2.3.3 点到直线的距离公式课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦点到直线的距离公式，通过“仓库到铁路最短距离”情境导入，衔接直线方程与坐标法知识，构建从定义、公式推导到距离计算、最值应用的学习支架。 其亮点是情境化设计结合分层训练，通过典型例题（如距离最值、直线方程确定）培养逻辑推理与数学运算，直观想象体现在数形结合求特殊直线距离。学生能循序渐进掌握公式应用，教师可利用分层练习有效落实核心素养。

2.3.3　 点到直线的距离公式 新课程标准解读 核心素养 1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的 运算过程 逻辑推理、 数学运算 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用 数学运算、 直观想象 目录 数学·选择性必修第一册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来，易 知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线 l ，仓 库看作点 P . 目录 数学·选择性必修第一册 【问题】　怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点　点到直线的距离 1. 定义：点 P 到直线 l 的距离，就是从点 P 到直线 l 的垂线段 PQ 的长 度，其中 Q 是 ⁠. 2. 图示： 垂足　 目录 数学·选择性必修第一册   【想一想】 　点到直线的距离公式对于 A ＝0或 B ＝0时的直线是否仍然适用？ 提示：仍然适用，但一般不用公式求解，而常用数形结合求点到直 线的距离. 　 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）当点 P （ x0， y0）在直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0上时，点到直线 的距离公式就不适用了. （　×　） （2）点 P （ x0， y0）到直线 y ＝ kx ＋ b 的距离为 . （　×　） （3）直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离. （　√　） × × √ 目录 数学·选择性必修第一册 解析：由已知所求距离为，. 2. (2025·高二上·滨海期末)已知点，直线：，则点到直线的距离为＝（　　） A. B.  C. D.  目录 数学·选择性必修第一册 3. 点 P （3，－2）到直线 x ＝4的距离为 ⁠. 解析：因为直线 x ＝4平行于 y 轴，所以所求距离 d ＝｜4－3｜＝1. 1　 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 点到直线的距离公式 解析：点到直线的距离. 【例1】　(2026春·上海校级期末)点到直线的距离为 _______ 1 目录 数学·选择性必修第一册 （2）点 P 到直线 y ＝6的距离为 ⁠. 解析： 法一　把方程 y ＝6化为0· x ＋ y －6＝0，由点到直 线的距离公式得所求距离 d ＝ ＝8. 8　 法二　因为直线 y ＝6平行于 x 轴，所以所求距离 d ＝｜6－（－2）｜＝8. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 点到直线距离的求法 （1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接 应用点到直线的距离公式求解即可； （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线 x ＝ a 或 y ＝ b ，求点到它 们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d ＝｜ x0－ a ｜或 d ＝｜ y0－ b ｜. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. 原点到直线 y ＝－ x ＋ 的距离为（　　） A. 1 C. 2 D. 3 解析： 　直线 y ＝－ x ＋ ，即 x ＋2 y －5＝0，故原点到直线 y ＝ － x ＋ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·苏州月考）点 P 在 x 轴上，且到直线3 x －4 y ＋6＝0的距离为 6，则点 P 的坐标为 ⁠. 解析：设点 P 的坐标为（ x ，0），则 ＝6，解得 x ＝8 或 x ＝－12.∴点 P 的坐标为（8，0）或（－12，0）. （8，0）或（－12，0）　 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 点到直线距离公式的应用 角度1　直线方程的确定 【例2】　已知直线 l 过原点 O ，且点 A （1，0）， B （3，2）到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程为（　　） A. x － y ＝0 B. x －2 y ＝0 C. x ＋ y ＝0或 x ＋2 y ＝0 D. x － y ＝0或 x －2 y ＝0 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由题知直线 l 的斜率存在.∵直线 l 过原点 O ，∴可设直线 l 的方程为 y ＝ kx ，即 kx － y ＝0，∵ A （1，0）， B （3，2）两点到直 线 l 的距离相等，∴ ＝ ，解得 k ＝1或 k ＝ ，故直线 l 的方程为 x － y ＝0或 x －2 y ＝0.故选D. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 　　解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然 后由题意列方程求参数，求解时需注意分类讨论，同时利用数形结合 的思想. 目录 数学·选择性必修第一册 角度2　点到直线距离的最值问题 【例3】 (2025·高二上·达州期末)已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（ ） 解析： 由题意可知，当直线与直线垂直时，、两点间距离最小，点到直线的距离 A. B.  C. D.  目录 数学·选择性必修第一册 （2）当点 P （3，2）到直线 mx － y ＋1－2 m ＝0的距离最大时，实数 m ＝ ⁠. 解析：直线 mx － y ＋1－2 m ＝0可化为 y －1＝ m （ x －2）.由直 线点斜式方程可知直线恒过定点 Q （2，1）且斜率为 m ，结合 图象（图略）可知当 PQ 与直线 mx － y ＋1－2 m ＝0垂直时，点 到直线距离最大，此时 m · ＝－1，解得 m ＝－1. －1　 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 　　解答此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化 为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知△ ABC 的三个顶点坐标分别为 A （－1，3）， B （－3，0）， C （1，2），则△ ABC 的面积 S ＝ ⁠. 解析：由两点间的距离公式得｜ BC ｜＝ ＝2 ， BC 所在直线的方程为 ＝ ，即 x －2 y ＋3＝0.点 A 到 直线 BC 的距离 d ＝ ＝ ，所以△ ABC 的面积 S ＝ ｜ BC ｜· d ＝ ×2 × ＝4. 4　 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·韶关月考）动点 P （ x ， y ）在直线 x ＋ y －4＝0上， O 为原 点，则｜ OP ｜最小时点 P 的坐标为 ⁠. 解析：直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此 时 OP 垂直于已知直线，则 kOP ＝1，∴ OP 所在的直线方程为 y ＝ x . 由∴点 P 的坐标为（2，2）. （2，2）　 目录 数学·选择性必修第一册 1. 点 P （1，－1）到直线 l ：3 y ＝2的距离是（　　） A. 3 C. 1 解析： 　点 P （1，－1）到直线 l 的距离 d ＝ ＝ ，故 选B. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知点（ a ，1）到直线 x － y ＋1＝0的距离为1，则 a 的值为 （　　） A. 1 B. －1 解析： 　由题意知 ＝1，即｜ a ｜＝ ，∴ a ＝± . 目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·河源月考）求过点 P （1，2）且与点 A （2，3）， B （4， －5）的距离相等的直线 l 的方程. 解：显然所求直线的斜率存在，设直线方程为 y ＝ kx ＋ b ， 根据条件得，化简得 所以 所以所求直线 l 的方程为： y ＝－4 x ＋6或 y ＝－ x ＋ . 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 点 P （1，－1）到直线 x ＝－2的距离是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 　因为直线 x ＝－2平行于 y 轴，所以所求距离 d ＝｜－2－ 1｜＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. 若第二象限内的点 M （ m ，1）到直线 x ＋ y ＋1＝0的距离为 ， 则 m ＝（　　） A. 0 B. －4 C. －4或0 D. 0或4 解析： 　由 ＝ ，得 m ＝－4或 m ＝0，又∵ m ＜0， ∴ m ＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. (2025秋·涪城区校级期末)已知点，到直线的距离相等，则（　　） 解析： 　由直线的一般方程为，根据点到直线的距离公式，得，，解得或． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A. B. 或 C. 或D. 或 目录 数学·选择性必修第一册 4. 已知点 M （1，2），点 P （ x ， y ）在直线2 x ＋ y －1＝0上，则｜ MP ｜的最小值是（　　） 解析： 　点 M 到直线2 x ＋ y －1＝0的距离，即为｜ MP ｜的最小 值，所以｜ MP ｜的最小值为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）已知直线 l 经过点（3，4），且点 A （－2，2）， B （4， －2）到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程可能为（　　） A. 2 x ＋3 y －18＝0 B. 2 x － y －2＝0 C. x ＋2 y ＋2＝0 D. 2 x －3 y ＋6＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　当直线 l 的斜率不存在时，显然不满足题意；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y －4＝ k （ x －3），即 kx － y ＋4 －3 k ＝0，由点 A （－2，2）， B （4，－2）到直线 l 的距离相等， 得 ＝ ，解得 k ＝2或 k ＝－ ，所以直线 l 的方程为2 x － y －2＝0或2 x ＋3 y －18＝0.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）（2024·焦作月考）已知在△ ABC 中， A （3，2）， B （－ 1，5），点 C 在直线3 x － y ＋3＝0上.若△ ABC 的面积为10，则点 C 的坐标可以为（　　） A. （－1，0） C. （1，6） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　设 C （ m ， n ），由｜ AB ｜＝5，△ ABC 的面积为10， 得点 C 到边 AB 所在直线的距离为4.又线段 AB 所在直线的方程为 y －5＝－ （ x ＋1），即3 x ＋4 y －17＝0.所以 故点 C 坐标为（－1，0）或（ ，8）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 点 P （0，－1）到直线 ＋ ＝1的距离为 ⁠. 解析： ＋ ＝1化为一般式为12 x ＋5 y －60＝0，所以点 P 到直线 ＋ ＝1的距离为 ＝5. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. （2024·南阳月考）过点 P （1，2）且与原点距离最大的直线方程 为 ⁠. 解析：由题意知，过点 P 且与 OP 垂直的直线到原点 O 的距离最 大，∵ kOP ＝2，∴所求直线方程为 y －2＝－ （ x －1），即 x ＋2 y －5＝0. x ＋2 y －5＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册   解析：∵点（ x ，5）关于点（1， y ）的对称点为（－2，－3）， ∴即 P （4，1），直线 y ＝ x ＋1的一般 式方程为 x － y ＋1＝0.∴所求距离为 d ＝ ＝2 . 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 已知△ ABC 三边所在直线的方程分别为 lAB ：3 x －2 y ＋6＝0， lAC ：2 x ＋3 y －22＝0， lBC ：3 x ＋4 y － m ＝0（ m ∈R， m ≠30）. （1）判断△ ABC 的形状； 解： 直线 AB 的斜率为 kAB ＝ .直线 AC 的斜率为 kAC ＝ － ，所以 kAB · kAC ＝－1，所以直线 AB 与 AC 互相垂直，因 此△ ABC 为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）当 BC 边上的高为1时，求实数 m 的值. 解： 由即 A 点坐标为 （2，6）. 由点到直线的距离公式，得点 A 到 BC 边的距离即 BC 边上的 高为 ＝ ＝1， 即｜30－ m ｜＝5，解得 m ＝25或 m ＝35. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. 直线 l 经过两直线7 x ＋5 y －24＝0和 x － y ＝0的交点，且点（5， 1）到直线 l 的距离为 ，则直线 l 的方程是（　　） A. 3 x ＋ y ＋4＝0 B. 3 x － y ＋4＝0 C. 3 x － y －4＝0 D. x －3 y －4＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　易解得直线7 x ＋5 y －24＝0和 x － y ＝0的交点坐标为 （2，2），设直线 l 的方程为 y －2＝ k （ x －2），即 kx － y －2 k ＋ 2＝0，因为点（5，1）到直线 l 的距离为 ，则 d ＝ ＝ ＝ ，解得 k ＝3，∴直线 l 的方程为 y －2＝3（ x －2），即3 x － y －4＝0，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. 已知实数 x ， y 满足2 x ＋ y ＋5＝0，那么 的最小 值为（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　 表示直线2 x ＋ y ＋5＝0上的动点到点 （0，－3）的距离，过点（0，－3）向直线2 x ＋ y ＋5＝0作垂 线，由垂线段最短知 的最小值为点（0，－3） 到直线2 x ＋ y ＋5＝0的距离，即 ＝ ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. （多选）（2024·中山质检）已知平面上一点 M （5，0），若直线 上存在点 P 使得｜ PM ｜＝4，则称该直线为“切割型直线”，下 列直线中是“切割型直线”的是（　　） A. y ＝ x ＋1 B. y ＝2 D. y ＝2 x ＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　点 M （5，0）到直线 y ＝ x ＋1的距离 d ＝ ＝3 ＞ 4，故A不符合题意；点 M （5，0）到直线 y ＝2的距离 d ＝2＜4， 故B符合题意；点 M （5，0）到直线 y ＝ x 的距离 d ＝ ＝4，故C符合题意；点 M （5，0）到直线 y ＝2 x ＋1的距离 d ＝ ＝ ＞4，故D不符合题意.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. 已知直线 m ：（ a －1） x ＋（2 a ＋3） y － a ＋6＝0， n ： x －2 y ＋ 3＝0. （1）当 a ＝0时，直线 l 过 m 与 n 的交点，且它在两坐标轴上的截 距相反，求直线 l 的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解： 联立 即 m 与 n 的交点为（－21，－9）. 当直线 l 过原点时，直线 l 的方程为3 x －7 y ＝0； 当直线 l 不过原点时，设 l 的方程为 ＋ ＝1， 将（－21，－9）代入得 b ＝－12， 所以直线 l 的方程为 x － y ＋12＝0， 故满足条件的直线 l 的方程为3 x －7 y ＝0或 x － y ＋12＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若坐标原点 O 到直线 m 的距离为 ，判断 m 与 n 的位置 关系. 解： 设原点 O 到直线 m 的距离为 d ， 则 d ＝ ＝ ， 解得 a ＝－ 或 a ＝－ ， 当 a ＝－ 时，直线 m 的方程为 x －2 y －5＝0，此时 m ∥ n ； 当 a ＝－ 时，直线 m 的方程为2 x ＋ y －5＝0，此时 m ⊥ n . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. （2024·宁德月考）在平面直角坐标系 xOy 中， P 是曲线 y ＝ x ＋ （ x ＞0）上的一个动点，则点 P 到直线 x ＋ y ＝0的距离的最小值 是 ⁠. 解析：设 P （ x ， x ＋ ）， x ＞0，则点 P 到直线 x ＋ y ＝0的距离 d ＝ ＝ ≥ ＝4，当且仅当2 x ＝ ，即 x ＝ 时取等号，故点 P 到直线 x ＋ y ＝0的距离的最小值是4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. 已知△ ABC 的顶点坐标为 A （1，1）， B （ m ， ）， C （4， 2），1＜ m ＜4.当 m 为何值时，△ ABC 的面积 S 最大？ 解：｜ AC ｜＝ ＝ ，直线 AC 的方程 为 ＝ ，即 x －3 y ＋2＝0. ∵点 B （ m ， ）到直线 AC 的距离 d ＝ ， ∴△ ABC 的面积 S ＝ ｜ AC ｜· d ＝ ｜ m －3 ＋2｜＝ （ － ）2－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 ∵1＜ m ＜4，∴1＜ ＜2， ∴0＜ ≤ ，0＜ S ≤ . ∴当 ＝ ，即 m ＝ 时，△ ABC 的面积 S 最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $