19.3二次根式的加法与减法 暑期练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 练习围绕二次根式加减，通过基础概念辨析、运算巩固到综合应用分层设计，适配暑假自主学习，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|同类二次根式识别与基本运算|单选题（1-3）、填空题（8-9）聚焦概念辨析| |提升|二次根式化简与大小比较|解答题（15-16）分步训练加减运算| |拓展|综合应用与拓展探究|阅读材料题（20-22）结合跨情境问题，深化推理能力|

19.3二次根式的加法与减法 一、单选题 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：，化为最简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式； 选项C：是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项D：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式． 2．下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，化简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，化简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项C：，化简后为整数，被开方数不为，与不是同类二次根式； 选项D：，化简后被开方数为，与是同类二次根式． 3．下列各组二次根式是同类二次根式的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】所有二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：∵ ，的被开方数为，的被开方数为，，∴ A错误； 选项B：∵ ，，不是同类二次根式，∴ B错误； 选项C：∵ ，，被开方数，∴ C错误； 选项D：∵ ，化简后与的被开方数均为，∴ 二者是同类二次根式，D正确． 4．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大． 【详解】解： ， ，，， ∵， ∴． 5．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质与运算，根据二次根式的性质和运算法则逐一计算各选项，即可判断出正确结果； 【详解】解： ，算术平方根本身结果为非负数， A错误； ， B正确； ，与不是同类二次根式，不能合并，， C错误； ， D错误； 6．若，，则下列运算不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， 对选项A，根据二次根式的性质，，∴A正确； 对选项B，根据二次根式的性质，，∴B正确； 对选项C，根据二次根式乘法法则，，∴C正确； 对选项D，举例验证，令，，左边，右边，，等式不成立，∴D不正确． 7．下列各数中，与互为倒数的是（   ） A． B．2 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据倒数定义得到所求表达式，再利用平方差公式化简即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为， ， 对表达式分母有理化，将分子分母同乘， 得 ． 二、填空题 8．与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 【答案】6 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，得到根指数与被开方数的关系，求出，的值，最后计算即可. 【详解】解：， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式， ∴，， 解得，， ∴. 9．若最简二次根式与能合并，则的值为__________． 【答案】3 【详解】先化简得：， 最简二次根式与能合并， 与是同类二次根式， 根据同类二次根式的定义，可得二者被开方数相同， ． 10．化简的结果为________． 【答案】/ 【分析】先根据二次根式性质变形，再对二次根式进行分母有理化即可解答． 【详解】解：． 11．设，，则a_________b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】先对进行分母有理化化简，得到最简结果后，再与比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴． 12．已知，则______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，几个非负数的和为时，每个非负数都为，据此先求出和的值，再代入分式计算即可得到结果． 【详解】，，且 ， 解得， 将，代入 得：． 13．化简的结果是______________． 【答案】 【分析】先将第一个根号内的被开方数配方为完全平方形式，根据二次根式的性质化简，再通分求解即可． 【详解】解：原式 ． 三、解答题 14．若，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ． 15．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再计算乘除法，最后合并同类项． （2）先利用完全平方公式以及平方差公式展开，然后再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： 16．计算： (1) (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，然后把除法转化为乘法，计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）由题意可知，，， ． 17．计算：“”，其中“□”部分印刷不清楚． (1)若“□”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第____步开始出错的，正确的结果应该是__________； ……第一步 ……第二步 ………………第三步 ……………………第四步 (2)若原式的计算结果为，求“□”代表的数． 【答案】(1)二， (2) 【分析】（1）嘉淇第二步未先算乘除、后算加减，运算错误；根据二次根式的运算法则计算即可； （2）根据“原式的计算结果为”列方程求出“□”代表的数即可． 【详解】（1）解：嘉淇第二步未先算乘除、后算加减，运算错误； ； （2）解：若原式的计算结果为， 则， ， ， ， ∴． 18．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把分母有理化即可； （2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式； （3）按照小明的方法，先把分母有理化，可得：，两边同时平方可得：，等式两边同时乘以可得：，然后利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， 即， ， ， ， ． 19．已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的结果即可得到答案； （2）可求出，，根据即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 又 ， ∴． 20．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义问题，完全平方公式，二次根式的性质，解题的关键是理解“横负纵变点”的概念． （1）根据“横负纵变点”的概念，求解即可； （2）将转化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质求解即可； （3）根据完全平方公式以及二次根式的性质求得，再根据“横负纵变点”的概念，求解即可． 【详解】（1）解：由于，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； 由，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； （2）解：， ∴； （3）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴点M的“横负纵变点”为． 21．阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据题意给出的公式进行求解即可； （2）先将化为，得到，继而化简即可； （3）先化简，得到，继而推导出， 则， 再化简代数式即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴，，， 解得，， ∴． （2）解： ， ∴ ； （3）解： ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴ ． 22．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2)46或14 【分析】（1）利用平方差公式分母有理化，利用完全平方公式化简，然后合并同类二次根式即可． （2）先推导出，得到 ∴，继而推导出，求出或，再分别代入求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：， ∵ ∴， ∵a，m，n为正整数， ∴， 即， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上所述，a的值为46或14． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3二次根式的加法与减法 一、单选题 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各组二次根式是同类二次根式的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 5．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．若，，则下列运算不正确的是（     ） A． B． C． D． 7．下列各数中，与互为倒数的是（   ） A． B．2 C．5 D． 二、填空题 8．与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 9．若最简二次根式与能合并，则的值为__________． 10．化简的结果为________． 11．设，，则a_________b．（填“”“”或“”） 12．已知，则______． 13．化简的结果是______________． 三、解答题 14．若，，求的值． 15．计算 (1) (2) 16．计算： (1) (2)已知，求的值． 17．计算：“”，其中“□”部分印刷不清楚． (1)若“□”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第____步开始出错的，正确的结果应该是__________； ……第一步 ……第二步 ………………第三步 ……………………第四步 (2)若原式的计算结果为，求“□”代表的数． 18．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 19．已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 20．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 21．阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 22．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $