山东省聊城第一中学新校区2026届高三4月调研测试数学试题

绝密★启用前 新校区2026届调研测试 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 0 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 条 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合U={-2,-1,0,1,2,3,4},集合A={-2,0,2},B={-2,4},则C(AUB)=() A.{-2,-1,3} B.{-1,1,3} % 0 C.0,1,3} D.{-2,1,3} 與 2.已知z=1-2i,则2+3=( ) 2i A.1-2i B.-1-21 C.1+2i D.-1+2i 3.在△ABC中，已知B=60°，AC=√14，BC=3AB,则AB=() A.√2 B.2W2 C.32 D.4 4.已知圆C:(x-2)2+y2=2>0)截y轴所得的弦长为4W3,则r=( 0 A.2 B.3 C.4 D.5 拟 5.某科技创新攻关团队共100人，统计团队成员的年龄均在区间[20,45)内，并得到如下频 率分布直方图，则() ◆频率组距 A.团队年龄在[20,25)的成员所占比例为6% 区 0.08 B.团队年龄的极差大于25 0.06 C.团队年龄的平均数小于35 003 002 D.团队年龄的中位数在35,40)内 0.01 0 202530354045 年龄 第1页（共4页） 已知{a}为正项等比数列，满足4+a,a46,则÷= A B C.16 D17 16 已知子a<4aa+}-n2a,则aa+ 4 4 亚=( 4 B. D.6 9 1 &已知椭圆C+卡1@>b>0)的左、右焦点分别为R,,上、下顶点分别为名，品， 且|EF=B,B2=2,直线y=x与椭圆交于P,Q两点，则四边形PB,QF的周长为() A.2 B.2√2 C.4 D.4V2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知5.是等差数列a,}的前n项和，若；=6， S=8,则() A.a3=6 B.S6=84 C.{an}为递增数列 D 是等差数列 10.已知函数f(x)= -x2+3x-2,x≥0，则() x2+4x,x<0, A.f(0)=0 B.x=1为f(x)的极大值点 C.f(x)有2个零点 D.若1≤a≤√3，则f(x)在[0，ad上的值域为[-2,0] 11.已知抛物线C:y2=2px过点D(1,2W2),焦点为F,点A,B为抛物线C上不同的两点，则 () A.p=4 B.存在直线AB,使得当直线AB过点F时，有|AB=6成立 C.OAOB≥-16 D.若FaFB=0,则1+1≥2-2 FAFB 4 第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量1a=V5.b=,.ab=子则cosa,)= 13.已知函数f(x)=nx+m,若f(x)为偶函数，则f(x)在x=1处的切线方程为 14.如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，AC⊥底面ABC,AC⊥BC,且AC=BC=2,AC=2N5, 则平面BCC,B,截三棱锥A-ABC的外接球所得截面的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=sin2x+2√3sin2x-m. (1)若f，求m的值： (2)求f在0，号 上的单调区间 6(15分)已知双曲线C:。-左1(a>0,b>0)的一-个焦点是F(2,0,一条渐近线方程 是√3x+y=0. (1)求双曲线C的方程； (2)斜率为1的直线I与双曲线C交于不同的两点P,Q,N为线段PQ的中点，点 M(0,-1),若以MN为直径的圆过点F,求直线I的方程. 第3页（共4页） 17.(15分)如图，在六面体ABCDMN中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°， DM⊥平面ABCD,DM∥CW,CW=2DM,P是BC的中点： (1)证明：DP∥平面BMN; (2)若直线DP与平面ABM所成角的正弦值为2，求DM的长」 18.(17分)已知函数f(x)=(x+1)e-e2,a>0. (1)当a=2时，求f(x)的最小值； (2)若当x≥0时，f(x)≤0恒成立，求a的取值范围； (3)若关于x的方程f e=瓜+g1有两个不等实根，，证明：。+ 19.(17分)为评估某AI程序的国际象棋实战水平，现由甲与其进行多场比赛.已知甲每场比 赛获胜的概率为p(0<p<),失败的概率为1-p,且每场比赛的结果是相互独立的.记甲 在前k场比赛中，没有连续两场获胜的概率为p(k∈N),其中P,=I. (1)求P2(用p表示)： (2)当n,号时，求p,并证明{+写P, 是等比数列； (3)设甲与AI程序至多进行n场比赛(n∈N且n≥2)，若甲连续两场获胜，则比赛提前 终止.记比赛终止时，比赛的总场数为X证明：Ex)>1一①-pY 第4页（共4页） 新校区2026届调研测试 数学参考答案及评分标准 一、选择题 1.B 【解析】AUB=2,0,2,4, C(AUB)={-1,1,3}, 故选：B 2.A 【解析】因为z=1-2i, 所以z=1+2i, 所以2+3-4+24-2+1=1-2i 2i2i i 故选：A 3.A 【解析】在△ABC中，设AB=x, 则BC=3x. 根据余弦定理可得， Cos B=4B+BC-AC2 2AB.BC 即c0s60°=r+(3x)2-(W4y 2x.3x 求解可得x=√2， 所以AB=√2 故选：A 4.C 【解析】圆C的圆心为(2,0)： 因为圆C截y轴所得的弦长为4W3, 所以2=22+(2√3)2=16，即r=4 故选：C 5.C 第9页（共1( 【解析】对于A,根据频率分布直方图， 团队年龄在[20,25)的成员所占比例 为0.06×5=0.3， 故所占比例是30%，故A错误； 对于B,依题意，团队成员年龄均在区间 [20,45)内， 所以极差小于25，故B错误； 对于C,根据频率分布直方图， 团队年龄在区间[20,30)的比例为 (0.06+0.08)×5=0.7, 在区间[30,45)的比例为1-0.7=0.3， 故年龄的平均数一定小于30×0.7+45× 0.3=34.5, 显然年龄的平均数小于35，故C正确； 对于D,根据频率分布直方图，区间 [20,30)所占比例为0.7， 故中位数一定小于30，故D错误 故选：C. D 【解析】因为4a,=i6 所以a=是 16 所以4或（含》 又因为4+a=4 所以a,=1. 由a=40可得g- a1-q) 所以点-其+9=1*店 S。a,1-g)1-q 1-9 -17 16 页) 故选：D y=x对称， 7.B 所以|PB,+|B,Q1=|QE+|PE=2N2, 【解析】令B=a+子因为子a<行 故四边形PB,QF,的周长为42 故选：D 所以0<B<受则a=B-平 二、选择题 9.ACD 则原式可化简为4tanB=-tan 别 5a+5x4d=30, 所以4mB=-m220 【解析】由题意知， 1x6d=56, 7a1+ 所以4tanB= 1-tan2B 2tan B 即 a+2d=6, 解得m月=号 a+3d=8, 解得9=2， d=2, 因为0<B<,所以mB=写 所以an=2n,Sn=n(n+1), 所以ama+4厂 π1 所以a=6,S6=42 所以A正确，B错误； 故选：B. 又由an=2n可知{an}为递增数列，C 8.D 正确； 【解析】依题，设椭圆半焦距为c,故 2b=2c=2, S.=n+1, 故 是等差数列，D正确 即b=c=1, 故选：ACD. 故a=V2+c=√2.连接P听，E2, 10.BCD 【解析】对于A,f(0)=-2,故A错误； 对于B,当x≥0时，f'(x)=-3x2+3, 令f(x)=0,则x=1, 当x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调 因为P,Q关于原点对称，E,F关于原 递减， 点对称， 故f(x)在x=1处取极大值，故B正确： 所以四边形PFQF,为平行四边形，故 对于C,当x≥0时，fI)=0,结合B选 PF=OF, 项知f(x)在x≥0时仅有一个零点. 故|QE1+|PE|=|PE1+1PE1=2a=22. 当x<0时，令f(x)=0,解得x=4, 因为点B(0,1)与点F,1,0)关于直线 第10页（共16页） 所以f(x)共2个零点，故C正确； 因为FA·FB=0,所以FA⊥FB. 对于D,结合B,C选项， 由抛物线的焦半径角度公式，可得 f(x)在[0，√3]上的图象为 FA= 1-cos0 故|FB= 4 4 1+sine 1-sine ①当1FB= 一时， 1+sin 1 IFAFB 由图象可知， 若1≤a≤√5，则函数fx)在[0，d上的 _1-cos+1+sine 2+2sim-π 值域为-2,0]， 故D正确. 当9=兵时 1+1取得最小值 FAFB 故选：BCD 2-2 11.ACD 4 【解析】方法一：对于A,将点D1,2√2) ②当1FB= 4 时， 代人可得8=2p,得p=4, 1-sin0 1 故A正确； 1 FAFB 对于B,若直线AB过点F, 则|AB为抛物线的焦点弦长 =1-cos0+1-sin0 2-V2sin0+元 4 因为抛物线最短焦点弦长为其通径长，为 4 4 2p=8,故B错误， 当0-时， 1 1 对于C,显然直线AB不与x轴平行，设 FAFB 取得最小值 直线AB与x轴交于点T(t,O), 2-2 4 A(x,),Bx2,2) 则由抛物线的坐标平均性可知x2=t, 综上， 网丽产2，故D正确 +12-2 乃乃2=-81， 故选：ACD 故0A0B=x53+y2=t-81. 方法二：对于A,将点D1,22)代人可 当t=4时，OAOB取得最小值-16，故 得8=2p,得p=4, C正确； 故A正确； 对于D,设日为以射线Fx为始边，射线 对于B,若直线AB过点F, FA为终边的角， 则|AB为抛物线的焦点弦长 由A在抛物线上运动，不妨取0∈(0,2π) 因为抛物线最短焦点弦长为其通径长，为 第11页（共16页） 2p=8,故B错误； 值2-2 故D正确。 4 对于C,显然直线AB不与x轴平行， 故设直线AB的方程为x=m+t,A(x,乃)， 故选：ACD. 三、填空题 B(x2,2 联立 y2=8x, 得y2-8my-8t=0, 12 x=my+1, 【解析】易求1b1=P+P=√2. 片+y2=8m, 又ab=a‖bcos(a,b), 所以 月月2=-8t, 4=64m+32t>0, 所以号2x5cosa,, 所以x+x2=m0y1+乃2)+21=82+21， 1x2= y2=, 解得casa,)月 64 故答案为： 1 则0A.0B=xx2+2=12-8, 13.y=x-1 当t=4时，OAOB取得最小值-16，故 【解析】依题，x+m≠0，解得x≠-m, C正确； 可得f(x)的定义域为 对于D,因为FAFB=0, 所以(x1-2)(x2-2)+乃y2=0, (-∞，-m)U(-m,+o). 展开得xx2-2(x+x)+4+少2=0， 又因为f(x)为偶函数，其定义域关于原 代人得2-2(8m2+21)+4-8=0, 点对称， 所以m=0, 整理t-12t+4=16m2, 所以fx)=lnx. 所以2-121+4≥0，解得1≥6+4W2或 因为当x>0时，f(x)=lnx, 1≤6-4v2, 则1+ 1 所以r= FAFBx+2x2+2 所以f"(1)=1,f)=lnl=0, x+x2+4 xx2+2(5+x2)+4 所以切线方程为y-0=1.(x-1), =1.2-8t+12 即y=x-1. 4(t-2)2 故答案为：y=x-1. =1.1-20ú-6) 14.2π 4(t-2)7 【解析】如图所示，将三棱锥A-ABC补 》 成直三棱柱ABC-A'B'A, 当1=6+42时，1+1 分别取A'B,AB的中点N,M,连接 取得最小 FAFB MW,取MW的中点O,连接OC, 第12页（共16页） 由题意知，三棱锥A一ABC的外接球即为 三棱柱ABC-A'BA的外接球，O为球心， 则球的半径 R=0A=JOM+AM=)+(2)= 5. 以C为坐标原点，分别以CA,CB,CA 所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的 空间直角坐标系， 易知，C0,0,0),01,1,√5)， B0,2,0),C(-2,0,2W5) 则CB=(0,2,0),CC=(-2,0,25) 设平面BCCB,的法向量n=(x,y,z), 则 CB.n=2y=0, 令z=1， CCn=-2x+25z=0, 则n=(5,0,) 又C0=1,1,√3) 所以点O到平面BCC,B,的距离 d=c0m-5+5=. n 第13页（共 则平面BCCB,截三棱锥A,-ABC的外接 球的截面圆的半径r=√R2-dP=√2， 所以截面圆的面积为π2=2π。 故答案为：2π 四、解答题 15(解析】1)f得sm受+25s m=1+√5-m=1, 所以m=√5 …5分 (2)f(x)=sin2x+2v3sin2x-m =sin2x+2/3xI-cos 2x =sin2x-√5cos2x+V3-m =2m2x}+5-m, 令1=2x因为x[0,引 根据正弦函数的图象可知， 时，函数y=sint单调递增， 即当2x号引时，此时 π f(x)单调递增； 当2 2时，此时 倍引 f(x)单调递减， 因此f(x)在 0, 上的单调递增区间为 [o. 单调递减区间为 16页） (注：单调区间两端开或闭都正确) 所以Pe∥CW,P2=2CW …13分 又DM∥CN,CN=2DM, 16.【解析】(1)c=2, =5, 所以DM∥PQ,DM=PQ, a 所以四边形DMQP是平行四边形， c2=a2+b2, 所以DP∥MQ 解得a=1,b=√5， 又DPt平面BMN,MQC平面BMN, 则双确线C的方程为一芳=引 所以DP∥平面BMN. …6分 …5分 (2)连接BD (2)设直线1的方程为y=x+m, 因为底面ABCD是菱形，∠DAB=60°， 所以△ABD和△BCD均为等边三角形 Px,),Qx2,2), 因为P是BC的中点， y=x+m, 联立 消去y并整理得 所以DP⊥BC,即DP⊥AD x2-D2 =1 3 又DM⊥平面ABCD, 2x2-2x-m2-3=0, 则以D为坐标原点，分别以DA,DP, 此时4=4m2+8(0m2+3)>0, DM所在直线为x,y,z轴，建立如图所 由一元二次方程根与系数的关系得 示的空间直角坐标系。 名1+2=m 所以片+乃2=x+x,+2m=3m, 即 因为以MN为直径的圆过点F, 所以MF⊥NF,即MF.NF=O, =2,.F-2，） 设DM=t>0, 则由题意知，A(2,0,0),B1,√3,0)， 所以2+} 3m=0 M(0,0,t),P(0,3,0) 解得m=8, 所以AM=(-2,0,),AB=(-1,√5,0)， 所以直线I的方程为y=x+8, Dp=(0,V5,0. 即x-y+8=0. …15分 设平面ABM的法向量为n=(x,y,z), 17.【解析】(1)取BW的中点Q,连接MQ, 则。 AM-n=-2x+z=0,令x=5, PQ. ABn=-x+√5y=0, 因为P,Q分别为BC,BN的中点， 则n=(5t,t,23). 第14页（共16页） 因为直线DP与平面ABM所成角的正弦 ②当1<a<2时，g'(x)在[0，+∞)上单 务9 调递减，且g'(0)=a-1>0, 上恒成立，故 所以|cos(DP,nm)= DP.nl DPn r gtw在0，。 上单调递增， 5×√42+12 4 则g(x)≥g(0)=1成立，与题干矛盾， 解得t=√5，即DM=√5.…15分 舍掉； 18.【解析】(1)当a=2时，f(x)=(x+1)e2- ③当a≥2时，g'(x)≥0恒成立，故g(x) e2x=re2, 在[0，+∞)上单调递增， f(x)=e2*+2xe2*=e2*(1+2x). 则g(x)≥g(0)=1恒成立，与题干矛盾， 令=0得=司 舍掉 综上所述，0<a≤1满足要求 当x<时，<0，函数f)单调 …10分 递减； (3)将代人，原方程化为 当x>时，>0，函数单西 +e=a xe+1, 递增， a 即e=ar+1, 故f)在x=-处取得最小值， 则有e=ax+1,e=瓜2+1， …4分 两式相减，得e一e=a(x2-x), (2)当x≥0时，fx)≤0恒成立， 即a=e-e* x2-x 即(x+e"≤e2, 即(x+1)e2r≤1. 故原不等式变形为e+e>e的-e 七3-51 令g(x)=(x+1)ea-2,即求g(x)≤1在 不妨令x2>,不等式两端同时除以e, x≥0时恒成立， 则不等式可变形为1+e)x2-x)> g'(x)=eu-2r+(x+10(a-2)ea-2n e6-9-1. =ea-2r[l+(a-2(x+1】=ea-2[(a-2)x+ 令x2-=1,1>0,则不等式可继续变形 (a-1]. 为1+e')t>e-l, ①当0<a≤1时，g'(x)≤0恒成立，故 即证(1+e)t-e'+1>0在t>0时恒成立， g(x)在[0，+∞)上单调递减， 故令h(t)=(1+e)t-e+l, 则当x≥0时，g(x)≤g(O)=1恒成立； 则(t)=te'+1>0恒成立， 第15页（共16页） 故h(t)在t>0时单调递增，则t)> 能结束比赛，也可能没有结束比赛， h(0)=0恒成立， 故PX=)=P-P 故命题得证 …17分 对于k=n,只需第n-1场没有结束比赛， 19.【解析】(1)依题意，甲在两场比赛中连 则无论甲第n场是胜还是负均结束比赛， 胜两场的概率为p2, 故P(X=n)=Pn-1 故P2=1-p2 …2分 故E(X)=2P(X=2)+3P(X=3)+…+ (2)依题意，P=g 1解得p-号 (n-1)P(X=n-1)+nPX=n) =2(乃-P2)+3(P2-P)+…+(n-1) 根据全概率公式， (pn2-P)+np n=Rn0-pad-pp写n+号 =2P1+P3+…+Pm 12 2 当k=3,4,…,n-1时 所以P2+PF3PB+ 显然PX=)>0,即P-P:>0, 故p>P2>…>p1>0,且P2>1, Pk- 518 而p,+5P93g 由(2)知P=(1-p)P-+p1-p)pk-2 两边同除以Pk-1 所以{ +n} 是首项为 ,公比为 3 可得P=1-p)+p1-p)PB2>1 的等比数列。 …8分 Pk Pk-1 (3)依题意， p+p1-p)=1-p, 当n=2时，则X=2,无论这两场甲是胜 所以乃=1，卫2=1-p2,乃>1-p2)2, 还是负均结束比赛， …,pm1>1-py2 故P(X=2)=1,故E(X)=2, 故E(X)=2P1+P2+…+P1 此时不等式的右边为1一1-p)》 ≥1+1+0-p2)+…+0-p2yr2 >1+0-p2)+…+1-p2y2+(1-p2)m1= 2p2-p=2-p2<E(X) 1-(1-p2) p 当n≥3时，依题意，随机变量X的取值 综上，有E(X)>I-1-p)成立，证毕 为2,3，…，n, 故E(X)=2P(X=2)+3P(X=3)+.+ …17分 nP(X=n), 对于k=2,3,…,n-1, 若第k-1场没有结束比赛，则第k场可 第16页（共16页）