第05讲 二次函数的概念（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第05讲 二次函数的概念 （3大考点3大题型） 学习目标 1. 理解并掌握二次函数的定义和一般形式； 2. 识别二次函数的常见表达形式、各自特点. 一、二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.考点整理 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时， 2)当c＝0时， 3)当b＝0且c＝0时， 二、二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 三、求二次函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 4）已知抛物线过点时，可设（纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线h=） 【注意事项】 1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； 2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化. 题型归纳 【题型1 列二次函数的关系式】 1．一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 3．若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 4．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为______． 【题型2 二次函数的识别】 5．下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 6．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 7．下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 8．像y＝－5x²＋100x＋60000，，，函数都是用自变量的_____次式表示的． 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 （a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的______函数．其中，x是______，a为_______，叫做________；b为_______，bx叫做________；c为_______． 【题型3 根据二次函数的定义求参数】 9．若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．已知关于的函数是二次函数，则 __________． 11．已知关于x的二次函数，求函数的解析式． 12．已知是二次函数，求a． 13．若是关于的二次函数，则的值为 _______ ． 14．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是_________． 15．若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，则与的大小关系是______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二次函数的概念 （3大考点3大题型） 学习目标 1. 理解并掌握二次函数的定义和一般形式； 2. 识别二次函数的常见表达形式、各自特点. 一、二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.考点整理 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时， 2)当c＝0时， 3)当b＝0且c＝0时， 二、二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 三、求二次函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 4）已知抛物线过点时，可设（纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线h=） 【注意事项】 1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； 2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化. 题型归纳 【题型1 列二次函数的关系式】 1．一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 2．某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利润问题中的函数关系建立，解题的关键是明确利润的计算公式． 根据利润的计算公式，利润每件利润销售数量，每件利润为元，销售数量为件，代入公式即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：每件利润为元，销售数量为件， 每天的利润， 即函数关系式为， 故选：． 3．若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据正方形的面积公式正确列出函数解析式是解题的关键． 根据x和y表示的含义，利用正方形的面积公式列出函数关系式即可． 【详解】解：∵原正方形的边长是6，面积是， ∴增加后的边长是，面积是， ∴增加的面积， 故选：C． 4．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1降价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【题型2 二次函数的识别】 5．下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数. 根据二次函数的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 二次函数需满足最高次项为次且系数不为 A、，若则不是二次函数，故此选项不一定正确，不符合题意； B、，含有分式，不是整式，故此选项不是二次函数，不符合题意； C、，展开得，，是二次函数，故此选项符合题意； D、，展开得，是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 6．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 7．下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得答案． 【详解】解：，， 由二次函数的定义可得，四个选项中，只有C选项中的函数是二次函数， 故选：C． 8．像y＝－5x²＋100x＋60000，，，函数都是用自变量的_____次式表示的． 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 （a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的______函数．其中，x是______，a为_______，叫做________；b为_______，bx叫做________；c为_______． 【答案】 二 二次 自变量 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项 【解析】略 【题型3 根据二次函数的定义求参数】 9．若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2这一性质列方程求解即可． 【详解】∵是二次函数， ∴ 解得 此时函数为，满足二次函数的定义． 故选：D． 10．已知关于的函数是二次函数，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：是二次函数， ，即． 故答案为：． 11．已知关于x的二次函数，求函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，求函数的解析式． 根据二次函数的定义求出的值，进而求函数的解析式即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，， ∴，， 即， ∴ ． 12．已知是二次函数，求a． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，由二次函数的定义可得，且，解得即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，且， 解得． 13．若是关于的二次函数，则的值为 _______ ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义易得，且，解得的值即可得到答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得， 故答案为：． 14．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为，二次函数最高次必须为二次，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 15．若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 16．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，则与的大小关系是______． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质． （1）根据二次函数的定义可得，即可求解； （2）求得该函数的对称轴为y轴，且开口向上，由点，，知． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知二次函数的解析式为， ∵， ∴该函数的对称轴为y轴，且开口向上， ∴在对称轴右边，y随x的增大而增大， ∵点，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $