精品解析：浙江省湖州市安吉县2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

七年级数学素养卷 考生须知： 1．试卷分为试题卷和答题卷两部分，满分120分，时间120分钟． 2．必须在答题卷的对应位置上答题． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 要使分式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，即分母不为0，列出不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件为分母不等于0，分式的分母为， ∴， ∴． 2. 2026年4月，国家能源局举行新闻发布会，其中提到可再生能源发电量接近四成，风光发电量在全社会用电量中占比接近四分之一．今年一季度，全国可再生能源发电量达8829亿千瓦时，约占全部发电量的37.1%，持续覆盖同期第三产业用电量和城乡居民生活用电量之和．请将“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数． 确定  的值时，要看把原数变成  时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同． 当原数绝对值  时， 是正整数；当原数绝对值  时， 是负整数． 【详解】解： ． 3. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，故运算错误； B、，故运算正确； C、，故运算错误； D、，故运算错误． 4. 下列图形中，和属于内错角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据内错角的定义：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，即可得出答案． 【详解】解：四个选项中，和是内错角的是． 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，等式右边是和的形式，不是几个整式的积，A不符合题意； 选项B中，等式右边的不是整式，B不符合题意； 选项C中，左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，C符合题意； 选项D中，从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，D不符合题意． 6. 歌曲《我爱你中国》创作于1979年，改革开放初期，大批海外华侨归国参与建设，这首歌唱出海外赤子对祖国的赤诚热爱．这首歌副歌部分采用了大量二分音符（2拍）、四分音符（1拍），气息悠长，情感饱满．而对音符时值来说，二分音符＝2拍，四分音符＝1拍．在《我爱你中国》这首歌的副歌部分，一共有71个二分音符和四分音符，所有音符总时值为82拍，设二分音符个，四分音符个，我们可以列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找出两个对应等量关系，分别为音符总数量和总时值，再整理得到方程组即可． 【详解】解：∵二分音符有个，四分音符有个，两种音符总数量为个，∴， ∵二分音符每个时值为拍，四分音符每个时值为拍，所有音符总时值为拍，∴， 因此列出的方程组为． 7. 将方程两边同乘后，可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照要求给原方程每一项同乘，注意，化简后即可得到结果． 【详解】解： 将方程两边同乘，得 ， 化简得即变形后为． 8. 某校为了解七年级学生周末体育锻炼的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查．根据收集到的数据，绘制了频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）．已知图中从左到右各长方形的高度之比为，且锻炼时间在分钟（第3组）的学生有25人．下列说法错误的是（ ） A. 本次共抽取了100名学生参与调查 B. 锻炼时间在分钟的学生人数最多 C. 锻炼时间不低于80分钟的学生共有50人 D. 锻炼时间在分钟的学生有12人 【答案】D 【解析】 【分析】用锻炼时间在分钟（第3组）的学生人数除以其人数占比可求出抽取的学生人数，据此可判断A；根据图中从左到右各长方形的高度之比为可判断B；再分别计算出锻炼时间不低于80分钟的学生人数和锻炼时间在分钟的学生人数即可判断C、D． 【详解】解：A、本次共抽取了名学生参与调查，原说法正确，故此选项不符合题意； B、∵图中从左到右各长方形的高度之比为， ∴锻炼时间在分钟的学生人数最多，原说法正确，故此选项不符合题意； C、锻炼时间不低于80分钟的学生共有人，原说法正确，故此选项不符合题意； D、锻炼时间在分钟的学生有人，原说法错误，故此选项符合题意． 9. 如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠和平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，由折叠可知，， ∴， ∵， ∴． 10. 如图1，现有2个边长为的正方形，一个长为、宽为的长方形，将它们按图2放置在一个长为、宽为的长方形中，其中①②③④四块阴影部分的面积分别为，，，，若满足，则与满足的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，根据，得，据此求解即可． 【详解】解：∵长为、宽为的长方形的面积为， 2个边长为的正方形的面积分别为， 一个长为、宽为的长方形的面积为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 计算：_________． 【答案】 1 【解析】 【详解】解：， ． 12. 某射击选手在一次训练中，共射击了10次，结果如下（单位：环）：8，9，10，9，8，8，7，9，10，8，则在此次训练中，该选手射中9环的频率为________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】共射击次，射中环的频数为，再根据计算即可． 【详解】解：射中环的频率为． 13. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， 将，代入方程得：， 整理得：， 移项得：，即， 系数化为得：． 14. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】提公因式后，再利用平方差公式因式分解． 【详解】解：原式＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法相结合进行因式分解． 15. 若正整数，满足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将等式中各项化为以为底的幂的形式，再利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，得到，结合为正整数的条件，求出的值，即可计算得到的结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴，， ∴． 16. 一般情况下，一个分式通过适当的变形，可以化成一个整式和一个分式（分子是整数）的和的形式． 例如：①；②；已知，． 请仿照上述方法，试将化为一个整式和一个分式（分子是整数）的和的形式________．若，的值都为整数，则整数的值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于第一空，计算出，再把分子和分母都分解因式，并约分，再仿照题干求解即可；对于第二空，根据的值为整数，求出x的值，再同理计算出的结果，根据的值为整数，求出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ； ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∴或； ； ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∴或； 综上所述，． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）考查有理数乘方与负整数指数幂的运算，先计算乘方与负指数幂，再计算减法即可得到结果； （2）根据同底数幂的乘除运算法则逐步计算即可得到结果． 【小问1详解】 解∶． 【小问2详解】 解：． 18. 解下列方程（组）： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 19. 先对分式进行化简，再在，0，1三个数中选择一个合适的数代入求值． 【答案】化简的结果为，当时，原式． 【解析】 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴， ∴当时，原式． 20. 某中学对延时服务选课意向进行了随机抽样调查，要求被调查者只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制不完整统计图如图． （1）被调查的学生中，选音乐课人数的占比为多少？ （2）请计算说明选篮球的人数是多少，并补全频数分布直方图． （3）若全校有人，请估计全校选科技课的人数． 【答案】（1） （2），． （3） 【解析】 【分析】（1）用选择音乐的圆心角度数除以即等于选音乐课人数的占比； （2）先求出这次调查的样本容量为，再乘以选择篮球人数的占比即可求出选择篮球人数，然后补全统计图； （3）用全校人数乘以样本中选择科技课的人数占比即可得答案． 【小问1详解】 解：选音乐课人数的占比为： 【小问2详解】 解：∵， ∴这次调查的样本容量为200， ∴（人）， 即估计选篮球课大约有50人， 补全频数分布直方图略 【小问3详解】 全校有人，全校选科技课的人数约为：． 21. 如图，点在上，、是上的两点，满足，，且． （1）求证：； （2）若，且恰好平分，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴. （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知证明，，由两直线平行内错角相等即可得出. （2）根据平行线性质证明，结合已知可得，再利用三角形内角和求出的度数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 22. “吴越杯”赛事正在火热开展，为鼓励广大市民积极观赛，某市决定推出双人共用票和三人共用票两种票型．若购买1张三人票，2张双人票共花费100元，购买2张三人票和3张双人票花费168元． （1）请问三人票和双人票的价格分别是多少元？ （2）小华及其同学共17人应如何购票更划算，请列举各种可能购票方案，并通过计算确定最少费用的方案． 【答案】（1）三人票的价格是36元/张，双人票的价格是32元/张 （2）所有可能的购票方案为：购买三人票0张，购买双人票9张；购买三人票1张，购买双人票7张；购买三人票2张，购买双人票6张；购买三人票3张，购买双人票4张；购买三人票4张，购买双人票3张；购买三人票5张，购买双人票1张；购买三人票6张，购买双人票0张；其中购买三人票5张，购买双人票1张时费用最少 【解析】 【分析】（1）设三人票的价格是x元/张，双人票的价格是y元/张，根据购买1张三人票，2张双人票共花费100元，购买2张三人票和3张双人票花费168元建立方程组求解即可； （2）设购买m张三人票，购买n张双人票，根据总人数要求得到，则在满足的条件下，m、n的值越小越好，列举所有满足人数的可行购票方案，分别计算各方案的总费用，比较后得到费用最少的购票方案． 【小问1详解】 解：设三人票的价格是x元/张，双人票的价格是y元/张， 由题意得，， 解得， 答：三人票的价格是36元/张，双人票的价格是32元/张； 【小问2详解】 解：设购买m张三人票，购买n张双人票， 由题意得，， ∵m、n为非负整数，且要使购票更划算， ∴在满足的条件下，总费用越小越好，m、n的值越小越好， 当时，，此时的费用为元， 当时，，此时的费用为元， 当时，，此时的费用为元， 当时，，此时的费用为元， 当时，，此时的费用为元， 当时，，此时的费用为元， 当时，，此时的费用为元， ∵， ∴当，时，费用最少， 答：所有可能的购票方案为：购买三人票0张，购买双人票9张；购买三人票1张，购买双人票7张；购买三人票2张，购买双人票6张；购买三人票3张，购买双人票4张；购买三人票4张，购买双人票3张；购买三人票5张，购买双人票1张；购买三人票6张，购买双人票0张；其中购买三人票5张，购买双人票1张时费用最少． 23. 如图，现有一个边长为5的正方形，将这个正方形边长加2，形成一个新的正方形①，面积记为；再将正方形①的边长加2，形成正方形②，面积记为，以此类推，得到正方形，面积记为． （1）________； （2）请用两种形式表达（用含的代数式表达）； （3）当满足时，请求出． 【答案】（1） （2）、， （3） 【解析】 【分析】（1）根据图形变换规律可得：当时，新正方形的边长为，由此即可计算面积； （2）根据正方形的边长为可直接表示面积，也可利用边长增加后面积等于增加各部分面积和表示； （3）根据（2）的结论可得，由此利用开平方解方程即可. 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 解：、， 【小问3详解】 由（2）得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴． 24. 莲花庄是位于浙江湖州的一处古典园林，也是元代书画大师赵孟頫的别业旧址，园内以形态各异的曲桥闻名．曲桥，又称园林桥，是园林中桥面呈多段弯折的特殊桥式．对此，老师带领同学们开展了曲桥的设计活动，为了更直观地呈现设计图，用直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座曲桥． （1）甲同学的方案：设计了一座曲桥，如图1，点、分别在直线、上，当时，试探究与的数量关系，并说明理由． （2）乙同学的方案：在甲同学方案的基础上，即，设计了一座多折曲桥，如图2，已知，，，若要保证桥的最后一段与所在的直线平行，求的度数． （3）丙同学的方案：在甲同学方案的基础上，即，要将河中央的假山景观围住，又增设了一座曲桥，如图3，为了让设计更加美观，要使得平分，平分，求的度数． 【答案】（1）结论：， 理由：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过拐点作平行线，利用“平行于同一直线的两直线平行”，将拆分为两个与、相关的角． （2）多次过拐点（、、、）作平行线，利用“平行传递性”和“内错角相等”，逐步拆分已知角，结合的同位角关系求解． （3）过M，N作平行线，可得，，再结合、角的和差、角平分线定义求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：分别过点、、、作、，，，延长交于点， ∵， ∴， ∴，，，，， ∵，，，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：分别过点、作、， 同理可得：，， ∵平分，平分， ∴，，· 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题以“曲桥设计”为情境，考查平行线的性质与判定、角的和差倍分关系，解题的关键在于构造辅助线（过拐点作平行线），将折线角转化为平行线间的内错角或同旁内角，从而建立角度之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学素养卷 考生须知： 1．试卷分为试题卷和答题卷两部分，满分120分，时间120分钟． 2．必须在答题卷的对应位置上答题． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 要使分式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 2. 2026年4月，国家能源局举行新闻发布会，其中提到可再生能源发电量接近四成，风光发电量在全社会用电量中占比接近四分之一．今年一季度，全国可再生能源发电量达8829亿千瓦时，约占全部发电量的37.1%，持续覆盖同期第三产业用电量和城乡居民生活用电量之和．请将“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 4. 下列图形中，和属于内错角的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 歌曲《我爱你中国》创作于1979年，改革开放初期，大批海外华侨归国参与建设，这首歌唱出海外赤子对祖国的赤诚热爱．这首歌副歌部分采用了大量二分音符（2拍）、四分音符（1拍），气息悠长，情感饱满．而对音符时值来说，二分音符＝2拍，四分音符＝1拍．在《我爱你中国》这首歌的副歌部分，一共有71个二分音符和四分音符，所有音符总时值为82拍，设二分音符个，四分音符个，我们可以列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 7. 将方程两边同乘后，可变形为（ ） A. B. C. D. 8. 某校为了解七年级学生周末体育锻炼的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查．根据收集到的数据，绘制了频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）．已知图中从左到右各长方形的高度之比为，且锻炼时间在分钟（第3组）的学生有25人．下列说法错误的是（ ） A. 本次共抽取了100名学生参与调查 B. 锻炼时间在分钟的学生人数最多 C. 锻炼时间不低于80分钟的学生共有50人 D. 锻炼时间在分钟的学生有12人 9. 如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，现有2个边长为的正方形，一个长为、宽为的长方形，将它们按图2放置在一个长为、宽为的长方形中，其中①②③④四块阴影部分的面积分别为，，，，若满足，则与满足的关系为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 计算：_________． 12. 某射击选手在一次训练中，共射击了10次，结果如下（单位：环）：8，9，10，9，8，8，7，9，10，8，则在此次训练中，该选手射中9环的频率为________． 13. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为________． 14. 分解因式：_______． 15. 若正整数，满足，则的值为________． 16. 一般情况下，一个分式通过适当的变形，可以化成一个整式和一个分式（分子是整数）的和的形式． 例如：①；②；已知，． 请仿照上述方法，试将化为一个整式和一个分式（分子是整数）的和的形式________．若，的值都为整数，则整数的值是________． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列方程（组）： （1） （2） 19. 先对分式进行化简，再在，0，1三个数中选择一个合适的数代入求值． 20. 某中学对延时服务选课意向进行了随机抽样调查，要求被调查者只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制不完整统计图如图． （1）被调查的学生中，选音乐课人数的占比为多少？ （2）请计算说明选篮球的人数是多少，并补全频数分布直方图． （3）若全校有人，请估计全校选科技课的人数． 21. 如图，点在上，、是上的两点，满足，，且． （1）求证：； （2）若，且恰好平分，求的度数． 22. “吴越杯”赛事正在火热开展，为鼓励广大市民积极观赛，某市决定推出双人共用票和三人共用票两种票型．若购买1张三人票，2张双人票共花费100元，购买2张三人票和3张双人票花费168元． （1）请问三人票和双人票的价格分别是多少元？ （2）小华及其同学共17人应如何购票更划算，请列举各种可能购票方案，并通过计算确定最少费用的方案． 23. 如图，现有一个边长为5的正方形，将这个正方形边长加2，形成一个新的正方形①，面积记为；再将正方形①的边长加2，形成正方形②，面积记为，以此类推，得到正方形，面积记为． （1）________； （2）请用两种形式表达（用含的代数式表达）； （3）当满足时，请求出． 24. 莲花庄是位于浙江湖州的一处古典园林，也是元代书画大师赵孟頫的别业旧址，园内以形态各异的曲桥闻名．曲桥，又称园林桥，是园林中桥面呈多段弯折的特殊桥式．对此，老师带领同学们开展了曲桥的设计活动，为了更直观地呈现设计图，用直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座曲桥． （1）甲同学的方案：设计了一座曲桥，如图1，点、分别在直线、上，当时，试探究与的数量关系，并说明理由． （2）乙同学的方案：在甲同学方案的基础上，即，设计了一座多折曲桥，如图2，已知，，，若要保证桥的最后一段与所在的直线平行，求的度数． （3）丙同学的方案：在甲同学方案的基础上，即，要将河中央的假山景观围住，又增设了一座曲桥，如图3，为了让设计更加美观，要使得平分，平分，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $