精品解析：浙江省宁波市慈溪市2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

2025学年第二学期八年级期末测试 数学学科试题 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试期间不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故A选项正确； 的被开方数含分母，不是最简二次根式，故B选项错误； 的被开方数是能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，故C选项错误； ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故D选项错误． 2. 下列四种四边形中，绕对角线交点旋转后，一定能与原图形重合的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据绕对角线交点旋转后能与原图形重合的要求，结合各选项四边形的性质判断即可． 【详解】解：四边形绕对角线交点旋转后能与原图形重合，要求该四边形的对角线相等且互相垂直平分， A. 平行四边形对角线仅互相平分，不相等也不垂直，旋转后不能与原图形重合，A错误； B. 矩形对角线相等且互相平分，但不垂直，旋转后不能与原图形重合，B错误； C. 菱形对角线互相垂直平分，但不相等，旋转后不能与原图形重合，C错误； D. 正方形对角线相等，且互相垂直平分，绕对角线交点旋转后一定能与原图形重合，D正确． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：，故A选项计算错误； 与不是同类二次根式，不能合并，故B选项计算错误； ，故C选项计算正确； ，故D选项计算错误． 4. 某多边形的内角和度数为，则该多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设该多边形的边数为，利用多边形内角和公式列一元一次方程即可求解． 【详解】解：设该多边形的边数为， 则， 解得， 因此该多边形的边数为7． 5. 用反证法证明“若，则”，应假设（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答． 【详解】解：用反证法证明“若，则”的第一步是假设， 故选：C． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 6. 如图是某班级两次跳绳成绩的箱线图，下列说法正确的是（ ） A. 从箱体的高度看，第一次跳绳成绩的中间数据相比第二次更加集中 B. 第一次跳绳成绩约有的人达到了128个以上 C. 第二次跳绳成绩最多为186个 D. 两次跳绳成绩的中位数的差为18个 【答案】A 【解析】 【分析】根据箱线图的定义，分别读取两次成绩的下四分位数、中位数、上四分位数及最大值，结合各选项进行判断即可． 【详解】解：由图可知，第一次成绩的下四分位数为，中位数为，上四分位数为；第二次成绩的下四分位数为，中位数为，上四分位数为． 对于A，第一次箱体高度为，第二次箱体高度为，，第一次中间数据更集中，故A正确； 对于B，是第一次成绩的下四分位数，约有的人达到了个以上，故B错误；对于C，是第二次成绩的上四分位数，最大值应为上须顶端（接近），故C错误； 对于D，两次中位数之差为，故D错误． 7. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为步，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设宽为步，先表示出长，再利用长方形面积公式列方程，即可选出正确选项． 【详解】解：设宽为步，则长为步， ∵长方形田地的面积为864平方步， ∴可得方程． 8. 定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵定义运算， ∴， ∵， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 9. 如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．若，为中点，则的长（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出，，结合为中点求出的长，进而求出的长，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，，， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 10. 如图，在矩形中，，，且，对角线，相交于点，是上的一个动点，作交于点，作交于点，连结，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用矩形对角线相等且互相平分、平行线证得相似三角形，结合垂直条件推导两组直角三角形相似，通过设参数化简线段长度，借助勾股定理推导出与的正比例关系式；再依据垂线段最短，确定点到对角线的垂线段为最小值，结合三角形面积公式求出的最小长度，最终代入关系式算出的最小值． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 对角线，且为中点， ， ， ， 过点分别作于，于， 则四边形为矩形， ，且, ， ， ， ， ， 设， 则，，， ，，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 其中， 代入得：， 约分化简得：， ，， 在中，由勾股定理得， 将、代入，利用完全平方公式展开并整理： ， ， ，即， 为定值， 当取最小值时，取得最小值， 点在线段上运动， 根据垂线段最短，当时，取得最小值（即点到直线的距离）， ， 代入得：， 解得， 将代入的表达式： ． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 12. 已知是方程的一个根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到的值． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入方程得：， 整理得 ， 移项得 ， 系数化为得． 13. 某果农为了解今年杨梅的单颗质量大小，随机对500颗杨梅进行检测．已知下四分位数是18克，则这500颗杨梅中，至少有_______颗杨梅的质量大于或等于18克． 【答案】 【解析】 【分析】先根据下四分位数即第百分位数计算对应位置，再根据定义求出大于等于下四分位数的最少颗数． 【详解】解：将颗杨梅的质量从小到大排序，下四分位数是第百分位数，其位置为：， 即小于18克的数据至多有125个， 因此大于或等于克的杨梅最少数量为：． 14. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米． 【答案】3 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD． 又∵AC+BD=24厘米， ∴OA+OB=12厘米． ∵△OAB的周长是18厘米， ∴AB=6厘米． ∵点E，F分别是线段AO，BO的中点， ∴EF是△OAB的中位线． ∴EF=AB=3厘米． 故答案为：3 15. 魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数，若（其中为正整数，为非零整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为_______．（结果保留两位小数） 【答案】 【解析】 【分析】根据题干给出的近似计算方法，先将改写为的形式，确定使最小的正整数和整数，再代入公式计算，保留两位小数即可得到结果． 【详解】解：由题意得，． ，． 将表示为，此时． 若取，则，． 因此取，． 代入近似公式，得： ． 16. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点，是线段上一点，连结，将沿翻折，点落在点处，交于点．若，，则菱形的面积为_______． 【答案】 15 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，由可得，进而推出，得到，结合可得，在中利用勾股定理求出的值，最后根据菱形面积公式计算即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，即 ∵，交于点， ∴ 在中，，即 ∴，即 在菱形中，， ∴在中， ∵， ∴ 在中，，， ∴是等腰直角三角形，即 ∵， ∴ 在中，由勾股定理得， 即， ，即 ∴ 菱形的面积 ∴． 三、解答题（第17—21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式    ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：  配方得  即 ，  开方得 ，  解得 ； 【小问2详解】 解：原方程整理为一般形式得，其中 ∵， ∴， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点的坐标为，点的坐标为，请根据以下要求完成任务． （1）若点，关于原点成中心对称，则点的坐标为（_______，_______）． （2）作正方形，要求点，均在第一象限内，且横、纵坐标都为整数． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数，由此可解； （2）根据正方形的四条边相等，四个角均为90度，利用格点作图即可． 【小问1详解】 解：点，关于原点成中心对称，点的坐标为， 点C的坐标为； 【小问2详解】 略 20. 某中学八年级学生开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，随机抽取了20名学生的成绩（单位：分）如下：81，83，84，85，85，86，87，88，89，90，90，91，92，92，93，94，94，95，96，99． 根据以上信息，解答下列问题： （1）20名学生成绩的中位数是________分，上四分位数是________分． （2）小明将八年级的成绩数据分成两组进行分析，并计算组内离差平方和，其中第7组至第10组的两组组内离差平方和数据如下，则这四种分法中，第_____组分法的组内成绩数据波动最小，两组之间数据差异最大．（填写“7”或“8”或“9”或“10”） 组序 …… 7 8 9 10 …… 组内离差平方和 …… 136.945 125.792 124.182 132.000 （3）该校八年级有500名学生参加了此次竞赛，若规定成绩85分及以上为“良好”，请你估算八年级共有多少名学生成绩达到良好． 【答案】（1） , （2） （3） 名 【解析】 【分析】先根据定义计算第一问的中位数和上四分位数，再根据组内离差平方和越小组内波动越小的性质判断第二问，最后利用样本比例估算总体良好人数得到第三问结果． 【小问1详解】 解：本题共给出20个已按从小到大排序的成绩， ∴中位数为第10个和第11个成绩的平均数，由数据可知，第10个成绩为，第11个成绩为， ∴中位数为(分)，上四分位数的位置为， ∴上四分位数为第15个和第16个成绩的平均数， 由数据可知，第15个成绩为，第16个成绩为， 因此上四分位数为(分)； 【小问2详解】 解：组内离差平方和越小，组内成绩数据波动越小，两组之间数据差异越大 比较四个组的组内离差平方和得：， 第9组的组内离差平方和最小，因此填； 【小问3详解】 解：抽取的20名学生中，低于85分的共有3名，因此成绩85分及以上的学生有名， 估计八年级良好人数为(名) 答：估算八年级共有425名学生成绩达到良好． 21. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证，推出，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明； （2）由平行四边形的性质求出和，再利用勾股定理解和即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 由（1）知四边形为平行四边形， ，， 在中，， 在中，． 22. 已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． （1）一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． （2）若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 【答案】（1） 是，理由如下： 解：   解得，  两个根均为非零实数，且其中是的倒数，符合“逆根方程”的定义  一元二次方程是“逆根方程”； （2） 方程的两个根为和 【解析】 【分析】（1）先求解给定的一元二次方程，得到两个根后，根据“逆根方程”的定义判断即可； （2）根据“逆根方程”的定义得到两根乘积为1，利用根与系数的关系求出的值，再代入原方程求解即可得到两个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个根为 该方程是“逆根方程” 由一元二次方程根与系数的关系得 ， 解得 将代入原方程得：  整理得 由求根公式得 方程的两个根为和． 23. 某机器人研究小组对机器人行走时的步长（米/步）、步频（步/秒）与步行速度（米/秒）进行研究，步长是指机器人单步前进的距离，步频是指单位时间内机器人完成的步数，则机器人的步行速度步长步频，即．在测试模式下，已知步长与步频满足一次函数（）． （1）当步频（步/秒）时，步长为_______（米/步），步行速度为_______（米/秒）． （2）机器人的步行速度能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频的值；若不能，请说明理由． （3）研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米；在第二次测试中，机器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人的步频． 【答案】（1） ， （2） 能，此时步频的值为 （3） 第一次测试中机器人的步频为（步/秒） 【解析】 【分析】（1）利用题干给出的关系，结合已知的与的一次函数关系求解，第一问直接代入计算即可； （2）令列一元二次方程，判断解是否在范围内； （3）设第一次测试中机器人的步频为（步/秒），则第二次步频为（步/秒） ，分别表示行走时间，再由两次行走时间相等建立方程求解． 【小问1详解】 解：当步频（步/秒）时，步长（米/步），步行速度（米/秒）； 【小问2详解】 解：由，，可得   令，得方程  整理得  解得 ，符合条件  步行速度能达到（米/秒），此时； 【小问3详解】 解：设第一次测试中机器人的步频为（步/秒），则第二次步频为（步/秒） 第一次步行速度为，行走时间为  第二次步行速度为，行走时间为  由两次行走时间相等，得  整理得  解得， ∵， ∴舍去 ∴第一次测试中机器人的步频为2步/秒． 24. 在中，，，分别是，上的点，，相交于点，，连接． （1）如图1，若，． ①求证：． ②若，求的度数． （2）如图2，若，，求的长． 【答案】（1）①证明：∵，，， ∴， ∴； ②； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据证明，即可得到； ②根据得到，进而证明，得到，根据矩形的判定和性质得到，，证明，得到，，即可求出的度数； （2）连接，作交于点P，作交于点，由图可知，则，证明，得到，进而得到，根据30度角的性质及勾股得到，，则，根据计算即可． 【小问1详解】 ①略； ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，作交于点P，作交于点， 由图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级期末测试 数学学科试题 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试期间不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四种四边形中，绕对角线交点旋转后，一定能与原图形重合的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某多边形的内角和度数为，则该多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 用反证法证明“若，则”，应假设（　　） A. B. C. D. 6. 如图是某班级两次跳绳成绩的箱线图，下列说法正确的是（ ） A. 从箱体的高度看，第一次跳绳成绩的中间数据相比第二次更加集中 B. 第一次跳绳成绩约有的人达到了128个以上 C. 第二次跳绳成绩最多为186个 D. 两次跳绳成绩的中位数的差为18个 7. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为步，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．若，为中点，则的长（ ） A. B. C. D. 4 10. 如图，在矩形中，，，且，对角线，相交于点，是上的一个动点，作交于点，作交于点，连结，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________ ． 12. 已知是方程的一个根，则的值为_______． 13. 某果农为了解今年杨梅的单颗质量大小，随机对500颗杨梅进行检测．已知下四分位数是18克，则这500颗杨梅中，至少有_______颗杨梅的质量大于或等于18克． 14. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米． 15. 魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数，若（其中为正整数，为非零整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为_______．（结果保留两位小数） 16. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点，是线段上一点，连结，将沿翻折，点落在点处，交于点．若，，则菱形的面积为_______． 三、解答题（第17—21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点的坐标为，点的坐标为，请根据以下要求完成任务． （1）若点，关于原点成中心对称，则点的坐标为（_______，_______）． （2）作正方形，要求点，均在第一象限内，且横、纵坐标都为整数． 20. 某中学八年级学生开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，随机抽取了20名学生的成绩（单位：分）如下：81，83，84，85，85，86，87，88，89，90，90，91，92，92，93，94，94，95，96，99． 根据以上信息，解答下列问题： （1）20名学生成绩的中位数是________分，上四分位数是________分． （2）小明将八年级的成绩数据分成两组进行分析，并计算组内离差平方和，其中第7组至第10组的两组组内离差平方和数据如下，则这四种分法中，第_____组分法的组内成绩数据波动最小，两组之间数据差异最大．（填写“7”或“8”或“9”或“10”） 组序 …… 7 8 9 10 …… 组内离差平方和 …… 136.945 125.792 124.182 132.000 （3）该校八年级有500名学生参加了此次竞赛，若规定成绩85分及以上为“良好”，请你估算八年级共有多少名学生成绩达到良好． 21. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，，求的长． 22. 已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． （1）一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． （2）若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 23. 某机器人研究小组对机器人行走时的步长（米/步）、步频（步/秒）与步行速度（米/秒）进行研究，步长是指机器人单步前进的距离，步频是指单位时间内机器人完成的步数，则机器人的步行速度步长步频，即．在测试模式下，已知步长与步频满足一次函数（）． （1）当步频（步/秒）时，步长为_______（米/步），步行速度为_______（米/秒）． （2）机器人的步行速度能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频的值；若不能，请说明理由． （3）研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米；在第二次测试中，机器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人的步频． 24. 在中，，，分别是，上的点，，相交于点，，连接． （1）如图1，若，． ①求证：． ②若，求的度数． （2）如图2，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $