山东省泰安市肥城市2025-2026学年八年级下学期期末冲刺练习

**基本信息** 山东省泰安市肥城市八年级下学期期末冲刺练习，涵盖二次根式、相似三角形等核心知识，通过观景平台扩建、草莓利润计算等真实情境题，考查数学抽象、推理与建模能力，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|同类二次根式、位似图形、菱形性质等|基础概念辨析，结合图形直观| |填空题|5题|黄金分割、根与系数关系、相似判定|简洁考查核心公式应用| |解答题|9题|规律探究、矩形综合、实际应用（果园/草莓利润）|23题以果园道路设计和草莓利润为背景，考查方程建模；24题四边形探究从特殊到一般，培养推理意识|

山东省泰安市肥城市2025-2026学年八年级下学期期末冲刺练习 一、单选题 1．若与是同类二次根式，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 2．下列给出的四条线段，是成比例线段的为（   ） A． B． C．，，， D． 3．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，相交于点，于点，连接．若，则度数为（    ） A． B． C． D． 7．下列说法错误的是（     ） A．对角线相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 8．如图， 已知为的角平分线，交于点E， ，那么等于（     ） A． B． C． D． 9．在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（     ） A．6.36米 B．8米 C．11.8米 D．12米 10．如图，在菱形中，，点是上一点，将沿折叠，点落在上的点处，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若有意义，则的取值范围是__________． 12．如图，线段的长是，点和点均为线段的黄金分割点，那么线段的长是______． 13．温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为______米． 14．若关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 15．在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有__________． 三、解答题 16．计算： (1)． (2) 17．按要求解答下列问题： (1)因式分解：． (2)解方程：． 18．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求四边形的面积． 19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 20．如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 根据上述等式，解答下列问题： (1)根据上述规律，第6个等式为________． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． (3)计算． 22．如图1，矩形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，连接，． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长； (3)如图2，作的平分线交于点F，恰有，求的度数． 23．根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． (1)若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额-收购总成本-冷库总费用） (2)该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 24．综合与实践． 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究． (1)如图1，在正方形中，，则的值为 ． (2)如图2，在矩形中，，且，求的值． (3)如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且．求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市肥城市2025-2026学年八年级下学期期末冲刺练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D A A A C A D 1．C 【分析】同类二次根式的定义为：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式，据此判断即可． 【详解】A、时，，与不是同类二次根式； B、时，，与不是同类二次根式； C、时，，与是同类二次根式； D、时，，与不是同类二次根式． 2．B 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、 ，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的周长之比等于位似比即可得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ， 又∵的周长为， ． 故选：C． 4．D 【分析】利用完全平方公式将原方程配方为指定形式，即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 整理得 ， 对比，可得． 5．A 【详解】选项A，的被开方数6不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合定义，是最简二次根式，选项A正确； 选项B ，的被开方数含有分母，不符合定义，不是最简二次根式，选项B错误； 选项C ，，它的被开方数含有能开得尽方的因数，化简后为，不符合定义，不是最简二次根式，选项C错误； 选项D ，，它的被开方数含有分母，不符合定义，不是最简二次根式，选项D错误． 6．A 【分析】先求出，求出，进而求出结论． 【详解】解：在菱形中，， ， ， ， ， 在中，是的中点， ， ． 7．A 【详解】解：A选项，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线相等且互相垂直的平行四边形才是正方形，说法错误，符合题意； B选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，说法正确，不符合题意； C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，是矩形的判定定理，说法正确，不符合题意； D选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是菱形的判定定理，说法正确，不符合题意． 8．C 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质可证明，得到；证明，得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 9．A 【分析】连接，过点E作于点F，设米，利用“同一时刻，物高和影长成正比”列出方程，解方程求出的长度，进而可得的长度． 【详解】解：如图所示，连接，过点E作于点F， 由题意，米，米，米， 则（米）， 设米， 由题意，得， 解得：， ∴（米）． 10．D 【分析】利用菱形的性质得到相关边和角的关系，由折叠的性质，结合等边对等角可得，根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ，， 沿折叠，点落在上的点处， ， ， 又， ． 11．且 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组，求解后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：要使有意义，需同时满足二次根式被开方数为非负数，且分式分母不为零． 列不等式组得 解得且， 则的取值范围是且． 12． 【分析】本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割比是解题的关键． 根据黄金分割点的定义得到，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵点和点均为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设玻璃栈道的宽度是米，则扩建后矩形的长为米，宽为米，可列方程，解方程即可求出玻璃栈道的宽度． 【详解】解：设玻璃栈道的宽度是米， 则扩建后的矩形的长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：玻璃栈道的宽度是5米． 故答案为：5． 14． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为完全平方公式的展开形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中，，， 由根与系数的关系可得：，， 将所求代数式变形得：， 代入计算得：， 故的值为． 15．①②③ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．根据相似三角形的判定定理对各项逐一分析． 【详解】解：①，，； ②，，； ③，，； ④，但对应边夹角不是公共角，所以无法判定． 故答案为：①②③． 16．(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 17．(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解； （2）利用因式分解法将原方程转化为两个一次方程求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 对方程左边因式分解，得 ， ∴ 或 ， 解得 ． 18．(1)证明：，， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， 平行四边形是菱形 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用角平分线定义和平行线的性质，得到，即可得到； （2）求得，再利用菱形的性质和勾股定理求得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：在菱形中，，，， 的周长为18， ， ， ， 在菱形中，， 四边形的面积为． 19．(1) (2) 【分析】（1）利用构造不等式，并求解即可； （2）设方程的两根为、，且，由根与系数的关系可得，解得，，代入求出的值即可． 【详解】（1）解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； （2）解：设方程的两根为、，且， ， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，即，符合． 20．(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2)． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，即可证明； （2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】（1）略； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 21．(1) (2)（n为正整数）． 证明：右边． 左边 ． 左边右边， 等式成立． (3) 【分析】（1）观察题目中给出的四个等式，寻找规律，等式左边的根号内包含三项。第一项是常数1，第二项是，第三项是．其中对应等式的序号（第1个等式中，第2个等式中，以此类推）．等式右边由三项组成，分别是常数1，正分数，以及负分数．根据上述规律分析，再得出最终结论． （2）需要证明这个等式成立，可以分别化简等式的左边和右边，看结果是否相等． （3）根据在（2）问中得出的结论，，可以将待求算式中的每一项都用右边的形式替换，计算时将常数项和分数项分开计算，最后应用裂项相消的方法求和即可． 【详解】（1） （2）略 （3）根据猜想可得原式 ． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据互余得出，，利用等边对等角可得，再利用平角求解即可； （2）由作法可知，利用勾股定理先求出，则，再利用勾股定理求出的长即可； （3）根据矩形和等腰三角形的性质，推出，进而证明，得到，则，再结合 求解即可． 【详解】（1）解：矩形， ， ， ，， 由作法可知，， ， （2）解：矩形，，， ，，， 由作法可知，， 在中，， ， 在中，； （3）解：矩形， ，，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 23．(1)符合要求 (2)在第10天出售 【分析】（1）由中间部分种植面积是，列出一元二次方程，求解方程得的值，再进行取值即可； （2）设草莓存放了天，根据利润=总销售额一收购成本-冷库费用，且利润为800元列一元二次方程并求解即可. 【详解】（1）解：当中间部分种植面积是时，则有： 整理得：， 解得，，， ∵， ∴不符合题意， ∴， 答：小路的宽为3米符合要求； （2）解：设草莓存放了天，根据题意得： ， 整理得： 解得，（超出最大保存期限，舍去） 答：在第10天出售． 24．(1)1 (2) (3) 【分析】(1)证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可得到答案； (2)设与交于点G，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； (3)过点C作交的延长线于点H，证明，列出比例式，即可得到答案． 【详解】（1）解：设与交于点G，如图1所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）解：过点C作交的延长线于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $