精品解析：山东省济南市市中区2024-2025学年 八年级下学期数学期末考试

2025年八年级期末学业质量监测数学试题 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 2025年5月18日，是第49个国际博物馆日，山东博物馆以“快速变化社会中的博物馆未来”为主题，为广大游客打造一场跨越时空的文博盛宴．以下山东博物馆展出文物的正面图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，属于分解因式的是（　　） A. （a﹣3）（a+3）=a2﹣9 B. x2+x﹣5=x（x+1）﹣5 C. a2+a=a（a+1） D. x3y=x•x2•y 4. 如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 5. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 6. 关于的方程有增根，则的值是（　　） A. B. 1 C. D. 3 7. 如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角是（ ） A. B. C. D. 8. 我校有一块正方形的空地需要美化，现向各个年级的同学征集设计方案．某同学设计图如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草．若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3m，种植花草的区域的面积为，设水池半径为，可列出方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，将绕点顺时针旋转60°得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，有以下结论： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若方程的两个实数根分别为4、，则方程的两根为3，． 其中正确结论的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．填空题请直接填写答案．） 11. 分解因式：_____． 12. 若分式的值为0，则x的值是________． 13. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为___________． 14. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以点为圆心，以大的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线分别与相交于点．若，，则的长为___________． 15. 如图，菱形的边长为，点，分别是边，对角线上的动点，且满足，若点是的中点，则线段的最小值为___________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解不等式组，并写出它的整数解． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图所示，在中，，，垂足分别为，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 21. 小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面上，底座的高为且，连杆，的长度均为，且，与始终在同一平面上． （1）如图2，转动连杆，，使点，，在同一直线上，且，求的度数； （2）如图3，为了让光线更佳，继续转动连杆，，使成平角，，求连杆端点离桌面的高度．（结果保留根号） 22. 背景 为遏制沙漠扩张，黄河“几字弯”防沙治沙核心区域启动“林草锁边带”工程，构建绿色屏障．工程引入两类智能机器，植树机器人A可用于挖坑、栽苗、浇水：飞播无人机B专攻复杂地形，飞播效率为人工的百倍以上． 问题解决 种植信息 植树机器人A每日种植面积比飞播无人机B多20亩，植树机器人A种植400亩沙地所用时间与飞播无人机B作用300亩沙地所用时间相等． 任务1 求植树机器人A和飞播无人机B每日种植面积； 设备成本 植树机器人A价格：8000元/台，飞播无人机B价格：6000元/台． 任务2 若治沙需要A，B两种机器共30台，且要求每天治沙面积不少于2000亩，那么该工程如何购买A，B两种智能机器，才能使总成本最低？请求出最低成本． 23. 阅读材料①：若都是非负实数，则．当且仅当时，“”成立． 证明：， ． ．当且仅当时，“”成立． 举例应用：已知，求函数的最小值． 解：，当且仅当，即时，“”成立． 当时，函数取得最小值，． 阅读材料②：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和， 例如：． 问题解决： （1）若，只有当___________时，有最小值___________； （2）求函数的最小值； （3）已知：如图，，，为第四象限内一点，且满足，过点作轴于点轴于点．当四边形面积的最小时，求出此时点坐标，并直接写出此时四边形的形状． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点，过点的直线交轴正半轴于点，点是线段的中点． （1）求直线的关系式； （2）将沿着射线方向平移到如图2的位置，得到，若线段恰好经过点，求平移的距离； （3）将沿着射线方向平移个单位至，如图3所示．点的对应点为，点为轴上一动点，连接，试探究：在直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. （1）如图1，正方形中，点在边上（不与重合），点在边上（不与重合）且满足，连结并交于点．线段与的数量关系是___________，位置关系是___________； （2）如图2，正方形中，点在边上（不与重合），点在边上（不与重合）且满足，连接交于点，分别取线段，的中点和，连接，请猜想线段与满足的关系，并证明： （3）如图3，在边长为8的正方形中，是边上一点，连接，将正方形沿折叠，使点的对应点落在正方形内部，连接并延长，交边于点的延长线交于点．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年八年级期末学业质量监测数学试题 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 2025年5月18日，是第49个国际博物馆日，山东博物馆以“快速变化社会中的博物馆未来”为主题，为广大游客打造一场跨越时空的文博盛宴．以下山东博物馆展出文物的正面图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、由可得，故本项不符合题意； B、由可得，故本项不符合题意； C、由可得，故本项不符合题意； D、由可得，故本项符合题意； 故选：D． 3. 下列从左到右的变形，属于分解因式的是（　　） A. （a﹣3）（a+3）=a2﹣9 B. x2+x﹣5=x（x+1）﹣5 C. a2+a=a（a+1） D. x3y=x•x2•y 【答案】C 【解析】 【详解】分解因式是把一个多项式化为几个整式的积的形式，A.是整式的乘法，不是分解因式；B.等号右边不是几个整式的积的形式，不是分解因式；C.是分解因式；D.左边不是一个多项式，不是分解因式，故选C. 4. 如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 由图示可知为公共边，若想用 判定证明 和 全等，必须添加． 【详解】解：∵， ， ∵， A．，符合两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项符合题意； B．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意； C． ，运用的是全等三角形的判定定理，不符合两个直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； D．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意； 故选：A． 5. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 6. 关于的方程有增根，则的值是（　　） A. B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根问题．依次去分母、去括号、移项、合并同类项，将分式方程转化为整式方程解得，根据分式方程的增根是去分母后得到的整式方程的根，且使原方程分母为零，得到，即可求出m的值． 【详解】解：， 将方程两边同乘，去分母得：， 解得：， 关于的方程有增根， ， ， ， 解得：， 故选：D． 7. 如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 根据多边形的内角和及正多边形的性质列式计算即可． 【详解】解：， 即这个正八边形的一个内角是， 故选：D． 8. 我校有一块正方形的空地需要美化，现向各个年级的同学征集设计方案．某同学设计图如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草．若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3m，种植花草的区域的面积为，设水池半径为，可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用水池的半径x表示正方形的边长，求出正方形面积，水池的面积，利用种植花草的区域面积60m2,列出列出方程即可． 【详解】设水池半径为，直径为2xm， 正方形的边长为：(2x+6)m， 正方形面积为m2， 水池的面积为， 种植花草的区域的面积， ∴． 故选择：D． 【点睛】本题考查列方程解应用题问题，掌握图形问题应用题的表示方法，会用水池半径表示正方形的边长与面积，抓住正方形的面积减去两个半径相同的圆面积是种植花草的区域面积构造方程是解题关． 9. 如图，中，，将绕点顺时针旋转60°得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，线段的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据旋转性质以及角的运算或线段的运算得出逐项判断即可． 【详解】解：设和交于点H， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ，故D选项正确，不符合题意； ， ， 故A选项正确，不符合题意； 仅根据已知条件，，无法得出相等，也就无法证明， 故B选项不一定正确，符合题意； 根据旋转的性质，旋转前后的对应边相等，绕点旋转得到， ， 故C选项正确，不符合题意． 故选：B． 10. 对于一元二次方程，有以下结论： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若方程的两个实数根分别为4、，则方程的两根为3，． 其中正确结论的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，解一元二次方程等知识，掌握一元二次方程的相关知识是解题关键． 【详解】解：①若，则是方程的根，故判别式，正确； ②方程有不相等实根，则，则方程的判别式，则必有两个不相等实根，正确； ③将代入方程得，因式分解为，当时，不一定为0，故不一定成立，错误； ④原方程根为4和，则，，得，，新方程化简为，根为5和，与题目所述3和不符，错误； 综上，正确结论为①和②，共2个， 故选：B． 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．填空题请直接填写答案．） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式． 12. 若分式的值为0，则x的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件可以求出的值．熟知需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．是解题的关键． 【详解】解：由分式的值为零的条件得且， 由，得， 故答案为：． 13. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．关于的不等式表示的是直线的图象位于直线的图象的上方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：关于的不等式表示的是直线的图象位于直线的图象的上方， 则结合函数图象得：关于的不等式的解集为， 故答案为：． 14. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以点为圆心，以大的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线分别与相交于点．若，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图——角平分线和线段的垂直平分线、等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据作图得出，，再结合勾股定理可得答案． 【详解】解：由作图可得，平分，垂直平分， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，菱形的边长为，点，分别是边，对角线上的动点，且满足，若点是的中点，则线段的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及垂线段最短等知识．解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，将求线段的最小值转化为求的最小值，再利用三角形面积公式求出的最小值，进而得到的最小值． 解题思路：辅助线作法见详解．利用中位线定理得到，根据菱形的性质证得，再利用平行线性质可证，得到，利用含角直角三角形的性质及勾股定理可求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用面积相等法求得高的长度，等于其一半，即为的最小值． 【详解】如图，延长至点H，使，连接．延长与交于点M，因G为的中点，故． ∵且菱形对角线平分， ∴， 由，得；由得， ∴，则，又， ∴，则， 由得，；由得， ∴，则，即， ∴． 自点M作延长线的垂线，垂足为点N，则， ∴，，则， 在直角三角形中，， 当时，因，所以最短时，也相应最短， ∵， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】，整数解为2，3． 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解．先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集即可求解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 整数解为：2，3． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）方程两边同时乘，化为一元一次方程，求出x的值，最后检验是否符合题意，即可解答； （2）利用公式法解答即可． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘， 得， 移项、合并同类项，得， 解得： 经检验，是原方程的解． 【小问2详解】 解：， ， ． 18. 如图所示，在中，，，垂足分别为，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂线的定义，全等三角形的判定与性质．由四边形是平行四边形，得到，继而证明，利用，易证得，然后由全等三角形的性质，证得结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时， 原式． 20. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 21. 小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面上，底座的高为且，连杆，的长度均为，且，与始终在同一平面上． （1）如图2，转动连杆，，使点，，在同一直线上，且，求的度数； （2）如图3，为了让光线更佳，继续转动连杆，，使成平角，，求连杆端点离桌面的高度．（结果保留根号） 【答案】（1）155° （2）连杆端点离桌面的高度为 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和，矩形的判定与性质，勾股定理的应用． （1）先求出，再根据，可得，即可解答； （2）过点B作于点O，证明四边形是矩形，可得，继而求出，根据勾股定理，得到，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 过点B作于点O，如图， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 即连杆端点离桌面的高度为． 22. 背景 为遏制沙漠扩张，黄河“几字弯”防沙治沙核心区域启动“林草锁边带”工程，构建绿色屏障．工程引入两类智能机器，植树机器人A可用于挖坑、栽苗、浇水：飞播无人机B专攻复杂地形，飞播效率为人工的百倍以上． 问题解决 种植信息 植树机器人A每日种植面积比飞播无人机B多20亩，植树机器人A种植400亩沙地所用时间与飞播无人机B作用300亩沙地所用时间相等． 任务1 求植树机器人A和飞播无人机B每日种植面积； 设备成本 植树机器人A价格：8000元/台，飞播无人机B价格：6000元/台． 任务2 若治沙需要A，B两种机器共30台，且要求每天治沙面积不少于2000亩，那么该工程如何购买A，B两种智能机器，才能使总成本最低？请求出最低成本． 【答案】任务1：植树机器人A每日耕种面积为80亩，飞播无人机B每日耕种面积为60亩；任务2：购买植树机器人A10台，飞播无人机B20台，才能使总成本最低，最低成本为200000元 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，一次函数解决实际问题，读懂题意，理清数量关系是解题的关键． 任务1：飞播无人机B每日耕种面积为亩，植树机器人A每日耕种面积为亩，根据“植树机器人A种植400亩沙地所用时间与飞播无人机B作用300亩沙地所用时间相等”列出方程，求解并检验即可； 任务2：设购买植树机器人台，则飞播无人机台，总成本为，根据“每天治沙面积不少于2000亩”列出不等式，求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数，根据函数的增减性求解即可． 【详解】解：（1）设飞播无人机B每日耕种面积为亩，植树机器人A每日耕种面积为亩， 根据题意得：． 解得： 经检验，是原方程的解 答：植树机器人A每日耕种面积为80亩，飞播无人机B每日耕种面积为60亩； （2）设购买植树机器人台，则飞播无人机台，总成本为， 根据题意得： 解得： 根据题意得： 随的增大而增大 当时，有最小值． 此时， 答：购买植树机器人A10台，飞播无人机B20台，才能使总成本最低，最低成本为200000元． 23. 阅读材料①：若都是非负实数，则．当且仅当时，“”成立． 证明：， ． ．当且仅当时，“”成立． 举例应用：已知，求函数的最小值． 解：，当且仅当，即时，“”成立． 当时，函数取得最小值，． 阅读材料②：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和， 例如：． 问题解决： （1）若，只有当___________时，有最小值___________； （2）求函数的最小值； （3）已知：如图，，，为第四象限内一点，且满足，过点作轴于点轴于点．当四边形面积的最小时，求出此时点坐标，并直接写出此时四边形的形状． 【答案】（1）2，2 （2）4 （3），四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，分式的性质，菱形的判定， 对于（1），当时，根据求出最小值即可； 对于（2），先化简得，可得答案； 对于（3），先设，则，可得，再讨论最小值的点P的坐标；然后结合四个点的坐标，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后结合“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 即． 当时，即（）时，有最小值2． 故答案为：2，2； 【小问2详解】 解：， ， ， 最小值为4； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵为第四象限内一点，且满足， ∴ 设，则，， ． 当且仅当，即时等号成立，此时． ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点，过点的直线交轴正半轴于点，点是线段的中点． （1）求直线的关系式； （2）将沿着射线方向平移到如图2的位置，得到，若线段恰好经过点，求平移的距离； （3）将沿着射线方向平移个单位至，如图3所示．点的对应点为，点为轴上一动点，连接，试探究：在直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）存在，F的坐标为，或，或 【解析】 【分析】（1）求出，由可求出直线的关系式为 ； （2）取的中点H，连接，求出，由得，由三角形中位线性质得，，由平移性质得四边形是平行四边形，即得； 取的中点H，连接，利用三角形的中位线求出的长即可求解；（3）设，过点作轴于点Q，求出，得，由 ，得，∴，得，由平移知，当时，过点E作直线轴于点I，过点F作于点J，证明 ，得,由，得，解得，或，得或； 当时，分别过点E、F作轴于点K，轴于点L，同理，,∴，得，由，得，得． 【小问1详解】 解：∵中， 当时，， ∴， 设直线的关系式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：取的中点H，连接， ∵中， 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点    ∴，， 由平移知，： ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴平移的距离为3； 【小问3详解】 解：设， 过点作轴于点Q， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是向右平移3个单位再向下平移3个单位至的， ∵，D是的中点， ∴， ∴， 当时， 过点E作直线轴于点I，过点F作于点J， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 或， 解得， ∴或； 　　　 当时， 分别过点E、F作轴于点K，轴于点L， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴ F的坐标为，或，或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，平移性质，三角形中位线性质，平行四边形判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，分类讨论，是解答本题的关键． 25. （1）如图1，正方形中，点在边上（不与重合），点在边上（不与重合）且满足，连结并交于点．线段与的数量关系是___________，位置关系是___________； （2）如图2，正方形中，点在边上（不与重合），点在边上（不与重合）且满足，连接交于点，分别取线段，的中点和，连接，请猜想线段与满足的关系，并证明： （3）如图3，在边长为8的正方形中，是边上一点，连接，将正方形沿折叠，使点的对应点落在正方形内部，连接并延长，交边于点的延长线交于点．若，求的长． 【答案】（1）相等，垂直；（2）线段与满足的关系是相等且垂直，证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由正方形性质及三角形全等的判定与性质即可得到线段与的数量关系是，再由，，即可得到线段与的位置关系； （2）证明，得出，证出，，，，则可得出结论； （3）连接，证出，同（2）理可证，得出，设，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）线段与足的数量关系是相等，位置关系是垂直；理由如下： 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：相等，垂直； （2）线段与满足的关系是相等且垂直． 证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在正方形中，与互相平分， 是的中点， 又分别是的中点． ，， ； （3）连接， 折叠， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 同（2）理可证，， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，分母有理化等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $