第三周 第4天 基本不等式的应用 暑假自学配套同步分层练习-2026年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 2026年新高一暑假自学同步分层练习（第三周第4天，基本不等式的应用），以青铜局、黄金局、王者局三级递进设计，通过基础巩固-能力提升-挑战拓展路径，培养数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|基本不等式直接应用（求最值、简单实际问题）|题量多（10题），选择填空为主，夯实基础运算能力| |黄金局|综合应用（结合三角形面积、多变量问题）|题量适中（4题），多选与解答结合，培养推理意识| |王者局|复杂情境应用（含参数、恒成立问题）|题量少（2题），综合解答题，发展创新与模型意识|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第三周 第 4天 基本不等式的应用 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.若x>0，y>0，且=1，则x+y的最小值是(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 答案　C 解析　x+y=(x+y)=5+ ≥5+2=9， 当且仅当即x=3，y=6时取等号， 故x+y的最小值是9. 2.某工厂生产某种产品，第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　) A.x= B.x≤ C.x> D.x≥ 答案　B 解析　由题意得，A(1+a)(1+b)=A(1+x)2， 则(1+a)(1+b)=(1+x)2， 因为(1+a)(1+b)≤ 所以1+x≤=1+ 所以x≤当且仅当a=b时取等号. 3.已知a>0，b>0，ab=1，且m=b+n=a+则m+n的最小值是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　B 解析　∵a>0，b>0，ab=1， ∴m+n=b++a+=(a+b)+=2a+2b≥2=4， 当且仅当a=b=1时，等号成立. 即m+n的最小值为4. 4.已知x>0，y>0，xy=x+4y，则x+y+的最小值为(　　) A.10 B.6 C.4 D.9 答案　A 解析　由xy=x+4y，得=1， 所以x+y+=(x+y)+1=4+1++1≥6+2=6+4=10， 当且仅当x=6，y=3时，等号成立， 所以x+y+的最小值为10. 5.如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的(　　) A.最小长度为8 B.最小长度为4 C.最大长度为8 D.最大长度为4 答案　B 解析　设BC=a，CD=b， 因为矩形的面积为4，所以ab=4， 所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为 2a+b=2a+≥2=4 当且仅当2a=即a=时，等号成立，即所需要篱笆的最小长度为4. 6.已知正实数x，y满足=1，则4xy-3x的最小值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 答案　B 解析　由x>0，y>0，且=1， 可得xy=x+y. 所以4xy-3x=4x+4y-3x=x+4y. 又因为x+4y=(x+4y) =5+≥9， 当且仅当即x=3，y=时取等号， 所以4xy-3x的最小值为9. 7.(多选)已知正数x，y满足x+y=2，则下列选项正确的是(　　) A.的最小值是2 B.xy的最大值是1 C.x2+y2的最小值是4 D.x(y+1)的最大值是2 答案　AB 解析　因为正数x，y满足x+y=2， 所以(x+y) ==2， 当且仅当即x=y=1时，等号成立， 所以的最小值是2，故A正确； 因为正数x，y满足x+y=2， 所以xy≤=1， 当且仅当x=y=1时，等号成立， 所以xy的最大值是1，故B正确； 由得x2+y2≥2， 当且仅当x=y=1时，等号成立， 所以x2+y2的最小值是2，故C错误； x(y+1)≤ 当且仅当即x=y=时，等号成立， 所以x(y+1)的最大值是故D错误. 8.(5分)若实数a，b满足a2+2ab=1，则a2+b2的最小值是　　　　. 答案　 解析　由a2+2ab=1可得b= 所以a2+b2=a2+ ≥2 当且仅当a2=时，等号成立. 9.(5分)设0<x<1，则当取得最小值时，x的值是　　　　. 答案　 解析　由0<x<1，得1-x>0，由基本不等式可得=[(1-x)+x]· =+5 ≥2+5=9， 当且仅当即x=时，等号成立. 10.(10分)已知a>0，b>0，且a+b=求证：a+b≥2. 证明　由a>0，b>0， 则a+b= 由于a+b>0，则ab=1，即a+b≥2=2， 当且仅当a=b=1时，等号成立， 所以a+b≥2. 黄金局 提能力·融会贯通 11.设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a=6，b+c=8，则此三角形面积的最大值为(　　) A.3 B.8 C.4 D.9 答案　A 解析　由题意p=7，则S==3 当且仅当7-b=7-c，即b=c=4时，等号成立， 所以此三角形面积的最大值为3. 12.(多选)若x>0，y>0，x+2y=1，则下列说法正确的是(　　) A.xy的最大值是 B.的最小值是8 C.4x2+y2的最小值为 D.的最小值是4 答案　AB 解析　∵x+2y=1≥2 ∴xy≤当且仅当 即时等号成立，故A正确； (x+2y)=4+ ≥4+2=8， 当且仅当时等号成立，故B正确； 4x2+y2=4(1-2y)2+y2=17y2-16y+4 =17 当且仅当y=时等号成立，故C错误； =2≥4， 当且仅当xy=1时等号成立，而0<xy≤∴等号不成立，故D错误. 13.(5分)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园面积的最大值为　　　　. 答案　400 解析　由题意设矩形花园的长为x，宽为y(x>0，y>0)， 则矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以又因为AG=BC=40， 所以AF=DE=x，FG=y，所以x+y=40， 由基本不等式x+y≥2得xy≤400， 当且仅当x=y=20时，等号成立，矩形花园面积最大，最大值为400. 14.(11分)设a，b均为正数，且a+b=1. (1)求a2+b2-4ab的最小值；(5分) (2)证明：a+2b+-9≥0.(6分) (1)解　∵a，b均为正数，且a+b=1， ∴a2+b2-4ab=(a+b)2-6ab=1-6ab， ∵a+b=1≥2∴0<ab≤ 1-6ab≥1-=-当且仅当a=b=时等号成立， ∴a2+b2-4ab的最小值为-. (2)证明　a+2b+=a+2b+ ==(a+b)=5+≥5+2=9， 当且仅当且a+b=1，即a=b=时，等号成立， 故不等式a+2b+-9≥0. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(5分)若x，y是正实数，(x-y)2=(xy)3，则的最小值为　　　　　　. 答案　2 解析　因为(x-y)2=(xy)3且x，y是正实数，所以两边同时除以(xy)2，得=xy，又因为=xy+≥2=4，当且仅当xy=即时等号成立，所以=2. 16.(12分)已知正实数a，b满足a+2b+5=ab，且不等式恒成立，求实数m的取值范围. 解　因为正实数a，b满足 a+2b+5=ab 所以m≥ =- =-(2a+b)， 而(2a+b)=+10 ≥2+10=18， 当且仅当即a=b=时取等号， 所以-(2a+b)≤-18， 所以实数m的取值范围为{m|m≥-18}. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第三周 第 4天 基本不等式的应用 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.若x>0，y>0，且=1，则x+y的最小值是(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 2.某工厂生产某种产品，第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　) A.x= B.x≤ C.x> D.x≥ 3.已知a>0，b>0，ab=1，且m=b+n=a+则m+n的最小值是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 4.已知x>0，y>0，xy=x+4y，则x+y+的最小值为(　　) A.10 B.6 C.4 D.9 5.如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的(　　) A.最小长度为8 B.最小长度为4 C.最大长度为8 D.最大长度为4 6.已知正实数x，y满足=1，则4xy-3x的最小值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 7.(多选)已知正数x，y满足x+y=2，则下列选项正确的是(　　) A.的最小值是2 B.xy的最大值是1 C.x2+y2的最小值是4 D.x(y+1)的最大值是2 8.(5分)若实数a，b满足a2+2ab=1，则a2+b2的最小值是　　　　. 9.(5分)设0<x<1，则当取得最小值时，x的值是　　　　. 10.(10分)已知a>0，b>0，且a+b=求证：a+b≥2. 黄金局 提能力·融会贯通 11.设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a=6，b+c=8，则此三角形面积的最大值为(　　) A.3 B.8 C.4 D.9 12.(多选)若x>0，y>0，x+2y=1，则下列说法正确的是(　　) A.xy的最大值是 B.的最小值是8 C.4x2+y2的最小值为 D.的最小值是4 13.(5分)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园面积的最大值为　　　　. 14.(11分)设a，b均为正数，且a+b=1. (1)求a2+b2-4ab的最小值；(5分) (2)证明：a+2b+-9≥0.(6分) 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(5分)若x，y是正实数，(x-y)2=(xy)3，则的最小值为　　　　　　. 16.(12分)已知正实数a，b满足a+2b+5=ab，且不等式恒成立，求实数m的取值范围. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $