山东省枣庄市2025-2026学年高二下学期期末模拟卷5

**基本信息** 这份高二期末模拟卷聚焦选择性必修二、三内容，融合2026年北京、全国卷等多地真题情境，如中长跑成绩正态分布、教师旅游方案独立性检验，通过函数极值、概率分布等问题，培养数学眼光、思维与表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|二项式系数、正态分布、独立性检验|结合北京/全国卷真题，基础与应用结合| |多选题|3/18|概率事件、回归分析、函数极值点|考查概念辨析与多维度思考| |填空题|3/15|展开式系数、分布列期望、条件概率|上海/天津真题情境，注重计算准确性| |解答题|5/77|二项式定理、独立性检验、函数切线与证明、概率分布列、函数单调性与极值|综合性强，如投篮练习概率（全国1卷）、函数极值点探究，体现逻辑推理与数学应用|

山东省枣庄市2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版选择性必修第二册（第五章）、选择性必修第三册（全册） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2026北京）已知的展开式中的的系数是280，则（     ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 2．中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目.在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名.则参赛的学生总数约为（    ）.（参考数据：，，） A．208 B．206 C．204 D．202 3．为了丰富教职工业余文化生活，某校计划在假期组织70名老师外出旅游，并给出了两种方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一，有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，则参照附表，得到的正确结论是（    ） 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 附：， A．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别有关” B．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别无关” C．有95%以上的把握认为“选择方案与性别有关” D．有95%以上的把握认为“选择方案与性别无关” 4.（2026全国2） 现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 16种 D. 24种 5. （2026全国1）曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6．已知变量 和 有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为 ，则（    ） 2 3 5 6 5 7 9 15 A．经验回归直线必过点 B．当时，预测值 C．对应的样本点的残差为 D． 7.（2026全国1） 设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（ ） A. B. C. 0 D. 8. （2026全国1）已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．盒中有6个玩具球，其中有2个是红色的，其余均是蓝色的，现从盒中随机地抽取3个球，则下列事件的概率是的是（     ） A．3个球全是蓝色的 B．恰有1个球是红色的 C．恰有2个球是红色的 D．至多有2个球是蓝色的 10．下列说法中，正确的命题有（    ） A．相关系数的值越大，说明成对样本数据的线性相关程度越强 B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和 C．在做回归分析时，残差图中残差点分布的水平带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 D．若样本数据的方差为，则数据的方差为4 11．已知函数存在两个极值点，则（     ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12. （2026上海）已知，则展开式中的系数为__________． 13. （2026上海）已知随机变量的分布为 且，则__________． 14. （2026天津）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．二项式展开式前三项的二项式系数和为22. (1)求的值； (2)求展开式中各项的二项式系数和； (3)求展开式中的常数项及二项式系数最大的项. 16（15分）．为了了解高中学生语文与数学成绩之间的联系，从某学校获取了名学生的成绩样本，并将他们的数学和语文成绩整理如表：(单位：人) 数学成绩 语文成绩 不优秀 优秀 不优秀 优秀 (1)依据的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与语文成绩有关联？ (2)以频率估计概率、从全市高中所有数学不优秀的学生中随机抽取5人，设其中恰有位学生的语文成绩优秀，求随机变量的分布列以及数学期望． 附： 17（15分）．已知函数． (1)若函数在点处的切线方程为，求切点的坐标． (2)求证：时，；（其中）． 18（17分）.（2026全国1）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． （1）当，时，求的分布列； （2）设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 19（17分）．已知函数． (1)若函数单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数存在两个极值点， ①求实数的取值范围； ②当时，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省枣庄市2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版选择性必修第二册（第五章）、选择性必修第三册（全册） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2026北京）已知的展开式中的的系数是280，则（     ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【详解】二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵ ，，且已知的系数为， ∴ ，即，解得. 故选：A 2．中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目.在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名.则参赛的学生总数约为（    ）.（参考数据：，，） A．208 B．206 C．204 D．202 【答案】D 【解析】由正态分布，求得平均值和标准差，继而求得成绩在90分以上（含90分）的学生的概率，可得选项. 【详解】由正态分布得：平均值，标准差，设参赛的学生总数约为人， 则成绩在的人数为人，成绩在的人数为人，而成绩在分以上的有人， 所以成绩在90分以上（含90分）的学生有32名，解得， 故选：D. 3．为了丰富教职工业余文化生活，某校计划在假期组织70名老师外出旅游，并给出了两种方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一，有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，则参照附表，得到的正确结论是（    ） 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 附：， A．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别有关” B．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别无关” C．有95%以上的把握认为“选择方案与性别有关” D．有95%以上的把握认为“选择方案与性别无关” 【答案】C 【分析】设该校男老师的人数为，女老师的人数为，根据条件，得到列联表，求出，的值，利用公式计算的值，再与表中临界值比较可得结果. 【详解】设该校男老师的人数为，女老师的人数为，则可得如下表格： 方案一 方案二 男老师 女老师 由题意，可得，又,可得，， 所以得表格： 方案一 方案二 合计 男老师 15 15 30 女老师 10 30 40 合计 25 45 70 则 , 所以有95%以上但无97.5%以上的把握认为“选择方案与性别有关”. 故选：C. 4.（2026全国2） 现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 16种 D. 24种 【答案】C 【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可. 【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组， 安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组. 若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人； B组已有{丁}，还差3人，则从剩余4人中选1人进A组，方案数为. 若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为. 所以当甲、乙在A组时，方案数为种. 情况2：甲、乙两人都在 B 小组，甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致， 安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ， 所以当甲、乙在B组时，方案数为  种. 故所有分配方案共有种. 故选：C. 5. （2026全国1）曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：D 6．已知变量 和 有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为 ，则（    ） 2 3 5 6 5 7 9 15 A．经验回归直线必过点 B．当时，预测值 C．对应的样本点的残差为 D． 【答案】B 【分析】先求即可判断A，由回归方程求出即可判断B，求出的残差即可判断C，由即可判断D. 【详解】由题意得：， 所以经验回归直线必过点，故A错误； 由，故D错误； 当时，，故B正确. 所以，当时，， 所以对应的样本点的残差为，故C错误； 故选：B. 7.（2026全国1） 设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【分析】由题意可知.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得，，根据对称性运算求解；解法三：根据点的特征结合古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：，且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6. 解法一：依题意，可得， ， ，， ，， 所以； 解法二：根据对称性可知：，，，，， 又，， 所以； 解法三：因为，， 对于任意一点，均存在与之对应，可知这两点的坐标和为0， 因为，样本空间，可知样本空间中存在唯一点与点对应， 所以中所有点的坐标和的总和为，故. 故选：A. 8. （2026全国1）已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【详解】法1：，由选项知，则定义域为， 由， 令即, , 令 , , , 时，, 时， , 在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，也是最小值点。 ,且当时，, . 显然当时，直线 图像有唯一交点，设为,且. ① 由函数的单调性及其图像可知：当时,, , 当时,, , 所以在上单调递增，在上单调递减， ,② 联立①②式得：，解得代入①式得： . 法2：由选项知，则定义域为，由，解得. 取验证： , , 令 ,则, 显然：, ,, 所以在上单调递增，在上单调递减， ,且时，总有, 又因为，,即,即 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以,满足题意，所以 . 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．盒中有6个玩具球，其中有2个是红色的，其余均是蓝色的，现从盒中随机地抽取3个球，则下列事件的概率是的是（     ） A．3个球全是蓝色的 B．恰有1个球是红色的 C．恰有2个球是红色的 D．至多有2个球是蓝色的 【答案】AC 【分析】根据古典概型概率公式与组合数公式计算即可逐一判断. 【详解】对于A，事件“3个球全是蓝色的”概率为，A正确； 对于B，事件“恰有1个球是红色的”概率为，B错误； 对于C，事件“恰有2个球是红色的”概率为，C正确； 对于D，事件“至多有2个球是蓝色的”概率为，D错误. 故选：AC. 10．下列说法中，正确的命题有（    ） A．相关系数的值越大，说明成对样本数据的线性相关程度越强 B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和 C．在做回归分析时，残差图中残差点分布的水平带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 D．若样本数据的方差为，则数据的方差为4 【答案】BC 【分析】由相关系数与线性相关性的关系判断A，由对数的运算性质及回归思想判断B，由残差图与回归效果间的关系判断C，求解方差判断D． 【详解】选项A，相关系数的绝对值越大，说明成对样本数据的线性相关程度越强，A错误； 选项B，由题意，因此，，，B正确； 选项C，在做回归分析时，残差图中残差点分布的水平带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，C正确； 选项D，新数据的方差为，D错误． 故选：BC． 11．已知函数存在两个极值点，则（     ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C． D． 【答案】ACD 【分析】分析可知有两个不相等的正根，利用二次方程根的分布结合韦达定理逐项判断即可． 【详解】函数的定义域为， ， 由函数存在两个极值点， 得有两个不相等的正根， 所以，解得， 即的取值范围为，A正确，B错误； 所以，，C正确，D正确； 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12. （2026上海）已知，则展开式中的系数为__________． 【答案】10 【分析】写出二项式的通项，令的次数为，即可求出展开式中的系数. 【详解】由题意，在中，通项， 当即时，， ∴展开式中的系数为. 故答案为：10 . 13. （2026上海）已知随机变量的分布为 且，则__________． 【答案】0.6 【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解. 【详解】由随机变量的分布及得： ，且，解得. 故答案为：0.6 . 14. （2026天津）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 【答案】 ①. ②. 【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论. 【详解】由题意，第一空：箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。 设事件A表示取一次球不是黄球，事件D表示三次取球都没取到黄球， 因为是有放回抽取，所以 , 三次都没取到黄球的概率： . 第二空：设事件B表示取一次球是红球，事件C表示取一次球是白球，则 , , 事件M表示三次取球至少一次是红球，则, . 则在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率： . ∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是 . 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．二项式展开式前三项的二项式系数和为22. (1)求的值； (2)求展开式中各项的二项式系数和； (3)求展开式中的常数项及二项式系数最大的项. 【分析】（1）根据二项式系数即可列式子求解； （2）由二项式系数的性质可求解； （3）根据二项式展开式的通项特征，即可求解，二项式系数最大的项为中间项即可求解. 【详解】（1）展开式前三项的二项式系数和为22， 或（舍）， 故的值为6. （2）展开式中各项的二项式系数和为. （3）设展开式中常数项为第项， 即，令，得， ， 由题可得，展开式中最大的二项式系数为， 展开式中二项式系数最大的项为第4项，即， 综上所述：常数项为，二项式系数最大的项为 . 16（15分）．为了了解高中学生语文与数学成绩之间的联系，从某学校获取了名学生的成绩样本，并将他们的数学和语文成绩整理如表：(单位：人) 数学成绩 语文成绩 不优秀 优秀 不优秀 优秀 (1)依据的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与语文成绩有关联？ (2)以频率估计概率、从全市高中所有数学不优秀的学生中随机抽取5人，设其中恰有位学生的语文成绩优秀，求随机变量的分布列以及数学期望． 附： 【分析】（1）提出零假设学生的数学成绩与语文无关，计算，比较其与临界值的大小，由此确定结论； （2）确定的可能取值，结合二项分布定义判断，根据二项分布概率公式求取各值的概率，由此可得其分布列，再由二项分布期望公式求期望. 【详解】（1）零假设为：学生的数学成绩与语文无关， 由题， 所以依据的独立性检验，推断零假设不成立，即认为学生的数学成绩与语文成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于. （2）由题意可知数学不优秀的学生中语文成绩优秀的概率为， 随机变量的取值有，由已知， 则 , , , , , . 所以随机变量的分布列为 所以随机变量的数学期望. 17（15分）．已知函数． (1)若函数在点处的切线方程为，求切点的坐标． (2)求证：时，；（其中）． 【分析】（1）先求出，由可得，又，可得切点的坐标为； （2）设，则原不等式等价于，利用导数研究函数的单调性，可得在上单调递增，在上单调递减，比较极值及区间端点函数值的大小，可得，从而原不等式成立. 【详解】（1）由函数得函数的定义域是，且， ∵函数在点处的切线方程是， ∴即，解得，又， ∴切点的坐标为． （2）证明：由题意，即证明当时，恒成立， 设，则只需即可， ， 令，得；令，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， 且，， ∴在区间上的最小值， ∴当时，成立． 18（17分）.（2026全国1）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． （1）当，时，求的分布列； （2）设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 【分析】（1）求出的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列. (2)（i）等价于前次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出. （ii）利用条件概率公式，结合 (i) 的结论与事件的包含关系即可证明结论. 【详解】(1)由题意，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， ∴当时，的可能取值为1，2，3，4; 当时，表示第一次就投进球，， 当时，表示第1次没有投进，第2次投进球，， 当时，表示前两次没有投进，第3次投进球，， 当时，表示在第次停止，此事件等价于前次投篮均未投中，， 作出的分布列如下图所示： 1 2 3 4 （2）（i）由题意及（1）得，当时，表示前次均未投中，∴. （ii）由题意及（2）及（i）证明如下： 记事件 ,事件 , , , , , 即. 19（17分）．已知函数． (1)若函数单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数存在两个极值点， ①求实数的取值范围； ②当时，求的最小值． 【分析】（1）由题可得，恒成立，分离变量，即可确定实数的取值范围； （2）①由在内有两个不等根，列出不等式求解即可；②结合题目条件，逐步转化， 用一个变量表示，然后换元，利用导数求函数的最小值，由此即可解出. 【详解】（1）函数的定义域为，导函数， 由函数单调递增得恒成立， 即，又，当且仅当时取得最小值2， 实数的取值范围为； （2）① 由题意在内有两个不等实根, 需满足， ，解得， 实数的取值范围为； ② ， ∴， 所以 ， 令，，     当时，取得最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $