法、错位排列等方法应用| |二项式定理|3题（单选1、多选5、填空7、解答10）|考查展开式系数、二项式系数及赋值法|围绕二项式定理推导，衔接系数计算与和式求解，强化符号意识|

2025-2026学年高二数学下学期基础巩固限时小卷（七） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第三册第六章计数原理。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的展开式中，的系数为(     ) A. B. C. D. 2.将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有(     ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3.某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有个班级，现将个参赛名额分配给这个班级，每班至少个参赛名额，名额无区别，则不同的分配方法为(     ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4.通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班个同学分别从处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是(     ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.若的展开式的各二项式系数之和为，则(     ) A. B. 展开式中所有项的系数和为 C. 展开式中常数项为 D. 展开式中的奇次项的系数和为 6.若有位同学报名参加三个不同的社团，则． A. 若每位同学限报其中的一个社团，则不同的报名方法共有种 B. 若每位同学限报其中的一个社团，则不同的报名方法共有种 C. 若每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 D. 若每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在的展开式中，含项的系数是           具体数字作答 8.有四个不同的馆，甲、乙人每人选个馆去参观，恰有一个馆相同的概率为          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分将个编号分别为，，，的小球放入个编号分别为，，，的盒子中． Ⅰ若每个盒子可放多个小球，一共有多少种放法？ Ⅱ每盒放一球，有多少种放法？ Ⅲ每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ Ⅳ恰好有一个空盒，有多少种放法？ 10.本小题分已知的展开式中只有第项的二项式系数最大． 求的值； 设，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期基础巩固限时小卷（七） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第三册第六章计数原理。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的展开式中，的系数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查二项展开式的特定项和特定项的系数，是基础题． 先写出通项公式为，令即可求出结果． 【解答】 解：的展开式的通项公式为： ， 令得得项的系数为． 2.将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，属于基础题． 先选人一组，然后组全排列即可． 【解答】 解：名志愿者选个组，有种方法，然后组进行全排列，有种， 共有种． 故选：． 3.某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有个班级，现将个参赛名额分配给这个班级，每班至少个参赛名额，名额无区别，则不同的分配方法为(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查至少的排列问题，属于基础题． 根据给定条件，利用隔板法直接求解作答即可． 【解答】 解：个参赛名额分配给个班级，每班至少个参赛名额，名额无区别， 可将个参赛名额视为个球，排成一列，之间形成个空隙， 插入块隔板分成份，每一份至少一个球，即至少一个名额， 所以不同分配方法为 ． 故选C． 4.通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班个同学分别从处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题． 由题意每位同学都有种选择，利用分步乘法计数原理即可求解． 【解答】 解：由题意每位同学都有种选择，则名同学共有种选择方案． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.若的展开式的各二项式系数之和为，则(    ) A. B. 展开式中所有项的系数和为 C. 展开式中常数项为 D. 展开式中的奇次项的系数和为 【答案】ACD  【解析】解：因为，所以，故A正确； 令，得展开式中所有项的系数和为，故B错误； 展开式中的常数项为，故C正确； 设， 令，得， 令，得， 两式相减得，可得，故D正确． 故选ACD． 6.若有位同学报名参加三个不同的社团，则． A. 若每位同学限报其中的一个社团，则不同的报名方法共有种 B. 若每位同学限报其中的一个社团，则不同的报名方法共有种 C. 若每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 D. 若每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 【答案】AC  第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在的展开式中，含项的系数是          具体数字作答 【答案】  【解析】解：在的展开式中， 含项的系数是 ． 故答案为：． 8.有四个不同的馆，甲、乙人每人选个馆去参观，恰有一个馆相同的概率为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查概率的计算，利用古典概型的概率公式是解决本题的关键，是基础题． 根据古典概型的概率公式进行计算即可． 【解答】 解：甲选个去参观，有种，乙选个去参观，有种，共有种， 若甲乙恰有一个馆相同，则先确定相同的馆有种，然后从剩余个馆种选个进行排列，有种，共有种， 则对应概率为， 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 将个编号分别为，，，的小球放入个编号分别为，，，的盒子中． Ⅰ若每个盒子可放多个小球，一共有多少种放法？ Ⅱ每盒放一球，有多少种放法？ Ⅲ每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ Ⅳ恰好有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】解：Ⅰ根据分步乘法计数原理，每个小球有种放法， 则个小球有种放法； Ⅱ根据题意，每个盒子都只能放个球， 放法的总数就是个数的全排列，即有种放法； Ⅲ第一步，将个小球放入编号相同的盒子中，有种放法， 第二步，将剩下个小球放入编号不同的盒子中，有种放法， 所以有种不同的放法； Ⅳ第一步，在个球中任选个放在一起有种方法， 第二步，在个盒子中任选个盒子，将选出的两个球作为一组， 和剩下的两个球分别放入个盒子，有种放法， 所以有种放法．  10.本小题分 已知的展开式中只有第项的二项式系数最大． 求的值； 设，求的值． 【答案】解：由的展开式中只有第项的二项式系数最大，得的展开式共有项， 所以 由知，， 取，得， 取时，， 所以． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期基础巩固限时小卷（七） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第三册第六章计数原理。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的展开式中，的系数为(     ) A. B. C. D. 2.将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有(     ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3.某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有个班级，现将个参赛名额分配给这个班级，每班至少个参赛名额，名额无区别，则不同的分配方法为(     ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4.通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班个同学分别从处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是(     ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.若的展开式的各二项式系数之和为，则(     ) A. B. 展开式中所有项的系数和为 C. 展开式中常数项为 D. 展开式中的奇次项的系数和为 6.若有位同学报名参加三个不同的社团，则． A. 若每位同学限报其中的一个社团，则不同的报名方法共有种 B. 若每位同学限报其中的一个社团，则不同的报名方法共有种 C. 若每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 D. 若每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在的展开式中，含项的系数是           具体数字作答 8.有四个不同的馆，甲、乙人每人选个馆去参观，恰有一个馆相同的概率为          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 将个编号分别为，，，的小球放入个编号分别为，，，的盒子中． Ⅰ若每个盒子可放多个小球，一共有多少种放法？ Ⅱ每盒放一球，有多少种放法？ Ⅲ每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ Ⅳ恰好有一个空盒，有多少种放法？ 10.本小题分 已知的展开式中只有第项的二项式系数最大． 求的值； 设，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $