第二章 函数与基本初等函数（综合训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以函数概念为核心，通过基础辨析、性质应用及跨情境综合题，系统整合幂函数、指数对数函数等知识，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|选择1-6题、填空11-14题|概念判断（奇偶性、单调性）、图像变换、定义域|从函数定义到基本性质（奇偶性、单调性）的生成| |性质综合应用|选择7-10题、解答16-20题|零点问题、比较大小、抽象函数性质证明|性质推导到图像与零点问题的拓展| |实际与创新情境|解答21题|实际应用（冷却定律）、创新题型（取整函数）|数学模型构建与跨学科应用的延伸|

第二章 函数与基本初等函数（综合训练） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算规则、函数奇偶性定义、幂函数的单调性与值域，逐一判断各选项正误 【详解】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . 2．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 3．为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 【答案】A 【详解】因为， 所以要得到的图象，只需要把图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变）. 4．已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将存在个零点转化为函数与的图象有2个交点，先讨论与相切的情况，再将平移讨论的范围，数形结合即可求解. 【详解】若存在2个零点，则有2个解，即有2个解， 即函数与的图象有2个交点. 当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 先求与相切的情况： 设切点为，因为，所以，所以，所以切点为， 代入切线方程，得. 当时，直线与相切于点， 同时与有个交点，此时共2个交点； 当时，直线与有个交点， 与有个交点，共2个交点； 当时，直线与无交点，与有个交点，共个交点； 当时，直线与无交点，与无交点，共个交点； 综上，存在2个零点时，的取值范围是. 5．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性，对同时取对数比较其大小. 【详解】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 6．设函数，若不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性及零点，结合条件分析可得，与的零点相同，可得的关系，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】，定义域为， 因为的解集为，所以在定义域内恒成立， 因为为单调递增函数，且零点为， 为单调递增函数，且零点为， 所以要使在定义域内恒成立，只需两函数零点相同，即， 所以，故A、B错误； ， 所以，故C正确，D错误. 7．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出半衰期，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可. 【详解】由题意可得，即，解得. 设降温到大约需要，则，即， 所以， 解得，所以大约需要. 8．已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性将问题转化为在上有两个不同的零点，进而利用方程的根进行求解. 【详解】由于函数是偶函数，且其图像与轴恰有4个公共点，因此，在上有两个不同的零点， 当时，令，则，共有两个实数根， 由于函数和均为定义域内的单调函数， 因此有一个实数根，有一个实数根， 故时，， 时，， 因此当时，. 9．设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件. 【详解】当时：，当时，单调递减，；当时，，无最大值. 当时：时，单调递增，当时，，无最大值. 当时：时，单调递减，故； 时，，开口向下，对称轴为. 若时，即时，在上的最大值为， 则，解得； 若时，即时，在上单调递增，最大值为， 则即，因为， ，不等式无解，函数此时无最大值； 综上有最大值的充要条件为. 因为， 所以有最大值的一个充分不必要条件是. 10．已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于A，分别作出函数、和的图象，易得点，关于直线对称，进而得到；对于B，联立，结合零点存在定理得到，结合图象得到，结合的单调性及放缩法证明即可；对于C，利用基本不等式证明即可；对于D，联系，结合零点存在定理得到，构造函数，结合导数与单调性证明即可. 【详解】对于A，作出函数、和的图象， 因为和互为反函数，所以它们的图象关于直线对称. 直线与垂直，即关于直线对称， 所以交点，关于直线对称，所以，， 又在直线上，所以，即，故A正确； 对于B，由，得，设，则单调递增， 因为，，所以由零点存在定理知，的零点在上， 所以，所以. 结合图象可知，，则，. 所以，故B错误. 对于C，易知，所以，故C正确； 对于D，由，得，设，， 则在上单调递增， 又，，所以. 因为，设，，则， 所以在上单调递增，所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25 分. 11．函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 12．已知，则______；若，则的取值范围是______. 【答案】 0 【分析】分别在各段上解不等式，并检验解是否在对应区间内即可. 【详解】因为， ， 当时，，得， 当时，，得， 故的取值范围是. 13．已知函数的定义域为，满足且，写出满足条件的一个函数解析式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意结合指数运算性质可得. 【详解】因为，且.所以当时，满足题意. 所以满足条件的一个函数解析式. 故答案为：. 14．若函数在区间上单调递增，则实数m的值为________，实数a的取值范围为________． 【答案】 1 【分析】利用导数判断出函数在上单调递增时，再由二次函数性质以及分段函数端点处函数值的大小求出结果. 【详解】设， 则在上恒成立， 则需要与在上始终保持符号相同，所以， 设，则对称轴，得， 且，即，得， 综上，实数a的取值范围为． 15．设函数的定义域为，且不恒为0，函数为奇函数，函数为偶函数，下列结论： ①若是奇函数或偶函数，且满足，则与中恰有一个成立； ②若既不是奇函数也不是偶函数，则满足的与不存在； ③若为奇函数，则满足的与存在无数对； ④若为偶函数，则满足的与存在无数对．其中正确的是______（填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】利用奇偶函数的定义与运算性质，结合定义域为的任意函数可唯一分解为一个奇函数与一个偶函数之和的结论，逐一分析四个命题判断正误 【详解】对结论①：若为奇函数，，联立， 得，不恒为0，仅成立； 若为偶函数，，联立， 得，不恒为0，仅成立； 因此与恰有一个成立，①正确。 对结论②： 对任意定义域为的函数， 都可以唯一分解为奇函数 + 偶函数， 和是否为奇/偶函数无关，因此一定存在，②错误。 对结论③： 对任意非零常数，构造，（常数为偶函数）， 满足，可取任意非零实数，得到无数对不同的，③正确。 对结论④： 对任意非零常数，构造（奇函数），， 因为是偶函数，，是偶函数， 满足，可取任意非零实数，得到无数对不同的，④正确。 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分） 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，； (1)已知函数部分图象如图所示，请将图象补充完整，并写出函数的单调递减区间； (2)求出函数的解析式； (3)若关于的函数有且只有4个不同的零点，求实数的取值范围.（只需写出结论） 【详解】（1）解：函数的图象，如图所示 由图象可得，函数的递减区间为，.（3分） （2）解：设，则， 因为函数是上的上的偶函数，且当时，， 可得， 所以函数的解析式为.（7分） （3）解：关于的方程有且仅有4个不同的零点， 即方程有且仅有4个不同的实数根， 即函数与的图象有4个不同的交点， 结合图象知，当时，此时函数与的图象有4个不同的交点， 所以实数的取值范围为.（13分） 17．（13分） 已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)求不等式的解集. 【详解】（1）由. 所以函数的定义域为.（3分） （2）因为函数定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数.（7分） （3）因为，则问题转化为. 当时，，且，无解； 当时，，且，即得或. 所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（13分） 18．（14分） 已知函数 (1)若，求的值； (2)若，用函数单调性定义证明在上单调递减； (3)设，若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 【详解】（1）由得，，解得；（3分） （2）当时，，设，且， 则， ，且， ，， ， 在上单调递减；（8分） （3）， 若函数在上有唯一零点，即在上有唯一零点不是函数的零点）， 且二次函数的对称轴为， 若函数在上有唯一零点，依题意， ①当时，，解得； ②当时，，解得，则方程的根为，符合题意； ③当时，解得，则此时的两个零点为， 符合题意． 综上所述，实数的取值范围为．（14分） 19．（15分） 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围． 【详解】（1）解：由对任意的，都有，且当时，， 令，可得，即，解得， 当时，令，其中，可得， 因为，所以， 所以当时，.（4分） （2）解：函数在上为单调递减函数. 证明如下：设且，则，由（1）知：， 则，即， 所以函数在上为单调递减函数.（9分） （3）解：由（2）知，函数在上为单调递减函数， 所以不等式，即为， 因为对于任意的，不等式恒成立， 所以不等式对任意上恒成立， 即不等式对任意上恒成立， 设，因为，可得，所以对任意上恒成立， 又由在上为单调递增函数， 所以，所以，即实数的取值范围为.（15分） 20．（15分） 已知函数，，的定义域为. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围. (3)若，，使得成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，解得.（3分） （2）由（1）可知， 令，在上单调递减，所以， 则， 因为函数在区间上单调递增，则外层函数在上单调递减， 所以，解得，故的取值范围为.（8分） （3）若，，使得成立，则， 函数在上单调递增，所以在上的最大值为， 则不等式即为存在，， 化简得，而，当且仅当，即时等号成立， 所以在上的最小值为2，因此，故的取值范围为.（15分） 21．（15分） 不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．例如，，．设函数． (1)已知函数，集合，设为集合中元素的个数． （ⅰ）写出，及数列的通项公式； （ⅱ）对任意正整数，等式恒成立，求所有满足条件的正实数的值． (2)求证：对给定的正整数，当时，对于任意的实数，存在，使得，成立． 【详解】（1）（ⅰ）当时,有,故,所以 ,. 当 时,有 ,故 . 又因为 ,所以 ,从而,特别地,. 因此, .（4分） （ⅱ）由（ⅰ）知,当时,有 ,,于是题设等式化为 . 令 ,则 ,即,从而 . 又因为 ,所以 ,故. 另一方面, ,于是 . 由 可得 ,即. 上式对任意恒成立,令,得 且 ,所以 . 解得.因为,所以. 下面验证满足条件.记,则. 对任意,令 .因为为无理数,所以 ,两边同除以,得 ,故 . 于是 .又因为 ,所以 ,即题设等式成立. 综上,满足条件的正实数.（9分） （2）设 . 考虑 这个数.把长度为的圆周分成段,则这个点把圆周分成段弧,其中至少有一段弧长不小于. 取实数,使这段弧平移到区间端点处,则 都落在某个长度为的区间内. 对,令 .因为 ,所以 ,从而. 于是对任意,有== = . 由于 都落在同一个长度为的区间内,所以,从而成立.（15分） 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函数与基本初等函数（综合训练） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 2．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 3．为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 4．已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．设函数，若不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 7．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 8．已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25 分. 11．函数的定义域为______. 12．已知，则______；若，则的取值范围是______. 13．已知函数的定义域为，满足且，写出满足条件的一个函数解析式_____________． 14．若函数在区间上单调递增，则实数m的值为________，实数a的取值范围为________． 15．设函数的定义域为，且不恒为0，函数为奇函数，函数为偶函数，下列结论： ①若是奇函数或偶函数，且满足，则与中恰有一个成立； ②若既不是奇函数也不是偶函数，则满足的与不存在； ③若为奇函数，则满足的与存在无数对； ④若为偶函数，则满足的与存在无数对．其中正确的是______（填写序号）． 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分） 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，； (1)已知函数部分图象如图所示，请将图象补充完整，并写出函数的单调递减区间； (2)求出函数的解析式； (3)若关于的函数有且只有4个不同的零点，求实数的取值范围.（只需写出结论） 17．（13分） 已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)求不等式的解集. 18．（14分） 已知函数 (1)若，求的值； (2)若，用函数单调性定义证明在上单调递减； (3)设，若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 19．（15分） 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围． 20．（15分） 已知函数，，的定义域为. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围. (3)若，，使得成立，求实数的取值范围. 21．（15分） 不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．例如，，．设函数． (1)已知函数，集合，设为集合中元素的个数． （ⅰ）写出，及数列的通项公式； （ⅱ）对任意正整数，等式恒成立，求所有满足条件的正实数的值． (2)求证：对给定的正整数，当时，对于任意的实数，存在，使得，成立． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函数与基本初等函数（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A D D C B B A B 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25 分. 11． 12． 0 13．（答案不唯一） 14． 1 15．①③④ 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分） 【详解】（1）解：函数的图象，如图所示 由图象可得，函数的递减区间为，.（3分） （2）解：设，则， 因为函数是上的上的偶函数，且当时，， 可得， 所以函数的解析式为.（7分） （3）解：关于的方程有且仅有4个不同的零点， 即方程有且仅有4个不同的实数根， 即函数与的图象有4个不同的交点， 结合图象知，当时，此时函数与的图象有4个不同的交点， 所以实数的取值范围为.（13分） 17．（13分） 【详解】（1）由. 所以函数的定义域为.（3分） （2）因为函数定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数.（7分） （3）因为，则问题转化为. 当时，，且，无解； 当时，，且，即得或. 所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（13分） 18．（14分） 【详解】（1）由得，，解得；（3分） （2）当时，，设，且， 则， ，且， ，， ， 在上单调递减；（8分） （3）， 若函数在上有唯一零点，即在上有唯一零点不是函数的零点）， 且二次函数的对称轴为， 若函数在上有唯一零点，依题意， ①当时，，解得； ②当时，，解得，则方程的根为，符合题意； ③当时，解得，则此时的两个零点为， 符合题意． 综上所述，实数的取值范围为．（14分） 19．（15分） 【详解】（1）解：由对任意的，都有，且当时，， 令，可得，即，解得， 当时，令，其中，可得， 因为，所以， 所以当时，.（4分） （2）解：函数在上为单调递减函数. 证明如下：设且，则，由（1）知：， 则，即， 所以函数在上为单调递减函数.（9分） （3）解：由（2）知，函数在上为单调递减函数， 所以不等式，即为， 因为对于任意的，不等式恒成立， 所以不等式对任意上恒成立， 即不等式对任意上恒成立， 设，因为，可得，所以对任意上恒成立， 又由在上为单调递增函数， 所以，所以，即实数的取值范围为.（15分） 20．（15分） 【详解】（1）因为，所以，解得.（3分） （2）由（1）可知， 令，在上单调递减，所以， 则， 因为函数在区间上单调递增，则外层函数在上单调递减， 所以，解得，故的取值范围为.（8分） （3）若，，使得成立，则， 函数在上单调递增，所以在上的最大值为， 则不等式即为存在，， 化简得，而，当且仅当，即时等号成立， 所以在上的最小值为2，因此，故的取值范围为.（15分） 21．（15分） 【详解】（1）（ⅰ）当时,有,故,所以 ,. 当 时,有 ,故 . 又因为 ,所以 ,从而,特别地,. 因此, .（4分） （ⅱ）由（ⅰ）知,当时,有 ,,于是题设等式化为 . 令 ,则 ,即,从而 . 又因为 ,所以 ,故. 另一方面, ,于是 . 由 可得 ,即. 上式对任意恒成立,令,得 且 ,所以 . 解得.因为,所以. 下面验证满足条件.记,则. 对任意,令 .因为为无理数,所以 ,两边同除以,得 ,故 . 于是 .又因为 ,所以 ,即题设等式成立. 综上,满足条件的正实数.（9分） （2）设 . 考虑 这个数.把长度为的圆周分成段,则这个点把圆周分成段弧,其中至少有一段弧长不小于. 取实数,使这段弧平移到区间端点处,则 都落在某个长度为的区间内. 对,令 .因为 ,所以 ,从而. 于是对任意,有== = . 由于 都落在同一个长度为的区间内,所以,从而成立.（15分） 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $