精品解析：上海外国语大学附属大境中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试卷

上外附属大境中学二零二五学年度第二学期期末考试 高一年级数学试卷 （90分钟内完成，总分120分） 一．填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 函数的最小正周期为______． 2. 已知扇形的弧长为8，半径为4，则扇形的面积为_______． 3. 已知在第二象限，则的值为__________. 4. 若复数满足，其中为虚数单位，则___________. 5. 已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是________． 6. 已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的数量投影为_________. 7. 在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 8. 若（为虚数单位）为方程（）的一个根，则______. 9. 若，，则__________. 10. 如图，已知函数的图像与轴的交点为，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和，则________． 11. 如图，正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为________. 12. 在同一平面上，已知两圆，的圆心均为，半径分别为1，2，常数.若在圆上存在定点A以及在圆上存在定点B，使得对该平面上的任意一个单位向量，恒有，则的最小值为___________. 二．选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 设是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 与 C. 与 D. 与 14. 已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要条件 15. 若对任意实数x都有，则角的终边在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 16. 定义：非零向量、的外积记作是一个向量，其中，命题①在数值上等于以、为邻边的平行四边形面积；命题②.则两个命题的真假为（ ） A. ①真，②真 B. ①真，②假 C. ①假，②真 D. ①假，②假 三．解答题（本大题共5题，共50分） 17. 设，是两个单位向量，夹角为，且，，求与的夹角． 18. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在平面，是圆上不同于的任一点，求证：⊥平面． 19. 如图，在长方体中，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 20. 在中，角的对边分别为. （1）若，求角的大小； （2）若边上的高等于，求的最大值. 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，．作：，，当不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定． （1）已知，，求； （2）若向量（，，），求证：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上外附属大境中学二零二五学年度第二学期期末考试 高一年级数学试卷 （90分钟内完成，总分120分） 一．填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知的最小正周期为,根据图象变换的原则,即可得到的最小正周期 【详解】函数的最小正周期即函数的最小正周期,所以所求最小正周期为． 故答案为 【点睛】本题考查正切型函数的最小正周期,考查图象变换 2. 已知扇形的弧长为8，半径为4，则扇形的面积为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】由扇形面积公式直接求解即可. 【详解】所求为. 故答案为：16. 3. 已知在第二象限，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式求解. 【详解】由在第二象限，得， 所以. 故答案为：. 4. 若复数满足，其中为虚数单位，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法和模的公式即可求解. 【详解】由，得，故. 故答案为： 5. 已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是________． 【答案】相交或异面 【解析】 【分析】由异面直线定义以及平行线之间的关系分类讨论即可得出结论. 【详解】显然直线不可能平行，否则，由，知，与是异面直线矛盾， 根据异面直线定义可知， 设平面，当，，且，如下图所示： 此时与为异面直线； 当，，且时，如下图所示： 此时与相交， 所以与的位置关系是异面直线或相交直线. 故答案为：相交或异面 6. 已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的数量投影为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得在上的数量投影为，计算即可. 【详解】因为在上的数量投影为，且， 所以， 故答案为： 7. 在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先作出辅助线，根据平行关系找出直线与所成的角，然后根据垂直关系和线段关系求出该角的值. 【详解】取的中点，连接. 因为分别为的中点， 所以. 又， 所以. 所以直线与所成角为. 在直角三角形中，因为， 所以. 故答案为：. 8. 若（为虚数单位）为方程（）的一个根，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】将代入方程，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以， 所以，所以. 故答案为：5 9. 若，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】，，， 故. 10. 如图，已知函数的图像与轴的交点为，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和，则________． 【答案】 ## 【解析】 【详解】由题可知，又函数图像与轴的交点为，所以，所以， 因为，所以. 11. 如图，正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用面面平行的判定及性质得出结果. 【详解】如图，取的中点，连结， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. 因为点是线段的中点，为的中点， 所以，，又 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. 又，又平面. 所以平面平面. 当点在线段上时，平面, 所以平面， 又点轨迹在正方形内，所以点在线段上， . 故答案为：. 12. 在同一平面上，已知两圆，的圆心均为，半径分别为1，2，常数.若在圆上存在定点A以及在圆上存在定点B，使得对该平面上的任意一个单位向量，恒有，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先固定点 ，，求关于单位向量的最大值，再通过调整 与 的夹角使该最大值最小即可． 【详解】设，则． 对任意单位向量，有其中 ， 可随的方向选取，使得． 对任意单位向量，不超过； 反过来，当取为与达到最大长度的向量同向的单位向量时可以取等． 所以当 ， 固定时，， 设的夹角为 ，则， ， 因此， 要使该最大值最小，只需令 最小． 因为两圆同心，可以取 ， 使得 ，即 ， 此时， 所以的最小值为． 二．选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 设是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【详解】对A：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得，故与不共线，可作基底； 对C：对与，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得，故与共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故与不共线，可作基底. 故选：C. 14. 已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”不能推出“直线与平面所成角的大小为”， 由“直线与平面所成角的大小为”能推出“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”，由此可确定选项. 【详解】若直线与平面内一条直线所成角的大小为，则直线与平面内无数条直线所成角的大小为，这无数条直线平行，直线与平面所成角的大小不一定为. 故“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”不能推出“直线与平面所成角的大小为”. 若直线与平面所成角的大小为，则直线与它在平面上的射影所成的角为，直线与平面内无数条直线所成角的大小为，这无数条直线与射影平行. 故“直线与平面所成角的大小为”能推出“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”. 故“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的必要非充分条件. 故选：B. 15. 若对任意实数x都有，则角的终边在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式先化简，然后再根据正弦值余弦值的正负判断象限即可. 【详解】， ， 因为，所以角的终边在第四象限. 故选：D. 16. 定义：非零向量、的外积记作是一个向量，其中，命题①在数值上等于以、为邻边的平行四边形面积；命题②.则两个命题的真假为（ ） A. ①真，②真 B. ①真，②假 C. ①假，②真 D. ①假，②假 【答案】A 【解析】 【详解】当以、为邻边组成平行四边形时，如图 其中、，为平行四边形中边上的高，则平行四边形面积，故①真， 当时，，则，反之因为、，若，则，即，故②真. 三．解答题（本大题共5题，共50分） 17. 设，是两个单位向量，夹角为，且，，求与的夹角． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再求出和，再利用向量夹角的计算公式求解即可. 【详解】，是两个单位向量，夹角为，. . . . ，又，. 18. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在平面，是圆上不同于的任一点，求证：⊥平面． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据题意分别证得和，结合线面垂直的判定定理，即可求解. 【详解】由垂直于圆所在平面，且在底面圆所在平面内，所以， 又由是圆的直径，可得， 因为且平面， 所以⊥平面． 19. 如图，在长方体中，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设，连接得，由线面平行的判定定理可得答案； （2）与全等得，进而，，可得为二面角的平面角，在中计算可得答案. 【小问1详解】 连接，设，连接，因为平面为正方形，所以为的中点， 在中，为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为， 所以与全等，所以，又， 取的中点为M，连接，则有，， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 20. 在中，角的对边分别为. （1）若，求角的大小； （2）若边上的高等于，求的最大值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合特殊角的三角函数值即可得解； （2）利用三角形面积公式与余弦定理得到，从而将转化为关于角的表达式，进而得解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 又，则，所以， 因为，所以或. 【小问2详解】 由三角形面积公式得，即， 又由余弦定理，得， 从而有， 所以. 当，即时，有最大值， 即的最大值为. 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，．作：，，当不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定． （1）已知，，求； （2）若向量（，，），求证：； 【答案】（1）0 （2）证明：当不共线时，； 当共线时， ， 因为向量，共线，所以， 所以共线时，关系依然成立， 因为向量，，且向量， 则， 所以， ， 所以. 【解析】 【分析】（1）由题意，根据新定义即可求解； （2）由新定义可证得，，即可证明. 【小问1详解】 因为，，可得，即共线， 所以 ； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $