19.1 平方根与立方根 暑期预习讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

沪教版（五四制）八年级数学上册暑期预习课程讲义 课题：19.1平方根与立方根 一．知识点1：算术平方根：一般地如果一个正数X的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x的叫做a的算术平方根正数的算术平方根记作用“”读作：“根号a”a叫做被开方数，特别：0的算术平方根是0 例题讲解： 1.求下列各数的算术平方根 （1）256 （2） （3） （4）0.0064 2. 化简： （1） （2） （3） （4） 二．知识点2：算术平方根缩放规律 正向结论：一个数扩大为原来的10倍，它的平方就扩大为原来的100倍 反向结论：一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍 一个数缩小为原来的，它的算术平方根就缩小为原来的 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点就向右或者向左移动一位。 被开方数和算术平方根的缩放规律： 被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍 被开方数缩小为原来的（n为正整数，即小数点向左移动2n位），算术平方根就缩小为原来的（小数点左移n位） 例题讲解：已知：，，利用以上结果，求下列各式的近似值． （1）_______； （2）____________； （3）_________； （4）______________； （5）___________； （6）_____________． 【课堂反馈】 已知那么______. 三．知识点3：算术平方根的应用： （1）正方形边长计算： 【例题讲解】 学校用竹篱笆围成一个占地面积为144平方厘米的正方形花圃，需要准备多长的竹篱笆？ 【课堂反馈】 小明的房间面积为17.6，房间的地面恰好由110块大小相同的正方形地砖铺成，问：每块地砖的边长是多少? （2）代数求值应用 【例题讲解】 已知，求的算术平方根． 【课堂反馈】 有理数a,b,c满足 四．知识点4:平方根 如果一个数x的平方等于，即x²=a那么这个数叫做的平方根．也称二次方根这个数叫做被开方数．如，，的平方根是． 定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方． 说明： 1) 只有非负数才有平方根，负数没有平方根； 2) 平方和开平方互为逆运算． ★注意： 1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；负数没有平方根。 2），2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写； 3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0． 【例题讲解】 1.求下列各数的平方根 （1）； （2） （3） （4） 2.化简 （1）（2）（3）（4）（5） 【例题讲解】 如果一个正数的两个平方根是3a-2和2a-13,那么这个正数是的值是多少？ 【课堂反馈】 一个正数a的两个平方不同的平方根是2m-4和3m-1，求a的值 知识点五：开立方 1、定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方． 2、如果一个数x的立方等于，即那么这个数x叫做的立方根，用“”表示，读作“三次根号”，中的叫做被开方数，“3”叫做根指数． ★注意： 1） 任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根； 2） 零的立方根是0； 3） 一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1． 【例题讲解】求值： （1）； （2）； （3）； （4） 【课堂反馈】求值： （1）； （2）； （3）． 知识点六：被开方数和立方根的缩放规律： 被开方数小数点每移三位，立方根小数点同向移一位 1. 正向：已知被开方数，求立方根 1. 被开方数小数点右移 3 位 → 立方根小数点右移 1 位 例： 小数点右移 3 位得 1000，立方根 1 右移 1 位得 10 2.被开方数小数点左移 3 位 → 立方根小数点左移 1 位 1 左移 3 位→0.001，立方根 1 左移 1 位→0.1 2. 反向：已知立方根，求被开方数 立方根小数点移 1 位，被开方数同向移 3 位 例： 立方根 2 左移 1 位→0.2，立方 8 左移 3 位→0.008 立方根 2 右移 1 位→20，立方 8 右移 3 位→8000 ★注意：立方根是三位一组，平方根才是两位一组，不要混淆；移动方向永远相同，没有反向；正负不影响小数点移动规则，负数一样适用。 【例题讲解】 填写下表，并回答问题： a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 ……. … … （1） 数a与它的立方根的小数点的移动有何规律? （2） 根据这个规律，若已知，求a的值． 【课堂反馈】已知，，，求的值． 三、拓展：开次方： 1、求一个数的次方根的运算叫做开次方．叫做被开方数，叫做根指数． 2、 如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根． 3、 当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根． ★注意： 1） 实数的奇次方根有且只有一个，用“”表示．其中被开方数是任意一个数，根指数是大于1的奇数； 2） 正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“”表示，负次方根用“”表示．其中被开方数，根指数是正偶数（当时，在中省略）； 3） 负数的偶次方根不存在； 4） 零的次方根等于零，表示为． 【例题讲解】 （1）； （2）； （3）． 【课堂反馈】的四次方根是 ，的六次方根是 沪教版（五四制）八年级数学上册暑期预习课程讲义（参考答案） 课题：19.1平方根与立方根 一．知识点1：算术平方根：一般地如果一个正数X的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x的叫做a的算术平方根正数的算数平方根记作用“”读作：“根号a”a叫做被开方数，特别：0的算术平方根是0 例题讲解： 1.求下列各数的算数平方根 （1）256 （2） （3） （4）0.0064 解析： （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 3. 化简： （1） （2） （3） （4） 解析： 答案（1）（2）（3）（4） 二．知识点2：算术平方根缩放规律 正向结论：一个数扩大为原来的10倍，它的平方就扩大为原来的100倍 反向结论：一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍 一个数缩小为原来的，它的算术平方根就缩小为原来的 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点就向右或者向左移动一位。 被开方数和算术平方根的缩放规律： 被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍 被开方数缩小为原来的（n为正整数，即小数点向左移动2n位），算术平方根就缩小为原来的（小数点左移n位） 例题讲解：已知：，，利用以上结果，求下列各式的近似值． （1）_______； （2）____________； （3）_________； （4）______________； （5）___________； （6）_____________． 解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【课堂反馈】 已知那么______. 答案：17.03 分析：根据题意，利用算术平方根性质即可确定出结果． 解：∵，∴17.03． 故答案为：17.03． 三．知识点3：算术平方根的应用： （1）正方形边长计算： 【例题讲解】 学校用竹篱笆围成一个占地面积为144平方厘米的正方形花圃，需要准备多长的竹篱笆？ 解：设正方形竹篱笆的边长是x米(x＞0） 根据题意得：x²=144 解得x=12 竹篱笆的长度为：4×12=48（米） 答：需要准备48米竹篱笆。 【课堂反馈】 小明的房间面积为17.6，房间的地面恰好由110块大小相同的正方形地砖铺成，问：每块地砖的边长是多少? 答案：0.4m． 解：设每块地砖的边长是米，则有：，化简得，解得： 即每块地砖的边长是0.4m． （2）代数求值应用 【例题讲解】 已知，求的算术平方根． 分析：考查非负数的和为零的基本模型的运用以及对算术平方根的理解． 解：由题意知：， 解得：， 所以， 所以的算术平方根为3． 【课堂反馈】 有理数a,b,c满足 解：根据题意得： 四．知识点4:平方根 如果一个数x的平方等于，即x²=a那么这个数叫做的平方根．也称二次方根这个数叫做被开方数．如，，的平方根是． 定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方． 说明： 3) 只有非负数才有平方根，负数没有平方根； 4) 平方和开平方互为逆运算． ★注意： 1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；负数没有平方根。 2），2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写； 3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0． 【例题讲解】 1.求下列各数的平方根 （1）； （2） （3） （4） 解析： (1) (2) (3) (4) 2.化简 （1）（2）（3）（4）（5） 解析：答案（1）40（2）（3）21（4）（5）- 【例题讲解】 如果一个正数的两个平方根是3a-2和2a-13,那么这个正数是的值是多少？ 答案：49 分析：根据一个正数的平方根互为相反数可得出a的值，代入后即可得出这个正数． 解：由题意得，3a-2+2a-13=0，解得：a=3，∴这个正数为：（3a-2）2=49． 故答案为49． 【课堂反馈】 一个正数a的两个平方不同的平方根是2m-4和3m-1，求a的值 解：由题意得，2m-4+3m-1=0，解得：m=1，∴这个正数为：（2m-4）2=4． 故答案为4． 知识点五：开立方 1、定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方． 2、如果一个数x的立方等于，即那么这个数x叫做的立方根，用“”表示，读作“三次根号”，中的叫做被开方数，“3”叫做根指数． ★注意： 4） 任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根； 5） 零的立方根是0； 6） 一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1． 【例题讲解】求值： （1）； （2）； （3）； （4） 答案：（1）4 （2）- （3）- （4）6 【课堂反馈】求值： （1）； （2）； （3）． 答案：（1）0.5 （2） （3）60 知识点六：被开方数和立方根的缩放规律： 被开方数小数点每移三位，立方根小数点同向移一位 1. 正向：已知被开方数，求立方根 2. 被开方数小数点右移 3 位 → 立方根小数点右移 1 位 例： 小数点右移 3 位得 1000，立方根 1 右移 1 位得 10 2.被开方数小数点左移 3 位 → 立方根小数点左移 1 位 1 左移 3 位→0.001，立方根 1 左移 1 位→0.1 2. 反向：已知立方根，求被开方数 立方根小数点移 1 位，被开方数同向移 3 位 例： 立方根 2 左移 1 位→0.2，立方 8 左移 3 位→0.008 立方根 2 右移 1 位→20，立方 8 右移 3 位→8000 ★注意：立方根是三位一组，平方根才是两位一组，不要混淆；移动方向永远相同，没有反向；正负不影响小数点移动规则，负数一样适用。 【例题讲解】 填写下表，并回答问题： a … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 ……. … 0.01 0.1 1 10 100 … (1)数a与它的立方根的小数点的移动有何规律? (2)根据这个规律，若已知，求a的值． 解:（1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点 相应地向右或向左移动一位； （2）由（1）总结的规律可知：． 【课堂反馈】已知，，，求的值． 解： 三、拓展：开次方： 1、求一个数的次方根的运算叫做开次方．叫做被开方数，叫做根指数． 4、 如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根． 5、 当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根． ★注意： 5） 实数的奇次方根有且只有一个，用“”表示．其中被开方数是任意一个数，根指数是大于1的奇数； 6） 正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“”表示，负次方根用“”表示．其中被开方数，根指数是正偶数（当时，在中省略）； 7） 负数的偶次方根不存在； 8） 零的次方根等于零，表示为． 【例题讲解】 （1）； （2）； （3）． 答案：（1）3（2）-3（3）2 【课堂反馈】的四次方根是 ，的六次方根是 5 1 学科网（北京）股份有限公司 $