山东省济南市市中区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

样题由济南市 市中区教研室提供 2026年八年级期末学业质量检测 留 数学试题 第I卷（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求， 1.如图，将两个全等的直角三角板的一组对应边完全重合，组成以下四个图形，其中是 中心对称图形的是 B D 雾 2.下列从左到右的变形，是因式分解的是 A.(x+4)(x-4)=x2-16 B.x2+2+1=x(x+2)+1 C.x-x=x (xy-1) D.产+1=e+的 3.要使分式3有意义，则x的取值应满足 x-1 A.x=1 B.x=-1 C.x≠1 D.x≠-1 4.如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E,若∠1=55°，则∠A的度数为 D 人1 C E 是 A.135° B.125 C.115 D.105 5.若关于x的一元二次方程x2+m+3=0的一个根是-1，则m的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，长宽分别为a,b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为 A.96 B.120 C.160 D.192 试卷第1页，共8页 7.关于x的方程2-口+5 =1的解为正数.则a的取值范围为 x-3x-3 A.a<10且a≠7B.a<10 C.a<0 D.a<0且a≠3 8.如图，如图，在口ABCD中，AB=AD,∠A=60°，BC=4,P是AB边上任意一点， 点E,F分别是DP,BP的中点，则线段EF的长为 A.2.5 B.2 C.1.5 D.1 9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°·将△ABC绕点B顺时针旋转，使AC的对应边 A'C经过点C,连接AA'·若∠BAC=40°，则∠ABA'的度数为 A.50° B.60° C.70° D.80° 10.定义：关于x的方程cx2+bx+a=0是方程ax2+bx+c=0(a≠c≠0)的“倒方程”.有 下列四个结论：①-4x243x+1=0的“倒方程”是x2-3x-4=0;②如果x=-2是 242x+c=0的“倒方程”的解，则c=3；®若一元二次方程ax2-3x+c=0没有实数 A 根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果x=t是一元二次方程a2+bx+c=0的根， 则x=二是其“倒方程”cx2+bx+a=0的根，⑤若m是一元二次方程-3x2+x+1=0的“倒 方程”的一个实数根，则m3+m2-3m+2026的值为2026.其中，正确的有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 试卷第2页，共8页 第Ⅱ卷（非选择题 共110分) 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案. 11.分解因式：x2-9= 12.如图，已知平行四边形ABCD的面积是24，图中分割线均经过对角线AC,BD的交 点，那么阴影部分的面积为】 D B 13.代数式2与代数式，1的值相等，则x= x-1 2x+1 14.一条河的两岸11,2平行，河宽8km,村庄A点到河岸1的垂直距离为3km,村庄B 点到河岸2的垂直距离为5km,且点A,B到河岸的垂足之间的水平距离为15km.现 计划在河上建一座垂直于河岸的桥PO,使得从A到P,过桥PQ,再从Q到B的路 程最短，则最短路程为 km. B Q 2 15.如图，在正方形ABCD中，AB=8,E是BC上一点（不与端点重合），将正方形沿 AE翻折，使B点落到B',连接BD,B'C,若△B'CD为等腰三角形，则BE的长 为 D B B 试卷第3页，共8页 三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.（本小题满分8分) 解方程：(1)1=x- +3; (2)x2-2x-5=0. x-22-x 17.(本小题满分7分) 如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边AB,BC的中点，求证：DE=DF. 18.(本小题满分6分)先化简，再求值：1-2)÷m2-2m+1,其中m=3. m+1m+1 19.（本小题满分8分)已知关于x的一元二次方程x24(2m-1)x+m2-1=0有实数根. (1)求实数m的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为x1,2,且满足(x1+1)(2+1)=1,求实数m的值. 20.（本小题满分8分)如图，在平面直角坐标系中，△AB0的三个顶点坐标分别为A（1, 3),B(4,0),0(0,0). (1)画出将△AB0向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的△A1B1O1; （2)若将(1)中△41B1O1看成是△AB0经过一次平移得到的，则这一平移的距离 是 (3)画出△41B1O1关于点O成中心对称的图形△A2B2O2 试卷第4页，共8页 21.（本小题满分9分)为打造书香校园，学校补充班级图书角藏书，购进甲，乙两类课 外读物、购买甲种图书总共花费3600元，购买乙种图书总共花费2000元，甲种图书的 单价是乙种图书单价的1.2倍，购买甲种图书的数量比乙种图书多20本. (1)求甲，乙两种图书的单价； (2)恰逢书店优惠活动，所有图书全部按九折销售，学校计划再次购进甲种图书15本， 乙种图书30本，共需要花费多少元？ 22.(本小题满分10分)为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙 (墙的最大可利用长度为24米)作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表 演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）， 将矩形表演区中AB的长度用x米表示. (1)BC的长度可表示为 米，并直接写出x的取值范围； (2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么AB的长度多少米？ A 出口 入口 B 试卷第5页，共8页 23.(本小题满分10分)换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元， 所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的元去代替原式的一个部分或改造 原来的式子，使问题易于解决、 例：把(x2-2x)(x2-2+2)+1因式分解. 方法一：整体换元 解：把“x2-2x”看成一个整体，令x2-2x=y: 原式=y(y+2)+1=y242y叶1=(y叶1)2=(x2-2+1)2. 方法二：均值换元 解：把“x2-2x+1”看成一个整体，令x2-2x+1=t. 原式=（t-1)（41)+1=2-1+1=2=(x2-2+1)2, （1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果 为 (2)清利用“换元法”将多项式(x246x+2)(x246+16)+49因式分解； (3)当式子(n243n)(n243n+4)+5取得最小值时，求n的值. 试卷第6页，共8页 24.(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，已知A点坐标为(3,0)，B点 坐标为(0,4). (1)求直线AB的表达式； (2)如图1，若点C为线段AB的中点，P,Q分别是线段OB、OA上的动点，BP= 2O2,连接CP,C2,以CP,Cg为邻边作平行四边形CPDg.当其中一条坐标轴将平行 四边形CPD2的面积分成1：3的两部分时，求点D的坐标； (3)如图2，若点E的坐标为（-3,0)，点F的坐标为（t,2-9),（-3<t<3) 连接EF,连接AF交y轴于点M,过A作AW∥EF,交y轴于点N,试探究△AMW的面积 是否为定值，若是，请求出该定值：若不是，请说明理由 B 图1 图2 试卷第7页，共8页 25.（本小题满分12分) 如图1，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点B,C,D和点C,G,F.分别在同一条直线 上，其中AB=CD=4,BC=DE=8,连接对角线AC,CE. (1)如图1，线段AC与线段EC的数量关系为 线段AC与线段EC的位 置关系为 (2)如图2，将图1中的矩形CDEF绕点C逆时针旋转，连接AF,当点A,F,E在同 一条直线上时(A,E不重合)，求点E到直线AC的距离； (3)如图3，将图1中的矩形CDEF绕点C逆时针旋转到某一个位置，连接AE,连接 DG并延长交AE于点M,证明点M是AE的中点， D 图1 图2 图3 试卷第8页，共8页 八年级期末测试数学答案 一、选择题 1 3 4 5 6 > 8 9 10 D c B D A B D C 二、填空题 11.(x+3)(x-3) 12.12 13.-1 14.25 15 83或16-&5 选填压轴详解： 10.【解答】 ①-4x2+3x+1=0的“倒方程”是x2+3x-4=0;故①错误 ②将x=-2代入x2+2x+c=0的“倒方程”cx2+2x+1=0,得4c-4+1=0,解得c 3 ：故②正确： ③若一元二次方程ax2-3x+c=0没有实数根，则△=9-4ac<0, 而“倒方程”为cx2-3x+a=0,那么根的判别式也为△=9-4ac<0, 故它的“倒方程”也没有实数根，故③正确； ④由题意可知at2+bt什c=0, c(哈2+b×2)+a=是++a=2t+=0, t2 即x=是是“倒方程”cr2+hx+a=0的根，故④正确； ⑤由题意得：方程-3x2+x+1=0的“倒方程”为x2+x-3=0, ,m是方程x2+x-3=0的一个实数根， .m2+m-3=0, ∴.m3+m2-3m+2026=m（m2+m-3)+2026=2026.故⑤正确： 综上，选C 15.【解答】 过点B'作B'S⊥AD,交AD于点S,并延长SB'交BC于点T 情况1：当B'D=B'C时 易证B′S=4,AB′=8 309 .∠SAB′=30% ∴∠BAE=∠BAE=30° B 在Rt△BAE中，AB=8,∠BAE=30° 86=89 K60° 情况2：当CD=B'D=8时 .AB'=AD=DB'=8, △AB'D是等边三角形， 7B' ∴.∠B'AS=60°， ..B'S=4V3,AS=BT=4, ..B'T ST-B'S =8-4V3. 在Rt△B'ET中，B'E2=ET+B'TP, 即BE2=(4-BE)2+(8-4V3)2, 解得BE=16-8V3: 三、解答题 16.（本小题满分8分) 解11。=1+3， x-22-x 去分母得，1=-(x-1)+3(x-2), …2分 解得x=3, …3分 经检验x=3是原方程的解. …4分 (2)x2-2x-5=0. x2-2x+1=6, (x-1)2=6, …6分 x-1=±V6, x1=1+6,2=1-V6 …8分 17.(本小题满分7分) 证明：四边形ABCD是菱形， ∴AB=CB=AD=CD,∠A=∠C,… …3分 ,E,F分别是边AB,BC的中点， AE-TAB,CF-BC ∴.AE=CF… …4分 在△ADE和△CDF中， (AD=CD ∠A=∠C, ME-CF ∴.△ADE≌△CDF(SAS) …5分 ∴DE=DF。…… …7分 18.(本小题满分6分) 原式=t1-2.m+1 m+1(m-1)2 =m1.m+1 m+1(m-1)2 心1 m-1 …4分 当m=3时，原式= 11 3-12 …6分 19.(本小题满分8分) 解：(1)：关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2-1=0有实数根， .△=(2m-1)2-4X1X(m2-1)…2分 =4m2-4m+1-4m2+4 =-4m+5≥0，… …3分 解得：m≤5， …4分 (2)方程的两实数根分别为x1,2, ∴x1+x2=-(2m-1),x1x2=m2-1, …6分 (x1+1)（x2+1)=x1x2+（x1+x2）+1=m2-1-（2m-1)+1=1…7分 解得m1=0,m2=2 ms5 4 ∴h=0… …8分 20.(本小题满分8分) 解：（1)如图，△A1B1O1即为所求；…3分 (2)2W5;…5分 (3)如图，△A2B20即为所求.…8分 A B A, 21.（本小题满分9分) （1)解：设乙种图书单价为x元，则甲种图书单价为1.2x元…1分 3600_2000=20 1.2xx …3分 解得：x=50 经检验：x=50是原方程的解 …5分 则甲图书单价：1.2×50=60（元） 答：乙图书单价50元，甲图书单价60元.… …6分 (2)打折后：甲：60×0.9=54（元），乙：50×0.9=45（元） 15×54+30X45=810+1350=2160(元)… 8分 答：一共需要花费2160元.… …9分 22.(本小题满分10分) （1)52-2x;14≤x<26… …4分 (2)根据题意得：x（52-2x)=320,…6分 整理得：x2-26+160=0, 解得：x1=10,x2=16,… …8分 当x=10时，52-2x=52-2×10=32>26,不符合题意，舍去；（或x=10不在14≤x<26的取值范围 内) … …9分 答：AB的长度为16米. …10分 23.(本小题满分10分) (1)(x-1)4… …2分 (2)方法一：令x2+6x+2=t,则 原式=t(+14)+49 =2+14+49 =(7)2…4分 =(x2+6+2+7)2. =(x2+6x+9)2 =[(x+3)22 =(x3)4.… …6分 方法二：设x246x+9=t,则 原式=(-7)(t+7)+49 =2.49+49 =2… …4分 =(x2+6x19)2 =(x+3)4; …6分 (3)（n2+3n)(n2+3n+4)+5 令n2+3n=m,则 原式=m(m+4)+5=m2+4m+5=m2+4m叶4+1=（m+2)2+1…8分 当m+2=0,即m=2时原式取得最小值 可得n2+3n=-2 解得：n1=-1,2=-2… …10分 24.(本小题满分12分) 解：(I)设直线AB的解析式为y=a+b, 8张+=0 4 解得k=-, (b=4 4 y=-3+4 …4分 (2),点C为线段AB的中点， c侵2》， 设Q(m,0), ∴.O0=m, .BP=200, ∴.BP=2m, .P(0,4-2m), :平行四边形CPDQ, D(m-多2-2m），… …6分 当D0的中点在y轴上时，2m-2=0, 解得m=圣 0(-景克： 当DP的中点在x轴上时，2-2m+4-2m=0, 解得m=多 .D(0,-1); 踪上所述：D点坐标为(-子)或(0,1）：…………8分 (3)△AMN的面积为定值，理由如下： 设直线EF的解析式为y=x+b', :3k+b'=0 (tk'+b'=t2-9 k'=t-3 解得6=3t-9 y=(t-3)x+3t-9,… …9分 :AN∥EF, ∴.直线AW的解析式为y=(t-3)x+9-3t, N（0,9-3t),…10分 同理直线MA的解析式为y=(什3)x-3t-9, M(0,-3t-9),…11分 △AMN的面积=2×3X(9-3+3+9)=27.…12分 25.(本小题满分12分) (1)AC=EC:AC⊥EC… …4分 (2)当点A,F,E在同一条直线上时 ,AC=CE,CF LAE,由等腰三角形“三线合一”得AF=EF=4,…6分 ∴设点E到直线AC的距离为d, 则由等面积法：SA4Cs=ABCF=ACd, A ,矩形ABCG中，AB=4,BC=8, B AC=AB2+BC2=4W5.…7分 .d=16/5 5 6v5 此时点E到直线AC的距离为 5… …8分 (3)方法一：如图，过点E作AG的平行线交DG的延长线于N, .NE∥AG, ∠N=∠MGA,…9分 .CG=CD, ∴.∠CGD=∠CDG, .∠AGC=∠CDE=90°， ∴.∠MGA+∠CGD=90°，∠CDG+∠NDE=90°， ∴.∠MGA=∠NDE, 图3 ∴.∠NDE=∠N, ∴NE=ED=AG,… …11分 在△NME与△GMA中， I∠NME-∠GMA ∠N=∠MGA, NE-AG ∴.△NME≌△GMA(AAS), ..AM=ME, 点M是AE的中点.… …12分 方法二： F :旋转，且矩形ABCG与矩形CDEF全等 ∴.△ACE与△GCD为等腰三角形，∠ACE=∠GCD ∴.∠EAC=∠DGC A,M,G,C四点共圆， C 连接MC 图3 ∴.∠AMC=∠AGC-90° 点M是AE的中点.…12分