山东省青岛第五十八中学2025届高三第二次适应性检测数学试题

绝密★启用前 2025年青岛五十八中高三第二次适应性检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，则 A． B． C． D． 2．已知，则 A． B． C． D． 3．已知集合，，则 A． B． C． D． 4．已知，，，则 A． B． C． D． 5．的展开式中，的系数为 A．10 B．20 C．30 D．60 6．与抛物线和圆都相切的直线的条数为 A．0 B．1 C．2 D．3 7．假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）．若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为 A． B． C． D． 8．已知平行四边形的两个顶点为，，另两个顶点在圆上．对于给定的，若这样的平行四边形有且只有一个，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．一组数据：，，，是公差为的等差数列，去掉首尾两项，后得到一组新数据，则 A．两组数据的极差相同 B．两组数据的中位数相同 C．两组数据的平均数相同 D．两组数据的标准差相同 10．已知狄利克雷函数设函数，则 A．是奇函数 B．是周期函数 C．的值域是 D．在区间上的有理数零点恰有3个 11．已知正四面体，过点的平面将四面体的体积平分，则 A．截面一定是锐角三角形 B．截面可以是等边三角形 C．截面可能为直角三角形 D．截面为等腰三角形的有6个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．记等差数列的前项和为，，，则__________． 13．已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则__________． 14．下图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关一次，将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态，例如，按将导致，，，改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 （1）求三棱柱的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16．（15分） 设的内角，，所对的边分别为，，，且有． （1）求； （2）若边上的高，求． 17．（15分） 设函数． （1）求的单调区间； （2）若存在极值点，且存在，使得，证明：． 附： 18．（17分） 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为． （1）求取球一次分别取到黄球、白球的概率； （2）现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过次，以表示取球结束时已取到白球的次数． （i）求的分布列； （ii）求的数学期望． 19．（17分） 由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，．如图，，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点． （1）若是边长为2的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若，求的取值范围； （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，是否存在斜率为定值的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $