第7讲 导数及其应用（分层练）——2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数应用，分层设计合理，从基础概念到综合应用，培养逻辑推理与数学建模能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|导数单调性、极值单一知识点|单选1-3直接考查参数范围，强化运算能力| |中档|切线、零点、恒成立综合应用|多选7-8结合函数性质判断，填空9-10深化极值分析| |拔高|含参数探究与跨知识点整合|解答题11融合极值与存在性问题，提升数学建模素养|

数学 分层测验 第7讲导数及其应用 e,x<2, 1卫知函数(-x-2+a≥2布在茶小伯，则实数0的取值范闲是(） A(0,-e2] B（-e,+o) c（∞，e2] D.(e2,+∞ 2,函数（四=2r-6x+m有三个零点，则实数m的取值范围是(） A[4,4] B.(-4,4) c.（-0,-4]U[4,+o∞) D.（-,-4)U(4,+∞) 3.已知函数f(四=e-血x在区间L,2)上单调递增，则a的最小值为水) B.e De 4已函数()am+山兰8)r-,芳行布实数5，使器f化6)g,则实数4的 取值范围为() A.(0,1] B,0uolc时 p(-.0uo日 5过曲线C:y=r-2ax+b外一点A(-1作C的切线，恰好可作两条，则() A.2a-b=1 B.a-b=0 C.a+b=0 D.2a+b=1 6已知函数y=e与'=8（的图象关于直线y=x对称，函数(）=g()+(a-)小r,a>1, 若方程f[f(x]=x在区间2,4上有解，则实数a的取值范国围为(） 数学 A++ Bu+ -2 p+3+ 7.多这)已知商致4国-2e(》)-e-h2r分引，则) Ar曰e B.a∈(-o,,N(x)>a cM(),N()均为增函数 D.函数h()=N'(x存在极值 8(多选)已知函数四(：+血x-m(-),则下列结论正确的是() A当m=0时，曲线)=()在点（f(0》处的切线方程为>=2x B.f(~)在定义域内为增函数的充要条件是m≤1 C.当m>1时，f()既存在极大值又存在极小值 D.当m>1时，f()恰有3个零点，5，且，6>1 9.已知函数f(x)=lhr+a(a∈R),关于x的不等式x 式f国≤e-l在0，+o)上恒成立，则实数a 的取值范围为】 10.已知函数f(四=xnx--E m+1有两个极值点，则实数的取值范围是 数学 1.已知二次函数f=ar+br+l及函数8()=l(e),函数F()=f()-80在x=l处取得 极值. ①)求a、b所满足的关系式； 四)是否存在实数飞，使得对四中任意的实数a,直线y=ac与函数f(x)在x∈[山，2]上的图像恒 有公共点？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由 数学 答案以及解析 1.答案：C 解析：当x<2时，函数()=e单调递减，f()>e无最小值； 当x≥2时，函数f(x)=(x-1(x-2+a, 当x≥2时，函数f'()=(x-2)+2(x-2)(x-)=(x-2)(3x-4), 所以x∈[2，+∞)，f(x)之0，f()单调递增，当x=2时f(x)=(2-1)2-2+a=a, 要使函数()存在最小值，即a≤e2 故选：C 2.答案：B 解析：由题意可得：f()=6x2-6 当x<-1时，f()>0,f)单调递增， 当1<x<1时，)<0，f单调递减， 当x>1时，f(四>0，f单调递增， 据此可得函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值， [f(-1)=-2+6+m>0 结合题意可得：f)=2-6+m<0，解得：4<m<4' 所以实数m的取值范围是(-4,4) 故选B. 数学 3.答案：C 解析，依题可知，因=心0东2上成立，是然0>0，所以e2 a 设8()=心，xe(,2),所以8'（冈=(x+1e>0,所以8（四在山，2）上单调递增。 1 、1 g)>g0=e,故≥a,即a≥。=c,即a的最小值为e el 故选：C 4.答案：D 解析：当a<0时，x<0,fa)=ac<a<a-a=g(a),合题意 当a>0时，x>0,f()sg()即me+lhg≤r-x台ae+r+n9sr 台are*+x+lna+lnx2≤x2+lnr2台eaa)+[x+ln(ax)]≤x2+lnr2 y=x+lnr为0+切)的增函数，e"m≤，即ae≤r台a≤ e, 由题意，只需≤ max ==号 当X>1,h'()<0,(在，+)单调递减，0<x<1(>0,h()在（0，单调递增， 故以-A0-。所0<a5。, 数学 券上，a前取值范闲为00日， 故选D 5.答案：D 解析：设切点为P(,) 据题意：这样的切点有两个， 即关于的方程有且仅有两根， 因为16=3x-2a 所以切线方程为y=(3x-2x-)+人， 即y=(3-2a(x-)+(-2a+b)为过切点P(,%)的切线， 又4-1,1在此切线上， 所以1=(3x-2a-1-)+(-2a,+b) 即2x-3x+2a+b-1=0 所以2a+b=2x+3x+1 令f)=2r3+3x2+1 所以f'(x)=6r2+6x=6x(x+1) 所以'()=0，则x=-1或x=0, 所以函数y=(在0，-），(0，+切)上单调递增，在(-L,0)上单调递减， 数学 所以函数的极大值为f(-)=2,极小值为f(0)=1, 当x趋于-0时，fx)趋于-0，当x趋于+o时，f(x)趋于+0， 作出函数y=()的图象，如图所示： 》 0 又1(-1，不在曲线C上，所以2a+b≠2， 由f()的图象可知2a+b=1 6.答案：C 解析：y=©与y=8()图象关于直线y=x对称，g()=nx, :.f(x)=Inx+(a-1)x,a>l; 设f)=1,则由f[f(刃=x得：)=x, (),飞，x)均在函数y=f()图象上 假设x>1,:y=f()在0，+o）上单调递增，f四)>f回，即1>x,与假设矛盾： 假设x<1,:y=儿)在(0，+如)上单调递增，()<0，即1<，与假设矛盾； =,即=公B到上有第，2-a=。 数学 ,则p()1hx 令D(x)=血x x2, 当r∈(0，e)时，p()>0;当x∈(e,+o)时，o(<0, p()在(0，©)上单调递增，在(e,+)上单调递减， 又a)-o4=,pe-,2s2- 1 2-1sa≤2-h2 e,解得： e , 「2-22 即实数a的取值范围为 e -2 7答案：BC 解析：当 M(过=2e2∈(2,2c）,A错误 易得N(=2e-士N()在2+上单调造增， 前以N2心-2=0N行+上单词指湖，期V内>e-l=,B正输： 1 M'()=2e21+4e21=21+2x)e2>0,所以M)在2+ 上单调递增，C正确； h)=2e-xr)=4e+-1>4e1-1>4e-1>0, 1 则h(x)在2+上单调递增，不存在极值，D错误 8.答案：BC 解析：选项A当m=0时，曲线f)=(x+血x, 数学 则f'(=2xlnx++1 x,切线斜率k=f'I)=2lnl+2=2 又f0=(P+1)n1=0 故曲线在点L/四)处的切线方程为’=2(x-)-2x-2. A选项错误； 洗项B:f9=2xmx+x+-2mx=2nx+1+之一2m, x 令=2hx1+6x>0 则=22.2-2x-100+ x x3 x3 当x>1时，>0，=2hx1+x>0单逻指， 当0<x<1时，h)<0,21n+1+7>0单调选减， hM)=2nx+1+6c> ”在x=1处取得最小值 0=2h1+1+日-2 2lnx+1+- 当m≤1时， -2m20 对任意x>0恒成立， 则f=x2x+1+-2m小>0 对任意x>0恒成立， 故当m≤1时，f(x)在定义域内为增函数.B选项正确； 选项C: 数学 由以上分析知道： ()=21nx+1+专r>0 在x=1处取得最小值 0=2h11+是-2 当m>1时， h)=2血x+l+7=2m 必有二根， 不妨设为(0<：<1<) 则当0<<5时 2h1+宁2m0.了0>0.四为8西数 当<<时， 2Inx+1+- +2m<0,<0,f)为减函数， 当x>2时， 2hx+1t日2m>0,了>0，四为抛商数。 故f(x)既存在极大值又存在极小值.C选项正确， 选项D:由上面分析可知()既存在极大值又存在极小值， 不妨设f(x)的极大值点为m,极小值点为n,且0<m<1<n, f)在m,川上单调递减，又f0=(+lhl-m(-)=0 故()极大值为正值，极小值为负值， 当x→0时，f(x)→-o0;当x→+0时，f(x)→+0 故函数四有三个零点，不妨设为，，0<<16=山6>) 又+-(+a(-r+小h 数学 =6+恤+m-）要h-长 七2 +h+-】-0 1 故有云，则，西=1 即当m>1时，f)恰有3个零点，，5，且=1，故D错误 故选：BC 9答案：（∞，] 解析：由题，原不等式在0，+w)上恒成立f(e-在0，+切)上恒成立， 即a≤e-lx-x在0，+o）)上恒成立，若设F(=c-lnr-x(r>0）, 有a≤F)m,F()=e-lnx-x=e-lh(e）,今t=eu>0), 有F(x)=g)=t-ln(u>0). g0=1>0).8得eo.g100.re+,g0>0 所以80=1-l血在0,1)上递减：在，+)上递增 故F(x)am=g0m=g)=1 所以a≤l,即实数a的取值范围为(0， 10答案： 0. 数学 解析：f()的定义域为(0，+切），且m≠-1，f()=血x-，令nx=,则 In(Inx)=mlnx 令lnx=t,teR,则lnt=mM,m=h 为四有两个极值点等价于了四有两个不同的安受专点，合有鸡个不 段=些.s)-.当e0,g>0,g为两数当ee+） g(x)<0,8()为减函数： 8(x)=g(e) e,而当x→0,8()→-0，当x+0,()→0，故8()图象如下图 所示： e yg(x) y=m 0 结合y=m和8(x)=hx 的图。易行加的收位前园是Q月 1 1,答案：①b=1-20(a≠-2且a≠0) 四2 数学 解析：由已知得F)=ar2+hc+1-he.F)-2a+r-e>0) 依题意得：F'(四)=0，即b=1-2a, (.1x-0 f代入得F')=2ar+0-2ar-1_2ax+2a 2ax+- (x>0) x 1 1 -丰1 a≠- 要使F)在x=1处有极值，则须2a,即a2, 1 所以所求a,b满足的关系式为b=1-2a〈a≠-2且a≠0) 四由题意得方程=+1-2ar+l在xe,2时总有解，所以 k-心+0：2@x1-m++1-20有xe2时总有解， h=ax+1+1-2a则h()=a-文，x∈[l,2], 1 1 设 x，则 D当4具a0a2,四”30)++I20东r2时单调0 流M-h2-=,=hm=3-a.e号2-d 3 1 1 1 ②当4a<l时，令=a- .xeL,） √a时，h(x)<0,h(x)单调递 2 藏，x∈（后2习时，h>0,单调送增， 数学 h(in=h)=2a+1-2a h()=max ()h(2)=max -a 1 1 3 <a≤ 若4 2-a2 2,则 2，ke[2a+l-2a,2-a, 吉a1.则2-a经，e6+1-2n 1 3 ，则 ③当a≥1附， )=a之0，=ax+1-29在2时单词准精. 厂7○9月”-—入】清1 设失合4=号s≤2-aa宁，8=楼12a+1-25k≤2-a, C-k2Va+1-2asks31s 3 522<a<l,D=12-a≤k≤3a2y 所以要使直线y=c与函数f)在x∈L,2]上的图像恒有公共点，则实数k的取值范围为： A∩B∩C∩D= 3 31 2 所以存在实数飞满足题意，其取值范围为