第07讲 一元二次方程的判别式及根与系数的关系（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2026年暑假八年级数学衔接讲义（沪教版五四制）

第07讲 一元二次方程的判别式及根与系数的关系（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典型例题二 根据一元二次方程根的情况求参数 典型例题三 一元二次方程的根与系数的关系 典型例题四 利用根与系数的关系求代数式的值 典型例题五 由两根关系求方程字母系数 典型例题六 根与系数关系的新定义问题 典型例题七 一元二次方程根与系数的关系综合 知识点01 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【即时训练】 1．（2026·上海·模拟预测）一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个相等的根 B．没有根 C．无法确定 D．有两个不相等的根 2．（24-25八年级上·上海·阶段检测）在八年级学习一元二次方程时，数学老师对小明提出了以下的问题：请说出关于的一元二次方程的根的情况，小明的回答是：原方程有_________实数根． 知识点02 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·上海闵行·期中）欢欢和乐乐对关于的方程展开讨论， 欢欢：若，则方程一定有两个不相等的实数根； 乐乐：若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根． 下列判断正确的是（    ） A．欢欢正确，乐乐错误； B．欢欢错误，乐乐正确； C．欢欢、乐乐都正确； D．欢欢、乐乐都错误． 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段检测）下列关于x的一元二次方程①；②；③；④；⑤；有两个不相等实根的是______；有两个相等实根的是______；没有实数根的是______．（只填序号） 知识点03 一元二次方程根的判别式关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即时训练】 1．（2025·上海·模拟预测）已知是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（   ） 淇淇： ①韦达定理求出，的值； ②化简； ③将步骤①中的，的值代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 嘉嘉： ①解方程； ②化简； ③将步骤①中的解，代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 2．（25-26八年级上·上海松江·期中）小聪发现方程的两根为，，则______． 【典型例题一 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（2026·上海闵行·三模）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·上海长宁·三模）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【例3】（2026·上海普陀·一模）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【例4】（2026·上海嘉定·二模）写出一个关于x的一元二次方程，使它有两个相等的实数根：_______． 1．（25-26八年级上·上海杨浦·课后作业）不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 2．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为，求的值． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的是（   ） A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③ 先选出正确答案，再给正确的序号进行证明． 【典型例题二 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例1】（2026·河南平顶山·三模）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·河南鹤壁·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（     ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的方程有两个相等的实数根，则的值是__________． 【例4】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值． (2)若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）嘉淇在解一元二次方程时，发现常数项被污染． (1)若猜出这个常数项为0，请解一元二次方程； (2)老师告诉嘉淇这个方程有两个不相等实数根，求被污染的常数项的最大整数值． 3．（25-26八年级上·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小玲撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 我们知道，对于一元二次方程根的判别式能判断方程实数根的个数；对于二次函数能判断抛物线与轴的交点个数．另外还有其他的应用：求代数式的最值． 如：已知，求的最大值． 解：由，得 将其代入，得 设，则 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是实数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为． 学习任务： (1)用根的判别式判断一元二次方程根的情况，体现的数学思想是（   ） A．整体思想        B．数形结合        C．分类讨论        D．转化 (2)通过阅读材料的解题步骤，完成下题： 已知，求的最大值，请写出完整解题过程． (3)已知正数满足，直接写出的最小值_____．（提示：先求的最大值） 【典型例题三 一元二次方程的根与系数的关系】 【例1】（2026·广西钦州·三模）已知关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为（     ） A． B．5 C．2 D． 【例2】（2026·广西桂林·二模）若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 【例3】（2026·山东济宁·二模）关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根______． 【例4】（25-26八年级下·广西崇左·期中）已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知实数满足， (1)求作以，为根的二次项系数为1的一元二次方程； (2)若，求的值． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）根据表格中的信息回答问题， 方程 方程的根，（） 第1个方程 ， 第2个方程 ， 第3个方程 ， … … … (1)请写出第4个方程：______________，第4个方程的根为______，______． (2)通过猜想写出第n（n为正整数）个方程及其方程的根，并用公式法解方程证明猜想的正确性． 3．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． (1)请参照例题解方程； (2)拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 【典型例题四 利用根与系数的关系求代数式的值】 【例1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）当，，时，若代数式的值为3，则代数式的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【例3】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）已知：当，时，代数式的值都是0，则当时，代数式的值为_______． 【例4】（25-26八年级上·河南·阶段检测）如果m，n是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为_____________ 1．（25-26八年级上·江西新余·阶段检测）已知方程． (1)当时，原方程的根的情况是 ． A．有两个不相等的实数根    B．有两个相等的实数根    C．无实数根 (2)若，原方程的两根分别是，． ①代数式的值为 ． ②求代数式的值． 2．（25-26八年级下·安徽·期中）对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式值等于0；当时，代数式值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则． (1)代数式的不变值是_____，_____； (2)证明：代数式没有不变值； (3)已知代数式的不变值为1和3，求、的值． 3．（24-25八年级上·上海静安·期中）数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅． (1)用表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 一元二次方程 0 ① ② ③ (2)数学家韦达对规律进行归纳；对于，若，则 ； ．（用含的代数式表示）． (3)设是方程的两个实根，利用上述结论求的值． (4)类比探索，若一元三次方程可以转化为，则 ； （用含的代数式表示）． 【典型例题五 由两根关系求方程字母系数】 【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）瑞瑞在研究一元二次方程的根与系数关系时，得到的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【例2】（24-25八年级上·湖北鄂州·期中）在解方程时，小马看错了一次项系数，得到的解为；小虎看错了常数项，得到的解为，则正确的方程是（  ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海杨浦·课后作业）在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝________，q＝________． 【例4】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期末）被称为“代数符号之父”的韦达在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在特殊关系．对于一元二次方程，它的两根，与系数有如下关系：，，人们把这个关系称为韦达定理． 请运用韦达定理解决问题：已知和是关于的方程的两个根，则的值为______． 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 2．（2025·安徽合肥·二模）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料： 设的两个根为和，那么比较系数，可得，． 类比推广，回答问题：设的三个根为，，，那么 （___________）（___________）． 比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系： ___________，___________，___________． 3．（24-25八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 下面是小华同学的数学日记，请认真阅读并完成相应的任务． ×年×月×日　星期二 一元二次方程中特殊根与系数之间的关系 今天，学习完一元二次方程的知识后，我知道了一元二次方程中根与系数之间有一定的关系，这引发了我的思考：如果一元二次方程有两个不为零的实数根，且其中一个根为另一个根的整数倍，那么这样的一元二次方程中的系数又有怎样特殊的关系呢？于是我展开了以下探究． 特例分析： ①当一元二次方程的两个不为零的实数根是1倍关系（即相等）时，系数之间满足的关系式是． ②当一元二次方程的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数之间满足的关系式是什么？ 设一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为． 根据题意，得，即．， 把代入，得． 当一元二次方程的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数之间满足的关系式是． ③当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式是什么？… 一般探究： 当一元二次方程的两个不为零的实数根是倍关系时，系数，之间满足的关系式是什么？．．．．． 任务： (1)请仿照小华同学的推理过程，推导出当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式． (2)请直接写出当一元二次方程的两个不为零的实数根是倍关系时，系数之间满足的关系式． 【典型例题六 根与系数关系的新定义问题】 【例1】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河南洛阳·三模）定义，例如，若方程的一个根是，则此方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）对于字母、，定义新运算，若方程的两个根为、，则的值为______． 【例4】（2025·四川宜宾·一模）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为_____． 1．（25-26八年级上·上海杨浦·课后作业）新定义：若关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；若关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (2)若一元二次方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，求，的值． 2．（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ； (2)若是的倒方程的解，求出c的值． (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．根据以上知识解决问题： (1)若，求的值； (2)若的值小于0，请判断方程的根的情况． 【典型例题七 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例1】（2026·河北唐山·一模）关于x的一元二次方程的两个实数根为，，设，则M与方程根的判别式之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在物理实验中，一个物体的运动可以用一元二次方程来描述其位移时间关系（其中代表位移相关量），该方程的两个实数根为，．在后续的数据分析中，需要用到两根的关系，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【例3】 （25-26八年级上·广东湛江·期末）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为____． 【例4】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）若长方形的长和宽分别是关于x的方程的两个根，则长方形的周长是______． 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得， ，是“和积方程”． (1)方程______（填是或不是）“和积方程”； (2)关于的方程是“和积方程”，则______； (3)若关于的一元二次方程是“和积方程”，求的值． 2．（2026·河南鹤壁·一模）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 3．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则这个方程就是“二倍根方程”． (1)若一元二次方程是“二倍根方程”，则______． (2)若是“二倍根方程”，求的值． (3)若方程是“二倍根方程”，求b与c之间的关系． 1．（2026·上海宝山·二模）若，则关于的一元二次方程 的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）一元二次方程的两根分别为，若，则c的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2026·安徽芜湖·二模）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C．且 D．且 4．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程（其中，）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期中）对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，则有， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为 老师看后说只有两个同学的结论是正确的，则这两位同学是（   ） A．甲和丁 B．甲和乙 C．乙和丙 D．丙和丁 6．（25-26八年级上·广东阳江·期末）关于的一元二次方程的根的情况是_________． 7．（2026·上海宝山·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，，则代数式的值为_________． 8．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． 关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值是________． 9．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，，分别以为横坐标、为纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的根序点． （1）直接写出方程的根序点的坐标为_____； （2）若关于的一元二次方程有根序点，且该根序点在直线上，则的值为_____． 10．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知，对于x在实数范围内的每一个值，代数式都有唯一确定的值与它对应，如： x … 0 1 2 3 … … 14 … 反之，则不一定成立． （1）当代数式的值为时，x的值为________； （2）若关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，则k的值为________． 11．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求k的值； (2)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）定义：设，是方程的两个实数根，其中．若，则称这个方程为“俏方程”． (1)方程 ________“俏方程”（用“是”或“不是”填空）； (2)若关于x的方程是“俏方程”． ①不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为________； ②求m的取值范围． 13．（2026·河北张家口·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，嘉嘉用配方法解一元二次方程的过程如下： 当时，．…………………………………第一步 移项，得，………………………………………第二步 配方，得，即，…………第三步 由此可得，，……………………………………第四步 ∴，．……………………………第五步 请指出嘉嘉在第 步出现了错误，并写出正确的解答过程； (2)若方程的两个实数根分别是和，且，求的值． 14．（24-25八年级上·山东济宁·期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是、．那么，． 例如：已知方程的两根分别为、． 则：，． 请同学阅读后完成以下问题： (1)已知方程的两根分别为，，求和的值． (2)设，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． (3)关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值． 15．（25-26八年级上·四川巴中·阶段检测）阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，， 则， 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， 所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______． (2)类比探究： 已知实数，满足，，且，求的值： (3)思维拓展： 已知实数、分别满足，，且．求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 一元二次方程的判别式及根与系数的关系（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典型例题二 根据一元二次方程根的情况求参数 典型例题三 一元二次方程的根与系数的关系 典型例题四 利用根与系数的关系求代数式的值 典型例题五 由两根关系求方程字母系数 典型例题六 根与系数关系的新定义问题 典型例题七 一元二次方程根与系数的关系综合 知识点01 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【即时训练】 1．（2026·上海·模拟预测）一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个相等的根 B．没有根 C．无法确定 D．有两个不相等的根 【答案】D 【详解】解：∵在一元二次方程中，， ∴根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．（24-25八年级上·上海·阶段检测）在八年级学习一元二次方程时，数学老师对小明提出了以下的问题：请说出关于的一元二次方程的根的情况，小明的回答是：原方程有_________实数根． 【答案】有两个不相等的 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的． 知识点02 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·上海闵行·期中）欢欢和乐乐对关于的方程展开讨论， 欢欢：若，则方程一定有两个不相等的实数根； 乐乐：若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根． 下列判断正确的是（    ） A．欢欢正确，乐乐错误； B．欢欢错误，乐乐正确； C．欢欢、乐乐都正确； D．欢欢、乐乐都错误． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程，熟练掌握判断一元二次方程是否有实数根的方法时解题的关键． 欢欢的陈述通过条件推导判别式恒大于零，从而方程有两个不相等的实数根；乐乐的陈述通过方程有两个不相等的实根得出，进而推导方程 的判别式恒大于零，从而方程有两个不相等的实数根，两人都正确． 【详解】解：欢欢的陈述： 判别式 故方程一定有两个不相等的实数根，欢欢正确； 乐乐的陈述： 方程有两个不相等的实根，则 其判别式， 。 对于方程，判别式。 ， ，且， ， 故方程一定有两个不相等的实数根，乐乐正确， 综上，欢欢和乐乐都正确． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段检测）下列关于x的一元二次方程①；②；③；④；⑤；有两个不相等实根的是______；有两个相等实根的是______；没有实数根的是______．（只填序号） 【答案】 ①③ ②④ ⑤ 【分析】根据一元二次方程根的判别式处理． 【详解】解：①，故有两个不相等的实数根； ②，故有两个相等的实数根； ③，故有两个不相等的实数根； ④，故有两个相等实数根； ⑤，故没有实数根； 故答案为：①③；②④；⑤ 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式；掌握一元二次方程根的判别式定理是解题的关键． 知识点03 一元二次方程根的判别式关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即时训练】 1．（2025·上海·模拟预测）已知是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（   ） 淇淇： ①韦达定理求出，的值； ②化简； ③将步骤①中的，的值代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 嘉嘉： ①解方程； ②化简； ③将步骤①中的解，代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为 A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则有，，根据根与系数的关系求解即可得出答案． 【详解】淇淇的解法： 根据韦达定理：，， ； 嘉嘉的解法： ， ， 解得：， ， ，， 原式， 嘉嘉，淇淇都对， 故选：A． 2．（25-26八年级上·上海松江·期中）小聪发现方程的两根为，，则______． 【答案】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系计算两根的乘积即可． 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：， 根据一元二次方程根与系数的关系得： ． 【典型例题一 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（2026·上海闵行·三模）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断，对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式． A选项：方程中，，，，∵，∴方程没有实数根，不符合题意． B选项：方程中，，，，∵，∴方程有两个相等的实数根，不符合题意． C选项：方程中，，，，∵，∴ 方程没有实数根，不符合题意． D选项：方程整理为，其中，，，∵，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意． 【例2】（2026·上海长宁·三模）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：由题意得， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 【例3】（2026·上海普陀·一模）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 【例4】（2026·上海嘉定·二模）写出一个关于x的一元二次方程，使它有两个相等的实数根：_______． 【答案】（答案不唯一，符合条件即可） 【分析】根据一元二次方程根的判别式等于0时，方程有两个相等的实数根，构造满足条件的方程即可． 【详解】解：设一元二次方程为，当，，时， 即方程有两个相等的实数根． 1．（25-26八年级上·上海杨浦·课后作业）不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)无实数根； (2)无实数根； (3)有两个不相等的实数根． 【分析】（1）先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式进行判断； （2）先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式进行判断； （3）先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式进行判断． 【详解】（1）解：整理， 可得：， ， 原方程没有实数根； （2）解：整理， ， ， 原方程没有实数根； （3）解：整理， 可得：， ， 原方程有两个不相等的实数根． 2．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． ()根据根的判别式即可求出答案； ()把代入方程中即可求出答案． 【小问1】 证明： ， ， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2】 解：该方程有一个根为， ， 解得：； 的值为． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的是（   ） A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③ 先选出正确答案，再给正确的序号进行证明． 【答案】B，证明见解析 【分析】对于①，通过代入验证它是方程的根，从而得出方程有实根，判别式非负；对于②，先由方程的判别式得出，再分析方程的判别式正负；对于③，将代入方程后因式分解，可知存在的情况使结论不成立；对于④，利用方程根的定义将，再展开并代入化简，证明等式成立． 【详解】证明：∵， ∴是方程的一个实数根， ∴其根的判别式，故①正确． ∵方程有两个不相等的实根， ∴该方程的判别式， 对于方程，其判别式， ∵，且， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故②正确． 若是方程的一个根，将代入方程得： ，即， ∴或， 当时，例如方程，是该方程的根，但， 故③不正确． ∵是一元二次方程的根， ∴，移项得， ∴， 故④正确． 综上，只有①②④正确． 【典型例题二 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例1】（2026·河南平顶山·三模）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可． 【详解】解：关于x的方程有实数根， ， 解得． 【例2】（2026·河南鹤壁·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出判别式大于0，解不等式得到的取值范围，再结合选项选出符合条件的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，其中，，常数项为， 代入得：， 整理得， 解得， ∵选项中只有， ∴的值可以是． 【例3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的方程有两个相等的实数根，则的值是__________． 【答案】 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于，据此列出关于的方程，求解即可得到的值. 【详解】解：方程 中， ，，， 方程有两个相等的实数根， ， 即 ， ∴ ， 解得 . 【例4】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】/0.5 【详解】解：关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， ， 整理得 ， 解得． 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值． (2)若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把代入，化简即可得到答案； （2）由得到，代入根的判别式，化简得，解关于b的方程即可证得结论． 【详解】（1）解：∵若是方程的一个根， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵方程有两个相同的实数根， ∴， 解得， ∴b的值为或． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）嘉淇在解一元二次方程时，发现常数项被污染． (1)若猜出这个常数项为0，请解一元二次方程； (2)老师告诉嘉淇这个方程有两个不相等实数根，求被污染的常数项的最大整数值． 【答案】(1) (2)被污染常数项的最大整数值为2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用根的判别式，列式计算即可． 【详解】（1）解： 或， 解得； （2）解：设这个常数项为， 在中，， ∴ ， 解得， 被污染常数项的最大整数值为2． 3．（25-26八年级上·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小玲撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 我们知道，对于一元二次方程根的判别式能判断方程实数根的个数；对于二次函数能判断抛物线与轴的交点个数．另外还有其他的应用：求代数式的最值． 如：已知，求的最大值． 解：由，得 将其代入，得 设，则 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是实数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为． 学习任务： (1)用根的判别式判断一元二次方程根的情况，体现的数学思想是（   ） A．整体思想        B．数形结合        C．分类讨论        D．转化 (2)通过阅读材料的解题步骤，完成下题： 已知，求的最大值，请写出完整解题过程． (3)已知正数满足，直接写出的最小值_____．（提示：先求的最大值） 【答案】(1)C (2)的最大值为 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式的应用，分式化简求值等知识． （1）根据判别式的定义和用法即可得出答案． （2）根据题干的解题方式求解即可． （3）根据题干的解题方式求解出的最大值，再根据分式的化简和性质即可求出答案． 【详解】（1）解：用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，需根据，或来判断，则体现的数学思想是分类讨论， 故选C． （2）解：由，得 将其代入，得， 设，则， 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是实数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为． （3）解：由，得 将其代入，得 设，则 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是正数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为9． ∴， ∵的最大值为9， ∴的最小值为：． 【典型例题三 一元二次方程的根与系数的关系】 【例1】（2026·广西钦州·三模）已知关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为（     ） A． B．5 C．2 D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程 ，若方程的两个根为 ，则 ，据此求解即可． 【详解】解：∵给定一元二次方程为 ，可得，， ∴． 【例2】（2026·广西桂林·二模）若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可得到答案． 【详解】解：∵的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 的面积． 【例3】（2026·山东济宁·二模）关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根______． 【答案】1 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和的等式，代入已知根即可求解另一个根． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系可得：， 将代入等式得：， 解得：． 【例4】（25-26八年级下·广西崇左·期中）已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 【答案】 【分析】设出符合条件的一元二次方程，利用根与系数的关系求出一次项系数和常数项，即可得到目标方程． 【详解】解：设该一元二次方程为，方程的两个根为，， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∴因此方程为． 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知实数满足， (1)求作以，为根的二次项系数为1的一元二次方程； (2)若，求的值． 【答案】(1)一元二次方程为 (2) 【分析】（1）根据题目要求及已知条件设一元二次方程为，然后，根据一元二次方程中根与系数的关系，找到关于的方程，解出的值代入原方程即可； （2）根据所给等式得出和是一元二次方程的两个实数根， 再根据一元二次方程中根与系数的关系，得出的值即可． 【详解】（1）解：设一元二次方程为． ， ， ， ∴一元二次方程为； （2）解：由题意，得和是一元二次方程的两个实数根， ． ∴的值为． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）根据表格中的信息回答问题， 方程 方程的根，（） 第1个方程 ， 第2个方程 ， 第3个方程 ， … … … (1)请写出第4个方程：______________，第4个方程的根为______，______． (2)通过猜想写出第n（n为正整数）个方程及其方程的根，并用公式法解方程证明猜想的正确性． 【答案】(1)；； (2)第个方程为，方程的根为，，证明见解析 【分析】本题为规律探究题，先观察已知方程的系数、常数项与方程序号的关系，归纳得到规律，写出对应方程和根，再利用一元二次方程的求根公式验证猜想结论即可． 【详解】（1）解：观察已知表格中的规律可得：第4个方程为，根为，； （2）解：猜想可得第n（n为正整数）个方程为，根为，， 证明： 判别式， ， ，． 3．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． (1)请参照例题解方程； (2)拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 【答案】(1)， (2)2或 【分析】（1）分两种情况分析：当时，当时，分别解一元二次方程即可； （2）分两种情况分析：①当时，②当时，然后根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （2）∵， ①当时，， ②当时，m、n是方程的两根， ∴，， ∴原式． ∴的值为2或． 【典型例题四 利用根与系数的关系求代数式的值】 【例1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程两根之和的关系整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴由方程根的定义得， 由一元二次方程两根之和的关系得：， ∴， ∴ ． 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）当，，时，若代数式的值为3，则代数式的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得． 【详解】解：∵一元二次方程为的两个根为， ， ∴ ， ∵代数式的值为3， ∴代数式的值为， 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）已知：当，时，代数式的值都是0，则当时，代数式的值为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程的根与因式分解以及代数式求值，解题的关键是利用已知根求出代数式的系数、． 因为和时，代数式的值为0，所以可将代数式因式分解为，进而求出、，再代入求值． 【详解】将分别代入， 得， 解得， ∴代数式为， 当时， ， ． 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·河南·阶段检测）如果m，n是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为_____________ 【答案】2025 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系即可求解． 【详解】∵m， n是一元二次方程两个不相等的实数根， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2025． 1．（25-26八年级上·江西新余·阶段检测）已知方程． (1)当时，原方程的根的情况是 ． A．有两个不相等的实数根    B．有两个相等的实数根    C．无实数根 (2)若，原方程的两根分别是，． ①代数式的值为 ． ②求代数式的值． 【答案】(1)A (2)①2025；② 【分析】本题考查了一元二次方程的根、根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据根的判别式即可得出结论； （2）①根据一元二次方程根与系数的关系得，，再整体代入求值即可；②根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A； （2）解：①由题意得，方程为， ∴，， ∴； 故答案为：2025； ②∵，是方程的两个根， ∴，， ∴，， ∴． 2．（25-26八年级下·安徽·期中）对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式值等于0；当时，代数式值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则． (1)代数式的不变值是_____，_____； (2)证明：代数式没有不变值； (3)已知代数式的不变值为1和3，求、的值． 【答案】(1)3和，5 (2)见解析 (3) 【分析】（1）求出方程的两个实数根即可得到答案； （2）只需要利用判别式证明方程无实数根即可； （3）根据题意可得关于x的一元二次方程的两个实数根为1和3，根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：当时，则， ∴， ∴或， ∴代数式的不变值是3和， ∴； （2）证明：当时，则， ∴， ∴原方程无实数根， ∴代数式没有不变值； （3）解：当时，则， ∵代数式的不变值为1和3， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根为1和3， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·上海静安·期中）数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅． (1)用表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 一元二次方程 0 ① ② ③ (2)数学家韦达对规律进行归纳；对于，若，则 ； ．（用含的代数式表示）． (3)设是方程的两个实根，利用上述结论求的值． (4)类比探索，若一元三次方程可以转化为，则 ； （用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②；③ (2)， (3) (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法和公式法分别求出方程的解，由此即可得； （2）利用公式法求出方程的解，由此即可得； （3）先根据（2）的结论可得，，再根据，代入计算即可得； （4）先化简方程，再比较各项的系数即可得． 【详解】（1）解：， ， ， 则， ， ， 即， 则，， 故答案为：①；②；③． （2）解：， ， 即， 则，， 故答案为：，． （3）解：是方程的两个实根， ，， 则 ． （4）解： ， 则，， 所以，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 【典型例题五 由两根关系求方程字母系数】 【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）瑞瑞在研究一元二次方程的根与系数关系时，得到的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数：，据此把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·湖北鄂州·期中）在解方程时，小马看错了一次项系数，得到的解为；小虎看错了常数项，得到的解为，则正确的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行计算得出，的值，即可得到答案．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，熟练掌握此知识点是解题的关键． 【详解】解：小马看错了一次项系数，得到的解为， ，即， 小虎看错了常数项，得到的解为， ，即， 正确的方程是， 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·上海杨浦·课后作业）在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝________，q＝________． 【答案】 ﹣2 ﹣3 【分析】由小明看错了系数p知常数项q无误，根据所得两根之积可得q的值；由小红看错了系数q知一次项系数p无误，根据所得两根之和可得p和q的值． 【详解】解：∵小明看错了系数p，解得方程的根为和， ∴， ∵小红看错了系数q，解得方程的根为和， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝﹣，x1•x2＝，解题关键熟记根与系数的关系． 【例4】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期末）被称为“代数符号之父”的韦达在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在特殊关系．对于一元二次方程，它的两根，与系数有如下关系：，，人们把这个关系称为韦达定理． 请运用韦达定理解决问题：已知和是关于的方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题关键．根据为一元二次方程的根得出，利用根与系数的关系得到两根之和为，将化简后，整体代入，求值即可． 【详解】解：∵和是关于的方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， ． 故答案为： 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 【答案】， 【分析】本题考查了高次方程根与系数的关系．解题的关键是通过展开因式分解形式的方程，与原方程对比系数，推导根的乘积之和及根的乘积的表达式． 设三次方程为表示为展开因式分解式，整理为多项式形式；对比原方程系数，求出和与系数的关系． 【详解】解：由题意，当时，方程为． 又设该方程有三个实数根， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴，． 2．（2025·安徽合肥·二模）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料： 设的两个根为和，那么比较系数，可得，． 类比推广，回答问题：设的三个根为，，，那么 （___________）（___________）． 比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系： ___________，___________，___________． 【答案】，，，，，r 【分析】本题主要考查根据一元二次方程中根和系数之间的关系推理一元三次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 将一元三次方程按照一元二次方程的方式因式分解为，再将其按照多项式乘以多项式的方式展开，得到，最后得到根与系数关系，，即可； 【详解】解：根据材料提示得， ， ， ， ， ， ， ，，； 故答案为：，，，，，-r． 3．（24-25八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 下面是小华同学的数学日记，请认真阅读并完成相应的任务． ×年×月×日　星期二 一元二次方程中特殊根与系数之间的关系 今天，学习完一元二次方程的知识后，我知道了一元二次方程中根与系数之间有一定的关系，这引发了我的思考：如果一元二次方程有两个不为零的实数根，且其中一个根为另一个根的整数倍，那么这样的一元二次方程中的系数又有怎样特殊的关系呢？于是我展开了以下探究． 特例分析： ①当一元二次方程的两个不为零的实数根是1倍关系（即相等）时，系数之间满足的关系式是． ②当一元二次方程的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数之间满足的关系式是什么？ 设一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为． 根据题意，得，即．， 把代入，得． 当一元二次方程的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数之间满足的关系式是． ③当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式是什么？… 一般探究： 当一元二次方程的两个不为零的实数根是倍关系时，系数，之间满足的关系式是什么？．．．．． 任务： (1)请仿照小华同学的推理过程，推导出当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式． (2)请直接写出当一元二次方程的两个不为零的实数根是倍关系时，系数之间满足的关系式． 【答案】(1)，过程见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程中根与系数之间的关系： （1）设其中一个根为，则另一个根为．参照题干中的计算方法即可求解； （2）设其中一个根为，则另一个根为．参照题干中的计算方法即可求解； 【详解】（1）解：设一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为． 根据题意，得，即． 把代入，得． 当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式是． （2）解：设一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为． 根据题意，得，即． 把代入，得． 当一元二次方程的两个不为零的实数根是n倍关系时，系数之间满足的关系式是． 【典型例题六 根与系数关系的新定义问题】 【例1】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根与系数的关系可找出，根据新运算找出，将其中的1替换成，即可得出结论． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键． 【例2】（2025·河南洛阳·三模）定义，例如，若方程的一个根是，则此方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵方程的一个根是，设另一个根为，则有： 解得， 故选：C 【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握根的定义是解本题的关键． 【例3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）对于字母、，定义新运算，若方程的两个根为、，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关公式是解题关键． 根据题意判断，，再根据新定义运算求解即可． 【详解】解：方程的解为、， ，， ． 故答案为：． 【例4】（2025·四川宜宾·一模）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据新定义运算列出一元二次方程，根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵a*b＝a2+2ab﹣b2， ∴（x+2）*3＝ ∴ 即 ∵m，n是方程（x+2）*3＝0的两根， 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 1．（25-26八年级上·上海杨浦·课后作业）新定义：若关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；若关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (2)若一元二次方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，求，的值． 【答案】(1) (2)，或， 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义方程的应用，掌握利用韦达定理结合新定义条件，分情况讨论求解，注意根不为0的限制是解题的关键． （1）设方程的两根为和，利用韦达定理的两根和与积，代入方程系数求的值 （2）设方程的两根，根据既是倍根又是方根的条件分两种情况讨论，利用韦达定理求和的值，注意根不为0的条件． 【详解】（1）解：设方程的两个根分别为，． ∵该方程是“倍根方程”， ∴可设． ，， ，， ， ． （2）解：设方程的两个根为，． ∵这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， ∴分以下两种情况讨论： ①当，时，得， 解得或（不合题意，舍去）， ． ，， ，； ②当，时，得， 解得或（不合题意，舍去）， ． ，， ，． 综上，，或，． 2．（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ； (2)若是的倒方程的解，求出c的值． (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴； （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ， ∴ ∴ ． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．根据以上知识解决问题： (1)若，求的值； (2)若的值小于0，请判断方程的根的情况． 【答案】(1) (2)方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查新定义，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． （1）根据新定义得出，解之可得答案； （2）由2☆的值小于0知，解之求得．再在方程中由可得答案． 【详解】（1）解：☆， ，即， 解得：，， ∴的值为； （2）解：☆的值小于0， ， 解得：． 在方程中，， 方程有两个不相等的实数根． 【典型例题七 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例1】（2026·河北唐山·一模）关于x的一元二次方程的两个实数根为，，设，则M与方程根的判别式之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再分别计算和判别式，对比即可得到二者的数量关系． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，常数项为， ∵由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 方程的根的判别式， 又， ． 【例2】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在物理实验中，一个物体的运动可以用一元二次方程来描述其位移时间关系（其中代表位移相关量），该方程的两个实数根为，．在后续的数据分析中，需要用到两根的关系，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根与系数的关系计算两根之和与两根之积，即可得到正确结论． 【详解】解：对于一元二次方程，若方程有两个实数根，，则，， ∵给定方程为， ∴，，， ∴，故错误， ，故错误，正确． 【例3】 （25-26八年级上·广东湛江·期末）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为____． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了根与系数的关系．根据一元二次方程的根与系数的关系，可得，，即可求解． 【详解】解：a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：2025 【例4】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）若长方形的长和宽分别是关于x的方程的两个根，则长方形的周长是______． 【答案】8 【分析】设长方形的长为a，宽为b，根据根与系数的关系得到两根之和的值，再结合长方形周长公式计算即可得到结果． 【详解】解：设长方形的长为a，宽为b， ∵长方形的长和宽分别是关于x的方程的两个根， ∴． ∴长方形的周长为． 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得， ，是“和积方程”． (1)方程______（填是或不是）“和积方程”； (2)关于的方程是“和积方程”，则______； (3)若关于的一元二次方程是“和积方程”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)或或 【分析】（1）求出方程两根，计算与，根据“和积方程”定义判断； （2）先因式分解求出方程两根，再根据列等式求解； （3）先用根的判别式确定取值范围，再由韦达定理表示、，根据求解． 【详解】（1）解：，因式分解得， 解得，， ，，， 方程不是“和积方程”． （2）解：对于方程，其判别式恒成立， 故方程总有两个实数根， ，因式分解得， 解得，， 由“和积方程”定义得：， 或， 解得或． （3）解：方程有两个实数根， ， 展开得，即， 解得， 由韦达定理得：，， 又方程是“和积方程”， 则， 即 ， ， 分两种情况： ， 化简得 ，解得或， ，舍去，符合； ， 整理得 ， 由求根公式得 ， ，均符合条件， 综上，的值为或或． 2．（2026·河南鹤壁·一模）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 【答案】(1)是 (2)0或3 (3)6，4 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到两根，然后根据“倍根方程”新定义进行判断； （2）先利用因式分解法解方程，设方程的两根分别为，，根据“倍根方程”的根的两倍关系列方程，再计算对应的的值； （3）设方程的两根分别为，，再根据根与系数的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， ∴，    ，． 若，则，解得； 若，则，解得； 或． （3）解：设两根为、， 则， 解得， ∴， ∴方程的两根为2和4． 由根与系数的关系知，， 解得． 3．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则这个方程就是“二倍根方程”． (1)若一元二次方程是“二倍根方程”，则______． (2)若是“二倍根方程”，求的值． (3)若方程是“二倍根方程”，求b与c之间的关系． 【答案】(1)18 (2)或 (3) 【分析】（1）设方程的其中一根为，则另一根为，利用一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解； （2）求出原方程的解为，再由“二倍根方程”的定义解答即可； （3）设与是方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解． 【详解】（1）解：设方程的其中一根为，则另一根为， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， 解得：， ∵是“二倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时， 综上所述，的值为或； （3）解：设与是方程的解， ，， 即，， ∴，即． 1．（2026·上海宝山·二模）若，则关于的一元二次方程 的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】先计算方程的判别式，再结合已知条件判断判别式的符号，即可得到根的情况． 【详解】关于的一元二次方程 ， 可得， ，即， ， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）一元二次方程的两根分别为，若，则c的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，代入已知等式即可求解． 【详解】解：对于一元二次方程， ∵， 由根与系数的关系得， ∵， ∴， 解得． 3．（2026·安徽芜湖·二模）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的二次项系数不为0，已知方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程，且存在两个不相等的实数根满足， ∴，且，解得：． ∴的取值范围是且． 4．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程（其中，）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设方程的两个根分别为和，通过韦达定理得到的两个等式，即可推导得出结论． 【详解】解：根据“倍根方程”的定义，设一元二次方程的两个根分别为和． ∴， 化简得； 又． ∴ ， ∴． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期中）对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，则有， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为 老师看后说只有两个同学的结论是正确的，则这两位同学是（   ） A．甲和丁 B．甲和乙 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程． 通过计算判别式判断根的情况判断甲，利用根与系数的关系判断乙，通过求根公式判断丁，进而即可判断丙． 【详解】解：方程化为标准形式：． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，甲正确； ∵， 但乙说，错误； ， 即， ∴丁正确； 方程无法因式分解为整数根，且丙给出的根代入不满足方程，丙错误； ∴正确的结论是甲和丁． 故选：A． 6．（25-26八年级上·广东阳江·期末）关于的一元二次方程的根的情况是_________． 【答案】 有实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是正确计算判别式并判断其符号．先确定一元二次方程的系数a，b，c；再代入根的判别式公式进行计算；最后根据的符号判断根的情况． 【详解】解：对于方程， ，，， ， ． 故该一元二次方程有实数根． 故答案为：有实数根． 7．（2026·上海宝山·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，，则代数式的值为_________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系可得两根之和与两根之积，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【详解】，是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系得，， ． 8．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． 关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值是________． 【答案】或 【分析】先解方程得出，，再根据“邻根方程”的定义得出或，求出m的值即可． 【详解】解：由方程得： ， ∴或， 解得：，， ∵关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”， ∴或， 解得：或， ∴m的值是或． 9．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，，分别以为横坐标、为纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的根序点． （1）直接写出方程的根序点的坐标为_____； （2）若关于的一元二次方程有根序点，且该根序点在直线上，则的值为_____． 【答案】 1或 【分析】（1）解方程得，根据根序点定义得到点的坐标为； （2）先确定方程有两个不相等的实数根，，由根序点在直线上，满足直线方程：，整理得：，再根据根与系数的关系列方程求解检验即可． 【详解】解：（1）解方程得， ∴根据根序点定义：，横坐标：，纵坐标：， ∴根序点的坐标为； （2）方程有根序点， 该方程有两个不相等的实数根， ， 根序点在直线上， 满足直线方程：，整理得：， 对于方程，由根与系数的关系得：， ， 整理得：， 解得：， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求， 的值为1或． 10．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知，对于x在实数范围内的每一个值，代数式都有唯一确定的值与它对应，如： x … 0 1 2 3 … … 14 … 反之，则不一定成立． （1）当代数式的值为时，x的值为________； （2）若关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，则k的值为________． 【答案】 0或 【分析】（1）根据题意得，求解方程即可； （2）将方程变形为，根据根与系数的关系得，，得，可求出，，代入可求出的值． 【详解】解：（1）∵代数式的值为， ∴， 整理得：， 解得：或； （2）∵， ∴， 整理得：， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 则：， 再代入得：， 解得：． 11．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求k的值； (2)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案； （2）只需要证明即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有一个根是2， ∴， 解得； （2）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）定义：设，是方程的两个实数根，其中．若，则称这个方程为“俏方程”． (1)方程 ________“俏方程”（用“是”或“不是”填空）； (2)若关于x的方程是“俏方程”． ①不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为________； ②求m的取值范围． 【答案】(1)不是，见解析 (2)①；②或 【分析】（1）求得方程的两个根分别为，，，不满足，故判定不是即可； （2）①根据题意，得，解得，故判定不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为； ②当时，此时，根据方程是“俏方程”，得，解答即可；当时，此时，根据方程是“俏方程”，得，解答即可； 本题考查了一元二次方程的解法，新定义方程，熟练掌握解方程的方法，正确理解新定义方程是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程， 得， 故，，不满足， 故方程不是“俏方程”， 故答案为：不是； （2）①解：根据题意，得， 解得， 故不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为， 故答案为：； ②解：当时，此时， 由方程是“俏方程”，得， 解得； 当时，此时， 由方程是“俏方程”，得， 解得； 综上所述，m的取值范围是或． 13．（2026·河北张家口·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，嘉嘉用配方法解一元二次方程的过程如下： 当时，．…………………………………第一步 移项，得，………………………………………第二步 配方，得，即，…………第三步 由此可得，，……………………………………第四步 ∴，．……………………………第五步 请指出嘉嘉在第 步出现了错误，并写出正确的解答过程； (2)若方程的两个实数根分别是和，且，求的值． 【答案】(1)二，见解析 (2) 【分析】（1）根据配方法计算即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系解题即可． 【详解】（1）解：在第二步出现了错误；正确的解答过程如下： 当时，， 移项，得， 配方，得，即， 由此可得，， ∴，； （2）解：由题意知，， ∵，， ∴， 解得， 代入判别式成立， ∴． 14．（24-25八年级上·山东济宁·期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是、．那么，． 例如：已知方程的两根分别为、． 则：，． 请同学阅读后完成以下问题： (1)已知方程的两根分别为，，求和的值． (2)设，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． (3)关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出，，求出，再代入求出即可． （3）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求的值即可． 【详解】（1）解：∵方程的两根分别为，， ∴，； （2）解：∵，是一元二次方程的两个实数根，， ∴，， ∴， 则； （3）解：∵x的一元二次方程的两个实数根分别是，， ∴， 又∵， ∴， 即 ， 解得：，， 又∵， 解得， 即：． 15．（25-26八年级上·四川巴中·阶段检测）阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，， 则， 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， 所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______． (2)类比探究： 已知实数，满足，，且，求的值： (3)思维拓展： 已知实数、分别满足，，且．求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系、代数式求值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程的两个不相等的实数根，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意可得：，； 故答案为：；； （2）解：，，且， 、可看作方程的两个不相等的实数根， ，， ； （3）解：把变形为，又， ∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $