河南许昌市禹州市第三高级中学2025-2026学年高一下学期下学期第二次校内质量检测数学试题

高一下学期第二次校内质量检测数学试题 一、选择题： 1．已知i为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 2．已知数据，，…，的中位数为2，方差为3，那么数据，，…，的中位数和方差分别为（ ） A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，12 3．某品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如图的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ） A．频率分布直方图中a的值为0.06 B．估计全部销售员工销售额的中位数为15 C．估计全部销售员工中销售额在区间内有6人 D．估计全部销售员工销售额的第76百分位数为17 4．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响．若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（ ） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 5．已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列说法正确的是（ ） A．若，则，共面 B．若，则与有公共点 C．若与无公共点，且，则 D．若存在平面，使得，，，则 6．《九章算术》中将正四棱台称为方婷，如图，在方婷中，，，其体积为，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，过点作与垂直的平面，且平面与该三棱柱的侧面的交线为线段，则（ ） A． B． C． D． 8．已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距．为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向．从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（ ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 二、选择题： 9．已知向量，，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与同向的单位向量为 D．若，则 10．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件，记“得到的点数不大于4”为事件，记“得到的点数为质数”为事件，则下列说法正确的是（ ） A．事件与互斥 B． C．事件与相互独立 D． 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法中正确的是（ ） A．若点为的中点，则平面 B．连接，则直线与平面成角正弦值为 C．若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为 D．若点在侧面正方形内（包含边界），且，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为____________． 13．现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次．若每场比赛中每队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队胜2场且乙队胜2场的概率为____________． 14．已知平面向量，满足，在上的投影向量为，当时，的最小值为，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）2025年秋天将在天津举办上合组织峰会，为了加深师生对上合峰会的了解，天津某校举办了“上合组织峰会”知识竞赛，并将100名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）分成六段、、…、后得到如下频率分布直方图． 观察图形信息，回答下列问题： （1）求a的值，并估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）估计这组数据的第75百分位数； （3）用分层抽样的方法在分数落在内的师生中随机抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在内的概率． 16．（本小题满分15分）甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球． （1）求该局打4个球甲赢的概率； （2）求该局打5个球结束的概率． 17．（本小题满分15分）如图，在棱长为2的正方体中，为侧面的中心． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求三棱锥的外接球的表面积． 18．（本小题满分17分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的值； （3）若为锐角三角形，为所在平面内一点，且满足，设（，），求的取值范围． 19．（本小题满分17分）如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点． （1）证明：平面平面． （2）若线段上存在点，使得平面平面， （ⅰ）猜想的值，并说明理由； （ⅱ）求二面角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期第二次校内质量检测数学试题 1．A 2．C 3．D 4．B 5．D 6．A 7．B 8．C 9．AC 10．BD 11．ACD 12． 13． 14． 15．【详解】（1）根据频率分布直方图可知：，即； 估计本次竞赛成绩的平均分为． （2）由图中前四组面积之和为：， 图中前五组面积之和为：， 故这组数据的第75百分位数在第五组数据中，设这组数据的第75百分位数为， 则有，故，估计这组数据的第75百分位数为82分； （3）用分层抽样的方法在分数在内的师生中抽取一个容量为6的样本，其中分数在的人数为2，分别记为、，分数在的人数为4，分别记为，，，从6人中任取2人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共15种，其中，事件“从6人中任取2人，至多有1人的分数在内”所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共9种，故所求概率为 16．【解析】 （1）设甲发球甲赢为事件，乙发球甲赢为事件，该局打4个球甲赢为事件，由题知， ，，则， 所以， 所以该局打4个球甲赢的概率为． （2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，，，， 所以， ， 所以， 所以该局打5个球结束的概率为． 17．【小问1详解】 证明：连接，与交于点，连接， 因为为侧面的中心，所以为的中点， 连接，因为，，且，， 所以，且，则四边形为平行四边形， 因为为的中点，易知，又平面，平面， 故平面． 【小问2详解】 连接，则，则，易知四边形为平行四边形， 在正方体中，平面，又平面， 所以，因为，故平面，即平面， 所以为直线与平面所成的角，在中，易求，，所以，则． 故直线与平面所成角的大小为． 【小问3详解】 设三棱锥的外接球的球心为，半径为，因为的外接圆的圆心为， 所以平面，由（1）可知，，平面，所以平面， 因此球心在线段上，易求，，由，解得， 故三棱锥的外接球的表面积为． 18．【详解】（1）由，根据正弦定理得， 在中，，则，即，又，故． （2）因为，则，因为， 所以， 所以 ， 所以， 又面积，其中为外接圆的半径，解得，所以． （3）因为，所以为的外心． 又（，），则（，）， 得，即，从而①； 同理（，），可得②． 由①②可得，即有③． 因为为锐角三角形，所以得；同时由得．将③化简得，从而有，得，所以． 而， 令，则，设，则结合对勾函数性质可知在上单调递减，所以，当且仅当即时取等号，所以的取值范围为． 19．【小问1详解】 证明：在梯形中，，，，为的中点， 所以，且，则四边形为菱形，所以， 则，所以为等边三角形，翻折后为等边三角形，且，因为为的中点，故，． 同理，四边形为菱形，为等边三角形，，． 在中，，，又，则，所以． 因为，，平面，所以平面． 又平面，故平面平面． 【小问2详解】（ⅰ）．理由如下： 如图，连接，与，分别交于点，，连接，． 因为，分别为，的中点，四边形为菱形， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． 因为为的中点，所以为的中位线，所以为的中点． 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，所以为的中点， 即． （ⅱ）由（2）（ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为的中点． 由（1）可知，，，且，，平面， 所以平面．又，所以平面．又平面，则， 所以，则． 在中，，，则， 又，所以．如图，过作于点， 由等面积法可知，． 在中，，，则边上的高为． 设点到平面的距离为， 则． 所以，所以． 设二面角的大小为，则． 故二面角的正弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $