第61讲 随机抽样、常用统计图表 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦随机抽样与常用统计图表核心考点，按“基础回顾-题型突破-真题演练”逻辑架构，涵盖简单/分层随机抽样及扇形图、频率分布直方图等图表类型，通过知识点梳理、方法指导、分层训练等环节，帮助学生系统构建统计知识体系，突破抽样方法选择与图表信息解读难点。 资料以数学眼光观察现实数据情境，数学思维分析抽样逻辑与图表规律，设计“题型分类+变式迁移”教学活动，如频率分布直方图通过“五步作图法”精讲，配合真题回顾与分层练习，培养数据分析与模型构建能力，助力学生高效掌握高考高频考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第61讲 随机抽样、常用统计图表 题型一 简单随机抽样 2 题型二 分层随机抽样 4 题型三 扇形图、条形图 6 题型四 折线图 10 题型五 频率分布直方图 14 题型六 雷达图 18 【真题回顾】 23 【基础回顾】 知识点1 简单随机抽样 (1)定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫作放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫作不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样． (2)简单随机样本 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本． (3)简单随机抽样的常用方法 实现简单随机抽样的方法有很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法． 知识点2 分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． 说明：简单随机抽样与分层随机抽样的辨析 抽样方法 简单随机抽样 分层随机抽样 共同点 (1)抽样过程中都是逐个抽取； (2)抽样过程中每个个体被抽到的概率相等 各自特点 从总体中逐个抽取 将总体分成互不交叉的层，分层进行抽取 相互联系 分层随机抽样在各层抽样时可采用简单随机抽样 适用范围 样本容量较小 总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小 知识点3 统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等． (2)作频率分布直方图的步骤 ①求极差； ②决定组距与组数； ③将数据分组； ④列频率分布表； ⑤画频率分布直方图． 【必备知识】 1．在比例分配的分层随机抽样中，总体数是N，样本容量为n，每一层的总体数分别是N1，N2，…，Nm，每一层中抽取的样本数为n1，n2，…，nm，则满足关系： (1) (2)n1∶n2∶…∶nm＝N1∶N2∶…∶Nm； (3)n1＝，…，nm＝. 2．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆． 题型一 简单随机抽样 (1)简单随机抽样需满足：总体的个体数有限；逐个抽取；等可能抽取． (2)简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于总体中个体数较多的情况)． 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 【例2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 【变式训练1】（25-26高一下·全国·课后作业）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（   ） A．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 B．从20个零件中随机逐个抽取3个进行质量检验 C．一个儿童从玩具箱中的20件玩具中拿出一件自己喜欢的来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件 D．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本 【变式训练2】（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）有以下说法：①对某小区全体住户燃气、水电设施安全检查适用全面调查.②调查一批待售袋装牛奶的细菌数适用抽样调查.③某班共45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动用的方法是简单随机抽样.④某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的一批图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为，现按类别分层，采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25张，则．这些说法，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3】（25-26高一上·河南·期末）采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取1个容量为10的样本，则某个个体被抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 【课时精练】 1．（25-26高一上·山东潍坊·期末）某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，现从同学们提出的问题中初选个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：利用随机数表法从中抽取个问题回答.若从下列随机数表第行第个数字开始，每次从左向右选取两个数字，则选出的第个问题编号为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东珠海·阶段检测）若在一个容量为100的总体中，随机抽取30个个体，则下列说法正确的是（   ） A．某个个体在第21次被抽到的概率为 B．某个个体被抽到的概率为 C．某个个体在第30次被抽到的概率为 D．某个个体在第二次被抽到的概率为 3．（多选）（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）某工厂甲､乙､丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件､80件､60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则下列说法正确的是（    ） A．甲车间应抽取6件 B．乙车间应抽取8件 C． D．该抽样方法是随机抽样 4．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）某社团有男生名，女生名，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则下列说法正确的为（   ） A．该抽样一定不是系统抽样 B．该抽样可能是随机抽样 C．该抽样不可能是分层抽样 D．男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率 5．（多选）（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到前4个编号中的是（    ） 3221183429  7864540732  5242064438  1223435677  3578905642 8442125331  3457860736  2530073286  2345788907  2368960804 3256780843  6789535577  3489948375  2253557832  4577892345 A．328 B．457 C．253 D．007 题型二 分层随机抽样 (1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． (2)已知某层个体数量，求总体数量或反之求解：根据比例分配的分层随机抽样，列比例式进行计算． 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·山东泰安·期末）某羽毛球俱乐部有A队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（    ） A．40 B．35 C．25 D．20 【例2】（25-26高一下·江苏徐州·期末）某校高一、高二和高三年级分别有学生400名、350名和250名，若用随机数表法从这1000人中抽取一个容量为的样本，每人被抽到的可能性都为0.12，则（    ） A．48 B．50 C．120 D．140 【变式训练1】（25-26高一下·云南昭通·阶段检测）某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为300的样本，则应抽取三年级的学生人数为（   ） A．10 B．20 C．40 D．60 【变式训练2】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（    ） A．80 B．100 C．192 D．200 【变式训练3】（2026·辽宁朝阳·模拟预测）某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（    ） A． B． C． D． 【课时精练】 1．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）某工厂生产A，B，C三种不同型号产品，产量之比为．现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中B种型号的产品有24件，则样本容量的值为（     ） A．16 B．40 C．80 D．90 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（    ） A．人，人，人 B．人，人，人 C．人，人，人 D．人，人，人 3．（多选）（2026·山东聊城·模拟预测）某企业有员工600人，其中男员工400人，女员工200人．该企业按性别用比例分配的分层随机抽样方法抽取60人参加专业技术技能测试，在测试后统计成绩的结果如下：男员工的平均成绩为87分，方差为148，女员工的平均成绩为93分，所有参加专业技术技能测试的60人成绩的方差为196，则下列结论正确的有（    ） A．参加专业技术技能测试的60人中有女员工30人 B．所有参加专业技术技能测试的60人成绩的均值为89分 C．400名男员工中能被抽到参加测试的概率为 D．所有参加专业技术技能测试的60人中女员工成绩的标准差为 4．（多选）（2026·陕西西安·三模）某班级有30名男生、20名女生，共50名学生参加数学单元测验，满分100分．下列说法正确的有（   ） A．若按性别采用分层抽样抽取容量为10的样本分析数学成绩，则需要抽取4名女生的成绩 B．若数学成绩的众数为75，中位数为80，则数学平均成绩一定高于中位数 C．若男生数学成绩的方差为12，女生数学成绩的方差为8，则女生的数学成绩比男生的数学成绩更稳定 D．若将所有学生的数学成绩都加10分，则平均分增加10分，方差也增加10 5．（多选）（2026·重庆渝中·三模）某大模型用于处理两类推理任务：代码生成与数学证明，任务数量分别为 5000 个与 3000 个.现按比例分层抽样， 共抽取 160 个任务进行延迟测试 （单位： ms）.经计算， 代码生成样本均值为 212ms，方差为 ；数学证明样本均值为 ，方差为 ，下列说法中正确的有（    ） A．每个数学证明任务被抽中的概率为 B．代码生成任务应抽取 100 个 C．总样本的均值为 D．总样本的方差为 题型三 扇形图、条形图 (1)通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系． (2)条形图直观描述不同类别或分组数据的频数． 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·广东·期末）人口普查的主要目的是全面查清我国人口数量、结构、分布等方面的情况，为完善我国人口发展战略和政策体系、制定经济社会发展规划、推动高质量发展提供准确统计信息支持．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果，全国人口共141178万人，全国共有家庭户49416万户，家庭户人口为129281万人．如图所示的为历次人口普查中的全国人口及年均增长率，根据该统计图，下列说法正确的是（   ）    A．我国人口近10年来继续保持低速增长态势 B．我国人口的年平均增长率持续下降 C．2020年的全国人口相比2010年增加了 D．我国人口出生率仍然持续上升 【例2】（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 【变式训练1】（2026高三·全国·专题练习）某公司统计了2023年1月至6月的月销售额（单位：万元），并与2022年比较，得到同比增长率数据，绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（   ） 注：同比增长率=（今年月销售额-去年同期月销售额）÷去年同期月销售额． A．2023年1月至6月的月销售额的极差为6 B．2023年1月至6月的月销售额逐月递增 C．2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5万元 D．2022年5月的月销售额为8万元 【变式训练2】（2026·四川资阳·三模）甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练3】（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）某校有文科教师10名，理科教师25名，其男女比例如图，则该校女教师的人数为（    ） A．17 B．25 C．7 D．10 【课时精练】 1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 2．（25-26高二上·四川成都·期末）为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是（    ）    A．选择足球的女生比选择篮球的女生多 B．选择篮球的女生比选择足球的男生多 C．选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多 D．选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多 3．（多选）（2026·甘肃兰州·一模）某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查. 根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A．艺术社的学生人数有120人 B．文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人 C．从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为 D．调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81 4．（多选）（25-26高一下·浙江·开学考试）某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（    ） A．该校高二学生总数为800 B．该校高二学生中选考物化地组合的人数为70 C．用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人 D．该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等 5．（多选）（25-26高一上·河南·阶段检测）某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（    ） A．该校高一学生总数为600 B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为80 C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D．用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取4人 题型四 折线图 折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势． 【例题精讲】 【例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）某同学收集并整理了某市年月日至日每日最高气温（单位：）的数据（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则月日至日最高气温的中位数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·湖南株洲·模拟预测）小张记录了2025年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据，整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（     ）    A．月跑步里程出现波动性 B．月跑步里程最大值出现在10月 C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 【变式训练1】（2026·河北邢台·二模）某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（   ） A．乙车间产量的中位数为6月份的产量 B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D．甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 【变式训练2】（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）班长统计了去年月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法不正确的是（    ） A．阅读数量最大的是8月份 B．阅读数量最小的是1月份 C．阅读数量最大的月份比最小的月份多55本 D．每月阅读数量超过40的有6个月 【变式训练3】（25-26高二上·河北·阶段检测）下图是2010—2020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法正确的是（     ）. A．2010年以来我国考研报名人数逐年增多 B．这11年来考研报名人数的极差超过260万人 C．2015年是这11年来报考人数最少的一年 D．2015年的报录比最低，2020年的报录比最高 【课时精练】 1．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．如图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列结论中正确的是（　　） A．这一星期内乙的每日步数的中位数为12970 B．甲的每日步数星期三比星期二增加了1倍以上 C．这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙 D．这一星期内甲的每日步数的极差小于乙 2．（25-26高一上·河南南阳·期末）下图是国家统计局发布的2024年10月份至2025年10月份商品零售额与餐饮收入的同比增长速度折线图，下列说法错误的是（   ）    A．2025年10月份商品零售额同比增长速度为 B．2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为 C．2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同 D．2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为 3．（多选）（25-26高一下·山东泰安·期末）如图是某企业年至年的污水净化量（单位：吨）的折线图，则（    ）    A．这组数据的中位数等于平均数 B．这组数据的第60百分位数是55.5 C．污水净化量逐年递增 D．去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 4．（多选）（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）某气象站记录了某地连续6天的日平均气温（单位：），绘制了如图所示的折线统计图，则（   ） A．这6天日平均气温的极差是 B．这6天日平均气温最高的是第5天 C．前5天的日平均气温持续升高 D．第4天的日平均气温比第3天的日平均气温高 5．（多选）（25-26高三下·云南·阶段检测）如图，这是全国2025年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图，则全国2025年下半年（    ） A．商品零售额同比增长速度的极差为 B．商品零售额同比增长速度逐渐降低 C．餐饮收入同比增长速度的分位数为 D．餐饮收入同比增长速度的平均数小于 题型五 频率分布直方图 频率分布直方图的相关结论 (1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. (2)频率分布直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积． (3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数． 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·江苏南京·期末）某段道路在一天中的汽车时速的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（     ） A． B．时速的众数估计值是60 C．时速的中位数估计值是62.5 D．时速的平均数估计值大于其中位数的估计值 【例2】（25-26高二下·江苏镇江·期末）从某学校随机抽取名同学，将他们全部的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若该校有名学生，则身高在内的学生估计有（    ） A．名 B．名 C．名 D．名 【变式训练1】（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图是容量为50的样本频率分布直方图，则样本数据在内的频数是（    ） A．4 B．16 C．12 D．18 【变式训练2】（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）某校组织1000名学生参加机器人知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．现用比例分配的分层随机抽样在内共抽取了学生50人，则在内抽取的学生人数为（     ） A．10 B．20 C．30 D．40 【变式训练3】（2026·天津红桥·二模）为了保证驾乘人员的安全，某市要对该市出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出名司机，已知抽到的司机年龄都在岁，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（   ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【课时精练】 1．（2026·广东广州·模拟预测）某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：，将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项错误的是（　　） A．图中a的值为0.015 B．样本的第25百分位数约为217 C．样本平均数约为198.4 D．在被调查的用户中，用电量落在内的户数为148 2．（25-26高三·全国·一轮复习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 3．（多选）（25-26高一下·浙江台州·期末）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取100位学生的数学成绩（满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（    ） A．对应矩形的面积为 B．样本成绩的第百分位数落在内 C．样本极差一定为 D．若采用样本量比例分配的分层随机抽样从，两组中抽取人，再从这人中随机抽取人，则此人成绩在区间的概率为 4．（多选）（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）某学校为调查学生每周体育锻炼时长，随机抽取100名学生进行问卷调查，将所得数据整理得到频率分布直方图（每组数据包含左端点，不包含右端点），则下列说法正确的有（    ） A．直方图中的值为0.15 B．估计该校学生每周体育锻炼时长的中位数为4.3小时 C．估计该校学生每周体育锻炼时长的平均数为5.3小时 D．估计有80%的学生每周体育锻炼时长不低于6小时 5．（多选）（2026·甘肃嘉峪关·三模）为评估某款“端侧AI芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发团队在固定输入长度（）的条件下，对200个公开的深度学习模型进行了单次推理延迟测试（单位：）．测试结果经异常值剔除后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则下列结论正确的是（   ）    A．样本中延迟在内的模型个数为60 B．估计样本的中位数落在区间内 C．估计样本的平均数约为 D．该分布呈现出右边“拖尾”形态，说明大部分模型的延迟时间较短 题型六 雷达图 雷达图可以在同一坐标系内展示多指标的分析比较情况，它是由一组坐标和多个同心圆组成的图表．雷达图分析法是综合评价中常用的一种方法，尤其适用于对多属性体系结构描述的对象作出全局性、整体性评价，在数据可视化中经常会用到． 【例题精讲】 【例1】（2025•桃城区校级模拟）为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（　　） A．各月的平均最高气温都不高于25度 B．七月的平均温差比一月的平均温度小 C．平均最高气温低于20度的月份有5个 D．六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度 【例2】（2024•德阳模拟）某校秋季运动会中A、B两班的各个单项得分（满分5分，分值高者为优）的雷达图如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．在200米项目中，A班的得分比B班的得分高 B．在铅球项目中，A班的得分比B班的得分高 C．在跳高项目中，B班的得分比A班的得分高 D．B班的总分比A班的总分高 【变式训练1】（2025•赣州模拟）2025年某省将实行“3+1+2”模式的新高考，其中“3”表示语文、数学和英语这三门必考科目，“1”表示必须从物理和历史中选考一门科目，“2”表示要从化学、生物、政治和地理中选考两门科目．为帮助甲、乙两名高一学生应对新高考，合理选择选考科目，将其高一年级的成绩综合指标值（指标值满分为5分，分值越高成绩越优）整理得到如下的雷达图，则下列选择最合理的是（　　） A．选考科目甲应选物理、化学、历史 B．选考科目甲应选化学、历史、地理 C．选考科目乙应选物理、政治、历史 D．选考科目乙应选政治、历史、地理 【变式训练2】（2023秋•涪城区校级月考）十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者．如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法不正确的是（　　） A．在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高 B．在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当 C．甲的各项得分比乙的各项得分更均衡 D．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大 【变式训练3】（2023春•贺兰县校级期末）某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（每项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优），绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造能力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的有（　　） ①乙的记忆能力优于甲 ②乙的观察能力优于创造能力 ③甲的六大能力整体水平优于乙 ④甲的六大能力比乙较均衡 A．1 B．2 C．3 D．4 【课时精练】 1．（2023•奉贤区校级模拟）2023年，我市仍试行“3+3”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（　　） A．甲的化学成绩领先年级平均分最多 B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分 C．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理 D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果 2．（2023•商洛二模）十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者．如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是（　　） A．在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分低 B．甲的各项得分比乙的各项得分更均衡 C．在跳高和铁饼项目中，甲、乙水平相当 D．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大 3．（多选）（2025春•安徽校级期末）动力电池组对新能源汽车的性能表现以及安全性影响巨大，是新能源汽车非常核心的部件．如图是刀片电池、三元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的雷达图，则下列说法正确的是（　　） A．刀片电池的安全性更高，价格优势更突出 B．三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低 C．对于这7项指标，刀片电池的平均得分低于三元锂电池 D．磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好 4．（多选）（2024秋•商洛月考）如图是某款新能源汽车在速度、稳定性、安全性、易用性、续航能力这五个方面的综合评分的雷达图，则下列结论正确的是（　　） A．这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于稳定性方面的综合评分 B．这款新能源汽车在稳定性和续航能力这两方面的综合评分相等 C．这款新能源汽车在安全性方面的综合评分最低 D．这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于易用性方面的综合评分 5．（多选）（2024春•同步）某装修公司为了解客户对照明系统的需求，对照明系统的两种设计方案在稳固性、创新性、外观造型、做工用料以及成本五个方面的满意度评分进行统计，根据统计结果绘制出如图所示的雷达图，则下列说法错误的是（　　） A．客户对两种设计方案在外观造型上没有分歧 B．客户对设计一的满意度的总得分高于设计二的满意度的总得分 C．客户对设计二在创新性方面的满意度高于设计一在创新性方面的满意度 D．客户对两种设计方案在稳固性和做工用料方面的满意度相同 评分类别 稳固性 创新性 外观造型 做工用料 成本 设计一得分 8分 8分 8分 10分 10分 设计二得分 8分 8分 10分 8分 9分 【真题回顾】 1．（2023·上海·高考真题）如图为2018-2021年中国货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（   ） A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大 B．从2018年开始，进出口总额逐年增大 C．从2018年开始，进口总额逐年增大 D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小 2．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 3．（2017·全国III卷·高考真题）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（    ） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．（2018·全国I卷·高考真题）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 5．（多选）（2020·海南·高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是 A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加; B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量; C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%; D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量; 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 第61讲 随机抽样、常用统计图表 题型一 简单随机抽样 【例1】【答案】A 【例2】【答案】B 【变式训练1】【答案】B 【变式训练2】【答案】C 【变式训练3】【答案】B 【课时精练】 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】AC 4．【答案】BC 5．【答案】BCD 题型二 分层随机抽样 【例1】【答案】B 【例2】【答案】C 【变式训练1】【答案】D 【变式训练2】【答案】C 【变式训练3】【答案】D 【课时精练】 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】BD 4．【答案】AC 5．【答案】BC 题型三 扇形图、条形图 【例1】【答案】A 【例2】【答案】D 【变式训练1】【答案】C 【变式训练2】【答案】A 【变式训练3】【答案】A 【课时精练】 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】ABD 4．【答案】ACD 5．【答案】BCD 题型四 折线图 【例1】【答案】C 【例2】【答案】D 【变式训练1】【答案】D 【变式训练2】【答案】B 【变式训练3】【答案】D 【课时精练】 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】AD 4．【答案】ABD 5．【答案】BC 题型五 频率分布直方图 【例1】【答案】C 【例2】【答案】C 【变式训练1】【答案】C 【变式训练2】【答案】B 【变式训练3】【答案】C 【课时精练】 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】ABD 4．【答案】AC 5．【答案】AD 题型六 雷达图 【例1】【答案】C 【例2】【答案】B 【变式训练1】【答案】D 【变式训练2】【答案】C 【变式训练3】【答案】C 【课时精练】 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】AB 4．【答案】ABC 5．【答案】ACD 【真题回顾】 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】CD 6．【答案】(1)，； (2)，最小值为． 【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出； （2）根据题意确定分段点，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出． 【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得：， ． （2）当时， ； 当时， , 故， 所以在区间的最小值为． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 第61讲 随机抽样、常用统计图表 题型一 简单随机抽样 2 题型二 分层随机抽样 6 题型三 扇形图、条形图 10 题型四 折线图 18 题型五 频率分布直方图 24 题型六 雷达图 30 【真题回顾】 37 【基础回顾】 知识点1 简单随机抽样 (1)定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫作放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫作不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样． (2)简单随机样本 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本． (3)简单随机抽样的常用方法 实现简单随机抽样的方法有很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法． 知识点2 分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． 说明：简单随机抽样与分层随机抽样的辨析 抽样方法 简单随机抽样 分层随机抽样 共同点 (1)抽样过程中都是逐个抽取； (2)抽样过程中每个个体被抽到的概率相等 各自特点 从总体中逐个抽取 将总体分成互不交叉的层，分层进行抽取 相互联系 分层随机抽样在各层抽样时可采用简单随机抽样 适用范围 样本容量较小 总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小 知识点3 统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等． (2)作频率分布直方图的步骤 ①求极差； ②决定组距与组数； ③将数据分组； ④列频率分布表； ⑤画频率分布直方图． 【必备知识】 1．在比例分配的分层随机抽样中，总体数是N，样本容量为n，每一层的总体数分别是N1，N2，…，Nm，每一层中抽取的样本数为n1，n2，…，nm，则满足关系： (1) (2)n1∶n2∶…∶nm＝N1∶N2∶…∶Nm； (3)n1＝，…，nm＝. 2．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆． 题型一 简单随机抽样 (1)简单随机抽样需满足：总体的个体数有限；逐个抽取；等可能抽取． (2)简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于总体中个体数较多的情况)． 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 【答案】A 【详解】从随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，前5个数据依次是260，004，012，866，175，所以得到的第5个样本的编号为175. 【例2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 【答案】B 【分析】根据统计估计计算求解. 【详解】根据已知从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60， 则，所以. 【变式训练1】（25-26高一下·全国·课后作业）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（   ） A．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 B．从20个零件中随机逐个抽取3个进行质量检验 C．一个儿童从玩具箱中的20件玩具中拿出一件自己喜欢的来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件 D．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本 【答案】B 【分析】根据简单随机抽样的概念依次判断即可求解. 【详解】对于A，抽取个子最高的5名，不是随机抽取，不是简单随机抽样，故A不符合题意； 对于B，从有限总体中进行随机、不放回抽样，符合简单随机抽样的特征，故B符合题意； 对于C，不具有随机性，不是简单随机抽样，故C不符合题意； 对于D，总体个数是无限的，不是简单随机抽样，故D不符合题意. 故选：B． 【变式训练2】（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）有以下说法：①对某小区全体住户燃气、水电设施安全检查适用全面调查.②调查一批待售袋装牛奶的细菌数适用抽样调查.③某班共45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动用的方法是简单随机抽样.④某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的一批图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为，现按类别分层，采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25张，则．这些说法，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据每种调查方式、抽样方法的适用条件及定义逐个判断. 【详解】对于①，小区全体住户燃气、水电设施安全检查的调查范围有限，且涉及住户安全，需覆盖所有住户，适用全面调查，故①正确； 对于②，检测袋装牛奶的细菌数需要拆封包装，对产品进行损坏，对全部产品进行破坏性检测不现实，适用抽样调查，故②正确； 对于③，简单随机抽样要求总体内每个个体被抽取的概率相等，本题指定个子最高的5名同学参与活动，其余个体无被抽取的可能，不符合简单随机抽样的定义，故③错误； 对于④，根据分层抽样的计算方法，可得，解得，故④正确； 综上，①②④这3个正确. 【变式训练3】（25-26高一上·河南·期末）采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取1个容量为10的样本，则某个个体被抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是. 【课时精练】 1．（25-26高一上·山东潍坊·期末）某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，现从同学们提出的问题中初选个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：利用随机数表法从中抽取个问题回答.若从下列随机数表第行第个数字开始，每次从左向右选取两个数字，则选出的第个问题编号为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据随机数表法的读数规则结合题意求出需选取符合条件的5个数字即可得解. 【详解】由题可知依次选取符合条件的5个数字为：. 所以选出的第个问题编号为11. 故答案为：B 2．（25-26高二上·广东珠海·阶段检测）若在一个容量为100的总体中，随机抽取30个个体，则下列说法正确的是（   ） A．某个个体在第21次被抽到的概率为 B．某个个体被抽到的概率为 C．某个个体在第30次被抽到的概率为 D．某个个体在第二次被抽到的概率为 【答案】B 【分析】由简单随机抽样的定义，每个个体被抽到的概率是一样的，结合容量，即可求得概率. 【详解】由题意得，单次抽取时每个个体被抽到的概率为， 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为30的样本， 则指定的某个个体被抽到的概率为，故B正确，A，C，D错误. 故选：B. 3．（多选）（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）某工厂甲､乙､丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件､80件､60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则下列说法正确的是（    ） A．甲车间应抽取6件 B．乙车间应抽取8件 C． D．该抽样方法是随机抽样 【答案】AC 【分析】根据分层抽样的步骤及抽样比计算公式即可判断ABC，根据分层抽样的定义及随机抽样的定义即可判断选项D. 【详解】由分层抽样可得，解得，故C正确. 则甲车间应抽取，故A正确. 乙车间应抽取，故B错误. 分层抽样属于概率抽样，随机抽样一般指简单随机抽样，二者概念不同，故D错误. 4．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）某社团有男生名，女生名，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则下列说法正确的为（   ） A．该抽样一定不是系统抽样 B．该抽样可能是随机抽样 C．该抽样不可能是分层抽样 D．男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率 【答案】BC 【详解】由总体容量为，样本容量为5，抽样比为. 对于A：因为系统抽样是将总体分成均衡的若干部分，再按等距规则抽取个体． 只要符合等距规则，有可能抽到2名男生和3名女生， 所以一定不是系统抽样是错误，因此A不正确； 对于B：因为简单随机抽样是从总体中逐个抽取，每个个体被抽到的可能性相等的， 抽到2名男生和3名女生是随机事件，有可能发生，故B正确； 对于C：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同， 但现在某社团有男生名，女生名，抽取2名男生和3名女生，抽的比例不同， 所以不可能是分层抽样，故C正确； 对于D：在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽到的概率都相等，均为， 因此男生和女生被抽到的概率相等，故D选项说法错误. 5．（多选）（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到前4个编号中的是（    ） 3221183429  7864540732  5242064438  1223435677  3578905642 8442125331  3457860736  2530073286  2345788907  2368960804 3256780843  6789535577  3489948375  2253557832  4577892345 A．328 B．457 C．253 D．007 【答案】BCD 【分析】根据随机数表法计算求解. 【详解】从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007， 故得到的前4个编号是253，313，457，007． 故选：BCD． 题型二 分层随机抽样 (1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． (2)已知某层个体数量，求总体数量或反之求解：根据比例分配的分层随机抽样，列比例式进行计算． 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·山东泰安·期末）某羽毛球俱乐部有A队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（    ） A．40 B．35 C．25 D．20 【答案】B 【详解】根据分层抽样可得，解得． 【例2】（25-26高一下·江苏徐州·期末）某校高一、高二和高三年级分别有学生400名、350名和250名，若用随机数表法从这1000人中抽取一个容量为的样本，每人被抽到的可能性都为0.12，则（    ） A．48 B．50 C．120 D．140 【答案】C 【分析】使用随机数表抽样的定义求解. 【详解】由题意知，解得. 【变式训练1】（25-26高一下·云南昭通·阶段检测）某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为300的样本，则应抽取三年级的学生人数为（   ） A．10 B．20 C．40 D．60 【答案】D 【详解】由题意可得三年级要抽取的学生是． 【变式训练2】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（    ） A．80 B．100 C．192 D．200 【答案】C 【详解】因为，所以，所以． 【变式训练3】（2026·辽宁朝阳·模拟预测）某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设男生人数为，女生人数为，由题设可得女生及格人数，据此可得答案. 【详解】因男生，女生比例为. 设男生人数为，女生人数为，因全体学生的及格率为， 则及格学生人数为，又男生及格率为，则男生及格人数为， 女生及格人数为：，则女生及格率为. 【课时精练】 1．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）某工厂生产A，B，C三种不同型号产品，产量之比为．现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中B种型号的产品有24件，则样本容量的值为（     ） A．16 B．40 C．80 D．90 【答案】C 【详解】设样本中A，B，C三种不同型号产品分别有个， 则，解得. 所以样本容量. 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（    ） A．人，人，人 B．人，人，人 C．人，人，人 D．人，人，人 【答案】A 【详解】因为，所以甲校应抽取， 乙校应抽取，丙校应抽取. 3．（多选）（2026·山东聊城·模拟预测）某企业有员工600人，其中男员工400人，女员工200人．该企业按性别用比例分配的分层随机抽样方法抽取60人参加专业技术技能测试，在测试后统计成绩的结果如下：男员工的平均成绩为87分，方差为148，女员工的平均成绩为93分，所有参加专业技术技能测试的60人成绩的方差为196，则下列结论正确的有（    ） A．参加专业技术技能测试的60人中有女员工30人 B．所有参加专业技术技能测试的60人成绩的均值为89分 C．400名男员工中能被抽到参加测试的概率为 D．所有参加专业技术技能测试的60人中女员工成绩的标准差为 【答案】BD 【分析】由分层抽样可判断A；利用抽样比可求得抽取的男、女员工人数，进而可得到男员工被抽到的概率，判断C，再结合分层抽样的均值、方差公式可判断B、D. 【详解】设参加专业技术技能测试的60人中，女员工有人，则，解得，故A错误． 设60人中男员工的平均成绩为，方差为，女员工的平均成绩为，方差为，所有参加测试的60人的平均成绩为，方差为，则 所有参加专业技术技能测试的60人成绩的均值，故B正确． 名男员工中被抽到参加测试的人数为,则名男员工中能被抽到参加测试的概率为，故C错误． ，解得 所有参加专业技术技能测试的60人中女员工成绩的标准差为，故D正确． 4．（多选）（2026·陕西西安·三模）某班级有30名男生、20名女生，共50名学生参加数学单元测验，满分100分．下列说法正确的有（   ） A．若按性别采用分层抽样抽取容量为10的样本分析数学成绩，则需要抽取4名女生的成绩 B．若数学成绩的众数为75，中位数为80，则数学平均成绩一定高于中位数 C．若男生数学成绩的方差为12，女生数学成绩的方差为8，则女生的数学成绩比男生的数学成绩更稳定 D．若将所有学生的数学成绩都加10分，则平均分增加10分，方差也增加10 【答案】AC 【分析】根据分层抽样、众数、中位数、平均数的概念、方差的意义与线性性质，逐一验证选项. 【详解】对于A：女生占总人数的，因此抽取的10人中，女生的人数为，A正确； 对于B：众数是出现次数最多的数，中位数是数据按从小到大或从大到小的顺序排列后处于中间位置的数，平均数受所有数据的影响，三者没有必然的大小关系，B错误； 对于C：方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据越稳定、越整齐．女生数学成绩的方差8小于男生数学成绩的方差12，因此女生的数学成绩更稳定，C正确； 对于D：所有数学成绩同步加10分后，平均分增加10分，但方差反映数据的离散程度，整体加减不会改变数据的波动幅度，因此方差不变，D错误． 5．（多选）（2026·重庆渝中·三模）某大模型用于处理两类推理任务：代码生成与数学证明，任务数量分别为 5000 个与 3000 个.现按比例分层抽样， 共抽取 160 个任务进行延迟测试 （单位： ms）.经计算， 代码生成样本均值为 212ms，方差为 ；数学证明样本均值为 ，方差为 ，下列说法中正确的有（    ） A．每个数学证明任务被抽中的概率为 B．代码生成任务应抽取 100 个 C．总样本的均值为 D．总样本的方差为 【答案】BC 【详解】对于A选项，数学证明的样本容量为 ， 所以每个数学证明任务被抽中的概率为 ，故A选项错； 对于B选项，代码生成任务的样本容量为，故B选项对； 对于C选项，因为样本容量是 160 ， 且100个代码生成样本均值为 212ms，60个数学证明样本均值为 ， 所以总样本的均值是 ，故C选项对； 对于D选项，因为代码生成样本均值为 212ms，方差为 ； 数学证明样本均值为 ，方差为 ； 总样本的均值是200，所以总样本的方差为 ，故D选项错. 题型三 扇形图、条形图 (1)通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系． (2)条形图直观描述不同类别或分组数据的频数． 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·广东·期末）人口普查的主要目的是全面查清我国人口数量、结构、分布等方面的情况，为完善我国人口发展战略和政策体系、制定经济社会发展规划、推动高质量发展提供准确统计信息支持．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果，全国人口共141178万人，全国共有家庭户49416万户，家庭户人口为129281万人．如图所示的为历次人口普查中的全国人口及年均增长率，根据该统计图，下列说法正确的是（   ）    A．我国人口近10年来继续保持低速增长态势 B．我国人口的年平均增长率持续下降 C．2020年的全国人口相比2010年增加了 D．我国人口出生率仍然持续上升 【答案】A 【详解】我国人口近10年的年平均增长率为，保持低速增长态势，故A正确，C错误； 1964年年，我国人口的年平均增长率上升，故B错误； 从图中不能判定我国人口出生率的情况，故D错误． 【例2】（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 【答案】D 【详解】设年月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确； 对于C，设中年人应抽取人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确； 对于D，因为年月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 【变式训练1】（2026高三·全国·专题练习）某公司统计了2023年1月至6月的月销售额（单位：万元），并与2022年比较，得到同比增长率数据，绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（   ） 注：同比增长率=（今年月销售额-去年同期月销售额）÷去年同期月销售额． A．2023年1月至6月的月销售额的极差为6 B．2023年1月至6月的月销售额逐月递增 C．2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5万元 D．2022年5月的月销售额为8万元 【答案】C 【详解】对于A，2023年1月至6月的月销售额的最大值是14，最小值是6，极差为8，故A错误； 对于B，2023年1月的月销售额大于2月的销售额，故B错误； 对于C，2023年1月至6月的月销售额从小到大排列为6，7，8，11，12，14， 则中位数为，故C正确； 对于D，设2022年5月的月销售额为万元， 则，解得，故D错误． 【变式训练2】（2026·四川资阳·三模）甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】观察给定的图表，利用众数的意义和方差的概念来判断运动员命中环数的集中与分散程度即可. 【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则； 甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则． 【变式训练3】（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）某校有文科教师10名，理科教师25名，其男女比例如图，则该校女教师的人数为（    ） A．17 B．25 C．7 D．10 【答案】A 【详解】由统计图表可知，该校文科教师中女教师的人数为人， 该校理科教师中女教师的人数为人， 所以该校女教师的人数为人. 【课时精练】 1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】D 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为，故A错误； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比为，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比，人均参保费用在元， 而54岁及以上人群参保比例虽只占，但人均参保费用为6000元，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C错误； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约，故D正确. 2．（25-26高二上·四川成都·期末）为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是（    ）    A．选择足球的女生比选择篮球的女生多 B．选择篮球的女生比选择足球的男生多 C．选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多 D．选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多 【答案】C 【分析】从饼图中算出各项目的总人数，再结合条形图中的男女比例，分别计算每个选项中的具体人数，从而判断对错. 【详解】全年级有1000人参与该活动，由饼状图可知： 选择篮球的学生有： 人， 选择乒乓球的学生有： 人， 选择足球的学生有： 人， 由条形图可知： 选择篮球的学生中，女生 人，男生 人， 选择乒乓球的学生中，女生 人，男生 人， 选择足球的学生中，女生 人，男生 人. 故选：C． 3．（多选）（2026·甘肃兰州·一模）某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查. 根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A．艺术社的学生人数有120人 B．文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人 C．从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为 D．调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81 【答案】ABD 【详解】对于A，因为文学社有60人占比为，所以五类社团总人数为人， 辩论社有90人，占比应为，所以体育社和艺术社共占比为， 又因为体育社和艺术社的人数相等，所以两社团分别占比为， 可知艺术社的学生人数有人，即A正确； 对于B，文学社和辩论社共人，分层抽样比为， 因此文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有人，即B正确； 对于C，根据已有分析可知该学生不是文学社成员的概率为，又因为是科创社成员的概率为， 因此在该学生不是文学社成员的条件下，该学生是科创社成员的概率为，即C错误； 对于D，依题意可知社团活动总体满意率为，即D正确. 4．（多选）（25-26高一下·浙江·开学考试）某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（    ） A．该校高二学生总数为800 B．该校高二学生中选考物化地组合的人数为70 C．用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人 D．该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等 【答案】ACD 【分析】根据扇形图和条形图，读取相应选考组合的人数与占比，依题意逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因政史地有200人，占比25%，故该校高二学生总数为，故A正确； 对于B，因选考物化地和物化政组合的人数相等，故物化地组合的人数为，故B错误； 对于C，由题意，分层随机抽样的抽样比为，则生史地组合应抽取的人数为，故C正确； 对于D，因选考物化生、物化地、物化政组合的学生占比分别为，则学生选考物理的概率为； 而选考政史地、物化地、生史地组合的学生占比分别为，则学生选考地理的概率为，故D正确. 5．（多选）（25-26高一上·河南·阶段检测）某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（    ） A．该校高一学生总数为600 B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为80 C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D．用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取4人 【答案】BCD 【分析】A：由扇形图和条形图中选政史地的人数和占比即可求出高一学生总数；B：结合扇形图和条形图即可计算；C：直接计算比较即可；D：利用分层抽样的原理即可求解． 【详解】A：由扇形图和条形图可知，选政史地的人数为200，占比25%， ∴该校高一学生总数为人，故A错误； B：由扇形图知，选择物化生的人数为， ∴选择物化地和物化政的人数为， 又∵选考物化地和物化政组合的人数相等， ∴选考物化地和物化政组合的人数均为，故B正确； C：该校高一学生中选考物理的有人，选考历史的有人，选考物理的人数比选考历史的人数多，故C正确； D：∵选考生史地的学生人数占比为，∴用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取人，故D正确． 故选：BCD． 题型四 折线图 折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势． 【例题精讲】 【例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）某同学收集并整理了某市年月日至日每日最高气温（单位：）的数据（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则月日至日最高气温的中位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由中位数的定义计算可得. 【详解】由图知，月日至日的最高气温由低到高排列为，共个数据， 故中位数为. 【例2】（2026·湖南株洲·模拟预测）小张记录了2025年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据，整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（     ）    A．月跑步里程出现波动性 B．月跑步里程最大值出现在10月 C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 【答案】D 【详解】对于A，由折线图知，月跑步里程互不相同，出现波动，A正确； 对于B，月跑步里程最大值出现在10月，B正确； 对于C，月跑步里程数从小到大排列分别是2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月， 因此5月份对应的里程数为中位数，C正确； 对于D，1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月更均匀，波动性更小，D错误． 【变式训练1】（2026·河北邢台·二模）某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（   ） A．乙车间产量的中位数为6月份的产量 B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D．甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 【答案】D 【详解】一共11个月的产量数据，中位数是将产量从小到大排序后的第个数据， 对乙车间产量排序后，第6个数据是月份的产量，不是6月份，A错误； 甲车间产量极差约为，乙车间产量极差约为，甲的极差小于乙的极差，B错误； 观察折线图，除9月、10月外，其余月份甲车间产量均高于乙车间，整体估算可得甲产量平均值大于乙的平均值，C错误； 第80百分位数为，根据百分位数计算可知第80百分位数是排序后的第9个数据， 从小到大排序后，甲的第9个数据约为3.85，乙的第9个数据约为3.6，甲的第80百分位数大于乙，D正确. 【变式训练2】（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）班长统计了去年月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法不正确的是（    ） A．阅读数量最大的是8月份 B．阅读数量最小的是1月份 C．阅读数量最大的月份比最小的月份多55本 D．每月阅读数量超过40的有6个月 【答案】B 【详解】由图知阅读数量最大的是8月份，为83本；阅读数量最小的是6月份，为28本，故A正确，B错误. 阅读数量最大的月份比最小的月份多本，故C正确； 每月阅读数量超过40的有2，3，4，5，7，8共6个月，故D正确. 【变式训练3】（25-26高二上·河北·阶段检测）下图是2010—2020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法正确的是（     ）. A．2010年以来我国考研报名人数逐年增多 B．这11年来考研报名人数的极差超过260万人 C．2015年是这11年来报考人数最少的一年 D．2015年的报录比最低，2020年的报录比最高 【答案】D 【分析】选项A，需对比每年报考人数的变化趋势；选项B，先找出11年中报考人数的最大值和最小值，再根据极差公式计算并与260万人比较；选项C，需找出11年中报考人数的最小值对应的年份；选项D，直接从统计图的报录比折线中找出最低和最高的年份. 【详解】选项A，观察柱状图，2014年报考人数少于2013年，2015年报考人数少于2014年，并非逐年增多，A错误； 选项B，由图可知：最小报考人数约为145万（2010年），最大报考人数约为330万（2020年），差值约为185万，小于260万，B错误； 选项C，由柱状图可知，报考人数最少的是2010年，不是2015年，C错误； 选项D，观察报录比的虚线点，2015年的报录比是11年中最低的，此后报录比持续上升，2020年报录比为最高， D正确. 【课时精练】 1．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．如图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列结论中正确的是（　　） A．这一星期内乙的每日步数的中位数为12970 B．甲的每日步数星期三比星期二增加了1倍以上 C．这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙 D．这一星期内甲的每日步数的极差小于乙 【答案】C 【分析】利用折线图的性质、中位数、平均数、极差的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，这一星期内乙的每日步数从小到大为：，，，，，，，中位数为，故A错误； 对于B，甲星期三走步，星期二走 步，没有增加倍以上，故B错误； 对于C，甲每日步数的平均值为：， 乙每日步数的平均值为：， 这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙，故C正确； 对于D，这一星期内甲的每日步数的极差为：， 这一星期内乙的每日步数的极差为：， 这一星期内甲的每日步数的极差大于乙，故D错误. 2．（25-26高一上·河南南阳·期末）下图是国家统计局发布的2024年10月份至2025年10月份商品零售额与餐饮收入的同比增长速度折线图，下列说法错误的是（   ）    A．2025年10月份商品零售额同比增长速度为 B．2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为 C．2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同 D．2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为 【答案】D 【分析】根据折线图逐一计算判断即可 【详解】对于A，2025年10月份商品零售额同比增长速度为，故A正确； 对于B，2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为，故B正确； 对于C，2025年前四个月商品零售额同比增速平均值为， 2025年前四个月商品餐饮收入同比增速平均值为， 故2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同，故C正确； 对于D，因为， 所以2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为，故D错误. 故选：D. 3．（多选）（25-26高一下·山东泰安·期末）如图是某企业年至年的污水净化量（单位：吨）的折线图，则（    ）    A．这组数据的中位数等于平均数 B．这组数据的第60百分位数是55.5 C．污水净化量逐年递增 D．去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 【答案】AD 【分析】根据中位数、平均数、百分位数、方差、标准差公式和折线图，逐项判断即可. 【详解】将这组数据按照从小到大排列为：52，52，53，54，55，56，56. A项，这组数据的中位数为54，平均数为，中位数等于平均数，故A正确； B项，，则这组数据的第60百分位数为55，故B错误； C项，根据折线图可知，第5年（2022年）的污水净化量小于第4年（2021年）的污水净化量，故C错误； D项，2018年的污水净化量数据是这组数据的最小值，去掉此数据后，新数据分布更集中，即数据的标准差会变小，故D正确. 4．（多选）（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）某气象站记录了某地连续6天的日平均气温（单位：），绘制了如图所示的折线统计图，则（   ） A．这6天日平均气温的极差是 B．这6天日平均气温最高的是第5天 C．前5天的日平均气温持续升高 D．第4天的日平均气温比第3天的日平均气温高 【答案】ABD 【详解】由折线统计图可知这6天日平均气温的极差是，A选项正确； 这6天日平均气温最高的是第5天，B选项正确； 第3天的日平均气温比第2天的日平均气温低，第4天的日平均气温比第3天的日平均气温高， C选项错误，D选项正确； 5．（多选）（25-26高三下·云南·阶段检测）如图，这是全国2025年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图，则全国2025年下半年（    ） A．商品零售额同比增长速度的极差为 B．商品零售额同比增长速度逐渐降低 C．餐饮收入同比增长速度的分位数为 D．餐饮收入同比增长速度的平均数小于 【答案】BC 【详解】商品零售额同比增长速度的极差为，A错误． 商品零售额同比增长速度逐渐降低，B正确． 因为，所以由图可知餐饮收入同比增长速度的分位数为，C正确． 因为，所以餐饮收入同比增长速度的平均数大于，D错误． 题型五 频率分布直方图 频率分布直方图的相关结论 (1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. (2)频率分布直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积． (3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数． 【例题精讲】 【例1】（25-26高一下·江苏南京·期末）某段道路在一天中的汽车时速的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（     ） A． B．时速的众数估计值是60 C．时速的中位数估计值是62.5 D．时速的平均数估计值大于其中位数的估计值 【答案】C 【详解】对于A，由频率分布直方图可知，，解得，故A错误； 对于B，由图可知，时速在内的频率最大，所以众数的估计值为，故B错误； 对于C，前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以中位数位于第三组内，设中位数为，则，解得，故C正确； 对于D，时速的平均数估计值为，所以时速的平均数估计值小于其中位数的估计值，故D错误. 【例2】（25-26高二下·江苏镇江·期末）从某学校随机抽取名同学，将他们全部的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若该校有名学生，则身高在内的学生估计有（    ） A．名 B．名 C．名 D．名 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图先计算，进而计算内的频率，即可求解. 【详解】由题意得：，解得， 所以，所以身高在内的学生估计有名. 【变式训练1】（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图是容量为50的样本频率分布直方图，则样本数据在内的频数是（    ） A．4 B．16 C．12 D．18 【答案】C 【详解】由样本频率分布直方图可知样本数据在内的频率为， 故对应的频数为. 【变式训练2】（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）某校组织1000名学生参加机器人知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．现用比例分配的分层随机抽样在内共抽取了学生50人，则在内抽取的学生人数为（     ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【详解】由题意，成绩在区间的人数为，在的人数为， 按照分层随机抽样在内共抽取了学生50人，故抽样比为， 所以在内抽取的学生人数为. 【变式训练3】（2026·天津红桥·二模）为了保证驾乘人员的安全，某市要对该市出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出名司机，已知抽到的司机年龄都在岁，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（   ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】C 【分析】先补全组的频率，再通过累计频率判断中位数落在区间，最后利用中位数定义列方程求解即可． 【详解】根据所给的信息可知，在区间上的数据的频率为 ， 因为的频率为，的频率为， 所以中位数在， 设为中位数为，则， 解得． 【课时精练】 1．（2026·广东广州·模拟预测）某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：，将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项错误的是（　　） A．图中a的值为0.015 B．样本的第25百分位数约为217 C．样本平均数约为198.4 D．在被调查的用户中，用电量落在内的户数为148 【答案】B 【详解】对于A，由题意，，解得，，故A正确； 对于B，因为用电量在以下的频率为， 用电量在以下的频率为， 所以样本的第百分位数在区间内， 设样本的第百分位数为，则，解得， 即样本的第百分位数约为，故B错误； 对于C，样本的平均数为 ，故C正确； 对于D，用电量落在内的户数为，故D正确． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 【答案】B 【分析】运用频率分布直方图的性质求出，结合百分位数的定义求解即可. 【详解】由，解得. 所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得． 3．（多选）（25-26高一下·浙江台州·期末）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取100位学生的数学成绩（满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（    ） A．对应矩形的面积为 B．样本成绩的第百分位数落在内 C．样本极差一定为 D．若采用样本量比例分配的分层随机抽样从，两组中抽取人，再从这人中随机抽取人，则此人成绩在区间的概率为 【答案】ABD 【分析】在频率分布直方图中，面积表示频率，列式计算可判断A；根据分位数的概念计算可判断B；根据极差的概念可判断C；根据分层抽样的定义计算各层抽取人数，再结合古典概率计算公式计算可判断D. 【详解】对于A，设对应矩形的面积为， 则，解得，所以A选项正确； 对于B，样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以B选项正确； 对于C，频率分布直方图只能反映数据的分布形态和落在各个区间内的频率（或频数），但无法确定具体每个数据点的值， 所以样本极差无法由直方图确定，所以C错误； 对于D，从直方图可知样本中成绩落在的频率为，落在的频率为 ，比例为， 分层抽样5人时抽3人，抽2人， 任抽1人成绩在 的概率为 ，所以D正确． 4．（多选）（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）某学校为调查学生每周体育锻炼时长，随机抽取100名学生进行问卷调查，将所得数据整理得到频率分布直方图（每组数据包含左端点，不包含右端点），则下列说法正确的有（    ） A．直方图中的值为0.15 B．估计该校学生每周体育锻炼时长的中位数为4.3小时 C．估计该校学生每周体育锻炼时长的平均数为5.3小时 D．估计有80%的学生每周体育锻炼时长不低于6小时 【答案】AC 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，前两组，的频率和为，前三组频率和为， 则中位数，，得，B错误； 对于C，平均数为小时，C正确； 对于D，锻炼时长不低于6小时的频率为，则约40%的学生每周体育锻炼时长不低于6小时，D错误. 5．（多选）（2026·甘肃嘉峪关·三模）为评估某款“端侧AI芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发团队在固定输入长度（）的条件下，对200个公开的深度学习模型进行了单次推理延迟测试（单位：）．测试结果经异常值剔除后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则下列结论正确的是（   ）    A．样本中延迟在内的模型个数为60 B．估计样本的中位数落在区间内 C．估计样本的平均数约为 D．该分布呈现出右边“拖尾”形态，说明大部分模型的延迟时间较短 【答案】AD 【分析】求出各组频率判断A；利用中位数的定义计算判断B；估计平均数判断C；结合频率分布直方图分析判断D. 【详解】由频率分布直方图知，数据落在各分组区间的频率依次为：， 对于A，样本中延迟在内的模型个数为，A正确； 对于B，由，，得估计样本的中位数落在区间内，B错误； 对于C，样本的平均数约为，C错误； 对于D，该分布峰值在左侧低延迟区间，仅少数模型延迟较高，频率随延迟增大逐渐降低， 因此呈现右拖尾形态，说明大部分模型的延迟较低，D正确. 题型六 雷达图 雷达图可以在同一坐标系内展示多指标的分析比较情况，它是由一组坐标和多个同心圆组成的图表．雷达图分析法是综合评价中常用的一种方法，尤其适用于对多属性体系结构描述的对象作出全局性、整体性评价，在数据可视化中经常会用到． 【例题精讲】 【例1】（2025•桃城区校级模拟）为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（　　） A．各月的平均最高气温都不高于25度 B．七月的平均温差比一月的平均温度小 C．平均最高气温低于20度的月份有5个 D．六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度 【答案】C 【解答】解；通过题目的统计图，可以知道平均最高气温低于20度的月份有 一月，二月，十一月，十二月共计四个，所以答案C说是5个，是错误的． 故选：C． 【例2】（2024•德阳模拟）某校秋季运动会中A、B两班的各个单项得分（满分5分，分值高者为优）的雷达图如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．在200米项目中，A班的得分比B班的得分高 B．在铅球项目中，A班的得分比B班的得分高 C．在跳高项目中，B班的得分比A班的得分高 D．B班的总分比A班的总分高 【答案】B 【详解】对于A，在200米中，A班的得分为4分，B班的得分为3分，故A正确； 对于B，在铅球项目中，A班的得分为3分，B班的得分为4分，A班得分比B班低，故B错误； 对于C，在跳高项目中，B班的得分为4分，比A班的得分为3分高，故C正确； 对于D，B班的总分为5+3+4+5+3+4＝24分， A班的总分为4+4+3+5+4+3＝23分， ∴B班的总分比A班的总分高，故D正确． 故选：B． 【变式训练1】（2025•赣州模拟）2025年某省将实行“3+1+2”模式的新高考，其中“3”表示语文、数学和英语这三门必考科目，“1”表示必须从物理和历史中选考一门科目，“2”表示要从化学、生物、政治和地理中选考两门科目．为帮助甲、乙两名高一学生应对新高考，合理选择选考科目，将其高一年级的成绩综合指标值（指标值满分为5分，分值越高成绩越优）整理得到如下的雷达图，则下列选择最合理的是（　　） A．选考科目甲应选物理、化学、历史 B．选考科目甲应选化学、历史、地理 C．选考科目乙应选物理、政治、历史 D．选考科目乙应选政治、历史、地理 【答案】D 【详解】根据雷达图，甲同学按照科目综合指标值从高到低顺序为：物理、历史（化学）、地理、生物、政治， 乙同学按照科目综合指标值从高到低顺序为：历史、物理（政治）、地理、生物、化学， 根据新高考选科模式规则，选考科目甲应选物理、化学、地理；选考科目乙应选历史、政治、地理． 故选：D． 【变式训练2】（2023秋•涪城区校级月考）十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者．如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法不正确的是（　　） A．在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高 B．在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当 C．甲的各项得分比乙的各项得分更均衡 D．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大 【答案】C 【详解】对于A，由图中数据知，在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高，正确； 对于B，由图中数据知，在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当，正确； 对于C，甲的各项得分差异比乙的各项得分差异大，因此乙的各项得分更均衡，不正确； 对于D，甲的各项得分的极差大于400，乙的各项得分的极差小于200，所以乙的各项得分的极差大，正确． 故选：C． 【变式训练3】（2023春•贺兰县校级期末）某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（每项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优），绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造能力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的有（　　） ①乙的记忆能力优于甲 ②乙的观察能力优于创造能力 ③甲的六大能力整体水平优于乙 ④甲的六大能力比乙较均衡 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】①乙的记忆能力为4，甲的记忆能力为5，则甲优于乙，故①错误， ②乙的观察能力是4，创造能力为3，故乙的观察能力优于创造能力，故②正确， ③甲的六大能力分别为3，4，5，5，4，4，和为25，乙的六大能力分别为5，3，3，4，4，5，和为24，则整体水平优于乙，故③正确， ④甲的六大能力的方差，为，乙的方差，则甲的6大能力比乙较均衡，故④正确， 故正确的有3个， 故选：C． 【课时精练】 1．（2023•奉贤区校级模拟）2023年，我市仍试行“3+3”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（　　） A．甲的化学成绩领先年级平均分最多 B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分 C．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理 D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果 【答案】A 【详解】对于A，根据雷达图，可知物理成绩领先年级平均分最多，故A错误； 对于B，甲的政治、历史两个科目的成绩低于年级平均分，故B正确； 对于C，甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理，故C正确； 对于D，对甲而言，物理成绩比年级平均分高，历史成绩比年级平均分低，而化学、生物、地理、政治中优势最明显的两科为化学和地理， 故物理、化学、地理的成绩是比较理想的一种选科结果，即D正确． 故选：A． 2．（2023•商洛二模）十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者．如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是（　　） A．在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分低 B．甲的各项得分比乙的各项得分更均衡 C．在跳高和铁饼项目中，甲、乙水平相当 D．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大 【答案】D 【详解】由雷达图可知，400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高，A错误 由雷达图可知，甲各项得分的波动较大，乙的各项得分均在（600，800]内，波动较小，B错误； 由图可知，在铁饼项目中，甲、乙水平相差很大，C错误； 甲的各项得分的极差约为1000﹣470＝530，乙的各项得分的极差小于200，D对． 故选：D． 3．（多选）（2025春•安徽校级期末）动力电池组对新能源汽车的性能表现以及安全性影响巨大，是新能源汽车非常核心的部件．如图是刀片电池、三元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的雷达图，则下列说法正确的是（　　） A．刀片电池的安全性更高，价格优势更突出 B．三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低 C．对于这7项指标，刀片电池的平均得分低于三元锂电池 D．磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好 【答案】AB 【详解】由雷达图易知刀片电池的安全性更高，价格优势更突出，故A正确； 三元锂电池的循环寿命较短，价格偏高，安全性偏低，故B正确； 对于这7项指标，刀片电池的平均得分为（4+4+5+4+5+5+4）÷7， 三元锂电池的平均得分为（5+5+3+5+3+4+5）÷7，故C错误； 磷酸铁锂电池能量密度低，低温性能差，故D错误． 故选：AB． 4．（多选）（2024秋•商洛月考）如图是某款新能源汽车在速度、稳定性、安全性、易用性、续航能力这五个方面的综合评分的雷达图，则下列结论正确的是（　　） A．这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于稳定性方面的综合评分 B．这款新能源汽车在稳定性和续航能力这两方面的综合评分相等 C．这款新能源汽车在安全性方面的综合评分最低 D．这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于易用性方面的综合评分 【答案】ABC 【详解】由雷达图可知，这款新能源汽车在速度方面的综合评分在（8，10）内， 在稳定性和续航能力这两方面的综合评分都是8分， 在安全性方面的综合评分在（6，8）内， 在易用性方面的综合评分是10分， 所以这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于稳定性方面的综合评分，故A正确； 这款新能源汽车在稳定性和续航能力这两方面的综合评分相等，故B正确； 这款新能源汽车在安全性方面的综合评分最低，故C正确； 这款新能源汽车在速度方面的综合评分低于易用性方面的综合评分，故D错误． 故选：ABC． 5．（多选）（2024春•同步）某装修公司为了解客户对照明系统的需求，对照明系统的两种设计方案在稳固性、创新性、外观造型、做工用料以及成本五个方面的满意度评分进行统计，根据统计结果绘制出如图所示的雷达图，则下列说法错误的是（　　） A．客户对两种设计方案在外观造型上没有分歧 B．客户对设计一的满意度的总得分高于设计二的满意度的总得分 C．客户对设计二在创新性方面的满意度高于设计一在创新性方面的满意度 D．客户对两种设计方案在稳固性和做工用料方面的满意度相同 【答案】ACD 【详解】根据雷达图可列表如下： 评分类别 稳固性 创新性 外观造型 做工用料 成本 设计一得分 8分 8分 8分 10分 10分 设计二得分 8分 8分 10分 8分 9分 根据表格分析可得A、C、D错误，选项B正确． 故选：ACD． 【真题回顾】 1．（2023·上海·高考真题）如图为2018-2021年中国货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（   ） A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大 B．从2018年开始，进出口总额逐年增大 C．从2018年开始，进口总额逐年增大 D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小 【答案】C 【分析】根据已知条形统计图分别判断各个选项即可. 【详解】2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A正确； 统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B正确； 2020年相对于2019年的进口总额是减少的，故C错误； 显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小， 且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确. 故选：C. 2．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D 【分析】根据与的关系图可得正确的选项. 【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确. 故选：D 3．（2017·全国III卷·高考真题）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（    ） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【分析】观察折线图，结合选项逐一判断即可 【详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错； 对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确； 对于选项C，观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正确； 对于D选项，观察折线图，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确. 故选：A 4．（2018·全国I卷·高考真题）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项. 【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M， 则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确； 新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确； 故选A. 点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果. 5．（多选）（2020·海南·高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是 A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加; B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量; C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%; D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量; 【答案】CD 【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图像，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确. 【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误； 由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误; 由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确; 由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确; 【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题. 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 【答案】(1)，； (2)，最小值为． 【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出； （2）根据题意确定分段点，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出． 【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得：， ． （2）当时， ； 当时， , 故， 所以在区间的最小值为． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $