2025-2026学年高二下学期期末复习大题分类训练（范围：人教A版， 数列、导数、概率统计）

**基本信息** 本期末综合训练整合数列、导数、概率统计三大模块，通过区域典型考题覆盖核心题型，注重知识逻辑链与数学思维应用。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|4题（等差等比、递推、求和、恒成立）|基础求解与综合应用结合|定义→通项→求和→不等式应用| |导数|5题（单调性、极值、最值、切线、零点）|函数性质分析与导数工具应用|导数几何意义→函数性质→不等式证明| |概率统计|4题（正态分布、回归、独立性检验、分布列）|实际问题建模与统计分析|统计概念→模型应用→决策推断|

期末复习（数列、导数、概率统计） 数列 1．（25-26高三下·山东）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 2．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 3.（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，若对任意使得恒成立，求的最小值. 4．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中 ，且满足 ，数列的前 n项和为，且满足 (1)分别求数列和的通项公式； (2)求数列 的前n项和； (3)若不等式 对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 导数： 1.（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若在内仅存在一个极值点，求a的取值范围. 2.（25-26高二下·河北衡水·期末）已知函数（）． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值； (3)设，若，，恒成立，求实数的取值范围． 3.（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 4.（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知函数的导函数为． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若，求零点的个数； (3)已知，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数a的取值范围． 5.（25-26高二下·广东·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：对于任意正整数，都有． 概率统计 1.（25-26高二下·河北衡水·期末）随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分X（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩为114分及以上的被认定为“卓越”等级． (1)若该芯片共生产了27000片，试估计其中测试成绩为80分及以上的芯片的数量；（结果四舍五入保留到整数） (2)从该批次芯片中随机抽取3片，记其中等级为“卓越”的芯片的数量为Y，求Y的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 2.（25-26高二下·上海·期末）某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 3．（24-25高二下·江苏扬州·阶段检测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，，. (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联? 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量的概率分布列和数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4.（25-26高二下·河北·阶段检测）宁夏枸杞是中国国家地理标志产品．某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 13.5 15.8 18.5 20 22 23 24 24.2 (1)用模拟生产食用枸杞年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； (2)该企业又自主研发出一种药用枸杞片，预计其收益为投入的5%．2026年该企业计划共投入300万元用于生产两种枸杞产品，求年总收益的最大值． 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② 161 29 20400 109 603 ③， 课后作业： 1.（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 2.（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）“你好．我是，很高兴见到你我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用情况与学历有关？ (2)某校组织“模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜．两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3.（25-26高二下·广西南宁·阶段检测）已知函数（），． (1)若，求的单调区间； (2)若恒成立，求的值； (3)已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值． 4.（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数在处取得极小值． (1)求实数，的值； (2)若的切线过点，求的最大值． 5.（25-26高三上·广东惠州·期末）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某市一所高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心随机抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记，分别为这10名学生体质测试成绩的平均分与方差，且. (1)求； (2)若规定体质测试成绩低于50分为不合格，现从这10名学生中任取3名，用表示所抽到的3名学生中体质测试成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望； (3)经统计，该市高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值.若监测中心计划从该市随机抽取100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望. 附：若，则， ，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习（数列、导数、概率统计） 数列 1．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)；， (2) 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质求出，再列方程组求解； （2）利用分组求和以及等差、等比求和公式计算. 【详解】（1）设的公差为，数列的公比为， 由，得， 因为，，所以，，得，， 故，； （2）由（1）可知，， 则 2．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)因为，对一切正整数成立， 所以，即， 因为，，所以， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列． (2) (3) 【知识点】数列不等式恒成立问题、裂项相消法求和、由递推关系证明等比数列、累加法求数列通项 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证； （2）结合（1）利用等比数列定义可得，然后利用累加法求解即可； （3）先得到，利用裂项相消法得到，进而得，即可求解以实数的最小值． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以通过累加得 ， 当 时，，满足上式， 综上所述，． （3）， 从而， 所以， 当无限增大，的值越来越趋近于0 且小于0，所以的值越来越趋近于且小于， 所以对任意正整数 ，不等式恒成立时，， 即实数的最小值为． 3.（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，若对任意使得恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2)3 【知识点】数列不等式恒成立问题、错位相减法求和、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）根据数列递推式，采用两式相减的方法，即可求得答案； （2）错位相减对右式求和，结合单调性得出的最小值. 【详解】（1）因为① 所以当时，， 当时，②， ①-②得，当时，， 所以， 又因为，所以. （2）令①， ②， ①-②得， 所以. 因为，所以是递增数列，且当时， 所以，所以的最小值为3. 4．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中 ，且满足 ，数列的前 n项和为，且满足 (1)分别求数列和的通项公式； (2)求数列 的前n项和； (3)若不等式 对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）根据题意，得到，得出数列为等差数列，求得，再由时，利用，进而得到为等比数列，求得，即可求解. （2）由（1）得到，结合错位相减法求和，即可求解； （3）根据题意，转化为对任意n∈N*恒成立，设，根据，分n为偶数和为奇数，两种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）由，有，有. 则数列是公差为2的等差数列，， 所以数列的通项公式为. 取n=1，由，有，解得， 当时，，则，即， 因此数列是首项为4，公比为2的等比数列，，经检验，n=1时该式成立， 所以数列的通项公式为. （2）由. 记， 有. 两式作差，得， 有，则. 所以. （3）不等式化为，即， 设，有， 当n=1时，；当时，， 所以在时单调递减， 当n为奇数时，，则， 由，得，即，解得， 当n为偶数时，，则，即， 由，得，解得. 所以实数的取值范围为. 导数： 1.（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若在内仅存在一个极值点，求a的取值范围. 【答案】(1)①当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；②当或时，的单调递增区间为和，单调递减区间为 (2) 【难度】0.62 【知识点】根据极值点求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导得二次函数，根据判别式正负讨论单调区间； （2）导函数零点即极值点，分离参数后转化为对勾函数的值域问题，结合区间端点确定参数范围． 【详解】（1）因为，所以， 则二次方程的判别式． ①当，即时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间． ②当，即或时，的两个实根为，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）若在内仅存在一个极值点，则在内仅存在一个变号零点． 由，可得，即方程在仅有一个解， 令，该函数为对勾函数，如图所示 根据对勾函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，且，， 由的图象可知，所以，即a的取值范围为． 2.（25-26高二下·河北衡水·期末）已知函数（）． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值； (3)设，若，，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数无最值；当时，函数的最大值为，无最小值 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）利用求得，并进行检验. （2）对进行分类讨论，根据的单调性确定的最值. （3）将问题转化为，结合导数分别求得的最大值和的最小值，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，其中． 因为函数在处取得极值，所以，解得． 经检验，符合题意，所以． （2）由（1）知． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值． 当时，令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值，也是最大值为，无最小值． 综上，当时，函数无最值； 当时，函数的最大值为，无最小值． （3）因为， 恒成立， 所以． 由（2）知，只有当时，． 因为，其中， 所以． 令，其中，则， 所以函数在区间上单调递增． 因为， 所以由零点存在定理可知，存在唯一的， 使得，即，即． 令，其中，则， 所以函数在上单调递增． 因为，所以． 由，可得，则，所以． 又当时，，即； 当时，，即． 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 因为， 所以实数的取值范围是． 3.（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)两个零点 (3)3 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理判断； （3）不等式分离参数化为，引入函数，，利用导数求得其最小值并判断最小值所在范围后可得结论． 【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为，，所以． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为当时，，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数有两个零点． （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数的最大值为． 4.（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知函数的导函数为． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若，求零点的个数； (3)已知，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.32 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （2）结合（1）得，再构造函数，求导，分析函数单调性，得出函数的最值，进而根据零点存在性定理即可得到零点的个数； （3）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参. 【详解】（1）当时，，则，则， 又，所以的图象在点处的切线方程为，即． （2）结合（1）有，令， 则，则，令，解得， 所以当时，，则在上单调递减； 若时，，则在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 又，， 所以在上存在唯一的零点，即在上存在唯一的零点， 所以零点的个数为． （3）由题知，，其定义域为， 则， 令，得或， 设，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减， 又当时，；当时，，且， 所以的大致图象如图2所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点，，， 所以与有两个不同的交点，所以， 不妨设，则， 所以，所以 所以 ， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 又， 所以，所以在上单调递增， 因为， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是． 5.（25-26高二下·广东·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：对于任意正整数，都有． 【答案】(1)当时，的递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2) (3)答案见解析 【分析】（1）先确定函数定义域为，再对求导，分和两种情况讨论导数正负，进而得到单调区间； （2）对恒成立，等价于在恒成立；构造函数，求的最大值，即可得到的取值范围； （3）利用（1）中时函数的单调性，得到，整理得；再令，对不等式进行累加，即可证得不等式. 【详解】（1）由，得函数的定义域为. . 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，得； 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增. 综上，当时，的递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由，，得； ，. 对恒成立，等价于在恒成立. 令，则； 令，即，解得. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，取得最大值，即； 在恒成立，，即的取值范围是. （3）由（1）得，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，即. 当时，，即，得； 令，则； . 当时，显然成立， 当时，； ，； 综合可知. 概率统计 1.（25-26高二下·河北衡水·期末）随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分X（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩为114分及以上的被认定为“卓越”等级． (1)若该芯片共生产了27000片，试估计其中测试成绩为80分及以上的芯片的数量；（结果四舍五入保留到整数） (2)从该批次芯片中随机抽取3片，记其中等级为“卓越”的芯片的数量为Y，求Y的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 【答案】(1)22716 (2) Y 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 【知识点】指定区间的概率、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据正态分布的性质求解即可； （2）首先求出，再根据二项分布可得分布列及数学期望. 【详解】（1）因为，所以，，   所以 ，   则， 所以估计该批次芯片中测试成绩为80分及以上的芯片的数量为22716； （2）因为，， 所以，   由题意得，   Y的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ，   所以Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 ． 2.（25-26高二下·上海·期末）某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 【答案】(1)，相关程度很强 (2)，残差为百人 (3) 【知识点】利用全概率公式求概率、残差的计算、相关系数的计算、求回归直线方程 【分析】（1）求出、的值，利用公式求出相关系数的值，即可得出结论； （2）利用最小二乘法公式求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，结合残差的概念求解即可； （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，结合全概率公式求解即可. 【详解】（1）由表格中的数据可得，， ， ， ， 则， 由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强. （2），， 故经验回归方程为. 对于表中第个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人），残差为（百人） （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， 由题意可得，，，， . 3．（24-25高二下·江苏扬州·阶段检测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，，. (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联? 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量的概率分布列和数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，与性别有关联 (2)①分布列见解析，；② 【难度】0.4 【知识点】确定数列中的最大（小）项、独立性检验解决实际问题、完善列联表、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据题意列出列联表，计算卡方，然后对比临界值即可判断； （2）①的所有可能取值为，计算出对应的概率，然后由错位相减法即可求解；②计算出，时，则，构造等比数列求得，对分奇数、偶数讨论即可. 【详解】（1）因为，所以报名参加答题活动人数为， 又因为，所以报名参加答题活动的男生人数为， 报名参加答题活动的女生人数为， 又，所以样本中男生人数为，女生人数为50， 得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 20 35 55 报名参加答题活动 30 15 45 合计 50 50 100 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005； （2）①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值为， 其中，， 所以. ， 以上两式错位相减得 ， 所以 . ②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 依题意可得，， 当时，则， 因为，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 故， 又且， 所以数列是各项均为1的常数列，则， 所以，解得. 当为奇数时，，， 当n为偶数时，，， 所以的最大值在为偶数时产生， 又当为偶数时，随着的增大而减小， 所以当时，的最大值为. 4.（25-26高二下·河北·阶段检测）宁夏枸杞是中国国家地理标志产品．某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 13.5 15.8 18.5 20 22 23 24 24.2 (1)用模拟生产食用枸杞年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； (2)该企业又自主研发出一种药用枸杞片，预计其收益为投入的5%．2026年该企业计划共投入300万元用于生产两种枸杞产品，求年总收益的最大值． 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② 161 29 20400 109 603 ③， 【答案】(1) (2)35万元． 【难度】0.64 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、求回归直线方程、非线性回归 【分析】（1）通过换元将对数型回归转化为线性回归，利用最小二乘法求解参数，注重是对公式的理解和代入计算. （2）结合第一问的回归模型，构建总收益函数，通过求导找到极值点，进而得到最大值，同时考查了对数运算的化简技巧. 【详解】（1）令，则可转化为，由表可知， 得到，， 由最小二乘法公式得， ， 所以 ，所以回归方程为 . （2）设2026年该企业投入食用枸杞生产的资金为万元， 则投入生产药用枸杞片的资金为万元， 其中，设2026年总收益为万元， 则，， 令，令，得， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以.     故年总收益的最大值约为35万元． 课后作业： 1.（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【详解】（1）证明：由，则，又，所以数列是首项、公差均为的等差数列； （2）由（1）可得，即，所以， 则，所以， 所以．（3）由题可得，整理得恒成立， 令，则，则当时，当时，当时，所以，即的最小值为，所以，即． 2.（25-26高二下·安徽宿州·阶段检测）“你好．我是，很高兴见到你我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用情况与学历有关？ (2)某校组织“模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜．两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）零假设为：的使用情况与学历无关，根据列联表中的数据， 可得，依据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明推断不成立，因此可以认为成立，即认为的使用情况与学历无关. （2）（i）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为，， ，， 比赛结束甲获胜时的得分可能取值为10，20，30，则， ，， 所以比赛结束后，甲获胜的概率， （ii）设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束后乙答对一道题”， ， 则，因此比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为. 3.（25-26高二下·广西南宁·阶段检测）已知函数（），． (1)若，求的单调区间； (2)若恒成立，求的值； (3)已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值． 【详解】（1）由题意函数，，求导可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减， （2）因为，所以，其中， 令 ，则恒成立，，且， 当时，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，满足题意； 综上所述． （3）因为，所以， 由（2）可知当时 ，即， 所以当且仅当时取等号，所以，． ， 所以 ，即：对于任意正整数，恒成立， 且因为为整数，且对于任意正整数， 成立， 当时， ，所以不能恒成立， 所以m的最小值为3． 4.（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数在处取得极小值． (1)求实数，的值； (2)若的切线过点，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.62 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数、求过一点的切线方程、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）通过极值点的函数值和导数值列方程组求解参数，并借助导数及极值点定义进行检验； （2）借助导数的几何意义设切点构造函数求最值. 【详解】（1），由题意可得，解得； 检验：此时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，符合题意， 故，； （2）由（1）得，则， 设过点的切线的切点坐标为， 则， 有， 整理得，令， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为. 5.（25-26高三上·广东惠州·期末）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某市一所高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心随机抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记，分别为这10名学生体质测试成绩的平均分与方差，且. (1)求； (2)若规定体质测试成绩低于50分为不合格，现从这10名学生中任取3名，用表示所抽到的3名学生中体质测试成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望； (3)经统计，该市高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值.若监测中心计划从该市随机抽取100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望. 附：若，则， ，. 【答案】(1)56 (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）利用平均数的定义进行计算； （2）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）计算出，，所以，，得到学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.8186，故，所以. 【详解】（1）. （2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以的可能取值为0，1，2，3. 因为，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 期望. （3）因为，，所以，， 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.8186， 故，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $