2.2 一元二次方程的解法-课时2 配方法解一元二次方程（二次项系数为1） 课件 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

这是一份初中数学同步教学课件，共30页，聚焦“配方法解一元二次方程（二次项系数为1）”。以温故知新（完全平方公式、直接开平方法）为基础，通过情境导入、新知讲解（步骤与公式）、例题解析、易错提醒、基础练习及课后测评（含几何应用、综合探究）构建完整学习支架。 资料特色鲜明，注重数学核心素养培养。通过矩形割补拼图直观展示配方过程（如方程x(x+3)=9的几何化配方），结合欧几里得《几何原本》图形解法等实例，发展几何直观与推理能力，渗透转化思想。能帮助学生理解配方法原理并提升应用能力，为教师提供系统教学资源，助力九年级学生应对升学考试。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.2 配方法解一元二次方程（二次项系数为1） 学习目标 过程与方法 知识与技能 理解配方法的原理，掌握二次项系数为1的二次三项式的配方方法 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 能利用配方解决简单的最值问题 经历配方探究的过程，体会转化思想与数形结合思想 02 01 课前自主·知识预习奠基 完全平方公式的概念： 直接开平方法的适用条件：方程左边是完全平方式，右边是非负数 思考：对于 这样的方程，不能直接开平方，能不能把它转化成完全平方式的形式？ 温故知新 问：如何解方程 ？ 情境导入 可以把 化为 的形式，然后根据平方根的意义求解. 把常数项移到方程的右边，得 根据等式的基本性质，在方程的两边都加上一次项系数 6 的一半的平方，即 32，得 . 整理，得 . 解这个方程，得 . 所以原方程的两个实数根为 . 新知讲解：配方法 一般地，把一元二次方程 进行下列变形： 在上式两边都加上一次项系数 b 一半的平方，得 ， . 当 时，就可以根据平方根的意义求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 新知讲解：配方法步骤（二次项系数为1） 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数 ， 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 用直接开平方法解下列方程： （1） （2） 例题 例题·解析 (1) 移项，得 配方，得 ， 开平方，得 ，所以原方程的两个实数根为 x1 = 3 ，x2 = 1 (2) 移项，得 配方，得 ， 开平方，得 ，所以原方程的两个实数根为 x1 = ，x2 = 移项要变号，常数项从左边移到右边符号要改变 配方时，等式两边要同时加同一个数，不能只在左边加 一次项系数一半的平方，注意符号：平方后都是正数 开平方后不要漏掉负根 易错提醒 课堂探究·能力合作提升 基础过关练 1. 将代数式 x2 + 6x + 2 化成 (x + p)2 + q 的形式为（ ） A. (x − 3)2 + 11 B. (x + 3)2 − 7 C. (x + 3)2 − 11 D. (x + 3)2 + 4 2. 用配方法解方程 x2 − 2x − 2 = 0，配方正确的是（ ） A. (x − 1)2 = 1 B. (x − 1)2 = 3 C. (x + 1)2 = 1 D. (x + 1)2 = 3 3. 方程 x2 + 4x + 5 = 0 配方后为(x + 2)2 = 1（ ） B B × 基础过关练 4. 方程 x2 + 4x − 3 = 0 配方后为 . 5. 二次三项式 x2 − 4x + 5 的最小值为 . 6. 若 x2 − 6x + m 是一个完全平方式，则 m 的值为 . 1 9 课后测评·学业效果巩固 1. 用配方法解一元二次方程 ，将它转化为 的形式，则 的值为（ ） A. B. C. D. 1 课后测评 C 【解析】∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ . 故选 C. 2. 欧几里得的《几何原本》中记载了形如 x2 − 2bx + 4c2 = 0(b>2c>0) 的方程的根的图形解法：如图，画 Rt△ABC，使 ∠ACB=90°，AC = 2c，AB = b，以 B 为圆心，BC 长为半径画圆，交射线 AB 于点 D，E，则该方程较大的根是（ ） A. CE 的长度 B. CD 的长度 C. DE 的长度 D. AE 的长度 课后测评 D 课后测评 【解析】∵ x2 − 2bx + 4c2 = 0 ∴x2 − 2bx = −4c2 ∴x2 − 2bx + b2 = b2 − 4c2，即(x − b)2 = b2 − 4c2 ∴x − b =± ∴x1 = b + ，x2 = b − 在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘，AC = 2c，AB = b ∴BC = = ∴ 方程较大的根为AB + BC = AB + BE = AE的长度，故选 D. 3. 如图，直角三角形的两条直角边长分别为a,b，且a,b恰为一元二次方程x2 − 6x + 4 = 0的两个实数根，则斜边c的长为 . 课后测评 【解析】x2 − 6x + 4 = 0， ∴ (x − 3)2 − 5 = 0， 解得x1 = 3 − ，x2 = 3 + 斜边c = = 4. 用直接开平方法解下列方程： （1） （2） 课后测评 移项，得 x2 + 4x = 3 配方，得 x2 + 4x + 4 = 3 + 4 即(x + 2)2 = 7 开方，得 x + 2 =± ∴ x1 = − 2，x2 = − − 2 移项，得 x2 − 8x = −13 配方，得 x2 − 8x + 16 = −13 + 16 即(x − 4)2 = 3 开方，得 x − 4 =± ∴ x1 = + 4，x2 = − + 4 5. 根据如图所示的流程图完成下列问题。 （1）若输出结果 C 为 16，则 x 的值为 . （2）若输出结果 B 为 −4，则 x 的值为 . 课后测评 4 或 -4 【解析】(1)由题意得 x2 = 16，解得x = ±4。 (2)由题意得 x2 − 4x = −4，∴ x2 −4x + 4 = 0，∴ (x − 2)2 = 0，解得 x1 = x2 = 2 2 6. 已知 S1 = , S2 = 1 + , S3 = 1 + , … , = 1 + ( n ≥ 1，且 n 为正整数)。若 S1 ∙ S2 ∙ S3 ∙ ⋯ ∙ S7 = a，则 a 的值为 . 课后测评 4 + 或 4 − 课后测评 【解析】由题意得： S1 = ， S2 = 1 + = 1 + a， S3 = 1+ = 1 + = ， S4 = 1 + = ， S5 = ， S6 = ， S7 = ∵ S1 ∙ S2 ∙ S3 ∙ ⋯ ∙ S7 = a， ∴ ∙ (1 + a) ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ = a， 化简得 = a， 整理得 a2 − 8a − 13 = 0， 配方得 (a − 4)2 = 29， 解得 a1 = 4 + ，a2 = 4 − 经检验，a1 = 4 + ，a2 = 4 − 都是原方程的解 课后测评 7. 若m , n为正实数，设 k = mn，若 t 是关于 x 的方程 x2 + 2mx = n2 的一个正实根 (1) 求证：(t + m)2 = m2 + n2 (2) 若 k = ，求 的值。 (3) 用含 k 的代数式表示 课后测评 【解析】(1) ∵ t 是关于 x 的方程 x2 + 2mx = n2 的一个正实根，∴ + 2mt = n2，∴ + 2mt + m2 = n2 + m2，即 ( t + m )2 = m2 + n2 (2) ∵ k = , k = ，∴ m = n，由 (1) 知 (t + m)2 = m2 + n2，∴ ( t + n )2 = ( n )2 + n2，∴ + nt + n2 = n2 + n2，∴ ( )2 + − 1 = 0，∴ ( + )2 = ，解得 = ，∵ n , t均为正实数，∴ (3) ∵ k = ，∴ m = kn，∴ x2 + 2knx = n2，∴ t2 + 2knt = n2，两边同时除以 n2，得：( )2 + 2k⋅ − 1 = 0，∴( + k )2 = k2 + 1，∴ = − k ± 。∵ n , t 均为正实数，∴ = −k + 8. 用配方法解一元二次方程x2 + 2x − 24 = 0(x > 0)，配方的过程可以用拼图直观表示。把方程 x2 + 2x = 24，即 x(x + 2) = 24 .配方的过程可以看成将一个长为x + 2，宽为x，面积为 24 的矩形割补成一个正方形，具体如下： 综合与探究·较难 配方的过程： ∵ x( x + 2 ) = 24 , ( 如图 ( 1 ) ) ∴ x2 + 2x = 24 , ( 如图 ( 2 )、 ( 3 ) ) ∴ x2 + 2x + 12 = 24 + 12，( 如图 ( 4 ) ) ∴ (x + 1)2 = 25 . ( 如图 ( 5 ) ) 【初步应用】 (1) 如图 (6) 是利用矩形割补对方程 x(x + 3) = 9 配方的结果，则 m = ；由图 (6) 可知方程 x(x + 3) = 9 配方的结果是 . 综合与探究·较难 解：x(x + 3) = 9，x2 + 2× x = 9 ( 如图题 ( 6 ) )，∴ m = ，∴ x2 + 2×x + ( )2 = 9 + ( )2，∴ ( x + )2 = 答案：；(x + )2 = 【综合应用】 (2) 如图 (7)，将面积为 8 的正方形剪去一个边长为a的小正方形，类比以上用矩形割补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程有正整数解，请求出a的值. 综合与探究·较难 解：这是对方程 x(x + 2a) = 8 − a2 进行配方，由题图 (7) 可得：(x + a)2 = 8，∴ x = ±2 − a .∵ 该方程有正整数解，且 a > 0，∴ 2 − a为正整数，∴ a = 2 − 1 或 2 − 2 【迁移应用】 (3) 现有长为 x + b，宽为 x，面积为 c 的矩形( x > 0 , b > 0 , c > 0 )，请你尝试用四个相同的这样的矩形拼成一个新图形，并利用该图形直观展示如何通过几何方法求一元二次方程 x2 + bx = c 的正数解，画出图形并根据图形推导出求解过程. 综合与探究·较难 解：由题意得x(x + b) = c，∴ x2 + bx = c，四个矩形拼成大正方形，中间形成小正方形。∴ 4x2 + 4bx = 4c，4x2 + 4bx + b2 = 4c + b2，∴ (2x + b)2 = 4c + b2，开方得 2x + b = 4c + b2，∴ x = . 课堂小结 第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.2 配方法解一元二次方程（二次项系数为1） $