精品解析：河南新未来联考2025-2026学年高一下学期6月测评数学试题

高一年级6月测评数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，复数，则， 因此在复平面内对应的点位于第一象限. 2. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量及向量模的公式计算结果即可. 【详解】因为在上的投影向量为， 所以在上的投影向量的模为. 3. 函数的定义域为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】使用正切函数的图象与性质求解. 【详解】令，得，解得，， 所以定义域为：， 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项验证即可. 【详解】选项A，若，则直线与直线位置关系可能为平行、相交或异面，故A错误； 选项B，若，则直线与平面位置关系可能为、或与相交，故B错误； 选项C，根据线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理可知，若， 则内必存在直线平行于m，设为l，则，则，故C正确； 选项D，若，则直线与平面位置关系可能为、或与相交，故D错误. 5. 已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的周长为， 所以，所以扇形的面积为， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以当时，扇形的面积取得最大值. 6. 如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图： 取中点，连接，. 因为，所以即为异面直线与所成的角. 不妨设，在中，，， 所以. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】由，结合正弦定理，可得， 又， 因为为三角形内角，所以. 根据余弦定理，，可得， 中，，且，所以为等边三角形. 8. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用同角三角函数的平方关系与两角和与差的正余弦公式计算. 【详解】由，，得， 由，得， ，由，得， 因 而， ， . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的相关概念及除法运算逐项判断. 【详解】对于A，由纯虚数不能比较大小，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，若，根据复数虚部的概念，得的虚部为，故C正确； 对于D，，所以，故D正确. 10. 在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. ，则 C. 若，，有两解，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解、推理判断ABC；利用和角的余弦公式判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理，得， 又，因此或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，有两解， 得，且，解得，C正确； 对于D，在中，， 则，D正确. 11. 如图，在正方体中，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 几何体是三棱台 B. 直线与平面相交 C. 二面角的平面角的正切值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，通过判断延长相交于一点即可判断，对于B，连接，通过判断平面平面，即可判断，对于C，作，连接，确定为二面角的平面角，进而可求正切值，对于D，设点在平面上的射影为点，确定即为直线与平面所成的角，得到，再通过为定值，求出的最小值即可判断. 【详解】对于A，因为点分别为的中点，所以， 且，所以四边形是等腰梯形， 所以延长必然相交，设交点为， 又分别在平面内， 则点为平面的公共点， 又平面平面， 所以，即延长后相交于一点， 又平面平面， 所以几何体是三棱台，A正确， 对于B，如图1，连接，由中位线可得， 再取的中点为，连接， 由，得四边形为平行四边形，故， 由，得四边形为平行四边形， 故，所以， 又平面，且平面， 所以平面，平面， 又平面， 所以平面平面，又平面, 所以平面，B错误； 对于C，如图2，过点作，连接，因为平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以，即为二面角的平面角， 设正方体的棱长为2，则， 由，得，则，C正确； 对于D，如图3，设点在平面上的射影为点， 连接，则即为直线与平面所成的角，则， 因为平面，所以点到平面的距离为定值，即为定值， 所以当取最小值时，取最大值， 点到平面的距离等于点到平面的距离， 设点到平面的距离为，正方体的棱长为2， 则， 所以等腰梯形的高， 由，所以， 解得，即， 在中，， 所以，当时，， 即，所以，即取最小值为， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 河南科技馆内有一个半径为15m的球形建筑物，已知三点在该球面上，且，则球心到平面的距离为______． 【答案】12 【解析】 【分析】先求出正的外接圆半径，再利用球的截面性质中球半径、截面圆半径、球心到截面距离的勾股关系计算所求距离. 【详解】由题意可知，均在平面截球所得的截面圆上，且， 故为正三角形. 设截面圆半径为，由正弦定理得 m. 设球心到平面的距离为d，则m. 13. 已知平面向量，，满足且，向量满足，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【详解】已知平面向量，，满足且， 设，，， ，代入坐标得： ， 可知向量的终点在一个圆心坐标为，半径为的圆上， 则的最大值是原点到圆心的距离加上圆的半径， 即. 14. 设，若，且，，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据对称性和特殊角的三角函数值，转化为关于和的方程组，即可求解. 【详解】由条件可知，，， 由，由， 可知，或，即或， 由可知，，则， 当且时，解得：，，此时， 当且时，解得：，，此时. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 设复数，（其中，）． （1）若，求的值； （2）若是关于x的方程的一个根，求实数的值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数的定义、复数相等的条件求出对应的参数； （2）根据实系数一元二次方程虚根成对的特点，结合韦达定理求解参数. 【小问1详解】 由可得，又，即. 解得，因此. 【小问2详解】 依题意，也是方程的根. 由韦达定理，，解得，即； ，即. 当时，；当时，，故的值为. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，化简求出后可得角A； （2）结合已知条件和三角形面积公式求出，再用余弦定理求，进而得周长. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得， 即， 因为， 所以，则，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以. 由余弦定理可得， . 故的周长为 17. （1）已知，求的值； （2）已知，求实数的值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【详解】（1）易知， 可得， ， ； （2）由题意，左边， 右边 ， 则，即， 所以 . 18. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，. （ⅰ）求的对称中心和对称轴； （ⅱ）若函数的图象在区间（，且）上至少含有40个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（）；，；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，求出的坐标，根据两向量平行列方程，求出，再凑出整体求解； （2）（ⅰ）由向量数量积公式求出,利用三角恒等变换整理成正弦型函数，再根据正弦函数的性质求解； （ⅱ）化简，令，解出全部零点表达式，得出相邻两个零点之间的距离，进而求解. 【小问1详解】 由题意得，则， 由，，得， 由，得，则，， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）依题意， ， 由，，得，，所以的对称中心为（）. ，，得，，所以的对称轴为，； （ⅱ）由题意，知， 由，得， 故或，， 解得或，， 故的零点为或，， 所以相邻两个零点之间的距离为或. 若最小，则和都是零点，此时在区间，，…，（）， 分别恰有3，5，…，个零点， 所以在区间上恰有39个零点， 从而在区间上至少有一个零点，所以， 另一方面，在区间上恰有40个零点， 所以的最小值为. 19. 一个上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2的圆台，如图所示，等腰梯形ABCD是圆台的轴截面，P为圆台上底面圆周上一点 （1）若平面APC与圆台下底面的圆周交于点Q． （ⅰ）证明：平面ADQ； （ⅱ）若四棱锥的体积为，求二面角的正弦值； （2）若圆台是封闭容器（容器壁厚度忽略不计），且圆台内有两个半径相等的铁球，求铁球半径的最大值． 【答案】（1）（ⅰ）因为圆台上、下底面平行，平面与上底面的交线为，与下底面的交线为， 所以， 又因为平面，平面，所以平面. （ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据面面平行的性质定理及线面平行的判定定理证明； （ⅱ）使用棱锥的体积公式与二面角的定义计算； （2）分当两个铁球的球心在竖直方向上，当两个铁球都与底面相切，当两个铁球一个与下底面相切，另一个与上底面相切三种情况求解. 【小问1详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因为圆台上底面半径为1，下底面半径为2，所以， 如图1，连接，则，则， 又因为.圆台的高为. 则，所以， 又因为，所以点到直线的距离为2，所以，则. 过点作，垂足为，过点作，交于点，连接， 因为，所以，因为平面，所以，所以平面， 所以，则即为二面角的平面角， 因为，，则，所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（ⅰ）（ⅱ）可知为圆台的轴截面，， 因为是等腰梯形，所以，. 设两铁球半径为， Ⅰ.当两个铁球的球心在竖直方向上时，若半径最大，则分别与两个底面相切，如图2， 则铁球球心与圆台上、下底面的距离均为，则有，所以此时铁球半径； Ⅱ.当两个铁球都与底面相切时，若半径最大，则两铁球相外切，且各与圆台一侧面也相切，如图3， ，分别是两球与底面相切的切点，则，，， 连接，因为点到与的距离都等于，所以点在的角平分线上， 同理，点也在的角平分线上， 则，又因为，则， 所以，则； Ⅲ.当两个铁球一个与下底面相切，另一个与上底面相切， 若球的半径最大，则两球相切且分别各与圆台一侧面相切，如图4所示， 球与下底面相切的切点为，球与上底面相切的切点为， 的延长线与交于点，过向直线作垂线，垂足为， 则，， 同上分析，在的角平分线上，点在的角平分线上，所以，， 则，由， 即，化简得：， 解得或（舍）. 又因为，所以铁球半径的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级6月测评数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 5. 已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则 10. 在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. ，则 C. 若，，有两解，则 D. 11. 如图，在正方体中，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 几何体是三棱台 B. 直线与平面相交 C. 二面角的平面角的正切值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 河南科技馆内有一个半径为15m的球形建筑物，已知三点在该球面上，且，则球心到平面的距离为______． 13. 已知平面向量，，满足且，向量满足，则的最大值是______． 14. 设，若，且，，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 设复数，（其中，）． （1）若，求的值； （2）若是关于x的方程的一个根，求实数的值． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 17. （1）已知，求的值； （2）已知，求实数的值. 18. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，. （ⅰ）求的对称中心和对称轴； （ⅱ）若函数的图象在区间（，且）上至少含有40个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 19. 一个上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2的圆台，如图所示，等腰梯形ABCD是圆台的轴截面，P为圆台上底面圆周上一点 （1）若平面APC与圆台下底面的圆周交于点Q． （ⅰ）证明：平面ADQ； （ⅱ）若四棱锥的体积为，求二面角的正弦值； （2）若圆台是封闭容器（容器壁厚度忽略不计），且圆台内有两个半径相等的铁球，求铁球半径的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $