精品解析：山东淄博市博山区2025-2026学年下学期初二期末数学试题

初二数学试题 满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下事件中，确定事件是（） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 如果射击九次都正中靶心，那么第十次也会正中靶心 C. 8张相同的小标签分别标有数字，从中任意抽取1张，抽到数字9 D. 在装有1个白球和1个黑球的袋子中，任意摸出一个球，摸出的是白球 2. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，是真命题的是( ) A. 内错角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 9 6. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，发现黑色棋子出现的频率如图所示，则可估计摸到黑色棋子的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形 作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（ ） A. 甲同学所作与不一定全等 B. 乙同学所作与不一定全等 C. 丙同学所作与不一定全等 D. 甲、乙、丙三位同学所作都与全等 8. 一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，两只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了两棵树，余树均栖满，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有2只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则会空出2棵树．”设有树x棵，乌鸦y只，依题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③F为的中点；④；⑤G为的中点．其中正确的结论有（ ）个． A. ②④⑤ B. ③④⑤ C. ①②④ D. ①③⑤ 二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分． 11. 不等式的负整数解是______． 12. 在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 13. 如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形、扇形、扇形的圆心角分别为、、，让转盘自由转动1次，则指针落在扇形的概率是_____． 14. 如图，已知中，，那么_________． 15. 对于x，y定义一种新运算（a，b是非零常数）．例如．若，，则______． 16. 如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则________． 17. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为_______． 18. 已知关于x，y的二元一次方程组的解为，小玲因为看错了t而得到的解为，则的值为______． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程组： （1） （2） 20. 如图，已知，求证：． 21. 解不等式组． （1）解不等式，得           （2）解不等式，得           （3）如图，把不等式和的解集在数轴上表示出来 （4）原不等式组的解集为          ． 22. 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 23. 某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的以下试验结果： 试验的种子数（m） 500 1000 1500 2000 3000 10000 发芽的种子粒数（n） 471 946 1425 1898 y 9502 发芽频率 0.942 0.946 x 0.949 0.951 0.950 （1）求表中______，______（填数值）； （2）任取一粒该植物的种子，估计它能发芽的概率为______（填数值，保留两位小数）； （3）若学校为兴趣小组准备了80000粒种子进行发芽培育，试估算多少粒种子会发芽？ 24. 如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． （1）若，分别求S1，S2的面积； （2）若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 25. 如图，于点，于点F．若，． （1）求证：平分． （2）已知，，求的长． 26. 直线分别交直线，于点点在直线与直线之间． 【初步感知】 （1）如图①，若，则直线，的位置关系是_______； 【问题探究】 （2）如图②，，交于点，点在射线上，点在射线上，且，若，，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图③，，，点在射线上，与的平分线交于点，探究与之间存在的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学试题 满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下事件中，确定事件是（） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 如果射击九次都正中靶心，那么第十次也会正中靶心 C. 8张相同的小标签分别标有数字，从中任意抽取1张，抽到数字9 D. 在装有1个白球和1个黑球的袋子中，任意摸出一个球，摸出的是白球 【答案】C 【解析】 【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件，即一定发生或一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上也可能反面向上，结果不确定，属于随机事件，不是确定事件； B、射击第十次的结果与前九次无关，结果不确定，属于随机事件，不是确定事件； C、8张小标签仅标有数字，不存在标有9的标签，因此抽到数字9是一定不发生的不可能事件，属于确定事件； D、袋子中有1个白球和1个黑球，摸出白球可能发生也可能不发生，结果不确定，属于随机事件，不是确定事件． 2. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由数轴得，， ∴当时，则，故A错误； ∵， ∴，，，故B错误，C正确； ∴，故D错误． 3. 下列命题中，是真命题的是( ) A. 内错角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平行线的性质，对顶角的含义，补角的定义，垂线的定义对选项依次判断即可． 【详解】解： A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，不符合题意；  B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；  C、互补的两个角可以都是直角，原命题是假命题，不符合题意；  D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意， 4. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】标注图形，先证明，，进一步求解即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵直线，， ∴， ∴． 5. 已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据二元一次方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，将已知的代入方程即可计算出的值． 【详解】∵是方程的解， ∴将代入方程得：， ∴． 6. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，发现黑色棋子出现的频率如图所示，则可估计摸到黑色棋子的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察折线统计图，随着试验次数的增加，频率波动幅度减小并趋于稳定，该稳定值即为概率的估计值． 【详解】解：观察折线统计图可知，随着摸棋子次数的增加，黑色棋子出现的频率逐渐稳定在  附近， 可估计摸到黑色棋子的概率为． 7. 利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形 作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（ ） A. 甲同学所作与不一定全等 B. 乙同学所作与不一定全等 C. 丙同学所作与不一定全等 D. 甲、乙、丙三位同学所作都与全等 【答案】C 【解析】 【分析】甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明；乙同学的钝角三角形要先延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点，证明，再证明，然后即可证明；丙同学的锐角三角形，先过点作交于点，过点作交于点，证明，因缺少条件无法证明，逐一判断即可． 【详解】选项A，甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明，故选项A不符合题意； 选项B，乙同学的钝角三角形，如图，延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故选项B不符合题意； 选项C，丙同学的锐角三角形，如图，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵缺少条件证明，故选项C符合题意； 选项D，综上各个选项，选项D不符合题意． 8. 一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数与不等式的关系分别判断各选项即可． 【详解】选项①： 从图象可得，一次函数与轴的交点在的左侧，当小于该交点横坐标时，，因此不是所有都满足，结论①错误； 选项②： 一次函数与轴的交点在原点右侧（横坐标大于0），随增大而减小，因此对所有小于交点横坐标，都有， 因为，0小于交点横坐标， 所以时，，结论②正确； 选项③： 两个函数的交点横坐标为，当时，的图象在的图象上方， 因此，结论③正确； 综上，正确的结论有2个． 9. 阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，两只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了两棵树，余树均栖满，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有2只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则会空出2棵树．”设有树x棵，乌鸦y只，依题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，根据两种栖息情况，分别找出乌鸦总数的等量关系即可列出方程组． 【详解】解：设有树x棵，乌鸦y只． ∵ 每棵树上栖2只乌鸦，有5只没去处，总乌鸦数为y， ∴ ； 又∵每棵树上有5只，则会空出2棵树，总乌鸦数为y， ∴ 有乌鸦的树共棵，可得； 因此可列方程组． 10. 如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③F为的中点；④；⑤G为的中点．其中正确的结论有（ ）个． A. ②④⑤ B. ③④⑤ C. ①②④ D. ①③⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】①由条件可知，可得，再结合条件即可证明；②④，结合条件可证明，则有，，可得；③可得根据直角三角形的斜边大于直角边可得，结合，可知F不可能为中点．⑤假设G为的中点，先证明，可得，据此推出矛盾，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵为边边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 又∵， ∴，故④正确； 在中，， ∵， ∴， ∴F不是的中点，故③不正确； 假设G为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴与、相交相矛盾， 故假设错误，即G不是的中点，故⑤错误， 即正确的有①②④． 二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分． 11. 不等式的负整数解是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：不等式的负整数解为大于的负整数，符合条件的只有 12. 在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求解． 【详解】解：括号内填（答案不唯一）可以使等腰成为等边三角形． 13. 如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形、扇形、扇形的圆心角分别为、、，让转盘自由转动1次，则指针落在扇形的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查几何概率的求法，根据概率公式，指针落在扇形C的概率等于扇形C的圆心角与整个圆周角的比值，据此计算即可求解． 【详解】解：由题意得，整个转盘被分成3个扇形，圆周角为，扇形C的圆心角为， 所以指针落在扇形C的概率是． 14. 如图，已知中，，那么_________． 【答案】270 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出  的度数，再根据邻补角的定义即可求解． 【详解】∵在  中，， ， 由图可知， 与  互为邻补角， 与  互为邻补角， ，， ． 15. 对于x，y定义一种新运算（a，b是非零常数）．例如．若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据新定义建立二元一次方程组求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 解得 ． ∴． 16. 如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，垂直平分，于是可得，再根据的周长等于，即可得解． 【详解】解：根据题意可得，垂直平分， ， 的周长， 又，， 的周长． 18. 已知关于x，y的二元一次方程组的解为，小玲因为看错了t而得到的解为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将和分别代入方程，得到关于m和n的二元一次方程组并求解，将代入，得到关于t的一元一次方程并求解；将m、n、t的值分别代入计算即可． 【详解】解：将和分别代入方程，得， 解得， 将代入，得， 解得， ∴． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 得：， 整理得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 20. 如图，已知，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】先结合内错角相等，两直线平行得，再根据平行线的性质以及，得出，根据内错角相等，两直线平行得，即可得出． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 解不等式组． （1）解不等式，得           （2）解不等式，得           （3）如图，把不等式和的解集在数轴上表示出来 （4）原不等式组的解集为          ． 【答案】（1） （2） （3）解集在数轴上表示如解图： （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 解得； 【小问2详解】 解： 解得； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由上可得，原不等式组的解集为． 22. 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】根据，得到，利用即可得证. 【详解】略 23. 某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的以下试验结果： 试验的种子数（m） 500 1000 1500 2000 3000 10000 发芽的种子粒数（n） 471 946 1425 1898 y 9502 发芽频率 0.942 0.946 x 0.949 0.951 0.950 （1）求表中______，______（填数值）； （2）任取一粒该植物的种子，估计它能发芽的概率为______（填数值，保留两位小数）； （3）若学校为兴趣小组准备了80000粒种子进行发芽培育，试估算多少粒种子会发芽？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据发芽频率公式计算即可得出结果； （2）观察表格数据即可得出结果； （3）根据发芽频率公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得： ； 【小问2详解】 解：任取一粒该植物的种子，估计它能发芽的概率为； 【小问3详解】 解：（粒）， 若学校为兴趣小组准备了80000粒种子进行发芽培育，粒种子会发芽． 24. 如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． （1）若，分别求S1，S2的面积； （2）若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组以及列代数式求值，正确表示出阴影部分的面积是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）由题意得，求出即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴ 由（1）得， ∴ 25. 如图，于点，于点F．若，． （1）求证：平分． （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 26. 直线分别交直线，于点点在直线与直线之间． 【初步感知】 （1）如图①，若，则直线，的位置关系是_______； 【问题探究】 （2）如图②，，交于点，点在射线上，点在射线上，且，若，，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图③，，，点在射线上，与的平分线交于点，探究与之间存在的数量关系． 【答案】（1） （2） （3）与之间存在的数量关系是或或 【解析】 【分析】（1）过点I作，根据平行线的判定和性质即可证明； （2）根据题意得出，．过点F作，利用平行线的判定和性质得出，过点I作，结合图形即可求解； （3）设，，得出，．确定，，，然后分三种情况分析：①当点I，Q在直线的两侧时，②当点I，Q在直线的左侧时，③当点I，Q在直线的右侧时，作出相应图形，求解即可． 【小问1详解】 解：过点I作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，， ，． 如图②，过点F作． ， ，， ， ， , ， 过点I作， ， ，， ， ． 【小问3详解】 ，， ，， 与的平分线交于点Q， 设，， ，． ，，， ①当点I，Q在直线的两侧时，如图③-1，过点I作． ， ，， ， 过点Q作， ， ，， ， ． ②当点I，Q在直线的左侧时，如图③-2． 同①，得， ． ． ③当点I，Q在直线的右侧时，如图③-3． 同①，得，． ． 综上所述，与之间存在的数量关系是或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $