精品解析：河南省信阳市固始县2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2025—2026学年度下学期七年级期末考试 数学试题 注意事项∶ 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如果与互补，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 以下调查中，适宜全面调查的是（　） A. 了解北京市居民五一假期的出行方式 B. 调查某品牌手机的市场占有率 C. 测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况 D. 检测永定河水质情况 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 无人机在军事、农业、航拍、物流、安防、电力、环保、科研与教育等多个领域发挥着越来越重要的作用，无人机爱好者小军有一次操控无人机从O点出发派送物品到指定地点，如图是飞行路程S随时间t变化的关系图象．下列分析错误的是（　　） A. 无人机从出发点到指定派送点行驶的路程为 B. 在内，无人机的平均速度为 C. 在内，无人机在进行加速运动 D. 在内，无人机在进行匀速运动 7. 如图，，点D在上，下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米．为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，则小明沿着小路的中间，从入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为（ ） A. 140米 B. 136米 C. 124米 D. 100米 9. 如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”，若关于，的方程组是“关联方程组”，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次不断移动，得到、、、、、，那么的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(共5小题，满分15分，每小题3分) 11. 若是关于x的方程的解，则______． 12. 直线m外有一定点A，A到直线m的距离是，B是直线m上的任意一点，则线段的长度： ___________．(填写“＜”“＞”“＝”“≤”或“≥”) 13. 商城路和管城街交叉口的交通信号灯每分钟红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是红灯的概率是______． 14. 如图，是四边形的对称轴，如果，有下列结论：；；；，其中正确的结论是______把你认为正确的结论的序号都填上． 15. 如图，，A，B分别为直线上两点，且，射线从开始绕点A按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间t(t＞0)为_________秒时，射线与射线互相平行． 三、解答题(共8个小题，共75分) 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，点D、E、F分在AB、BC、AC上，且DE∥AC，EF∥AB，下面写出了证明“∠A+∠B+∠C＝180°”的过程，请补充完整： 证明：∵DE∥AC，EF∥AB ∴∠1＝∠　 　，∠3＝∠　 　，（　 　） ∵AB∥EF（已知） ∴∠2＝∠　 　（　 　） ∵DE∥AC（已知） ∴∠4＝∠　 　（　 　） ∴∠2＝∠A（　 　） ∵∠1+∠2+∠3＝180°（平角定义） ∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换） 18. 已知关于，的方程组和有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求的值． 19. 顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为l个单位长度． （1）在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1； （2）在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2； （3）在（1）中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积． 20. 倡导经典诵读，传承中华文化，某校在4月23日世界读书日开展读书活动，为了解七年级学生每月借阅图书数量，随机抽取了40名学生进行调查． 【收集数据】 （1）下面的抽样方法中，最具代表性和广泛性的是________（填字母）； A．抽取40名男生每月借阅图书数量组成样本 B．抽取40名成绩较好的学生每月借阅图书数量组成样本 C．按学号随机抽取40名学生每月借阅图书数量组成样本 【整理数据】 依据调查结果绘制了不完整的频数分布表： 本/月 合计 频数 4 10 a 8 12 【描述数据】 根据频数分布表中的数据绘制成不完整的频数分布直方图，如下图： 【分析数据】 （2）频数分布直方图中组距为________本； （3）补全频数分布直方图； （4）若该校七年级共有1600名学生，估计每月借阅图书数量至少有4本的学生为多少名． 21. 阅读下列材料： 若满足，求的值． 设，，则，， 所以． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）如图，已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形． （3） ______，______；（用含的式子表示） 求阴影部分的面积． 22. “双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌A、B两款羽绒服来销售，若购买3件A，4件B需支付2400元，若购买2件A，2件B，则需支付1400元． （1）求A、B两款羽绒服在网上的售价分别是多少元？ （2）若个体户从淘宝网上购买A、B两款羽绒服各10件，均按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？ 23. 如图（1），点P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与周长的关系．记， 的周长． （1）从特殊情形入手： ①若点P在的中心，如图（2），此时l与c的关系为________； ②若点P在的一条高上，如图（3），此时①中的结论还成立吗？请说明理由． （2）若点P不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请直接在图（4）中画出解决问题所需的所有辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期七年级期末考试 数学试题 注意事项∶ 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念分别判断得出答案． 【详解】A、是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 【点睛】考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形． 2. 如果与互补，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了互补的定义，解题的关键是掌握互补的定义． 利用互补的定义进行求解即可． 【详解】解：∵与互补， ∴， 故选：D． 3. 以下调查中，适宜全面调查的是（　） A. 了解北京市居民五一假期的出行方式 B. 调查某品牌手机的市场占有率 C. 测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况 D. 检测永定河水质情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，根据全面调查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的结果比较近似的特点逐项判断解答即可． 【详解】解：A、了解北京市居民五一假期的出行方式，适宜抽样调查，不符合题意； B、调查某品牌手机的市场占有率，适宜抽样调查，不符合题意； C、测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况，适宜全面调查，符合题意； D、检测永定河水质情况，适宜抽样调查，不符合题意； 故选：C． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本考查实数与数轴，不等式的性质，根据点在数轴上的位置，得到，再根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：由图可知：， ∴，，，； 故只有选项C成立； 故选C． 6. 无人机在军事、农业、航拍、物流、安防、电力、环保、科研与教育等多个领域发挥着越来越重要的作用，无人机爱好者小军有一次操控无人机从O点出发派送物品到指定地点，如图是飞行路程S随时间t变化的关系图象．下列分析错误的是（　　） A. 无人机从出发点到指定派送点行驶的路程为 B. 在内，无人机的平均速度为 C. 在内，无人机在进行加速运动 D. 在内，无人机在进行匀速运动 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握．根据图象信息逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知： A．无人机从出发点到指定派送点行驶的路程为，说法正确，故本选项不符合题意； B．在内，无人机的平均速度为，说法正确，故本选项不符合题意； C．在内，无人机在停止运动，原说法错误，故本选项符合题意； D．在内，无人机在进行匀速运动说法正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 如图，，点D在上，下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，，证明，，据此得出选项即可． 【详解】解：， ，，，， ，即， 如图，记与的交点为， ∵， ∴， 故A、B、C正确，D不正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 8. 如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米．为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，则小明沿着小路的中间，从入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为（ ） A. 140米 B. 136米 C. 124米 D. 100米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据图形可得所走路线长为，进行计算即可． 【详解】解：由图可知，横向距离等于的长，纵向距离等于的2倍， ∴入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为米； 故选B． 9. 如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”，若关于，的方程组是“关联方程组”，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解，使用整体法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， ∵互为相反数， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次不断移动，得到、、、、、，那么的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点坐标规律探索，仔细观察图象，找到点的坐标的变化规律是解答的关键． 根据题意得到每移动次，动点向右移动个单位，此时动点回到轴，根据得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，每移动次，动点向右移动个单位，此时动点回到轴，纵坐标为， ， ， 故选：D． 二、填空题(共5小题，满分15分，每小题3分) 11. 若是关于x的方程的解，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．代入到方程可得，解方程求出的值即可． 【详解】解：代入得，， 解得：． 故答案为：3． 12. 直线m外有一定点A，A到直线m的距离是，B是直线m上的任意一点，则线段的长度： ___________．(填写“＜”“＞”“＝”“≤”或“≥”) 【答案】 【解析】 【分析】利用“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”可以作出判断． 【详解】解：A到直线m的距离是，根据点到直线距离的定义，表示垂线段的长度， 根据垂线段最短，其它线段的长度大于或等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂线段，掌握垂线段最短是解题的关键． 13. 商城路和管城街交叉口的交通信号灯每分钟红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是红灯的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的基本计算，解题的关键是明确概率的计算公式，即某一事件发生的概率等于该事件发生的时间与总时间的比值． 先算出一分钟内信号灯亮的总时间，再用红灯亮的时间除以总时间，即可得到看到红灯的概率． 【详解】已知交通信号灯每分钟红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，那么一分钟（60秒）内信号灯亮的总时间为秒． 根据概率的计算公式，随机事件发生的概率等于该事件发生的时间除以总时间，所以抬头看信号灯时是红灯的概率为红灯亮的时间除以总时间，即． 故答案为：． 14. 如图，是四边形的对称轴，如果，有下列结论：；；；，其中正确的结论是______把你认为正确的结论的序号都填上． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查轴对称以及菱形的基本性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等．根据轴对称的基本性质可知． 【详解】解：因为是四边形的对称轴，， 则，，， 则， ， ， 所以四边形是菱形． 根据菱形的性质，可以得出以下结论： ，故正确； ，故正确； ，故错误； ，故正确． 故正确的有：． 15. 如图，，A，B分别为直线上两点，且，射线从开始绕点A按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间t(t＞0)为_________秒时，射线与射线互相平行． 【答案】36或108 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差、旋转的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用分类思想进行求解是解题的关键． 设射线从开始绕点A按顺时针方向旋转时，射线与射线互相平行． 分四种情况讨论，分别依据时，，列出方程即可得到射线与射线互相平行时的时间即可． 【详解】解：设射线从开始绕点A按顺时针方向旋转时，射线与射线互相平行． ①如图，当时，，， ∵，， ， ， ，， 当时，， ∴，解得：； ②当时，，， ∴， ∵，， ， ， ，， 当时，， ∴，解得：，此时，即（不符合题意）； ③如图，当时，，，， ∵，， ， ， ，， 当时，， ∴，解得（舍去）此时，即（不符合题意）； ④当从出发，到，再回到，再转到如下图的位置： ∵， ∴， ∴， ∴，解得：． 综上所述，在射线到达之前，有2次射线与射线互相平行，时间分别是36或108． 故答案为：36或108． 三、解答题(共8个小题，共75分) 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题综合考查绝对值、零指数幂和负整数指数幂的运算、整式的乘法及合并同类项．按正确运算顺序是解题的关键． （1）先进行绝对值、零指数幂和负整数指数幂的运算，再加减； （2）先运用整式的乘法展开，再进行合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 如图，点D、E、F分在AB、BC、AC上，且DE∥AC，EF∥AB，下面写出了证明“∠A+∠B+∠C＝180°”的过程，请补充完整： 证明：∵DE∥AC，EF∥AB ∴∠1＝∠　 　，∠3＝∠　 　，（　 　） ∵AB∥EF（已知） ∴∠2＝∠　 　（　 　） ∵DE∥AC（已知） ∴∠4＝∠　 　（　 　） ∴∠2＝∠A（　 　） ∵∠1+∠2+∠3＝180°（平角定义） ∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换） 【答案】C；B；两直线平行，同位角相等；4；两直线平行，内错角相等；A；两直线平行，同位角相等；等量代换． 【解析】 【分析】先由DE∥AC，AB∥EF，根据平行线的性质得出∠1=∠C，∠3=∠B．由AB∥EF，根据两直线平行，内错角相等得出∠2=∠4，由DE∥AC，得出∠4=∠A．等量代换得出∠2=∠A，进而得到∠A+∠B+∠C=180°． 【详解】解：∵DE∥AC，AB∥EF， ∴∠1＝∠C，∠3＝∠B．（两直线平行，同位角相等） ∵AB∥EF， ∴∠2＝∠4．（两直线平行，内错角相等） ∵DE∥AC， ∴∠4＝∠A．（两直线平行，同位角相等） ∴∠2＝∠A（等量代换） ∵∠1+∠2+∠3＝180° ∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换） 故答案为C；B；两直线平行，同位角相等；4；两直线平行，内错角相等；A；两直线平行，同位角相等；等量代换． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等． 18. 已知关于，的方程组和有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组以及代数式求值，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键． （1）将两方程组中的第一个方程联立求出与的值； （2）将第二个方程联立，把与的值代入求出与的值，进而求出所求式子的值． 【小问1详解】 由题意得：， 解得：； 【小问2详解】 把代入， 得：， 解得： ， ； 19. 顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为l个单位长度． （1）在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1； （2）在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2； （3）在（1）中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8． 【解析】 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可． （2）根据图形旋转的性质画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2． （3）根据△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：（1）、（2）如图所示： （3）∵△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC向上平移过程中，边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形， ∴边AC所扫过区域的面积=4×2=8． 20. 倡导经典诵读，传承中华文化，某校在4月23日世界读书日开展读书活动，为了解七年级学生每月借阅图书数量，随机抽取了40名学生进行调查． 【收集数据】 （1）下面的抽样方法中，最具代表性和广泛性的是________（填字母）； A．抽取40名男生每月借阅图书数量组成样本 B．抽取40名成绩较好的学生每月借阅图书数量组成样本 C．按学号随机抽取40名学生每月借阅图书数量组成样本 【整理数据】 依据调查结果绘制了不完整的频数分布表： 本/月 合计 频数 4 10 a 8 12 【描述数据】 根据频数分布表中的数据绘制成不完整的频数分布直方图，如下图： 【分析数据】 （2）频数分布直方图中组距为________本； （3）补全频数分布直方图； （4）若该校七年级共有1600名学生，估计每月借阅图书数量至少有4本的学生为多少名． 【答案】（1）C；（2）1；（3）见解析；（4）估计每月借阅图书数量至少有4本的学生约为1040名 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体． （1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意； （2）根据频数分布表中的数据可得答案； （3）根据抽取了40名学生求出a的值，即可补全频数分布直方图； （4）用总数乘以借阅图书数量至少有4本的比例即可得． 【详解】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，抽取的样本最具代表性和广泛性的是C， 故答案为：C； （2）根据频数分布表中的数据得：频数分布直方图中组距为1本， 故答案为：1； （3）， 补全数分布直方图如下： （4）（名）， 答：估计每月借阅图书数量至少有4本的学生约为1040名． 21. 阅读下列材料： 若满足，求的值． 设，，则，， 所以． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）如图，已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形． （3） ______，______；（用含的式子表示） 求阴影部分的面积． 【答案】（1）． （2），；阴影部分的面积是． 【解析】 【分析】（）按照题中提供的解法思路进行求解即可； （）根据正方形的边长为，即可表示出与； 由题意得，则阴影部分的面积为，设，，则，，再求出，最后代入即可求解． 【小问1详解】 解：设，， 则，， 所以； 【小问2详解】 解：由题意可知，， 故答案为：，； 由题意，得， 阴影部分的面积为， 设，， 则，， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 因此，阴影部分的面积是． 22. “双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌A、B两款羽绒服来销售，若购买3件A，4件B需支付2400元，若购买2件A，2件B，则需支付1400元． （1）求A、B两款羽绒服在网上的售价分别是多少元？ （2）若个体户从淘宝网上购买A、B两款羽绒服各10件，均按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？ 【答案】（1）A款400元，B款300元；（2）最多让利5件． 【解析】 【分析】（1）设设A款a元，B款b元，根据题意列方程组求解； （2）设让利的羽绒服有x件，总获利不低于3800元，列不等式，求出最大整数解． 【详解】解：（1）设A款a元，B款b元， 可得：， 解得：， 答：A款400元，B款300元． （2）设让利的羽绒服有x件，则已售出的有（20﹣x）件 600 （20﹣x）+600×60% x﹣400×10﹣30×10≥3800， 解得x≤5， 答：最多让利5件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． 23. 如图（1），点P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与周长的关系．记， 的周长． （1）从特殊情形入手： ①若点P在的中心，如图（2），此时l与c的关系为________； ②若点P在的一条高上，如图（3），此时①中的结论还成立吗？请说明理由． （2）若点P不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请直接在图（4）中画出解决问题所需的所有辅助线． 【答案】（1）①；②此时①中的结论仍成立，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由等边三角形中心的可得，，，由此计算即可得解；②由等边三角形的性质可得，，，证明得出，即可推出，从而即可得解； （2）过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点，由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形，由矩形的性质可得，，，证明，得出，从而可得，进一步得出，即可得解． 【小问1详解】 解：①∵点在等边的中心， ∴点为三角形三条中线的交点， ∴，，， ∴； ②成立，理由如下： ∵为等边三角形，是的高， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点， 由（1）可得， ∵， ∴ ∴四边形是矩形，同理四边形是矩形， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $