21.1四边行及多边形 暑期练习2025-2026学年 人教版数学八年级下册

**基本信息** 练习围绕四边形及多边形，分基础、中档、提升三层，覆盖概念理解到综合探究，适配暑假自主巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|四边形稳定性、内角和公式、对角线概念|第1题操作理解稳定性（几何直观），第9题直接考查对角线数量（概念记忆）| |中档层|正多边形内角计算、密铺条件、内外角关系|第4题正多边形边数计算（运算能力），第10题正五边形内角（公式应用）| |提升层|多边形内角和与外角综合、裁剪规律探究|第14题内角和与外角关系推理（推理意识），第17题数学实验探究（创新意识、模型观念）|

21.1四边形及多边形 一、单选题 1．如图，拉一拉，你发现了它们有什么变化吗？这说明了（   ） A．四边形不具有稳定性 B．三角形的稳定性 C．四边形可以变成三角形 D．四边形的对称性 【答案】A 【详解】解：由题意，说明了四边形不具有稳定性. 2．如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据在中，，得出，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 则， 故选：B． 3．四边形的四个外角中最多有钝角（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和外角的关系，利用内角和定理是解题关键． 四边形的外角与内角互补，外角为钝角当且仅当内角为锐角，因此，问题转化为求四边形内角中最多有多少个锐角． 【详解】解：∵四边形的内角和为，且每个锐角小于， ∴若四个内角均为锐角，则内角和，矛盾， ∴最多有三个内角为锐角． ∵每个锐角内角对应一个钝角外角， ∴最多有三个钝角外角． 故选：B． 4．已知正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【详解】∵正多边形的一个内角为， ∴该正多边形的一个外角为， ∵任意多边形的外角和为， ∴正多边形的边数为． 5．某酒店装修，准备用同一种正多边形瓷砖铺满地面．则可以选择的正多边形瓷砖边数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】同一种正多边形密铺的条件为：正多边形每个内角度数能整除，分别计算各选项正多边形的内角度数，结合条件即可判断. 【详解】解：正边形每个内角的度数计算公式为，据此分别计算： A、 当时，每个内角为，∵，不是整数，∴不能密铺，不符合题意； B、当时，每个内角为，∵，是整数，∴可以密铺，符合题意； C、当时，每个内角为，不能整除，∴不能密铺，不符合题意； D、当时，每个内角为，∵，不是整数，∴不能密铺，不符合题意. 6．一个九边形的每个内角都相等，则这个九边形的每个内角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用任意多边形外角和为，各内角相等的多边形各外角也相等，结合内角与相邻外角互补的关系即可求解． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，且该九边形每个内角相等， ∴该九边形的每个外角也相等，共有9个外角， ∴每个外角的度数为 ， ∵多边形的内角与相邻外角的和为， ∴每个内角的度数为 ． 7．一个多边形的内角和加上一个外角的和为，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】C 【分析】设该多边形的边数为n，则该多边形的内角和为，则该多边形的这个外角的度数为，再根据这个外角大于0度且小于180度建立不等式组求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∵n为正整数， ∴， ∴这个多边形是九边形． 8．工人师傅准备用同一种正多边形地砖铺设客厅地面，下列正多边形中，能铺满地面的是（    ） A．正八边形 B．正五边形 C．正方形 D．正十边形 【答案】C 【分析】正多边形铺满地面的判断标准为正多边形的单个内角度数能整除，计算各选项正多边形的单个内角度数，验证是否符合条件即可得到结果． 【详解】解：∵选项A正八边形，，单个内角为，，不是整数，∴不能铺满地面． ∵选项B正五边形，，单个内角为，，不是整数，∴不能铺满地面． ∵选项C正方形，，单个内角为，，是整数，∴可以铺满地面． ∵选项D正十边形，，单个内角为，，不是整数，∴不能铺满地面． 二、填空题 9．从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 【答案】 3 4 【详解】解：对于边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为． 本题中六边形，因此可以作对角线条数为． 从一个顶点引出条对角线后，可将边形分成个三角形，因此六边形分成三角形的个数为． 10．正五边形每个内角的度数为 _____． 【答案】 【分析】根据任意多边形的外角和为，正五边形每个外角相等，先求出正五边形每个外角的度数，再利用邻补角的性质计算得到每个内角的度数． 【详解】正五边形的每个外角都相等，任意多边形的外角和为， 正五边形每个外角的度数为． 多边形的内角与相邻外角互为邻补角， 正五边形每个内角的度数为． 11．一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是______________． 【答案】或七 【分析】设该多边形的边数为，根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意可得， 解得 ． 12．如图是一块形状不规则的零件，，则的度数为___________． 【答案】/140度 【分析】连接，利用三角形内角和求出，再根据四边形内角和计算即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴， ∴． 13．如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，交于点M ， ______° 【答案】 【分析】先根据正多边形内角和公式求出正八边形的内角度数，再利用等边对等角和三角形内角和定理求出和的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：多边形为正八边形， ，， 在中，， 在中，， 是的外角， ． 三、解答题 14．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题： (1)“多边形内角和为”，为什么不可能？ (2)明明求的是几边形的内角和？ (3)多加的那个外角为多少度？ 【答案】(1)解：由多边形内角和公式可知，多边形内角和是的倍数，而不是的倍数， 故不可能是多边形内角和． (2)十三边形 (3) 【分析】（1）根据多边形内角和公式判断即可； （2）根据多边形内角和公式判断即可； （3）由（2）即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由多边形内角和公式可知，， 所以，则， 故多边形是十三边形 （3）解：由（2）计算可知余数为， 所以多加的外角为． 15．根据题意解答： (1)如图1，点、、、在同一直线上，平分，，若为度，求的度数（用关于的代数式表示），并说明理由； (2)如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示，地面，地面，求的度数，并说明理由； (3)如图3，若，，，则__________度． 【答案】(1)，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； (2)，理由如下： 过作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）根据平角定义表示，由角平分线定义得：，最后根据平行线性质得结论； （2）作平行线，根据平行线的性质得：和，所以； （3）作辅助线，根据外角定理和四边形的内角和列式后可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长图中线段，构建如图所示的三角形和四边形， 由三角形外角定理得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．按要求解题： (1)如图1，中，点是的延长线上一点，的角平分线与的角平分线交于点，若，，求的度数； (2)如图2，四边形中，点是的延长线上一点，的角平分线与的角平分线交于点，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线定义求出，，再利用三角形外角性质求出的度数； （2）根据四边形内角和求出，结合角平分线定义及三角形外角性质推出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴． 17．数学实验：探索多边形纸片裁剪中的规律． 【问题提出】 用剪刀沿着任意一条直线将一张多边形纸片裁剪1次后，得到的所有纸片的边数之和及内角度数之和有怎样的变化规律？ 【实验1】探索沿着不过顶点的直线裁剪1次后的变化规律． 纸片形状 三角形 四边形 五边形 六边形 … 裁剪后所得图形             … 边数之和 … 内角度数之和 … (1)将一张边形（）纸片沿着不过顶点的任意一条直线裁剪1次后，与原边形相比较，所得所有纸片的边数之和增加了________，内角度数之和增加了________； 【实验2】探索沿着过一个顶点的直线裁剪1次后的变化规律． 纸片形状 三角形 四边形 五边形 六边形 … 裁剪后所得图形             … 边数之和 … 内角度数之和 … (2)将一张边形（）纸片沿着过一个顶点的任意一条直线裁剪1次后，与原边形相比较，所得所有纸片的边数之和增加了________，内角度数之和增加了________； 【实验3】探索沿着过两个不相邻顶点的直线裁剪1次后的变化规律． (3)将一张边形（）纸片沿着过两个不相邻顶点的任意一条直线裁剪1次后，与原边形相比较，所得所有纸片的边数之和及内角度数之和有什么规律？（直接写出结论） 【解决问题】 (4)将上述3个实验中的裁剪方式依次称为“裁剪Ⅰ”、“裁剪Ⅱ”和“裁剪Ⅲ”．现将一张长方形纸片裁剪后，得到了1张六边形纸片，1张五边形纸片，1张四边形纸片和8张三角形纸片，请探究所有可能的裁剪方法．（要求：三种裁剪方式都要用到，且每次只能裁剪一张纸片） 【答案】(1)4；360 (2)3；180 (3)所得所有纸片的边数之和增加了2，内角度数之和不变； (4)“裁剪Ⅰ”6次、“裁剪Ⅱ”3次、“裁剪Ⅲ”1次或“裁剪Ⅰ”7次、“裁剪Ⅱ”1次、“裁剪Ⅲ”2次 【分析】（1）根据表格中呈现的数据，总结所得所有纸片的边数之和及内角度数之和的变化规律即可得答案； （2）根据表格中呈现的数据，总结所得所有纸片的边数之和及内角度数之和的变化规律即可得答案； （3）参照（1）、（2），列出表格，方法同上； （4）结合前面3个探究方法及得出的规律，可得出最后得到11张纸片，裁剪了10次，运用边数及内角和变化规律列出方程组求解即可。 【详解】（1）解：由表格得如下规律：， ， ， ， ， …… 由此得出所得所有纸片的边数之和增加了4，内角度数之和增加了； （2）解：由表格得如下规律：， ， ， ， ， …… 由此得出所得所有纸片的边数之和增加了3，内角度数之和增加了； （3）解：沿着过两个不相邻顶点的直线裁剪1次后的变化规律如下表： 纸片形状 四边形 五边形 六边形 … 裁剪后所得图形          … 边数之和 6 … 内角度数之和 … 同法可以得出：所得所有纸片的边数之和增加了2，内角度数之和不变； （4）解：由前面的规律可以得出： 完成1次“裁剪Ⅰ”，增加4条边，内角度数之和增加； 完成1次“裁剪Ⅱ”，增加3条边，内角度数之和增加； 完成1次“裁剪Ⅲ”增加2条边，内角度数之和不变； 将一张长方形纸片裁剪后，得到了1张六边形纸片，1张五边形纸片，1张四边形纸片和8张三角形纸片，共得张纸片，共完成10次裁剪， 六边形的内角和为：，五边形的内角和为：，四边形的内角和为：，三角形的内角和为：， 设“裁剪Ⅰ”次，“裁剪Ⅱ”次，“裁剪Ⅲ”次，得， 化简得， 解得或 答：所有可能的裁剪方法有“裁剪Ⅰ”6次、“裁剪Ⅱ”3次、“裁剪Ⅲ”1次或“裁剪Ⅰ”7次、“裁剪Ⅱ”1次、“裁剪Ⅲ”2次． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1四边形及多边形 一、单选题 1．如图，拉一拉，你发现了它们有什么变化吗？这说明了（   ） A．四边形不具有稳定性 B．三角形的稳定性 C．四边形可以变成三角形 D．四边形的对称性 2．如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．四边形的四个外角中最多有钝角（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 4．已知正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 5．某酒店装修，准备用同一种正多边形瓷砖铺满地面．则可以选择的正多边形瓷砖边数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．一个九边形的每个内角都相等，则这个九边形的每个内角的度数为（     ） A． B． C． D． 7．一个多边形的内角和加上一个外角的和为，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 8．工人师傅准备用同一种正多边形地砖铺设客厅地面，下列正多边形中，能铺满地面的是（    ） A．正八边形 B．正五边形 C．正方形 D．正十边形 二、填空题 9．从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 10．正五边形每个内角的度数为 _____． 11．一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是______________． 12．如图是一块形状不规则的零件，，则的度数为___________． 13． 如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，交于点M ， ______° 三、解答题 14．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题： (1)“多边形内角和为”，为什么不可能？ (2)明明求的是几边形的内角和？ (3)多加的那个外角为多少度？ 15．根据题意解答： (1)如图1，点、、、在同一直线上，平分，，若为度，求的度数（用关于的代数式表示），并说明理由； (2)如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示，地面，地面，求的度数，并说明理由； (3)如图3，若，，，则__________度． 16．按要求解题： (1)如图1，中，点是的延长线上一点，的角平分线与的角平分线交于点，若，，求的度数； (2)如图2，四边形中，点是的延长线上一点，的角平分线与的角平分线交于点，若，，求的度数． 17．数学实验：探索多边形纸片裁剪中的规律． 【问题提出】 用剪刀沿着任意一条直线将一张多边形纸片裁剪1次后，得到的所有纸片的边数之和及内角度数之和有怎样的变化规律？ 【实验1】探索沿着不过顶点的直线裁剪1次后的变化规律． 纸片形状 三角形 四边形 五边形 六边形 … 裁剪后所得图形             … 边数之和 … 内角度数之和 … (1)将一张边形（）纸片沿着不过顶点的任意一条直线裁剪1次后，与原边形相比较，所得所有纸片的边数之和增加了________，内角度数之和增加了________； 【实验2】探索沿着过一个顶点的直线裁剪1次后的变化规律． 纸片形状 三角形 四边形 五边形 六边形 … 裁剪后所得图形             … 边数之和 … 内角度数之和 … (2)将一张边形（）纸片沿着过一个顶点的任意一条直线裁剪1次后，与原边形相比较，所得所有纸片的边数之和增加了________，内角度数之和增加了________； 【实验3】探索沿着过两个不相邻顶点的直线裁剪1次后的变化规律． (3)将一张边形（）纸片沿着过两个不相邻顶点的任意一条直线裁剪1次后，与原边形相比较，所得所有纸片的边数之和及内角度数之和有什么规律？（直接写出结论） 【解决问题】 (4)将上述3个实验中的裁剪方式依次称为“裁剪Ⅰ”、“裁剪Ⅱ”和“裁剪Ⅲ”．现将一张长方形纸片裁剪后，得到了1张六边形纸片，1张五边形纸片，1张四边形纸片和8张三角形纸片，请探究所有可能的裁剪方法．（要求：三种裁剪方式都要用到，且每次只能裁剪一张纸片） 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $