专题9.3 数列之求和-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦数列求和高考核心考点，系统整合公式法、裂项求和、错位相减法、分组求和四大方法，按“定义梳理-公式推导-例题精讲-应用训练”逻辑架构知识体系。通过考点分类突破、解题方法提炼、高考真题演练等环节，帮助学生构建求和问题的系统解题思路，精准攻克数列求和难点。 资料以数学思维与数学语言培养为导向，创新设计“方法口诀记忆+例题变式拆解+分层练习巩固”教学活动。如裂项求和中归纳“等差型裂项通式”，错位相减强调“乘公比-错位减-化简”规范步骤，配合基础到综合的梯度习题，高效提升学生解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径，助力高考备考提质增效。

专题 9.3 数列之求和 9.3.1 公式法求和 1.等差数列的前n项和公式：（1）；（2）. 2.等比数列的前n项和公式：. 3.一些常见的数列的前n项和： （1）. （2）. 例1.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（　　） A．120 B．85 C．﹣85 D．﹣120 解：等比数列{an}中，S4＝5，S6＝21S2，显然公比q≠1， 设首项为a1，则5①，②， 化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去）， 代入①得， 所以S8（1﹣q4）（1+q4）（﹣15）×（1+16）＝﹣85． 故选：C． 例2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn．若，S4＝15，则S2023＝（　　） A．22023﹣1 B．22022﹣1 C．22023 D．22022 解：由题意，设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0）， ∵，∴（a6﹣4a4）（a6+a4+2）＝0． ∵an＞0，∴a6+a4+2≠0，∴a6﹣4a4＝0，∴，解得q＝2（负值舍去）， ∴，∴a1＝1，∴． 故选：A． 例3.求. 解：分别代入固定公式：立方和：，等差和：. 提取公因式化简：. 例4.已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1（n∈N*）． （1）求证：数列{an+1}是等比数列； （2）求数列{an}的前n项和． 解：（1）∵an+1＝2an+1，（n∈N*），∴an+1+1＝2（an+1），∴2， ∴数列{an+1}是以2为公比的等比数列. （2）由（1）知，数列{an+1}是等比数列，且q＝2，首项为a1+1＝2， ∴an+1＝2•2n﹣1＝2n，∴an＝2n﹣1， ∴数列{an}的前n项和sn＝（2+22+…+2n）﹣nn＝2n+1﹣n﹣2. 1.求数列和，则 . 解：拆分为两组独立求和：平方和：. 自然数等差和：.合并通分化简可得：. 故答案为：. 2.等差数列中，，公差，若前项和，正整数 . 解：代入：解得（舍去，项数为正整数）或. 故答案为：. 3.等比数列，，公比，第6项，则前6项和 . 解：选用含末项公式：可得.故答案为：. 4.等比数列首项，前3项和，则公比的所有可能取值有 . 解：等比求和必须分、两类讨论： ①若：，不符合条件，舍去； ②若：解得或，均满足，全部有效. 故答案为：或. 5.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝﹣5，则S6＝（　　） A．﹣20 B．﹣15 C．﹣10 D．﹣5 解：设等差数列{an}的公差为d，因为S3＝6，S5＝﹣5， 所以，解得，所以S6＝6a1+15d＝6×5﹣15×3＝﹣15． 故选：B． 6.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4＝7，3a2+a5＝5，则S10＝　 　． 解：等差数列{an}中，a3+a4＝2a1+5d＝7，3a2+a5＝4a1+7d＝5， 解得，d＝3，a1＝﹣4，则S10＝10×（﹣4）95．故答案为：95． 7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝7，S3＝15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最大值及此时的n值． 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝7，S3＝15． 所以3a1+3d＝15，解得d＝﹣2，所以an＝7﹣2（n﹣1）＝﹣2n+9； （2）由（1）可得Sn（a1+an）（7﹣2n+9）＝﹣n2+8n， 所以，当且仅当n＝4时，Sn的最大值为16． 8.已知在等差数列{an}中，a5＝3，a9＝﹣5． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn． 解：（1）在等差数列{an}中，a5＝3，a9＝﹣5， 设等差数列{an}的公差为d，则4d＝a9﹣a5＝﹣5﹣3＝﹣8，解得d＝﹣2， ∴an＝a5+（n﹣5）d＝3﹣2（n﹣5）＝13﹣2n； （2）∵a1＝11，∴． 9.记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若，． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）求使成立的n的最小值． 解：(1)由等差数列的性质可得: ，则 ， .设等差数列的公差为 ，从而有:. .从而: . 由于公差不为零，故 .数列的通项公式为:. (2)由数列的通项公式可得: ，则:. 则不等式 即:. 整理可得:.解得: 或 .又 为正整数，故 的最小值为 7. 10.记Sn为数列{an}的前n项和．已知． (1)证明：{an}是等差数列； (2)若，，成等比数列，求Sn的最小值． 解：(1) 因为 ，即 ① 当 时，② ①-②得，. 即 即 所以 且 所以 是以 为公差的等差数列. （2）方法一：由 (1) 可得 又 成等比数列, 所以 即 解得 所以 所以 所以, 当 或 时, 方法二：由 (1) 可得 又 成等比数列, 所以 即 解得 所以 即有 则当 或 时, 9.3.2 裂项求和 1.裂项求和之等差型 （1）；（2）；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）；（12）. 2.裂项求和之根式型 （1）； （2）； （3）； 3.裂项求和之指数型 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6），设，易得，则； 例1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a4＝10，S3＝9． （1）求{an}的通项公式； （2）设数列的前n项和为Tn，求T1011． 解：（1）因为{an}是等差数列，可设首项为a1，公差为d， 由题意得：a2+a4＝（a1+d）+（a1+3d）＝2a1+4d＝10， S3＝a1+a2+a3＝3a1+3d＝9， 联立解得：d＝2，a1＝1， 所以{an}是首项为1，公差为2的等差数列， 所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1． （2）由上问可知，数列{an}是公差为2的等差数列，通项公式an＝2n﹣1． 所以， 从而可得， 从而可得， ． 例2.记Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若S3=6，a1是a1和a9的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记，求数列{bn}的前20项和. 解：(1)由题意知. 设等差数列{an}的公差为d，则. ∵d≠0，解得. 又，. ∴数列{an}是以1为首项和公差为1的等差数列， ∴. (2)由（1）可知. 设数列{bn}的前n和为，则： . ∴，所以数列{bn}的前20和为. 例3.已知数列 的前 项和为 , 且 , . （1）求数列 的通项公式. （2）求数列 的前 项和 . 解:(1)因为 , , 所以 . 当 时, , 即 . 又 . , , 所以 . 所以数列 是等比数列, 且首项为 , 公比为 . 所以 , 所以 . (2)因为 . 的前 项和： . 例4.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝an﹣4an+1，a1＝﹣1． （1）证明：数列{2an+1﹣an}为等比数列； （2）设，求数列{bn}的前n项和； 解：（1）证明：由Sn＝an﹣4an+1，a1＝﹣1， 可得n＝1时，a1＝S1＝a1﹣4a2，解得a2＝0， 当n≥2时，由Sn＝an﹣4an+1，可得Sn﹣1＝an﹣1﹣4an， 两式相减可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝an﹣4an+1﹣an﹣1+4an， 化为4an+1＝4an﹣an﹣1，即有2（2an+1﹣an）＝2an﹣an﹣1， 则数列{2an+1﹣an}首项为2a2﹣a1＝1，公比为的等比数列； （2）由（1）可得2an+1﹣an＝（）n﹣1， 即为2nan+1﹣2n﹣1an＝1， 则数列{2n﹣1an}是首项为﹣1，公差为1的等差数列，即有2n﹣1an＝﹣1+n﹣1＝n﹣2， 则an，， 可得数列{bn}的前n项和为...； 1.已知数列{an}中，，，n∈N*，则{anan+1}的前n项和Sn＝ ． 解：因为，所以，， 所以， 所以Sn（） 所以．故答案为：． 2.数列的前项和= . 解：，， 化简得：.故答案为：. 3.已知，则= . 解：裂项：，，化简得：.故答案为：. 4.已知数列{an}的通项公式，则前项和= . 解：裂项：，累加得：.故答案为：. 5.已知，则= . 解：有理化裂项：，累加消项：. 故答案为：. 6.已知数列{an}的通项公式，则其前项和= . 解：裂项：，， 化简得：.故答案为：. 7.已知数列{an}的通项公式，则前项和= . 解：高考压轴裂项构造：，累加消项：. 故答案为：. 8.Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，. （1）求{an}的通项公式. （2）设，求数列{bn}的前n项和. 解：（1）∵an2+2an＝4Sn+3. ∴an+12+2an+1＝4Sn+1+3. 两式相减得：an+12﹣an2+2an+1﹣2an＝4an+1，整理得：an+12﹣an2＝2（an+1+an）. 又∵an＞0，∴an+1﹣an＝2. 又∵a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝3或a1＝﹣1（舍）. ∴数列{an}是以3为首项、2为公差的等差数列，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1. （2）由（I）可知an＝2n+1. ∴bn（）. ∴数列{bn}的前n项和为：（(•. 9.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. （1）求{an}的通项公式. （2）设，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)等差数列{an}中，，解得. 因成等比数列，即. 设{an}的公差为d，于是得. 整理得：，而d≠0，解得d=3. ∴. (2)由（1）知，. ∴. 10.已知函数，数列{an}是公差为d的等差数列，，. （1）求数列{an}的通项公式. （2）若Sn为数列{an}的前n项和.求证：. 解：（1）由题意可得：a1＝f（d﹣1）＝d2﹣4d+7，a3＝f（d+1）＝d2+3. 又由a3＝a1+2d，可得d＝2，所以a1＝3，an＝2n+1. （2）证明：由题意，Sn. ∴. ∴. 11.已知数列的前 项和为 , , ，且. （1）求数列的通项公式; （2）设 , 求数列的前项和. 解：(1) 由 ， 得：. 即 ，所以数列 为等差数列.由得. 设公差为，，得 . 所以.故数列 的通项公式为. (2)， 所以. 12.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝8，Sn+1﹣4Sn＝8． （1）求{an}的通项公式； （2）若，求数列{bn}的前n项和． 解：（1）由Sn+1﹣4Sn＝8，a1＝8，可得（a1+a2）﹣4a1＝8，得a2＝32； 当n≥2时，由Sn+1﹣4Sn＝8，可得Sn﹣4Sn﹣1＝8， 两式相减可得an+1＝4an，对n＝1也成立， 所以{an}是首项为8，公比为4的等比数列，，n∈N*． （2）因为， 所以， 所以． 故数列{bn}的前n项和为，n∈N*． 9.3.3 错位相减法求和 1.错位相减法：一般地，若数列{cn}的通项公式为，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列，可以用错位相减法求{cn}的前n项和. 2.求{cn}的前n项和具体过程： ①， ①式两边同乘q，得:②， ①－②，得：,然后化简求出. 例1.已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}前n项和，2Sn＝nan． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn． 解：（1）当n＝1时，2S1＝a1，解得a1＝0， 当n≥2时，2Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1， ∴2an＝nan﹣（n﹣1）an﹣1，∴（n﹣1）an﹣1＝（n﹣2）an， 当n≥3时，可得， ∴an⋯a2＝n﹣1， 当n＝2或n＝1时，a1＝0，a2＝1适合上式， ∴{an}的通项公式为an＝n﹣1； （2）由（1）可得， ∴Tn⋯，∴Tn⋯， ∴Tn⋯1， ∴Tn＝2． 例2.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：（1）正项数列{an}的前n项和为Sn，且， 可得n＝1时，4a1＝4S1＝（a1+1）2，解得a1＝1， 当n≥2时，由，可得4Sn﹣1＝（an﹣1+1）2， 两式相减可得4an＝（an+1）2﹣（an﹣1+1）2， 化为（an﹣1）2﹣（an﹣1+1）2＝0，即为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0， 由an＞0，可得an﹣an﹣1＝2， 可得数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，即有an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1； （2）由（2n﹣1）（2n+1﹣1）＝（2n﹣1）•2n+1﹣（2n﹣1）， 设Mn＝1•22+3•23+...+（2n﹣1）•2n+1， 则2Mn＝1•23+3•24+...+（2n﹣1）•2n+2， 两式相减可得﹣Mn＝4+2（23+...+2n+1）﹣（2n﹣1）•2n+2＝4+2•（2n﹣1）•2n+2 ＝﹣12+（3﹣2n）•2n+2， 则Mn＝12+（2n﹣3）•2n+2； 设Un＝1+3+...+2n﹣1n（1+2n﹣1）＝n2． 可得数列{bn}的前n项和Tn＝Mn﹣Un＝12+（2n﹣3）•2n+2﹣n2． 例3.已知数列的前项和为, ,且. （1）求数列的通项; （2）设数列满足, 记的前项和为,若 对任意 恒成立,求实数的取值范围. 解：(1) 当 时, . , . 当 时, 由 ①, 得 ②. ①-②得 . , , . 又 , 是首项为 , 公比为 的等比数列. . （2）由，得. 所以. . 两式相减得： = =. 所以，由得： 恒成立，即恒成立. 当时，不等式恒成立； 当时， 当时， 所以. 例4.在前n项和为Sn的等比数列{an}中，3a2＝2a1+a3，S4＝30，S2＝38﹣a5． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn＝an•log2an，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：（1）设等比数列{an}的公比为q， 由3a2＝2a1+a3，得3a1q＝2a1+a1q2，即q2﹣3q+2＝0，解得q＝2或q＝1， 当q＝1时，由S4＝30，得4a1＝30，解得a1，此时S2＝2a1＝15≠38﹣a5＝38，故舍去q＝1，当q＝2时，由S430，解得a1＝2， 所以an＝2×2n﹣1＝2n； （2）由（1）可知bn＝an•log2an＝2n•n， 所以Tn＝1×21+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n， 则2Tn＝1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1， 两式相减得﹣Tn＝2+22+23+…+2n﹣1+2n﹣n•2n+1n•2n+1＝2n+1（1﹣n）﹣2， 所以Tn＝（n﹣1）•2n+1+2． 1.已知，求其前n项和. 解：①， ②， ①-②： . 故. 2.已知，求其前n项和. 解：①， ②， ①-②：.故. 3.已知，求其前n项和. 解： ①， ②， ①-②：.故. 4.求数列的前项和. 解：① ② ①-②：. 故. 5.已知，求其前n项和. 解：① ② ①-②：. 故. 6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2n+1，Sn，a成等差数列（n∈N*）． （1）求a的值及数列{an}的通项公式； （2）若bn＝﹣（an+1）an，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：（1）等比数列{an}的前n项和为Sn，且2n+1，Sn，a成等差数列， 则：2Sn＝2n+1+a， ①当n＝1时，， ②当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1， 由于数列是等比数列，则：． 解得：a＝﹣2．所以： （2）若bn＝﹣（an+1）an，则：， 则：3•21+…+（2n﹣1）•2n﹣1① 23•22+…+（2n﹣1）•2n②， ①﹣②得：2n﹣1）﹣1﹣（2n﹣1）•2n，解得：． 7.已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设，求数列{bn}的前n项和. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 由数列的前n项和为，可得：. 化为：①，②. ∵，由①②式可得:.∴. (2)∵. ∴数列{bn}的前n项和①. ①×2得：②. ①-②得：. ∴. 8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝3an+4． （1）求{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前n项和为Tn． 解：（1）因为4Sn＝3an+4， 所以4Sn+1＝3an+1+4，两式相减可得4an+1＝3an+1﹣3an，即an+1＝﹣3an，又因为4S1＝3a1+4， 所以a1＝4，故数列{an}是首项为4，公比为﹣3的等比数列，所以； （2）， 所以， 3•33+⋯+n•3n）， 两式相减可得： 4n）3n﹣2， 所以． 9.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n﹣an． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且2bn＝（n﹣2）（an﹣1），若Tn≥λbn对于n∈N*恒成立，求λ的取值范围． 解：（1）∵Sn＝n﹣an，∴Sn﹣1＝（n﹣1）﹣an﹣1（n≥2）， 两式作差得2an＝an﹣1+1，∴2（an﹣1）＝an﹣1﹣1， 当n＝1时，S1＝1﹣a1，∴， 所以{an﹣1}是首项为，公比为的等比数列，故． （2）∵2bn＝（n﹣2）（an﹣1），∴， ∴，① ，② 两式作差得， 化简得， ∵Tn≥λbn恒成立，∴，n≥λ（2﹣n）， 当n＝1时，λ≤1； 当n＝2时，λ∈R； 当n≥3时，，，所以λ≥﹣1， 综上所述，﹣1≤λ≤1，即λ的取值范围是[﹣1，1]． 10.记Sn为数列{an}的前n项和，已知na1+（n﹣1）a2+…+an＝2Sn﹣1． （1）证明：数列{Sn}是等比数列； （2）求最小的正整数m，使得对一切n∈N*都成立． 解：（1）证明：na1+（n﹣1）a2+⋯+an＝2Sn﹣1． 则（n+1）a1+na2+⋯+an+1＝2Sn+1﹣1． 两式作差，可得a1+a2+⋯+an+an+1＝Sn+1＝2Sn+1﹣2Sn，即Sn+1＝2Sn． 由1×a1＝2S1﹣1，可得S1＝1≠0． 所以数列{Sn}是以1为首项，2为公比的等比数列． （2）解：由（1）得，n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1﹣2n﹣2＝2n﹣2， a1＝1不适合上式，所以an 设，则T1＝1， 当n≥2时，， 故． 两式作差，得．整理可得7， 又，因此满足条件的最小正整数m的值为7． 9.3.4 分组求和 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 例1.已知数列{an}满足a1＝2，an+1． （1）记bn＝a2n﹣1，证明：数列{bn}为等比数列，并求出数列{bn}的通项公式； （2）求数列{an}的前2n项和S2n． 解：（1）证明：因为bn＝a2n﹣1， 所以bn+1＝a2n+1＝2a2n+2＝2（a2n﹣1﹣1）+2＝2a2n﹣1＝2bn，又b1＝a1＝2， 所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn＝2n． （2）解：S2n＝（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n） ＝（a1+a3+…+a2n﹣1）+[（a1﹣1）+（a3﹣1）+…+（a2n﹣1）] ＝2（a1+a3+…+a2n﹣1）﹣n ＝2•n＝2n+2﹣n﹣4． 例2.在等比数列中, . （1）求的通项公式; （2）求数列的前项和. 解：（1）由题设 , , 则的公比 ，所以. （2）由 (1) 知：， 所以 . 例3.设是等差数列,是等比数列. 已知. （1）求和的通项公式; （2）设数列 满足,，其中 （i）求数列的通项公式; （ii）求. 解：（1）, 则 , 故 , 易知 , 又 , 则 , 又有 , 得公比 ( 舍去), 所以数列 的通项公式为 , 所以 , 故数列 的通项公式为 . （2）（i）由 (1) 知, , 所以 ; （ii）因为 ; 当 时, , 而. 则 , 所以当 时, . 综上对任意 恒有 , 故 . 1.已知数列满足，则其前n和 . 解：由等差数列与等比数列求和公式，可得：. 2.已知，则其前项和为 . 解：拆分为等差数列、等比数列分别求和：. 3.已知，则其前项和为 . 解：等差部分和： 等比部分和（）：，合并：. 故答案为：. 4.分段数列，求前项和 解：前项含个奇数项、个偶数项： 奇数项：，等差数列和. 偶数项：，首项，公比：. . 5.已知公差不为零的等差数列{an}中，a1＝2，且a3，a5，a8成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：（1）设{an}公差为d，由题意得（2+4d）2＝（2+2d）（2+7d）， 解得d＝1，或者d＝0（舍去）， ∴an＝n+1． （2）． 6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且． （1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn，求{bn}的前2n项和T2n． 解：（1）由，可得a1＝S1＝1， n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1n（n+1）n（n﹣1）＝n，对n＝1也成立， 则an＝n，n∈N*； （2）bn， 则{bn}的前2n项和T2n＝（b1+b3+...b2n﹣1）+（b2+b4+...+b2n）（1...）+（4+16+...+4n） （1）． 7.等比数列的公比为，且成等差数列. （1）求数列的通项公式; （2）若，求数列的前项和. 解：（1）已知等比数列 的公比为 ，且 成等差数列， . . 解得 . , . （2）. . 根据等差数列和等比数列求和公式，得： . 综上，. 8.在数列{an}中，a1＝﹣1，． （1）求证：数列{an+3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝an+n，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：（1）证明：∵， ∴当n≥2时，， ∴数列{an+3n}是首项为a1+3＝2，公比为2的等比数列， ∴，即； （2）由（1）得，则bn＝an+n＝2n﹣2n， ∴数列{bn}的前n项和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题9.3数列之求和 9.3.1公式法求和 窗知识点梳理 :等茶数列的前n项和公式：15，=o,25,=na+0-Dd 2 na,q=1 2等比数列的前n项和公式：S。={a1(1-q)_-品，-a9,q≠1 1-q 1-q 3.一些常见的数列的前n项和： )1+2+3++m=6nn+1(2n+1 (2)13+2+33++m=nn+1 2 ®典型例题 例1.记S为等比数列{a}的前n项和，若S4=-5,S6=21S2,则S8=() A.120 B.85 C.-85 D.-120 例2己知正项等比数列{a)的前n项和为5.若dG-4ad-3a,a。+2a。-8a4=04= 15,则S2023=() A.22023-1 B.22022-1 C.22023 D.22022 例3.求T。=1+23+.+n3-(1+2++n),n∈N 例4.己知数列{an}中，4=1，+1=24+1(nN)· (1)求证：数列{a+1}是等比数列： (2)求数列{a}的前n项和. 课后练习-巩固加强 1.求数列和s,=12+1)+(22+2+(32+3)+.+(n2+n),nN,则s,=一 2.等差数列{an}中，a1=3,公差d=2,若前n项和Sm=120,正整数n= 3等比数列口，小。0，=3，公比q=号第6项a=最则前6项和S。=一 3 4.等比数列首项a1=4,前3项和S3=28,则公比q的所有可能取值有 5.记Sm为等差数列{a}的前n项和，若S3=6,$=-5,则S6=() A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 6.记Sm为等差数列{4}的前n项和，若a4=7,3a+s=5,则S10=_· 7.设Sn为等差数列{a}的前n项和，己知=7，=15. (1)求{a}的通项公式： (2)求S,并求S的最大值及此时的n值. 8.已知在等差数列{a}中，5=3，a=-5. (1)求数列{}的通项公式： (2)求数列{a}的前n项和S. 9.记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3=S5,a2a4=S4. (1)求数列{4}的通项公式a: (2)求使Sn>an成立的n的最小值. 10.记Ss为数列{4}的前n项和.已知 Sn+n=2an+1. (1)证明：{4}是等差数列： (2)若a4,a7,ag成等比数列，求S的最小值. 9.3.2裂项求和 ⑧知识点梳理 1.裂项求和之等差型 《1）a点（2〉na片《3) n(n+1)nn+1 (4) 1 -1[1 1 (5) nn+1)(n+2)2n(n+1(n+1)(n+2) 1 1一=11-1 n(n2-1)nn-1)(n+1)2(n-1)nn(n+1) (6)n2-1 (7) 3n+1 4n+1)-n+3）=41-1-1-1 (n+1(n+2(n+3(n+1)(n+2j(n+3n+2n+3n+1n+2 (8)n(n+1=3n(n+1(n+2)-(n-1)nn+1: (9)nn+1(n+2)=4n(n+1(n+2jn+3-(n-1)n(n+1(n+2小： 4 7ned2nanin7ar2nl (10) (11)2n+1=1-1 n2(n+1n(n+17 2.裂项求和之根式型 1 (1)n+i+-n+1-Vn, 沥++万n+-a。 1 (2) 2n-2市2n1-5n1, 1 (3) 3.裂项求和之指数型 (1)2 _(21-1)-(2”-1)-1_1 (21-10(2-1)(21-10(2-1)2-121-1 w西报女 (2)3” (3)n+2 2(n+1)-n=2-1_.1=1-1 n(n+1)2"n(n+1)2"nn+12n2-(m+02 ”鼎卦 n(n+2) 2n+2n 5)2n+1):-1=-1--1)1 n(n+1) nn+1 （6)an3，设a(am+b)3"-[a(a-rb13.易得a7,b=子，则 a,42n-13”-42n-3)3 典型例题 例1.已知等差数列{an}的前n项和为Su,+4=10,S=9. (1)求{a}的通项公式： (2)设数列。一 2一}的前n项和为I,求T: nan+1 例2.记S是公差不为零的等差数列{4}的前n项和，若S6,4是4和的等比中项 (I)求数列{4的通项公式： 1 (2)记bn= ，求数列{b的前20项和. anan+1an+2 例8已如数刻o的前n项和为5且0，=85，-“2-n-1 (1)求数列{an}的通项公式. 6 (2)求数列 2×3” 的前n项和Tn anan+1 例4.己知数列{an}的前n项和为S,Sn=-4+1,a=-1. (1)证明：数列{2a-a}为等比数列； (2)设b= an+4,求数列{b}的前n项和： nn+1) 0 课后练习-巩固加强 1.已知数列a}中，a=号 3,a12a+1 an,nEN*,则{a,a+1}的前n项和Sa= 2.数列 1 (3n-2)(3n+1) 的前n项和s, 1 1 1 3.已知Sm=1×2×32×3×4 n(n+1)(n+2:则S= +. 2n+1 4已知数列a)的通项公式，m十市，则前n项和5， 1 1 1 5.已知5。i+22+店++n+n+则5，=一 6已知数列a的通项公武a,F2-12- 2” 则其前n项和sn n+2 7.己知数列{a}的通项公式an= n(n+12,则前n项和S,= 8.S为数列{a}的前n项和，已知4>0：a+2a,=4Sn+3 （1)求{4}的通项公式 (2)设bn=。。一 ,求数列{b}的前n项和. 9.已知数列{a}是公差不为零的等差数列，a2+a4=14,且a1,a2,a6成等比数列 （1)求{4}的通项公式 (2)设bn= 1 a,,求数列么的前n项和& 6 10已知函数f(x)=x2-2x+4数列a}是公差为d的等差数列，a,=fd-1) a3=f(d+1)月 (1)求数列{}的通项公式 1+1+…+1≥1 (2)若S为数列a}的前n项和.求证：5+5“十S,3 11.已知数列{an}的前n项和为Sm,a1=1,S5=25,且3Sn+1-an=2Sn+Sn+2. (1)求数列an}的通项公式： 1 (2)设b.=2n-1+V2n+1 求数列{bn}的前n项和Tn 12.设数列{}的前n项和为S,a4=8,S+1-4Sn=8. (1)求{4}的通项公式： 1 (2)若bmF10920n*l092an*1 求数列{b}的前n项和. 9 9.3.3错位相减法求和 囹知识点梳理 1.错位相减法：一般地，若数列{c}的通项公式为Cn=anbn,数列{a}是公差为d的等差 数列，数列{b}是公比为q的等比数列，可以用错位相减法求{cn}的前n项和. 2.求{cn的前n项和具体过程： Sn=a1b1+a2b2+…+anbn①， ①式两边同乘q,得：qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1②， ①-②，得：（1-q)Sn=a1b1+db2+b3+…+bn)-anbn+,然后化简求出Sn ®典型例题 例1.己知数列{an}中，a=1,设S1为{an}前n项和，2S=n. (1)求{4}的通项公式： (2)求数列an+1)的前n项和T 0 例2.己知正项数列{a,)的前n项和为S:且4S。=(a,+1P: (1)求数列{a}的通项公式： （2)若b,=an·a求数列{b,}的前n项和T. 例3已知数列a,的前项和为S。a=}且4S1=35,-9, (1)求数列an}的通项； (2)设数例{b,满足3b,+(n-4a,=0(neN记b,)的前n项和为T若T,≤ab对 任意n∈N·恒成立，求实数的取值范围. 例4.在前n项和为S,的等比数列{4}中，3a=2a1+,S4=30,S=38-5. (1)求数列{a}的通项公式： （2)令b,=alog4,求数列{bm}的前n项和Tn. 11 课后练习-巩固加强 1.已知c,=(2n-1）3,求其前n项和S 2已知c,=(3n-2)2”-1,求其前m项和s, 3.已知Cn=anbn,求其前n项和Sn. 12 4.求数列b,=n-3的前n项和S, 5已知c,=4n-3日，求其前n项利3 3 6.已知等比数列{a}的前n项和为S,且2H1,Sm,a成等差数列(EN)· (1)求a的值及数列{4}的通项公式： （2)若b=-（m什1)，求数列{b}的前n项和T. 7.己知数列{a}是首项为正数的等差数列，数列1 的前n项和为n an'an+1 2n+1 (1)求数列{a}的通项公式： 13 (②)设b,=a,+1)-2,求数列6的前n项和Tn 8.己知数列{a}的前n项和为S,且4S1=3a+4. (1)求{a}的通项公式： (2)设b,=-1-na,'求数列私，}的前n项和为Z: 9.已知数列{a}的前n项和为S,且Sn=n-an. (1)求数列{a}的通项公式： （2)设数列{bm}的前n项和为T,且2bn=(n-2)（a-1),若Tm≥入b对于EN恒成 立，求入的取值范围 14 10.记Sn为数列{a}的前n项和，已知1+（n-1)2++a=2Si-1. (1)证明：数列{S}是等比数列； E求最小的整致，使得m之。+品+“+。对一功7N都成边 15 9.3.4分组求和 金知识点梳理 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分 组求和法，分别求和后相加减 典型例题 16 例1.已知数列{a}满足a1=2,a41=an-1，n为奇数 2an+2,n为偶数 (1)记bn=a21,证明：数列{bm}为等比数列，并求出数列{b}的通项公式： （2)求数列{4}的前2n项和S2m. 例2在诗比数别a中a*a:5a,号 (1)求{an}的通项公式： 2*列a+2n1®， 例3.设{an}是等差数列，{bn}是等比数列已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4. (1)求{an}和{bn}的通项公式 o到-1-”eN 17 (①求数列[a,(c,-1)的通项公式， 求∑a9(neN) 课后练习-巩固加强 1.已知数列(a,}满足。，=2”+2n-1:则其前n和sn= 2.已知a,=2n+3,则其前n项和sn为 3卫，-4a-1则天n,为 4.分段数列 n, n为奇数， n= 2”，n为偶数 求前2m项和S2m 5.己知公差不为零的等差数列{4}中，4=2，且s,5,s成等比数列. (1)求数列{4}的通项公式： (2)若b,=a,+2(n∈N)求数列b,}的前n项和Z. 8已知数列a前n项和为，且S,=方ln+1。 (1)求{4}的通项公式： 1一，n为奇， (2)若数列{b}满足bm=anan+2 求{b}的前2n项和Tm. 2,n为偶数 19 7.等比数列an}的公比为2，且2，a3+2,Q4成等差数列. (1)求数列an}的通项公式； (2)若bn=log2an+an,求数列{bn}的前n项和Tn 8.在数列{a}中，a=-1,a,=2a-1+3n-6(n≥2，n∈N) (1)求证：数列{a+3n}为等比数列，并求数列{a}的通项公式： （2)设b=a+n,求数列{bm的前n项和Tn. 20