山东省聊城第一中学新校区2026届高三3月调研测试数学试题

绝密★启用前 新校区2026届调研测试 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 0 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 条 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知(1+i)z=4,则|z=( A.1 B.2 C.5 D.2W5 的 0 2.已知集合A={2,-1,0,1,2},B={xVx≤2}，则A∩B=( A.1,2 B.{-2,-1,0 與 C.0,1,23 D.{-2,-1,0,1,2} 3.设O为坐标原点，抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在抛物线上，若|PF|=3引OF,则 点P的横坐标为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4. 已知函数f(x)=cos 2r- 2π 则其图象离直线x=π最近的一条对称轴的方程是( 证 B.x= 2π C.x=4 5π A.x= D.x= 3 6 5.若函数y=log- 在区间[-1,2]上单调递增，则a的取值范围是() 4 B. C.(1,4) D.(4,+∞) 6.在△ABC中，AB=AC=2,AB.AC=2,若动点P满足AP=mAB+(I-m)AC,则AP的最 0 小值为() A.1 B.√2 C.5 D.2 第1页（共4页） 7.已知圆C:x2-4ar+y2=0(a>0),若直线1：x+y-6=0上存在唯一点P,使得过点P作圆 C的两条切线相互垂直，则a=() 1 A.2 B.1 c D.2 8.已知函数f(x)及其导函数g(x)的定义域均为R,若f(3x+2)为奇函数，f(x+1)+x为偶函 数，g0)=-2,则g()=() k-0 A.-12 B.-14 C.-15 D.-16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知圆锥的底面半径为V5,母线与底面所成角的余弦值为 3 A.圆锥的母线长为3 B.圆锥的高为1 C.圆锥的体积为√6π D.圆锥的侧面积为2√3π 10.已知双曲线C:二二=1(a>0)的左、右焦点分别是B,B,过5作C的一条渐近线的垂 a 9 线，垂足为Q,且与双曲线左支交于点P,若|PF,=3QF,则() A.PF,|=9 B.∠EPF,=909 C.C的离心率为 D.SAPGE =18 11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2A+cos2B=2cos2C,则() A.a2+b2=2c B.ceo. C.若C=元，则sin4 Asin B=5 D.若C=区，且A为钝角，则B=T 6 4 4 8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若f(x)=ar-elnx在(0，)上单调递减，在1，+∞)上单调递增，则f(x)的极小值为 13.已知Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn=(n+2)an-2,则a。= 14.有三张卡片，一张标有数字1，另外两张标有数字2，每次有放回地随机抽取一张卡片（每 次抽取是独立的).规定：若存在i(i∈1,2})，使得标有数字i的卡片被抽取出i+1次，则 停止抽取卡片.设被抽取出的卡片上的数字总和为X,则E(X)= 第2页（共4页)】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=√6，△ABC的面积为 5 2 asinC=ccos4. (1)求A; (2)求△ABC的周长. 16.(15分)工厂的早班和晚班生产同种产品，且两个班次生产的产品数量相同.为探究工厂生 产班次与产品质量之间是否存在关联，采用分层随机抽样的方法，从该厂当日生产的产品 中随机抽取出100个进行质量检测，得到如下列联表： 优秀品 合格品 合计 早班 20 30 50 晚班 10 40 50 合计 30 70 100 (1)根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析工厂生产班次与产品质量是否有关； (2)用样本的频率估计概率，从工厂当日生产的产品中随机抽取2个做进一步检测， 记其中优秀品的个数为X,早班产品的个数为Y.求出X的分布列与期望，并判断 P(X=2Y=2)与P(X=2)的大小关系（直接写出结论，无需证明）. 附：X2= n(ad -bc) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(x2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 第3页（共4页） 17.(15分)如图1，平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2AD=4,E是CD的中点，将 △ADE沿AE翻折至△AD'E,如图2所示 (1)若平面AD'E⊥平面ABCE,证明：BE⊥平面ADE; (2)若二面角D'-AE-B为120°，求二面角E-AD'-B的余弦值. 18.17分)已知椭圆C吉+、 +京=1a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P为椭圆上一点 (异于点A,B),|AB=4,△PAB的面积最大值为2√2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)点M为直线x=a上一点（不在坐标轴上），若直线MP与椭圆C相切于点P. (i)判断直线PA与直线OM的位置关系，并说明理由： (i)过点B作直线QB交直线PA于点Q,且k=2k,求S℃的最大值 BM 附：过椭国号+后=1(a>0,b>0,a≠b)上一点T化，)的切线方程为号+岁- a b2 19.(17分)对于函数(x),若存在x。∈R,使h(x)=x成立，则称，为函数(x)的不动点 已知函数f(x)=l-sinx的不动点为t,数列{an}满足an=f(an,n∈N,它的前n项和 为Sn (1)证明：t>2 (2)若4交证明：当n为数时。5<： (3)若4∈，0，证明：当n≥7时，n<S.<2n 3 第4页（共4页） 新校区2026届调研测试 数学参考答案及评分标准 则离直线x=π最近的对称轴方程为 一、选择题 x=5 1.D 6 【解析】因为1+i)z=4, 故选：D 所以z= 4 5.B 1+i 所以14144 【解析】设1=d-子 则y=log1t 1+1+i2 =2W5. 因为y=1og1 在区间[-1,2]上单 故选：D 2.C 调递增， 【解析】由√≤2可得0≤x≤4， 且y=1og11为减函数， 2 所以B={x0≤x≤4}， 所以A∩B=0,1,2. 由复合函数单调性知1=a-在P1,2] 故选：C 上单调递减， 3.B 0<a<1, 【解析】由题意知，|OF=1,所以 则有 a2->0, 解得a<l PF=3OF =3 根据抛物线的定义可得PF=xp+1,则 故a的取值范围是 xp+1=3, 故选：B 解得xp=2. 6.C 故选：B. 【解析】由AP=mAB+(1-m)AC, 4.D 可得AP=[mAB+(1-m)AC]= 【解析】根据题意，令2x 2二k, 3 m AB'+2m(1-m)AB.AC+(1-m)AC k∈Z, =4m2+4m0-1m)+4(1-m)2=4m2-4m+4 则x=+低，k∈Z, =(2m-1)2+3≥3， 32 于是AP≥√5，当且仅当m=时等号 令k=0,得x=元 成立， 令k=1,得x= 6 所以AP的最小值为√5. 令k=2,得x=4 故选：C. 3 7.B 第1页（共16页） 【解析】圆C:(x-2a)2+y2=4a2,圆心 【解析】如图所示的圆锥中，底面半径 C(2a,0),圆的半径r=2a(a>0). OA=√5，母线SA与底面所成角的余弦 若直线1：x+y-6=0上存在唯一点P,使 值为 3 得过，点P作圆C的两条切线相互垂直， 则此时1CP1=2a-6=22a即 √1+1 12a-61=4a, 解得a=1或a=-3（舍） 由题意知，SO与底面垂直，即SO为圆锥 故选：B. 的高， 8.D 则∠SAO为母线SA与底面所成的角， 【解析】因为f3x+2)为奇函数，所以 f(-3x+2)=-f(3x+2). 即cos∠S40=5 1 对上述等式两边求导得-3f"(-3.x+2)= 所以SA= OA cos∠SAO =3,则 -3f'(3x+2), S0=VS42-0AP=V6, 即f(-3x+2)=f'(3x+2), 则圆锥的母线长为3，高为√6，故A正 所以g(x)=f'(x)的图象关于x=2轴对称 确，B错误； 因为f(x+1)+x为偶函数，所以f(-x+1) 则圆锥的侧面积为√3π×3=3√3玩， x=f(x+)+x. 对上述等式两边求导得-f(-x+)-1= 圆锥的体积为写×元×5矿×V6-=6, f'(x+1)+1, 故C正确，D错误. 即-2=f"(x+)+f"(-x+1), 故选：AC 所以g(x)=f'(x)的图象关于点(1，-1)中 10.ACD 心对称， 【解析】由题意知，QF=b=3,所以 所以g(x)为周期为4的函数，且g1)=-1. |PF|=3|QF|=9,故选项A正确； 由g(0)=-2,g1)=-1,以及对称性可得 易知10F1=OF,|PQ1=2QF2, g(2)=0,g(3)=-1, ∠OQF=90°， 则g(0)+g(1)+g(2)+g(3)=-4, 过E作FM垂直于PF,垂足为M,如图. 则2g()=4×4=-16. k=0 故选：D 二、选择题 9.AC 第2页（共16页） 1 ≥-×2 4 分当且仅当a=6时等号成立。 所以ceo,引 因为△OQF,∽△FMF,所以|MQ= 故B正确； QF|=b.又|P9=21QF|=2b, 由余弦定理知， 所以|MPI=b=3,即M,P不重合， c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-3ab, 所以∠EPF,≠90°，故选项B错误； 又因为a2+b2=2c2, 在Rt△MEP中，|MP=b,|PF=3b 2a,|Mf|=2a, 所以c2=√3ab, 则1PEP=MPP+|MP,即(3b-2a2= 所以sin2C=V5sin4sinB= b2+(2a2, 解得a=2,则c=√a2+b2=√3，所以 所以sin AsinB=VS 12 e== ,故C选项正确： 故C错误； a 2 SAm5=2SAp0m,=P℉O01=9×2=18, 因为sin2A+sin2B=2sin2C,C=元 故D选项正确 所以sin2A+sin2B=1. 故选：ACD 又因为sin2A+cos2A=1, 11.ABD 所以sin2B=cos2A. 【解析】因为cos2A+cos2B=2cos2C, 所以1-2sin2A+1-2sin2B=2(1-2sin2C), 又因为A为钝角， sin2 A+sin2B=2sin2C, 所以sinB=-cosA, 所以a2+62=2c2, 所以A=B+ 故A正确： 2 cosC=a+b-c 结合A+B=3沉 2ab a2+b2-02+b3 2 可得8一受 2ab 故D正确. =1.a2+b 故选：ABD 4 ab 第3页（共16页） 三、填空题 12.e 抽眼出标有数字2的卡片的餐率为号 【解析】由题意可知，f(x)在x=1处取得 根据抽取的总次数，可分为以下三类情况： 极小值 ①抽取2次，有一种情况：1,1， 对f(x)求导得， ②抽取3次，有三种情况：1,2,1；2， r=a是 1,1；2,2,2, ③抽取4次，有六种情况：1,2,2,1： 于是f0=a-=0.所以a=e, 1,2,2,2;2,1,2,1;2,1,2,2; 2,2,1,1；2,2,1,2. 于是f(x)=er-elnx, 由以上枚举，随机变量X可取：2,4， 所以fx)的极小值为fI)=e. 6,7, 故答案为：e. 13.11 PX-2-ix1-1 339 【解析】当n=1时，2S,=3a-2,即2a1= 3a1-2, 解得g=2; x=o=周 当n≥2时，2Sn=(n+1)an-1-2, 所以2Sn-2Sn1=(n+2)an-(n+1)an1 2a =(n+2)a,-(n+1)a 故X的分布列为 整理得na,=(n+l)a, X 2 4 6 7 所以a=01 n+1 P 9 27 9 27 所以数列 a 为常数列， n+1 故E(X)=2×二+4× 4+6x4+7x8 4 2 9 27 所以0=4=1， n+12 0 9 所以an=n+1, 故答案为： 所以4o=11. 9 故答案为：11」 四、解答题 4号 15.【解析】(1）由题意知， sin Asin C=3sin Ccos4, 【解析】根据题意，抽取出标有数字1的 因为sinC≠0 卡片的概率为写 所以sinA=√3cosA, 即tanA=√5. 第4页（共16页） 又因为0<A<π， 概率为 501 100-2 所以A-骨 …5分 故随机变量X~ (2)因为△BC的面积为 2 则X的分布列为 所以二besinA= X 0 1 2 49 2四 9 由(1)知A= 100 5 100 3 所以sinA=5 E(X0=2x3-3 105 P(X=21Y=2)= P(X=2,Y=2) 所以bc=2. P(Y=2) 由余弦定理知，a2=b2+c2-2 bccos A, 20、20 所以6=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc= =100100=4 1 (b+c)2-6, 2) 所以(b+c)2=12, =PX=2) 所以b+c=25, 所以P(X=21Y=2)=4>9 25100 所以△ABC的周长为√6+2√5. …15分 …13分 17.【解析】(1)在平行四边形ABCD中，因 16.【解析】(1)设零假设H。:工厂生产班次 为E是CD的中点， 与产品质量无关， 所以AD=DE=CE=BC=2 由列联表，得 又∠BAD=60°，则∠ADE=120°， X-20×40-10x30P×100 ∠BCE=60°， 30×70×50×50 所以AE=2√3，BE=2. ≈4.762>3.841， 又AB=4,则AE2+BE2=AB2,即 所以根据小概率值α=0.05的独立性检 AE⊥BE. 验，推断H。不成立，即工厂生产班次与 又平面ADE⊥平面ABCE,平面AD'E∩ 产品质量有关， 平面ABCE=AE, 该推断犯错误的概率不超过0.05 所以BE⊥平面ADE. …7分 …7分 (2)分别取AE,AB的中点P,F,连接 (2)依题意，从全部产品中随机抽取出一 PD',PF 个优秀品的概率为30=3 由(1)知，AE⊥BE. 100101 因为P,F分别为AE,AB的中点， 从全部产品中随机抽取出一个早班产品的 所以PF∥BE,则AE⊥PF 第5页（共16页） 因为AD=D'E=2, 所以cos(m,n)》= m.n 3+3_33 所以D'P⊥AE,DP=I, |m‖n213 13 所以∠DPF为二面角D-AE-B的平面 所以二面角E-AD-B的余弦值为3 13 角，则∠DPF=120° …15分 由题意，以E为坐标原点，分别以EA, 18【解析】(1)依题意，当点P位于上、下 EB所在直线为x,y轴，以过E点且垂直 顶点时，△PAB面积最大， 于平面ABCE的直线为z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， 则×2ab=2√2，得ab=2√2. 又因为2a=4, 所以a=2,b=√2， 故椭圆C的标准方程为+上=1 42 …4分 则E(0,0,0),A(2√3,0,0)，B(0,2,0) (2)(i)直线PA平行于直线OM,理由 叫5 如下： 由(1)知，a=2,则4(-2,0)，B(2,0) 则EA=(25,0,0), 设点Px,),≠0， 面 则直线MP的方程为+=1. 42 D（6 令x=2,有2+=1， 42 AB=(←2√5,2,0). 得，2-玉 设平面EAD的法向量为m=(x,y,, 又6，帝2w*业2生 m.EA=2v3x=0, 所以 20 则4=+2 2 2 12-(x。+22-x) 令z=1,则m=(0,√5,1). 2% 设平面ADB的法向量为n=(x,y,z), 因为点P在椭圆上，满足至+公=1， 4 所以n05x 2 即-2 n:AB=-2N3x'+2y'=0, 2 令x'=1,则n=(1,5,3). 代人得 4-=1, (x+2)(2-x)4-x 第6页（共16页） 显然直线PA与OM不重合， 4 ≤6-4V2, 故直线PA平行于直线OM. m+8 *6 …10分 当且仅当m2=2√2等号成立， (ⅱ)因为直线PA平行于直线OM, 故S的最大值为6-42. 所以SApw=SAgo=S△Mew-S0 -X BM 2.1yo-Yol. 方法二：由题意知k。=2k8=2儿 %-2 方法一：设点M的坐标为(2，m),m≠0， 则直线PA的方程为x=-七+2y y-2, 椭圆在点P处的切线方程为+=1， 42 直线QB的方程为x=名-2 y+2. 代人点M的坐标得x。+m%=2,故x。= 2-0ya 联立可得+2。 %-2=52 2yo g+2 代人椭圆方程后+2后=4得4-4四。+ 8% m2y后+2y后=4， 得%= x+6 整理得，= 47m m2+2 8ya 故S型 xa+6 -Yo 故6=2-4m2 BM 2-Xo m2+2 a 47m 则km=、=m+2 -1 x。-2-4m2 七+6 m2+2 =1.4- 故w=-2 2x+6 设函数f=4- 2x+6x∈(-2,2)， 又PA∥OM,所以k:=kow=, f)=}.-x-12x-4 2 故直线PA的方程为x=二y-2,直线QB (x+6)2 m 当x∈(-2,4W2-6时，f'(x)>0,f(x)单 的方程为x=- 2+2. 调递增 4 8m 当xe(42-6,2)时，f(x)<0,fx)单 联立得%=2m㎡+4 调递减， 12 故当x=4W2-6时，fx)取得最大值为 8m 4m m2+4m2+2 6-42 …17分 BM 19.【解析】(1)据题意，有1-sint=t,即 t+sint-1=0. 4m2 (m2+4)(m2+2) 第7页（共16页） 记m(x)=x+sinx-1,则m(t)=0, 于是0<f(a2-)<f(t),即0<a2<t, 求导得m'(x)=1+cosx≥0， 于是1>f(ak)>ft),即1>a2+1>t,于 于是m(x)在R上单调递增。 是结论②成立。 而m2 11 =sin <sin-}=0=m0. 由(1)可知，m(x)=x+sinx-1在R上 22 “62 单调递增， m(①=1-sinl>0=m(t), 于是11>号即> …4分 (2)易知f(x)=1-sinx在(0,1)单调递减. 于是1<是，结合(1)可知；<1<亚< 6 65 图为05a所以1>a小0. 由(2)知，g(x)=x+f(x)=x+1-sinx 在R上单调递增， 即1>a,>t,于是0<f(a)<f), 因为1>a2->t,k∈N,所以g(ak-)> 即0<a<t. g(t)=2t, 依次反复操作，易推得0<a-1<t,t< 即a-+fa2k-)>2,即a-1+as>21. ak<1,k∈N①. 因为0<a<t,所以g(ax)<g)=2t, 证明如下：假设0<a2-1<t, 即a+f(ax)<2t,即ak+ah<21. 则1>f(a-)>f(), 当n≥7且n为偶数时， 即1>aw>t,于是0<f(ax)<ft), 即0<aw1<t,于是结论①得证。 S.=4+4++a+a,>221=m>n ig(x)=x+f(x)=x+1-sinx, Sn=a+4+…+an1+an=a1+(a2+a3)+ 则g'(x)=1-cosx≥0， …+(an-2+an1）+an 于是g(x)在R上单调递增 <1+侣-2*=m-*1<-D* 因为0<a-1<t,所以g(a)<g, 即a+f(ak-)<gt)=2i, <32m-0+1=36m-04n+28<36n 6 -n+ 66 66 于是a1+ak<2t,k∈N, 04x7+28-3m 6 63 于是当n为偶数时，Sn=a,+a2+…+ 当n≥7且n为奇数时， *0登2=m …10分 Sn=a+a42+…+an1+an=(a+a,)+…+ (3)先证明1>a2>t,0<ax<1, (a-2+a)+a keN'②. >≥”1.2+1=m>2 2 由已知可得1>a1>t, Sn=a+42+…+a1+an=a1+(a2+a3)+ 假设1>aw-1>t,k∈N, …+(an-1+an) 易知f(x)=1-sinx在(0,1)单调递减， 第8页（共16页） <1+”,2=-+1<a-0+1<n 6 综上，当≥7时<8 3 …17分