2.3.3 点到直线的距离公式 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“点到直线的距离公式”，通过校园花园设计实际问题导入，引导学生用坐标法、向量法推导公式，梳理概念及适用条件，构建从实际情境到理论推导再到公式应用的学习支架。 以真实情境培养数学眼光，多方法推导发展数学思维，典例练习结合几何意义提升数学语言表达，分层设计助力自主学习与教学评估，有效落实核心素养，提升学生问题解决能力。

2.3.3 点到直线的距离公式 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ★学习目标　1.结合教材实例了解点到直线的距离公式的推导过程. 2.会求点到直线的距离. 3.能利用距离公式解决与交点相关的问题. 一、点到直线的距离公式 探究1　某校计划在校园内新建一座小型花园，以提高校园绿化率和美化环境.花园的设计需要考虑多个因素，其中之一就是确保花园边缘与校园内一条主要步行道的适当距离，以保证行人的安全和花园的独立性.设计团队已经确定了步行道的直线方程x－y＋1＝0和花园边缘上一个关键点P的坐标.现在，他们需要计算这个点P到步行道的最短距离，以确定花园边缘与步行道的最佳间隔.即如何求花园边缘上关键点P到步行道x－y＋1＝0的最短距离？ 探究2　如图，平面直角坐标系中，已知点P（x0，y0），直线l：Ax＋By＋C＝0（A≠0，B≠0），怎样求出点P到直线l的距离呢？ 探究3　我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具.现在，我们用向量方法求｜PQ｜.如图，设n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，如何从向量投影的角度得到的模的表达式？ ★梳理教材 点到直线的距离公式 （1）概念：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是 . （2）公式：点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.可以验证，当 ，或 时，上述公式仍然成立. ★温馨提示　（1）运用公式前首先应把直线方程化为一般式. （2）注意公式特征，分子绝对值符号里面是把坐标（x0，y0）代入直线方程的左边得到的.当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）点（m，n）到直线x＋y－1＝0的距离是.（ 　） （2）点P（x0，y0）到与y轴平行的直线x＝a（a≠0）的距离d＝｜x0－a｜.（ 　） （3）原点到直线l1：Ax＋By＋C1＝0和直线l2：Ax＋By＋C2＝0的距离相等.（ 　） （4）点P（x0，y0）到y＝b的距离d＝｜y0－b｜.（ 　） 【典例1】　（1）点P（1，－2）到直线l：4x－3y＝0的距离为（ 　） A. B.2 C.1 D.3 （2）已知P1（2，3），P2（－4，5）与点A（－1，2），求过点A且与P1，P2距离相等的直线l的方程. ★解题感悟 点到直线的距离的求解方法 （1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可. （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x＝a或y＝b，求点P（x0，y0）到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜. （3）已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可. 【练习1】　（1）（多选）若点P（3，a）到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为（ 　） A. B.－ C. D.－ （2）求点P（3，－2）到下列直线的距离： ①3x－4y＋1＝0；②y＝6；③y轴. 二、点到直线的距离公式的应用 【典例2】　（1）已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点. ①若点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程； ②求点A（5，0）到l的距离的最大值. （2）已知点A（1，3），B（3，1），C（－1，0），求△ABC的面积. （3）已知实数x，y满足x＋y－4＝0，求（x－1）2＋（y－1）2的最小值. ★解题感悟 　　1.距离公式综合应用的三种常见问题 （1）求最值的问题. ①利用对称转化为两点之间的距离问题. ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离. ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值. （2）求参数的问题. 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值. （3）求方程的问题. 立足确定直线的几何要素——点和斜率，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系，巧设直线方程（平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系），在此基础上借助距离公式求解. 2.本典例综合考查了两点间的距离公式、点到直线的距离公式和直线方程. 3.利用几何意义，可以使复杂问题简单化.形如的式子即可看成是两点间的距离，从而结合图形解决. 【练习2】　（1）已知点P到直线l1：x－y－4＝0和直线l2：x－y－2＝0的距离相等，则点P到坐标原点距离的最小值为（ 　） A.3 B.2 C. D.4 （2）求在两坐标轴上截距相等，且到点A（3，1）的距离为的直线方程. ★课堂达标 1.已知点M（1，2），点P（x，y）在直线2x＋y－1＝0上，则｜MP｜的最小值是（ 　） A. B. C. D.3 2.已知点（a，1）到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为（ 　） A.1 B.－1 C. D.± 3.点P（a，0）到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为 . 4.已知点A（4，－3），B（2，－1）和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使｜PA｜＝｜PB｜，且点P到l的距离等于2. 解析版 ★学习目标　1.结合教材实例了解点到直线的距离公式的推导过程. 2.会求点到直线的距离. 3.能利用距离公式解决与交点相关的问题. 一、点到直线的距离公式 探究1　某校计划在校园内新建一座小型花园，以提高校园绿化率和美化环境.花园的设计需要考虑多个因素，其中之一就是确保花园边缘与校园内一条主要步行道的适当距离，以保证行人的安全和花园的独立性.设计团队已经确定了步行道的直线方程x－y＋1＝0和花园边缘上一个关键点P的坐标.现在，他们需要计算这个点P到步行道的最短距离，以确定花园边缘与步行道的最佳间隔.即如何求花园边缘上关键点P到步行道x－y＋1＝0的最短距离？ 提示：过P作PQ垂直l，垂足为Q， 因为PQ⊥l，以及直线l的斜率为1，可得l的垂线PQ的斜率为－1， 因此，垂线PQ的方程为y－＝×（x－1）， 即x＋y＋1＝0. 解方程组 得直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为. 于是＝＝2， 即花园边缘上关键点P到步行道x－y＋1＝0的最短距离为2米. 探究2　如图，平面直角坐标系中，已知点P（x0，y0），直线l：Ax＋By＋C＝0（A≠0，B≠0），怎样求出点P到直线l的距离呢？ 提示：根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足，如图， 设点P到直线l的垂线为l'， 由l'⊥l可知直线l'的斜率为， ∴l'的方程为y－y0＝（x－x0），与l联立，解得交点Q（， ）， ∴｜PQ｜＝＝＝. 探究3　我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具.现在，我们用向量方法求｜PQ｜.如图，设n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，如何从向量投影的角度得到的模的表达式？ 提示：设M（x，y）是直线l上的任意一点，则是在n上的投影向量，｜｜＝｜·n｜. ★梳理教材 点到直线的距离公式 （1）概念：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是　垂足　. （2）公式：点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.可以验证，当　A＝0　，或　B＝0　时，上述公式仍然成立. ★温馨提示　（1）运用公式前首先应把直线方程化为一般式. （2）注意公式特征，分子绝对值符号里面是把坐标（x0，y0）代入直线方程的左边得到的.当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）点（m，n）到直线x＋y－1＝0的距离是.（　✕　） （2）点P（x0，y0）到与y轴平行的直线x＝a（a≠0）的距离d＝｜x0－a｜.（　√　） （3）原点到直线l1：Ax＋By＋C1＝0和直线l2：Ax＋By＋C2＝0的距离相等.（　✕　） （4）点P（x0，y0）到y＝b的距离d＝｜y0－b｜.（　√　） 【典例1】　（1）点P（1，－2）到直线l：4x－3y＝0的距离为（　B　） A. B.2 C.1 D.3 解析：由题意，点P（1，－2）到直线l：4x－3y＝0的距离为＝2.故选B. （2）已知P1（2，3），P2（－4，5）与点A（－1，2），求过点A且与P1，P2距离相等的直线l的方程. 解：方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，即x＋1＝0，P1，P2到直线l的距离均为3，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k（x＋1），即kx－y＋k＋2＝0， 因为P1，P2到直线l的距离相等， 所以＝， 化简得｜3k－1｜＝｜3k＋3｜，解得k＝－， 故直线l的方程为x＋3y－5＝0. 综上可知，直线l的方程为x＋1＝0或x＋3y－5＝0. 方法二：因为直线l过点A且与P1，P2距离相等，所以直线l有两种情况（如图所示）. ①当P1，P2在直线l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得直线l的方程为y－2＝－（x＋1）， 即x＋3y－5＝0. ②当P1，P2在直线l的异侧时，直线l必过线段P1P2的中点（－1，4），此时直线l的方程为x＝－1，即x＋1＝0. 所以所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0. ★解题感悟 点到直线的距离的求解方法 （1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可. （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x＝a或y＝b，求点P（x0，y0）到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜. （3）已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可. 【练习1】　（1）（多选）若点P（3，a）到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为（　AD　） A. B.－ C. D.－ 解析：由题意得＝＝1，解得a＝或a＝－.故选AD. （2）求点P（3，－2）到下列直线的距离： ①3x－4y＋1＝0；②y＝6；③y轴. 解：①根据点到直线的距离公式，得d＝＝. ②因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝｜6－（－2）｜＝8. ③d＝｜3｜＝3. 二、点到直线的距离公式的应用 【典例2】　（1）已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点. ①若点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程； ②求点A（5，0）到l的距离的最大值. （2）已知点A（1，3），B（3，1），C（－1，0），求△ABC的面积. （3）已知实数x，y满足x＋y－4＝0，求（x－1）2＋（y－1）2的最小值. 解：（1）设直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点为P，联立解得P（2，1）. ①当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k（x－2），即kx－y＋1－2k＝0，∴＝3，解得k＝，∴直线l的方程为y－1＝（x－2），即4x－3y－5＝0. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，也符合题意. 故直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2. ②已知直线l过点P，设d为点A到l的距离，则d≤｜PA｜（当且仅当l⊥PA时等号成立），∴dmax＝｜PA｜＝. （2）设AB边上的高为h，则S△ABC＝｜AB｜·h. ｜AB｜＝＝2. AB边上的高h就是点C到直线AB的距离. AB边所在直线方程为＝，即x＋y－4＝0. 点C（－1，0）到x＋y－4＝0的距离h＝＝.因此S△ABC＝×2×＝5. （3）方法一：由x＋y－4＝0，得y＝4－x（x∈R）， 则（x－1）2＋（y－1）2＝（x－1）2＋（4－x－1）2＝x2－2x＋1＋x2－6x＋9＝2x2－8x＋10＝2（x－2）2＋2≥2，当且仅当x＝2时等号成立， ∴（x－1）2＋（y－1）2的最小值是2. 方法二：∵实数x，y满足x＋y－4＝0，∴点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，而可看成点P（x，y）与点A（1，1）之间的距离，如图所示， 显然的最小值就是点A（1，1）到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝， ∴（x－1）2＋（y－1）2的最小值为2. ★解题感悟 　　1.距离公式综合应用的三种常见问题 （1）求最值的问题. ①利用对称转化为两点之间的距离问题. ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离. ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值. （2）求参数的问题. 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值. （3）求方程的问题. 立足确定直线的几何要素——点和斜率，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系，巧设直线方程（平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系），在此基础上借助距离公式求解. 2.本典例综合考查了两点间的距离公式、点到直线的距离公式和直线方程. 3.利用几何意义，可以使复杂问题简单化.形如的式子即可看成是两点间的距离，从而结合图形解决. 【练习2】　（1）已知点P到直线l1：x－y－4＝0和直线l2：x－y－2＝0的距离相等，则点P到坐标原点距离的最小值为（　C　） A.3 B.2 C. D.4 解析：因为直线l1：x－y－4＝0和直线l2：x－y－2＝0平行，且点P到两直线的距离相等，所以点P在直线l：x－y－3＝0上.当OP⊥l时，点P到坐标原点的距离最小，为＝，故选C. （2）求在两坐标轴上截距相等，且到点A（3，1）的距离为的直线方程. 解：①当直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx（k≠0），即kx－y＝0. 由已知得＝，整理得7k2－6k－1＝0， 解得k＝－或k＝1， 所以所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0. ②当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，可得直线的斜率为－1，设直线方程为x＋y＋C＝0（C≠0）， 由已知得＝，解得C＝－6或C＝－2. 所以所求直线方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 综上，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. ★课堂达标 1.已知点M（1，2），点P（x，y）在直线2x＋y－1＝0上，则｜MP｜的最小值是（　B　） A. B. C. D.3 2.已知点（a，1）到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为（　D　） A.1 B.－1 C. D.± 解析：由题意知，＝1，即｜a｜＝，∴a＝±. 3.点P（a，0）到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为　a＞7或a＜－3　. 解析：根据题意，得＞3，解得a＞7或a＜－3. 4.已知点A（4，－3），B（2，－1）和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使｜PA｜＝｜PB｜，且点P到l的距离等于2. 解：设P（a，b），连接AB（图略），则线段AB的中点的坐标为（3，－2），kAB＝＝－1，∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3， 即x－y－5＝0. ∵点P（a，b）在直线x－y－5＝0上， ∴a－b－5＝0. ① 又＝2， ② 联立①②，解得或 ∴所求的点为P（1，－4）或P（，－）. 页 学科网（北京）股份有限公司 $