2026-2027学年新高一暑假预习成果检测----2.1等式性质与不等式性质

**基本信息** 新高一暑假预习检测聚焦不等式性质，通过基础辨析-综合推理-应用建模三层设计，强化数学思维与逻辑推理能力，适配预习巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（单选1-5、填空12-13）|单一不等式性质直接应用|以辨析题夯实概念，如代数式大小比较| |中档层（单选6-8、多选9-11、填空14）|多性质综合判断与推理|通过多选题考查逻辑严谨性，如条件不等式取值范围| |综合层（解答15-19）|实际问题建模与证明|结合货箱运输情境考查应用，培养数学建模能力|

2026-2027学年新高一暑假预习成果检测----2.1等式性质与不等式性质 一、单选题 1．若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 2．设，，则下列不等式中恒成立的是（   ）. A． B． C． D． 3．已知实数a，b满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 5．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 6．用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 7．下列命题是假命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 8．如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 10．对于实数，，，正确的命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 11．已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 三、填空题 12．有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中真命题的个数是________ 13．若，设 ，则的大小关系为____. 14．设实数满足：，则的取值范围是___________. 四、解答题 15．比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 16．已知，. (1)求证：； (2)求证：. 17．完成下列证明： (1)已知，，，求证：； (2)求证：是等边三角形的充要条件是.这里a，b，c是的三条边. 18．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱. (1)据此安排，两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货箱的运费是万元，每节型货箱的运费是万元，哪种方案的运费最少？ 19．已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B C A A C BCD ABD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】利用不等式的性质，判断各选项是否正确. 【详解】由，则，A选项错误； 由，时，不满足，B选项错误； 由，则，C选项错误； 由，则，D选项正确. 故选：D 2．C 【分析】取反例判断ABD，利用不等式同向可加性判断C. 【详解】取，则，故A错误； 取，则，故B错误； 因为，则，又， 所以，所以C正确； 取，则，，故D错误. 故选：C 3．A 【分析】由不等式的性质可得选项A 正确，举反例可说明选项B、C、D错误. 【详解】由及不等式的性质可知，，选项A正确. 令，满足，此时，且，选项B、C错误. 令，满足，此时，选项D错误. 故选：A. 4．B 【分析】用作差法计算比较的大小关系． 【详解】 ，故B正确． 故选：B． 5．C 【分析】分别举出反例即可判断ABD，从而得到结果，根据不等式性质判断C. 【详解】对于A，令，满足， 但是，故A错误； 对于B，令，则，即不成立，故B错误； 对于C，因为，， 所以， 所以，故C正确； 对于D，令，则， 满足，但是不成立，故D错误； 故选：C. 6．A 【分析】根据题意建立不等式模型即可. 【详解】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 7．A 【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可判断各选项. 【详解】对于A，取，此时，则有，所以A错误； 对于B，若，说明，则，所以B正确； 对于C，由，有，又因为，从而，所以C正确； 对于D，若，则，则有，所以D正确. 故选：A． 8．C 【详解】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 9．BCD 【分析】通过举反例排除A项；利用作差法比较判断B项；利用不等式的性质判断C，D两项. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因，则由可得，故B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，所以，故D正确． 故选:BCD． 10．ABD 【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，.故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD 11．ABD 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 12． 【分析】根据不等式性质分别判断各命题. 【详解】①由，当时，，所以①错误； ②由，即，所以，所以②正确； ③由，当时，，所以③错误； 故答案为：. 13． 【分析】作差计算，根据差值即可比较大小. 【详解】因为恒成立， 所以. 故答案为：. 14． 【分析】利用不等式的性质计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】利用作差法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式性质证明； （2）根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】（1），， 又，， ，又，. （2）先证明充分性： 由， 即， 所以， 所以，三角形为等边三角形. 然后证明必要性. 当三角形是等边三角形时，，所以. 综上所述，是等边三角形的充要条件是. 18．(1)三种 (2)安排型货箱30节，型货箱20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货箱的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货箱的运费，得出方案三运费最少. 【详解】（1）设安排两种货箱分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货箱28节，型货箱22节； 方案二，安排型货箱29节，型货箱21节； 方案三，安排型货箱30节，型货箱20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货箱分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货箱分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货箱30节，型货箱20节时，运费最少，为31万元. 19．(1)， (2) 【分析】（1）利用不等式的性质和齐次化可求的取值范围； （2）利用待定系数法结合不等式的性质可求的范围. 【详解】（1）因为，所以，所以； 因为，所以，∴，，即 所以， （2）令，所以， 所以，则，所以. 因为，所以， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $