期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦线面、面面平行性质的应用，通过12道典型题（6例+6变式）系统覆盖性质定理转化与几何体综合问题，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面平行的性质|3例+3变式（直三棱柱、四棱锥等）|证明线面平行、确定交线位置、体积计算|以线线平行为桥梁，体现“线面平行→线线平行”转化逻辑，结合中点构造中位线| |面面平行的性质|3例+3变式（平行四边形、梯形等）|探究点位置、证明交线平行、比例计算|通过“面面平行→线线平行”推导，关联平面交线与比例关系，培养几何直观|

期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 考点目录 线面平行的性质 面面平行的性质 考点一 线面平行的性质 例1．（25-26高一下·江苏南京·月考）如图，直三棱柱的体积为6，是的中点． (1)求证：平面； (2)已知为中点，平面与平面的交线为，求证：； (3)求三棱锥的体积． （注：本题用空间向量作答不给分） 【答案】(1)连接，交于点,连接，则为的中点， 因为是的中点，所以，又因为面，面， 所以平面. (2)因为，分别为的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形， 因此，又因面，面，所以面， 而面面，面，所以. (3)1 【分析】小问（1）运用线面平行的判定定理；小问（2）运用线面平行的性质；小问（3）利用等体积法再结合柱体体积求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题可得面，所以 例2．（25-26高一下·福建漳州·期中）如图，已知在正三棱柱中，为棱的中点，． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：直线平面． (3)平面平面，请在图上作出直线，并说明作图理由． 【答案】(1) (2)连接，交于，连接. 正三棱柱中，侧面为矩形，则为，的中点， 又为棱的中点，所以. 因为平面，平面，所以直线平面. (3)在平面内，过点作，交于点，则即为直线. 在平面内，过点作，交于点，则. 所以直线与可确定一个平面，与平面重合， 直线与可确定一个平面，与平面重合， 故直线是平面与平面的交线. 又因为两个平面的交线唯一，所以即为直线 【分析】（1）根据三棱锥的表面积公式及三角形面积公式求解即可. （2）连接，交于，连接，根据线面平行的判定定理证明即可. （3）根据线面平行的性质作图即可. 【详解】（1）正三棱柱中，平面，为等边三角形，且. 又为棱的中点，所以，. 在中，，. 在中，，，. 在中，，. 在中，，所以为直角三角形，. 故三棱锥的表面积为. （2）略 （3）略 例3．（25-26高一下·山东·期中）如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点，连接，根据题意证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）由平面，结合线面平行的性质定理，即可证得； （3）利用等体积转化为，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为点分别为的中点， 由题意可证得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 而平面平面， 所以平面. （2）由（1）可得平面平面，平面平面， 所以. （3）由（1）可得平面， 所以点和点到平面的距离相等. 所以. 故所求锥体的体积为. 变式1．（25-26高一下·广东梅州·期中）如图，在四棱锥中，分别是的中点，，. (1)求证平面； (2)若平面，求的值； (3)作出平面与平面的交线，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)理由见解析 【分析】（1）利用中点构造中位线平行即可证明. （2）运用线面平行的性质定理，得到线线平行，利用平面三角相似，得到相似比进而求解. （3）运用线面平行的性质定理，可知交线的位置且与已知线的平行关系. 【详解】（1） 如图延长，连接并延长与交于点，连接 因为且是的中点， 所以，且， 所以 所以为中点， 在中，分别是的中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 （2） 连接，交于点，连接 因为平面，平面，而平面平面， 故, 所以 所以 在梯形中，因为， 所以 又 所以 所以 （3） 过点在平面中作直线，如图 理由如下 因为，平面，平面， 所以平面 又因为平面，平面平面 所以 所以 变式2．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，证明见解析 【分析】（1）取线段中点，利用中位线及已知平行关系构造平行四边形，从而证得，进而推出线面平行； （2）由已证的线面平行及线在另一平面内，得两平面交线与该线平行，从而该交线平行于目标平面. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，． 又因为为的中点，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面 （2）直线与平面平行，证明如下： 因为平面，平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 变式3．（25-26高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，要判定平面，只需判定平行于平面内的一条直线即可证明. （2）根据线面平行的判定定理和线面平行的性质定理进行证明. 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为分别是的中点， 所以中，，且. 因为四边形为平行四边形，所以，且. 所以且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外， 所以平面. （2）连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得. 因为平面在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知平面. 因为过点和的平面交平面于，且平面， 根据线面平行的性质定理可得，. 考点二 面面平行的性质 例1．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)点为棱BC的中点时，平面平面， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得，再根据四边形是平行四边形得点是的中点，从而得结论； （2）若平面平面，根据面面平行的性质定理，得线面平面，再由线面平行的性质定理得，从而可确定点在棱上的位置. 【详解】（1）因为平面，平面平面， 又平面，所以， 因为四边形是平行四边形， 所以点是的中点，则点是的中点； （2）当点为棱BC的中点时，平面平面，理由如下： 若平面平面，由于平面， 所以平面， 又平面平面， 则，又点是的中点，所以点是的中点， 故点为棱BC的中点时，平面平面，则. 例2．（24-25高一下·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面交平面于直线，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1) 连接,证明四边形是平行四边形,则易得,结论可得; (2) 连接，证明平面平面，则易得结论. (3)根据线面平行的判断判定得平面，然后由线面平行的性质即可得 【详解】（1）连接，，，， 四边形是平行四边形， 为的中点， 又是的中点，， 又平面平面， 平面． （2）连接， 分别是的中点，， 又平面平面， 平面. 又是的中点，是的中点， 平面平面， 平面． 又在平面内相交于点H，所以平面平面， 又平面， 平面． （3）因为，平面平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以； 例3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)过点作平面平面交于点，交于点. ①证明：； ②求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】1）连接交于，由三角形中位线可证，进而由线面平行的判定定理可证； （2）①由面面平行的性质定理可证； ②猜测点为靠近点的三等分点，在此基础上证明平面平面即可. 【详解】（1）连交于，因为底面为平行四边形， 所以为的中点，而为的中点，所以， 又平面平面； 所以平面； （2）①因为平面平面，平面平面，平面平面， 由面面平行的性质定理可得； ②当为的三等分点且时，有平面平面，下面证明： 因为为上的点，且，所以在中，，所以， 由(1)知平面，因为不在平面内，所以平面， 由①可知，因为不在平面内，平面，所以平面， 因为，所以平面平面，所以. 变式1．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中， ，且，点E为棱的中点. (1)求证: 平面; (2)若M为上的动点，则线段上是否存在点N，使得/平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点B，E及棱中点的截面，并求出截面周长. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在为线段中点，证明见解析； (3)作图见解析，截面周长为. 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得结论； （2）当为线段中点时，平面，通过证明面面可得结论； （3）取线段的中点，连接，通过证明，得到四边形为截面，然后分别求出各边的长即可. 【详解】（1）取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）当为线段中点时，平面， 证明：取线段中点，连接 因为分别为线段的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又面， 则面面，又面， 所以面， 所以当为线段中点时，平面； （3）取线段的中点，连接， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段的中点， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为. 变式2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，结合中位线性质先证明面面平行，再根据性质得到线面平行； （2）已知线面平行，利用线面平行的性质得到线线平行，再结合向量关系求出的值. 【详解】（1）取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，所以在中，. 又因为平面，平面，所以平面     又因为，是的中点，是的中点，根据梯形中位线性质，得到， 又因为平面，平面，所以平面. 并且，平面，则平面平面，且平面， 所以平面. （2）连接交于点，连接. 因为，所以.由， 根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得. 因为平面，平面，平面平面， 根据直线与平面平行的性质所以. 所以在中，. 因为，则. 又因为，即，所以.   变式3．（25-26高一下·四川眉山·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.    (1)证明：； (2)已知，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行判断面面平行，再由面面平行的性质得证； （2）根据棱锥体积公式求解即可. 【详解】（1）连接，如图， ∵、分别是、中点， ∴为中位线， . 面，面. ∴面. 又∵面. ，与在同一个平面. ∴面面. 又∵面面. 面面. ∴. （2）∵，，∴为等腰直角三角形 ∴，，， 又∵，∴为等腰三角形， ∵为中点. ∴，， 由（1）知，， ∴易知. ∴ ∴易知. ∴ . ∵，∴ ，∴为底面的高. ∴. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 考点目录 线面平行的性质 面面平行的性质 例1.(25-26高一下江苏南京·月考)如图，直三棱柱 BC-4BG的体积为6，D是MB的中点， 考点一 线面平行的性质 BC,I (1)求证： 平面4CD ②记知E为48。 ACD ABC 的交线为，求证： UICE 中点，平面 与平面 B-ACD (3)求三棱锥 的体积。 (注：本题用空间向量作答不给分) AB=AA=2 例2.(25-26高一下福建漳州期中)如图，已知在正三棱柱 BC-ABC中，D为棱AC的中点， A C B B 1 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 C-DBC (1)求三棱锥 的表面积： AB /1 CBD (2)求证：直线 平面 AABB∩CBD=I (3)平面 平面 ,请在图上作出直线，并说明作图理由. 例3.(25-26高一下·山东期中)如图，己知四棱锥P-ABCD的高为2，底面ABCD是边长为2的正方形，点 E,F AD,PC PCD∩PBE=I 分别为 的中点，设平面 平面 P E (I)证明：DFII平面PBE: (2)证明：DF/1l; (3)求三棱锥F-PBE的体积 变式1.(25-26高一下广东梅州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD‖BC,M,N分别是PB,CD的中点， AD=3BC PE=AED D M (1)求证MN‖平面PAD: 2 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 (2)若PB‖平面ACE,求元的值： (3)作出平面PAD与平面PBC的交线，并说明理由· 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 变式2.(25-26高一下·山东济宁·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，且 ADIIBC,AD=2BC,且E为PD的中点. (1)求证：CE//平面PAB: (2)设平面PAB与平面PCD的交线为I,试判断直线I与平面ACE的位置关系，并证明. 变式3.(25-26高一下·天津和平期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M,N分别是 AB,PC 的中点 D: M B (I)求证：MN‖平面PAD: (2)在DN上取一点G(不与D,N重合)，设过点G和PA的平面交平面BDN于GH,求证：PA‖GH, 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 考点二 面面平行的性质 例1.(2425高一下·吉林松原期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AC,BD交于 点O,点E是棱PB上的一点，且PD∥平面EAC. E D (I)求证：点E是PB的中点： BG (②)在棱BC上是否存在点G,使得平面EOG/平面PCD？若存在，请加以证明，并写出BC的值；若不存在，请 说明理由. 例2。（2425商一下湖南带德期中)如图，四棱谁P-A8CD中，AB=BC 2AD,AD1/BC,E,F,H分别为 线段AD,PC,CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点. D H B (I)求证：AP/1平面BEF: (2)求证：GH11平面PAD: 3)设平面PBC交平面PAD于直线I,求证：BCII. 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 例3.(2425高一下安徽芜湖期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，F为AB上的点， 且AF=2FB,E为PD中点. H、 A B (I)证明：PB/平面AEC: (2)过F点作平面FHGI1平面ACE交PA于H点，交PC于G点， ①证明：HG/AC: PH ②求HA的值. 变式1.(25-26高一下福建莆田期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，其中，AD1IBC, 且AD=2BC,点E为棱PD的中点 A D B (I)求证：CE/1平面PAB: (2)若M为CE上的动点，则线段AD上是否存在点N,使得ANIIE平面PAB?若存在，请确定点N的位置，若不存 在，请说明理由： (3)若PA=PB=PC=AD=5,CD=6,请在图中作出四棱锥P-ABCD过点B,E及棱AD中点的截面，并求出截面 周长 期末复习：线面平行的性质、面面平行的性质专项训练 变式2.(2425高一下江苏无锡期中)如图在四棱锥P-ABCD中，AB1/CD,M,N分别是PA,BC的中点， CD=3AB P D B (I)求证：MNII平面PCD (2)若点F在棱PC上且满足PF=PC,PAII平面BDF,求元的值. 变式3.(2526高一下四川眉山：阶段检测)如图，在四楼锥P-1BCD中，4B=BD=BP=V5,PA=PD=V2 ∠APD=9O°，E、F分别是棱PA,AD的中点，且BEI∥平面PCD, E D B (I)证明：BFIICD: (2)已知CD=I,求四棱锥P-ABCD的体积 >