第09讲 勾股定理的探究14大题型（暑假预习讲义）新八年级数学新教材苏科版

第09讲 勾股定理的探究 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 勾股定理的证明方法 题型2 以弦图为背景的计算题 题型3 勾股数问题 题型4 用勾股定理构造图形解决问题 题型5 用勾股定理解三角形 题型6 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型7 利用勾股定理求两条线段的平方和 题型8 利用勾股定理证明线段平方关系 题型9 勾股定理与网格问题 题型10 勾股定理与折叠问题 题型11 勾股定理中的旋转问题 题型12 勾股定理中的最值问题 题型13 利用勾股定理解决等腰三角形中的存在性问题 题型14 勾股定理的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 勾股定理的证明方法 勾股数 用勾股定理解三角形 1.掌握勾股定理文字与公式，理解面积法证明思路，能独立复述课本经典证法。 2.认识勾股数概念，熟记常见基础勾股数，会判断一组整数是否为勾股数。 3.熟练运用勾股定理计算直角三角形边长，规范书写解题步骤与格式。 4.能建模转化实际问题为直角三角形模型，利用定理解决生活应用题型。 5.感受数形结合思想，了解勾股定理历史，提升逻辑推理与数学运算素养。 学习重点：勾股定理内容、面积法证明、常见勾股数识别，运用定理计算与解决实际问题。 学习难点：借助等面积法推导证明勾股定理，复杂实际场景构建直角三角形几何模型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 勾股定理 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：、、 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 易错点： 1. 混淆直角边与斜边，未找准直角，盲目套用勾股定理公式计算边长。 2. 忽略定理适用条件，在非直角三角形中强行使用勾股定理求解问题。 3. 运用逆定理时，未比较最大边平方，错误判定三角形为直角三角形。 4. 解决实际问题时，不会拆分图形，无法准确抽象出直角三角形模型。 5. 解题漏写步骤、单位，边长计算出错，忽略多解情况导致答案不完整。 即时即练 1．在中，，，则的值为（    ） A．4 B．8 C． D．无法计算 2．如图，于，和都是等腰直角三角形，如果，，那么的长为（   ） A． B． C．7 D．13 3．如图，在中，，的高，交于点P． (1)求证：． (2)若，，求． 知识点02 勾股定理的证明 勾股定理的常见证明方法 证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以(b-a)为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以(a+b)为边长的正方形. 由图示可得，即； 证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 即时即练 4．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，由四个全等的直角三角形拼成的大正方形的面积为84，中间小正方形的面积为24，若直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则__．    6．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理． (1)写出你的证明过程； (2)当，时，求空白部分的面积． 题型1 勾股定理的证明方法 1．我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 2．利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（    ） A． B． C． D． 3．“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，那么为______ ．    4．小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 5．如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为和，斜边长为，图2是以为直角边的等腰直角三角形，用图1和图2可拼成图3的图形． (1)请指出图3是什么图形，并用它证明勾股定理； (2)请用若干个图1中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理的图形（画出图形，不用证明）． 【易错警示】 勾股定理证明过程中，学生易出现多种问题，面积法证明时常出现图形拼接错位、边长对应关系混乱的情况，混淆整体与局部面积关系，算错图形总面积致使等式无法成立。证明时缺乏严谨的几何推理依据，仅凭图形直观判断，忽视拼接图形需边长、角度全等的前提条件，同时存在推导步骤残缺、等式未化简的问题，无法完整严谨推导出勾股定理公式，逻辑漏洞较多。 题型2 以弦图为背景的计算题 6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 7．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（    ） A．10 B．9 C．11 D．12 8．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 9．大正方形的面积为5，小正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是____________ 10．分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… (1)计算：____________________； (2)用含（是正整数）的等式表示上述变化规律：__________，__________； (3)求出的值． 题型3 勾股数问题 11．下列各数中，能与，组成一组勾股数的是（     ） A． B． C． D． 12．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 13．清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 14．如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 15．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 题型4 用勾股定理构造图形解决问题 16．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 17．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 18．《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 设寸， 19．如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 20．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 阿波罗尼奥斯定理 在查阅资料时，发现三角形一条边的中线与三角形的另外两边之间存在一定关系，即三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍，这个定理被称作三角形中线定理，也被称作阿波罗尼奥斯定理． 定理证明： ①特殊条件（直角三角形斜边上的中线）下的证明： 如图1，在中，，为的中点，连接． 求证：． 证明：设，，．在中，，则， ∵为中点，， ∴（依据：__________） ∴， ∴， ∴． ②一般条件下的证明： 如图2，在中，为的中点，连接．求证：． 证明：如图2，过点作于点． 在中，由勾股定理得，．．．．．．．．． 任务： (1)材料中的依据是指__________． (2)完成材料中②一般条件下该定理证明的剩余部分． (3)在中，为的中点，，，，则__________． 题型5 用勾股定理解三角形 21．如图，在中，，，为上一点，且，，分别是，的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 22．如图，在中，，，垂足为，，点是边的中点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，是边上一点，连接 ，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为___________⁠． 24．如图，在中，，为边上的高，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)当，时，求的长． 25．如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 【易错警示】 用勾股定理解三角形时，学生常混淆直角边与斜边，未先判定直角就套用公式。容易忽略题目多解情况、漏分类讨论，记错边长关系，且不会结合三角形三边关系检验结果，造成解题错误。 题型6 以直角三角形三边为边长的图形面积 26．如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ）． A．10 B．14 C．24 D．48 27．如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 28．如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 29．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 30．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； (2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． (3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 题型7 利用勾股定理求两条线段的平方和 31．在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 33．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 34．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点D，垂足分别为E，F，，分别交于点M，N，连接，． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，． ①求的周长； ②，求的面积． 35．探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 题型8 利用勾股定理证明线段平方关系 36．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 37．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 38．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．    39．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 40．在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． (1)如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． (2)如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 题型9 勾股定理与网格问题 41．如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 42．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 43．如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知、两点都在格点上，如果点也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点共有________个． 44．如图，下面的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按要求画下列图形． (1)在图1中，画一条长度为的线段； (2)在图2中，画一个，使它的三边长为无理数且面积为5； (3)在图3中，画一个面积为3的四边形． 45．综合与实践： 材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为），在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为） (1)小明发现无论怎样画，这样的三角形形状大小都是一样的，这个结论的依据是______ (2)图2是一个的正方形网格．利用构图法在图中画出格点，使，，；直接写出的面积______ (3)如图，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接，与面积之间的关系为______； (4)请利用以上的解题方法求出图中六边形花坛的面积（正方形面积为；正方形面积为，正方形面积为）为______． 题型10 勾股定理与折叠问题 46．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 47．如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（  ） A．3 B． C． D． 48．如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为_______． 49．【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 50．如图，直角三角形中，，，是的上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处． (1)求边的长； (2)求的长； (3)在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【易错警示】 解决勾股定理折叠问题时，学生易忽视折叠前后边长相等、角度不变的性质，找不准对应相等线段。常错设未知数、列错边长关系式，不会结合图形构造直角三角形，且忽略隐含边长，导致计算结果出错。 题型11 勾股定理中的旋转问题 51．如图，在中，，为的中点，直角绕点旋转，它的两条边分别交，的延长线于点，，连接，当，时，的长为__________． 52．如图，线段的长为4，是等腰直角三角形，，，的长为，将绕点旋转一周，连接，当三点共线时，线段的长为______． 53．【原题再现】在学习“图形的平移和旋转”时，教材上有这样一道题，如图1，点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．小明是这样做的：过点C画的平行线l，在l上截取，连接，则即为旋转后的图形． （1）请你根据小明的思路，①求证：；②求的度数； 【方法应用】 （2）如图2，点D为等边三角形的边下方一点，连接，，，若，，求面积的最小值． 54．如图，和都是等腰直角三角形，．， ，将绕着顶点C旋转，连接． (1)求证：； (2)在的旋转过程中，探求：点A，D，E在同一直线上时，的长． 55．将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，可帮助解决很多几何问题： (1)如图1，等腰直角中，，，D为边上的一点，，作，且（即旋转至），连接，，请证明：； (2)如图2，四边形中，，，若，则四边形的面积为_____； (3)如图3，四边形中，，是对角线，是等边三角形．，，，求的长． 题型12 勾股定理中的最值问题 56．如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（   ） A．8 B． C．16 D． 57．如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 58．如图，在五边形中，，在上分别找一点M，N，使的周长最小，则的最小周长为_________． 59．在中，点D，E分别为，上的动点．如图，，，，当时，则的值最小为 ________________． 60．阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．    【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．    （1）用含的代数式表示的长为______． （2）①请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； ②根据①中的规律和结论，直接写出代数式的最小值为______． 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．    （3）求代数式的最小值． 题型13 利用勾股定理解决等腰三角形中的存在性问题 61．如图，在中，，，若点P为直线上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 62．如图，在中，，，，在射线上找一点，将扩充为等腰三角形，则的长为（   ） A．或或 B．或 C．或或 D．或 63．如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为_____． 64．如图，在中，，，，P，Q是边上的两个动点，其中，点P从点A出发，沿的方向运动，速度为每秒，点Q从点B出发，沿的方向运动，速度为每秒，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求的长． (2)出发几秒后，是等腰三角形？ (3)若点Q沿的方向运动，求为等腰三角形时，点Q的运动时间． 65．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的值； (2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ (3)当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值． 题型14 勾股定理的新定义问题 66．定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，则中边的“中高偏度值”为（    ） A． B． C． D． 67．定义：有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”．如图，四边形是“邻等对补四边形”，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 68．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形是“倍长三角形”，底边的长为4，则等腰三角形底边中线的长度为___________ ． 69．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 70．定义：若某三角形的三边长a，b，c满足，则称该三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：    (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，求的度数； (3)如图，在中，，且．证明：为“类勾股三角形”． 1．若直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长可以是（     ） A．4 B． C．5 D． 2．劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在中，是边上一点．若，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 4．如图，在中，，，，以为一边向外作正方形，则正方形的面积为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 5．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 7．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．4 D． 8．如图，，则线段的长为（   ）    A． B．2 C． D． 9．如图，在中，，，，，平分交于，于，则为（ ） A． B． C． D． 10．如图，将上下两边互相平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕．若，，则阴影部分的面积为（    ） A．2 B． C． D． 11．如图，在中，，点D是的中点，，，则______． 12．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______，却踩伤了花草． 13．将的直角三角板与有刻度的直尺按如图所示的方式放置，点，表示的刻度分别为，当时，线段的长为______． 14．在中，，，，则边上的中线长是__________． 15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为______． 16．如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，．过，两点作直线，分别交，于点，，连接．若，则_________． 17．如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 18．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 19．如图，一长方体容器，长、宽均为3，高为7，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则_______． 20．如图，中，，，，E是内一点且平分，若的面积为，则的面积为__________． 21．如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，试求正方形A的面积？ 22．如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为． (1)图2中______； (2)求钟摆的长度． 23．如图，在中，，垂足为，，，，求的长． 24．（1）在中，，，，求． （2）在中，，，，求的长． 25．已知：如图，在中，，，垂足为平分交分别于点，点为的中点，过点作交于， (1)求证：； (2)求的长． 26．已知：如图，在中，，，，与相交于点 (1)求证：． (2)若，，求的长． 27．如图，已知． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的垂线，在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则点到的距离为 ．（如需画草图，请使用备用图） 28．出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． (1)由此得到等式________； (2)【探索研究】数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为、，斜边长为，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边、、的等式，整理后发现，，请说明此等式成立； 【推广应用】数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边、，斜边都存在的等量关系，利用此发现，解决下面问题： (3)如图3，是直角三角形，，大于，将绕点顺时针旋转得点的对应点为，点的对应点为，连接，若，，，，的面积为10，求的面积． 29．如图，在中，，点B在的延长线上，，连接． (1)求的长； (2)动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，； ②当t为何值时，是等腰三角形？ 30．综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题： 如图，，，，，垂足分别为，，，，的长为______； 【变式思考】 （2）如图，，，，于，，，求的长； 【拓展运用】 （3）如图，在中，，是高．若，求长的最小值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 勾股定理的探究 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 勾股定理的证明方法 题型2 以弦图为背景的计算题 题型3 勾股数问题 题型4 用勾股定理构造图形解决问题 题型5 用勾股定理解三角形 题型6 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型7 利用勾股定理求两条线段的平方和 题型8 利用勾股定理证明线段平方关系 题型9 勾股定理与网格问题 题型10 勾股定理与折叠问题 题型11 勾股定理中的旋转问题 题型12 勾股定理中的最值问题 题型13 利用勾股定理解决等腰三角形中的存在性问题 题型14 勾股定理的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 勾股定理的证明方法 勾股数 用勾股定理解三角形 1.掌握勾股定理文字与公式，理解面积法证明思路，能独立复述课本经典证法。 2.认识勾股数概念，熟记常见基础勾股数，会判断一组整数是否为勾股数。 3.熟练运用勾股定理计算直角三角形边长，规范书写解题步骤与格式。 4.能建模转化实际问题为直角三角形模型，利用定理解决生活应用题型。 5.感受数形结合思想，了解勾股定理历史，提升逻辑推理与数学运算素养。 学习重点：勾股定理内容、面积法证明、常见勾股数识别，运用定理计算与解决实际问题。 学习难点：借助等面积法推导证明勾股定理，复杂实际场景构建直角三角形几何模型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 勾股定理 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：、、 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 易错点： 1. 混淆直角边与斜边，未找准直角，盲目套用勾股定理公式计算边长。 2. 忽略定理适用条件，在非直角三角形中强行使用勾股定理求解问题。 3. 运用逆定理时，未比较最大边平方，错误判定三角形为直角三角形。 4. 解决实际问题时，不会拆分图形，无法准确抽象出直角三角形模型。 5. 解题漏写步骤、单位，边长计算出错，忽略多解情况导致答案不完整。 即时即练 1．在中，，，则的值为（    ） A．4 B．8 C． D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理并能熟练运用求解． 先根据勾股定理得到，再代入求值． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，于，和都是等腰直角三角形，如果，，那么的长为（   ） A． B． C．7 D．13 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟知等腰三角形两腰相等的性质是解答此题的关键． 根据等腰三角形性质得到，，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解： 和都是等腰直角三角形，，， ，， ． 故选：B． 3．如图，在中，，的高，交于点P． (1)求证：． (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边对等角得到，再证明，得到，则可证明，进而可证明； （2）由全等三角形的性质得到，，则由勾股定理可得，证明，可设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，都是的高， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 知识点02 勾股定理的证明 勾股定理的常见证明方法 证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以(b-a)为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以(a+b)为边长的正方形. 由图示可得，即； 证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 即时即练 4．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：A、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故A选项不能说明勾股定理， B、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故B选项可以证明勾股定理， C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， D、整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故D选项可以证明勾股定理， 故选：A． 5．如图，由四个全等的直角三角形拼成的大正方形的面积为84，中间小正方形的面积为24，若直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则__．    【答案】12 【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方84，也就是两条直角边的平方和是84，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab＝84-24＝60．根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：根据题意，并结合勾股定理得： 大正方形的面积：a2＋b2＝84， 四个直角三角形面积和为：S大正方形−S小正方形＝84-24＝60， ∴ ∴2ab＝60， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝84+60＝144 ∴a+b=12 故答案为：12． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，解决本题的关键是完全平方公式的运用． 6．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理． (1)写出你的证明过程； (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的面积法证明及组合图形的面积拆分计算，解题的关键是将五边形面积拆分为不同基本图形（正方形、矩形、三角形）的面积和，通过面积相等建立等式推导勾股定理，再利用勾股定理计算空白部分面积． （1）将五边形的面积用两种不同的基本图形组合方式表示，建立等式，化简得勾股定理． （2）空白部分面积为正方形的面积减去两个直角三角形的面积，结合勾股定理将其转化为，代入、的值计算． 【详解】（1）证明：五边形的面积拆分为正方形、三角形与三角形的面积和， 即 五边形的面积也拆分为正方形、正方形、三角形与三角形的面积和， 即 ∵两种方法表示的面积相等， ∴， 两边消去，得，即勾股定理得证． （2）解：空白部分（正方形的面积为， 由⑴结论，代入得空白部分面积为 当，时，原式 答：空白部分的面积为． 题型1 勾股定理的证明方法 1．我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积解答即可． 【详解】解：A、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部两个正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， 无法证明，此选项符合题意； B、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴，此选项正确，不符合题意； D、∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴， 此选项正确，不符合题意； C、构造如下图形，于是就转化成了D选项， 此选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积，熟练掌握性质和面积表示是解题的关键． 2．利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据面积关系证明勾股定理是解题的关键；根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积之和证明即可． 【详解】解：由题意知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为， 则， ， 故选：． 3．“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，那么为______ ．    【答案】1 【分析】结合图形，求出的值，再利用完全平方公式计算即可得出． 【详解】解：根据题意得：，，即， 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，采用数形结合的方法是解题的关键． 4．小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 【答案】证明：如图，作，垂足为点， 设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为长方形， ， ， . 【分析】作，垂足为点，设与的交点为，证明，推出，分割法求出四边形的面积，即可得证. 【详解】略 5．如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为和，斜边长为，图2是以为直角边的等腰直角三角形，用图1和图2可拼成图3的图形． (1)请指出图3是什么图形，并用它证明勾股定理； (2)请用若干个图1中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理的图形（画出图形，不用证明）． 【答案】(1)直角梯形，见解析 (2)见解析 【分析】（1）由图中给出的三个三角形组成一个直角梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为；利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，列出等式即可求出勾股定理； （2）将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示，即可得到答案． 【详解】（1）解：是直角梯形； 由图可知梯形的面积公式可知，梯形的面积 从图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积和，即， ∴ 整理得：． （2）解：将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示： 【易错警示】 勾股定理证明过程中，学生易出现多种问题，面积法证明时常出现图形拼接错位、边长对应关系混乱的情况，混淆整体与局部面积关系，算错图形总面积致使等式无法成立。证明时缺乏严谨的几何推理依据，仅凭图形直观判断，忽视拼接图形需边长、角度全等的前提条件，同时存在推导步骤残缺、等式未化简的问题，无法完整严谨推导出勾股定理公式，逻辑漏洞较多。 题型2 以弦图为背景的计算题 6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 【答案】A 【分析】由是小正方形对角线，用求小正方形面积；结合，算出四个直角三角形总面积；然后根据大正方形面积=小正方形面积四个直角三角形面积，求和得结果． 【详解】解：是中间小正方形的对角线，正方形对角线相等， ． ， ． 单个直角三角形面积为，， 四个直角三角形总面积． 大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和， ． 大正方形的面积是25． 7．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（    ） A．10 B．9 C．11 D．12 【答案】A 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接利用勾股定理计算斜边长度即可． 【详解】解：∵直角三角形中，勾和股分别为两条直角边，长度为和，弦为斜边， 根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和， ∴弦长 ． 8．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】由题意得，，进而得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ，， ， ． 9．大正方形的面积为5，小正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是____________ 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据题意可得小正方形的边长，大正方形的边长，再逐一判断，即可． 【详解】解：由题意可得小正方形的边长，大正方形的边长， 斜边大正方形的面积， 故正确； 小正方形的边长为， ， 故正确； 小正方形的面积四个直角三角形的面积=大正方形的面积， ， ， 故正确； 综上可得正确． 故答案为：． 10．分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… (1)计算：____________________； (2)用含（是正整数）的等式表示上述变化规律：__________，__________； (3)求出的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）观察上述结论，可以发现，再开方即可求解； （2）观察上述结论，可以发现，即可求解； （3）的值就是把面积的平方相加即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， …… 按此规律，， ∴（负值已舍去）； （2）解：， ， ， …… 按此规律，， ， ， ， …… 按此规律，（是正整数）； （3）解： ． 题型3 勾股数问题 11．下列各数中，能与，组成一组勾股数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三个正整数若满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数为一组勾股数，据此验证各选项即可求解，掌握勾股数的定义是解题关键． 【详解】解：A选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意； B选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意； C选项：，三个数均为正整数， 是一组勾股数，该选项符合题意； D选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意． 12．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 【答案】C 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 13．清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【答案】，， 【分析】观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 14．如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 【答案】3 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 15．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）仿照题中给出的样例直接代入即可； （2）观察样例的规律，总结出关于的规律即可； （3）观察样例的规律，总结出关于的规律，代入数值计算即可； （4）观察样例的规律，总结出关于的规律即可． 【详解】（1）勾为7时，，； （2）勾为3时，股=，弦=； 勾为5时，股=，弦=； 可归纳出规律： 当勾为奇数时，股，弦； （3）：，，； ：，，； ：，，； 可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． ∵弦长为， ∴，解得， ∴勾，股； （4）由（3）可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． 题型4 用勾股定理构造图形解决问题 16．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ， 设的长为，则， ， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴绳索的长是． 17．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键． 根据已知条件得到，在中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ， 即门铃恰好自动响起，则的长为米； 故选：． 18．《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 【答案】 【分析】取的中点，过点作的垂线，设寸，根据题意，可得寸，寸，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，过点作的垂线，垂足为， 设寸， 由题可知，，尺寸，寸， 寸，寸， 寸， 在中，， ， 解得， 寸尺， 则门宽是尺． 19．如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理，可求，再求两个直角三角形的面积，相加即可． 【详解】解：连接， 由题可知，和是直角三角形， 根据勾股定理，可得， ，，， ，解得， 则四边形的面积为：（）， 则这块草地的面积为． 20．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 阿波罗尼奥斯定理 在查阅资料时，发现三角形一条边的中线与三角形的另外两边之间存在一定关系，即三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍，这个定理被称作三角形中线定理，也被称作阿波罗尼奥斯定理． 定理证明： ①特殊条件（直角三角形斜边上的中线）下的证明： 如图1，在中，，为的中点，连接． 求证：． 证明：设，，．在中，，则， ∵为中点，， ∴（依据：__________） ∴， ∴， ∴． ②一般条件下的证明： 如图2，在中，为的中点，连接．求证：． 证明：如图2，过点作于点． 在中，由勾股定理得，．．．．．．．．． 任务： (1)材料中的依据是指__________． (2)完成材料中②一般条件下该定理证明的剩余部分． (3)在中，为的中点，，，，则__________． 【答案】(1)直角三角形斜边中线等于斜边的一半 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的性质分析即可解答； （2）如图2，过点作于点．由勾股定理可得、、，易得；由中点的定义可得，即，则，然后代入整理即可解答； （3）先求得，再将相关条件代入求即可． 【详解】（1）解：∵为中点，， ∴（依据：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）． （2）证明：如图2，过点作于点． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴，即． （3）解：∵为的中点，， ∴， ∵，，， ∴，解得：（已舍去负值）． 题型5 用勾股定理解三角形 21．如图，在中，，，为上一点，且，，分别是，的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先根据含角的直角三角形性质求出和的长，再由勾股定理可得的长，再证明是等边三角形，利用三线合一得到，最后在中利用斜边中线定理求出的长． 【详解】如图，连接， 在中，，，， ，， 由勾股定理得：， ，， 是等边三角形， 是的中点， ，即， 在中，是的中点， ． 22．如图，在中，，，垂足为，，点是边的中点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据含度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】在中，，， ， ， ，点是边的中点， ． 23．如图，在中，，是边上一点，连接 ，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为___________⁠． 【答案】15 【分析】过点作 ，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到 ，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作 ，， 则： ， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵，， ∴， 设，则， 由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴四边形的面积为15． 24．如图，在中，，为边上的高，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 是等腰三角形． (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，根据余角的性质得出，从而证明，即可得出； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，再根据线段间的数量关系，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ， ． 由勾股定理可得， ， 解得：， ，， ． 25．如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质证明，，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可； （2）连接，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 设，则，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 【易错警示】 用勾股定理解三角形时，学生常混淆直角边与斜边，未先判定直角就套用公式。容易忽略题目多解情况、漏分类讨论，记错边长关系，且不会结合三角形三边关系检验结果，造成解题错误。 题型6 以直角三角形三边为边长的图形面积 26．如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ）． A．10 B．14 C．24 D．48 【答案】B 【分析】根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；正方形面积等于边长的平方，因此正方形、的面积对应直角三角形两条直角边的平方，正方形的面积对应斜边的平方，将两个正方形面积相加即可求出正方形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 由正方形面积公式得：，， 图中三角形为直角三角形，根据勾股定理得：， 正方形的面积，代入得：． 27．如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到，根据圆的面积公式，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且，， ， 根据勾股定理，得， 故圆的面积为， 根据题意，得是半圆的面积， 故； 28．如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，根据正方形的性质得出，根据，求出， 根据三角形面积公式求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵正方形中，，， ∴． 29．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ，， ． ∴． 30．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； (2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． (3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)96 【分析】（1）根据勾股定理求出，利用面积法求出即可； （2）分别用梯形的面积公式和三个直角三角形面积求出梯形的面积，再根据两次求出的面积相等列出关系式，最后化简即可证明； （3）设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c，由题意及图形可知，，因为外轮廓周长为48，得，求得，在中，由勾股定理列等式求出x的值，即可解答 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵ ∴； （2）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即． （3）解：设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c， 由题意及图形可知，为较短直角边，即， 因为外轮廓周长为48，且由4个全等的部分组成，每部分为斜边与较长直角边减6之和， 所以， 解得，即， 在中，由勾股定理得：， 代入数据得， 解得 所以该图案的面积为： 答：该"勾股风车"图案的面积为96 题型7 利用勾股定理求两条线段的平方和 31．在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 32．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 【详解】解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 33．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 34．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点D，垂足分别为E，F，，分别交于点M，N，连接，． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，． ①求的周长； ②，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①24；②24 【分析】（1）连接，，，根据垂直平分线的性质可知，，进而得到，可知点D在的垂直平分线上； （2）①根据垂直平分线的性质可知，，则，； ②根据等边对等角得到，，进而根据角的和差得到，即是直角三角形且为斜边，根据勾股定理可知，结合①可知，根据完全平方公式得到，则，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； （2）解：①∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为24； ②由①知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形且为斜边， ∵， ∴， 由①知，的周长为24， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 35．探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 【答案】（1）见解析，；（2）；（3）8；（4） 【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）根据（1）中结论求出，再通过三角形的中线得到求解即可； （3）取的中点，连接，由（1）可知，，在直角三角形中，，在中，对三个式子进行化简计算即可； （4）取中点，连接，由（1）可知，求出，再通过三边关系即可求解． 【详解】解：（1）在中，，．① 在中，．② 由得：． ， 又在中，， ； （2）由（1）可知，， ∵，，， ∴， ∴（负值已舍）， ∵在中，是中线， ∴； （3）∵， ∴， 取的中点，连接， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可知，，设， ∴， 又∵在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）取中点，连接， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴（负值已舍）， ∵， ∴， ∴，当三点在同一直线时等号成立， ∴的最大值为． 题型8 利用勾股定理证明线段平方关系 36．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 37．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 【答案】C 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴． ∵，， ∴． 38．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 39．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 40．在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． (1)如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． (2)如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 【答案】(1) (2)仍成立；理由见解析 (3) 【分析】（）利用，在中和等腰中分别用勾股定理，推导出结论； （）先通过证明，得到且，再在两个直角三角形中用勾股定理，验证结论仍成立； （）通过构造等腰直角，先利用证明，得到；再结合与的角度关系，判定为直角三角形，用勾股定理求出；最后利用等腰直角中的关系，计算得出的长度． 【详解】（1）解：∵，，即， ∴在中：， ∵在中， ∴在中， ∴； （2）解：仍成立； 理由：∵中，， ∴； ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形 ， ∴， 代入得：， 又中， ∴，原关系仍成立； （3）解：∵ ∴，， 按照前两问构造：过作，且，连接， 同（）可证， 得， ∵，， ，即是直角三角形， 在中：， ∴， 又∵等腰中，代入得，， ∴． 题型9 勾股定理与网格问题 41．如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 42．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理求出的长，设点到直线的距离为，等积法进行求解即可． 【详解】解：由勾股定理，得：， 由网格可知：， 设点到直线的距离为，则：，即， 解得； 故选：B． 43．如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知、两点都在格点上，如果点也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点共有________个． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握判定和定理是解题的关键． 根据题意，，根据和进行格点探寻即可． 【详解】解：根据题意，，根据和进行格点探寻，结果如下： 所以符合题意的点C有7个， 故答案为：7． 44．如图，下面的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按要求画下列图形． (1)在图1中，画一条长度为的线段； (2)在图2中，画一个，使它的三边长为无理数且面积为5； (3)在图3中，画一个面积为3的四边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理和利用网格求三角形面积是解题关键． （1）根据画图即可； （2）根据画图即可； （3）根据画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图，四边形即为所求， 45．综合与实践： 材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为），在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为） (1)小明发现无论怎样画，这样的三角形形状大小都是一样的，这个结论的依据是______ (2)图2是一个的正方形网格．利用构图法在图中画出格点，使，，；直接写出的面积______ (3)如图，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接，与面积之间的关系为______； (4)请利用以上的解题方法求出图中六边形花坛的面积（正方形面积为；正方形面积为，正方形面积为）为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查全等三角形的判定方法及勾股定理与网格问题，熟练掌握网格特征及勾股定理是解题关键． （1）根据三边长一定，利用可证明三角形都全等即可得答案； （2）把、、表示为两个正整数的平方和的形式，利用勾股定理在网格中画出图形，用三角形所在长方形的面积减去三个小三角形的面积，即可求出的面积； （3）利用网格分别求出两个三角形的面积，比较即可得答案； （4）把、、表示为两个正整数的平方和的形式，利用勾股定理，把图中六边形花坛在边长为的网格中画出，利用网格特征求出四个三角形的面积，再求四个三角形与三个正方形的面积和即可得答案． 【详解】（1）解：∵，，三边的长分别为、、，三边长一定， ∴根据，无论怎样画，这样的三角形都与全等， ∴这样的三角形形状大小都是一样的． 故答案为： （2）解：如图所示： 由勾股定理可知，，， ∴． 故答案为： （3）解：由图可知： ∴，， ∴． 故答案为： （4）解：∵正方形面积为；正方形面积为，正方形面积为9， ∴，，， ∴把图中六边形花坛在边长为的网格中画出，如图所示： ∴， ， ， ， ∴六边形花坛的面积． 故答案为： 题型10 勾股定理与折叠问题 46．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：由折叠知，， ∵D是的中点，， ∴， 设， ∵， 则， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故选：B． 47．如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（  ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地求出CF的长是解题的关键．由折叠得，，由勾股定理得，求得，由即可求解． 【详解】解：由折叠得，， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得， 故选： 48．如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 连接，由折叠的性质得，，，，进而得到，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再在利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 49．【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 50．如图，直角三角形中，，，是的上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处． (1)求边的长； (2)求的长； (3)在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)10 (2) (3)或或或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）折叠的性质，得到，，设，在中利用勾股定理，进行求解即可； （3）分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：直角三角形中，，， ∴； （2）∵折叠， ∴，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ∴； （3）由（2）可知：； 当点、、为顶点的三角形是等腰三角形时： ①当时： 则：； ②当时： 则：，或 ③当时： 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴； 综上：或或或． 【易错警示】 解决勾股定理折叠问题时，学生易忽视折叠前后边长相等、角度不变的性质，找不准对应相等线段。常错设未知数、列错边长关系式，不会结合图形构造直角三角形，且忽略隐含边长，导致计算结果出错。 题型11 勾股定理中的旋转问题 51．如图，在中，，为的中点，直角绕点旋转，它的两条边分别交，的延长线于点，，连接，当，时，的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质. 连接，证明得出，进而求得，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，为的中点， ∴，， ∴ ∵， ∴ 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中，， 故答案为：． 52．如图，线段的长为4，是等腰直角三角形，，，的长为，将绕点旋转一周，连接，当三点共线时，线段的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理； ①当在线段上方，点在线段上时，首先求出，然后利用勾股定理求出，再根据计算即可；②当在线段下方，点在线段的延长线上时，由①知，然后利用勾股定理求出，再根据计算即可． 【详解】解：①如图1，当在线段上方，点在线段上时， ∵是等腰直角三角形，，，， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得：， ∴； ②如图2，当在线段下方，点在线段的延长线上时， 由①知， 在中，根据勾股定理得：， ∴； 故答案为：或． 53．【原题再现】在学习“图形的平移和旋转”时，教材上有这样一道题，如图1，点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．小明是这样做的：过点C画的平行线l，在l上截取，连接，则即为旋转后的图形． （1）请你根据小明的思路，①求证：；②求的度数； 【方法应用】 （2）如图2，点D为等边三角形的边下方一点，连接，，，若，，求面积的最小值． 【答案】（1）①见解析；②；（2） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质： （1）①由等边三角形的性质得到，，由平行线的性质得到，据此即可证明；②由全等三角形的性质得到，据此根据角之间的关系求解即可； （2）延长到点，使，可证明，进一步证明是等边三角形，要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小，即当为等边的高线时才会最短，从而可得出结论； 【详解】解：（1）①三角形是等边三角形， ，， ， ， ， ， ②由①得：， ， ； （2）如图，延长到点，使．   是等边三角形， ，． ， ， ． ， ， ∴， ， ∵ ， 是等边三角形． 要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小， 即当为等边的高线时才会最短， 由题意可知等边的高线最短为， ∴ 的面积最小值是． 54．如图，和都是等腰直角三角形，．， ，将绕着顶点C旋转，连接． (1)求证：； (2)在的旋转过程中，探求：点A，D，E在同一直线上时，的长． 【答案】(1)见解析 (2)或3 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由“”可证； （2）分两种情况讨论，由勾股定理可求解. 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴, 在和中， ∴； （2）解：如图2， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴， 在中， ∴ （负值舍去）， ； 如图3， 同理可得： ∴, ∴ （负值舍去）， 综上所述：或3 55．将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，可帮助解决很多几何问题： (1)如图1，等腰直角中，，，D为边上的一点，，作，且（即旋转至），连接，，请证明：； (2)如图2，四边形中，，，若，则四边形的面积为_____； (3)如图3，四边形中，，是对角线，是等边三角形．，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和勾股定理； （1）利用和得则有，从而得，，进而可得，然后根据勾股定理进行计算即可； （2）先构造出，进而判断出是直角三角形，四边形的面积等于的面积，由此即可求解； （3）以为边在的右侧作等边，连接，是等边三角形即可证明，从而可得，然后再求出，在中，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接， 在四边形中， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ∴． （3）解：以为边在的右侧作等边三角形，连接，如图： ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴的长为4． 题型12 勾股定理中的最值问题 56．如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，根据轴对称的性质可得PQ＝P1Q，PR＝P2R，从而得到△PQR的周长＝P1P2并且此时有最小值，连接P1O、P2O，根据轴对称的性质和已知条件可得△P1OP2为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，则PQ＝P1Q，PR＝P2R， 所以△PQR的周长＝PQ+QR+PR＝P1Q+QR+P2R＝P1P2， 由两点之间线段最短可得：此时△PQR周长最小， 连接P1O、P2O，则∠AOP＝∠AOP1，OP1＝OP，∠BOP＝∠BOP2，OP2＝OP， 所以OP1＝OP2＝OP＝8，∠P1OP2＝2∠AOB＝2×45°＝90°， 所以△P1OP2为等腰直角三角形， 所以P1P2＝OP1＝8， 即△PQR最小周长是8． 故选：B． 【点睛】本题考查了由轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，难点在于作辅助线得到与△PQR周长相等的线段． 57．如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，取中点，连接，由题意知，，证明，则，，可知当三点共线时，最小，最小为，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，   ∵，，点D是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，最小为， 由勾股定理得，， 故选：C． 58．如图，在五边形中，，在上分别找一点M，N，使的周长最小，则的最小周长为_________． 【答案】 【分析】利用点的对称，让的三边在同一直线上，即作出A关于和的对称点，即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可． 【详解】解：作A关于和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值，过作延长线的垂线，垂足为H， ∵， ∴， 则中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短路径问题，作出A关于和的对称点，将的三边转化在同一直线上是解题的关键． 59．在中，点D，E分别为，上的动点．如图，，，，当时，则的值最小为 ________________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，含角直角三角形的性质，勾股定理，过点B作，且，连接，，先利用证明，得到，进而得到有最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点B作，且，连接，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点A，点D，点F三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵，，， ∴，， 在中， 由勾股定理，得． 故答案为：． 60．阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．    【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．    （1）用含的代数式表示的长为______． （2）①请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； ②根据①中的规律和结论，直接写出代数式的最小值为______． 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．    （3）求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）①当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值为17；②15；（3）． 【分析】此题考查了勾股定理，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）①若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； ②由①的结果利用勾股定理求得的值． （3）仿照例题构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）①当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； ②根据①中规律可以构造出如图所示，       同理可得： 故答案为15； （3）由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．   ， ∴代数式的最小值是． 【点睛】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 题型13 利用勾股定理解决等腰三角形中的存在性问题 61．如图，在中，，，若点P为直线上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．依据点为直线上一点，且为等腰三角形，需要分三种情况进行讨论，即①，②，③，据此通过画图即可得出点的位置． 【详解】解：∵， ∴， 如图所示，分别以为圆心，为半径作圆，交于点，作的垂直平分线，交于点， ∴为等腰三角形，则符合条件的点P有4个． 故选：D． 62．如图，在中，，，，在射线上找一点，将扩充为等腰三角形，则的长为（   ） A．或或 B．或 C．或或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，勾股定理，先由勾股定理求出，然后分当时，当时，当时，三种情况分析求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图，当时， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，过作于点， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 综上可得：的长为或或， 故选：． 63．如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用；分为三种情况：①，②，③，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：分为3种情况： ①当时， ∵为等腰三角形，是边上的高，， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ； ②当时， 则， ， ， 根据三角形外角性质得：， 这种情况不存在； ③如图所示，当时， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，或． 故答案为：或． 64．如图，在中，，，，P，Q是边上的两个动点，其中，点P从点A出发，沿的方向运动，速度为每秒，点Q从点B出发，沿的方向运动，速度为每秒，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求的长． (2)出发几秒后，是等腰三角形？ (3)若点Q沿的方向运动，求为等腰三角形时，点Q的运动时间． 【答案】(1) (2)出发后，是等腰三角形 (3)当为或或时，为等腰三角形． 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用． （1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）由题意得出，即，解方程即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时，则，易求得；②当时（图3），过点作于点，则求出，，即可得出；③当时，证，得，即可得出． 【详解】（1）解：当时，，， ， ∴； （2）解：根据题意得：， 即， 解得：； 即出发时间为秒时，是等腰三角形； （3）解：分两种情况： 当时，如图2所示： 则， 秒． 当时，如图3所示： 过点作于点， 则 ， ， ， 秒． 当时，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴秒 由上可知，当为或或时，为等腰三角形． 65．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的值； (2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ (3)当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒或秒或秒 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用. （1）根据点的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）设出发秒钟后，能形成等腰三角形， 则 由 列式求得即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时 (图)， 则可证明 则 则 从而求得； ②当时 (如图)，则 易求得； ③当时 (如图)，过点作于点， 则求出， 即可得出. 【详解】（1）出发2秒后，，． 所以． 因为，根据勾股定理，． （2）设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形． 此时，． 当时，，解得秒． （3）①当时 (图)， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴秒， ②当时 (如图)， 则， ∴秒； ③当时 (如图)， 过点作于点， 则 所以， 故， 所以 秒， 由上可知，当为秒或秒或秒时，为等腰三角形. 题型14 勾股定理的新定义问题 66．定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，则中边的“中高偏度值”为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，等积法求高，根据勾股定理求出的长，等积法求出边上的高线的长，再利用勾股定理和中线的定义求出中点到高的距离，由直角三角形的性质求出，然后根据新定义，进行求解即可． 【详解】解：如图，，为的高，为的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故中边的“中高偏度值”为． 故选：B． 67．定义：有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”．如图，四边形是“邻等对补四边形”，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等，理解“邻等对补四边形"定义，熟练掌握三角形的面积，勾股定理是解决问题的关键． 设，根据“邻等对补四边形”定义得，再根据得①，得②，将①代入②得，由此解出即可得的长． 【详解】解：设， ∵四边形是“邻等对补四边形”，， ， ， ， ， 即①， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 将①代入②，得：， ， 或， 由，解得：， 由，解得：(不合题意，舍去)， 故选：C． 68．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形是“倍长三角形”，底边的长为4，则等腰三角形底边中线的长度为___________ ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，以及勾股定理，读懂题意，理解“倍长三角形”是解本题的关键． 根据“倍长三角形”的定义，分两种情况讨论：①底边是腰的2倍；②腰是底边的2倍．利用三角形三边关系检验，只有情况②成立，此时腰长为8．再根据等腰三角形的性质，底边中线也是高，利用勾股定理即可求解． 【详解】∵等腰是“倍长三角形”，底边， ∴有两种情况： ①若，则，但此时，不能构成三角形，不符合题意； ②若，则，此时三边满足三角形三边关系，符合题意． ∴． 设的中点为D，则． ∵等腰三角形底边中线也是高， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 69．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）根据直角三角形定义，以及等直三角形定义分析求解即可； （2）根据等直三角形定义可得，设，则，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：等腰直角三角形，可类比图1作出其等直分割线段， 若不是等腰的直角三角形，可作斜边的垂直平分线交直角边于一点，进而得到等腰三角形， 直角三角形一定是等直三角形； （2）解：∵是的等直分割线段， ∴是等腰三角形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴． 70．定义：若某三角形的三边长a，b，c满足，则称该三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：    (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，求的度数； (3)如图，在中，，且．证明：为“类勾股三角形”． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）先设等边三角形的三边长分别为，，，则，然后进行计算可得：，即可解答； （2）根据已知和“类勾股三角形”的定义可得，从而可得，进而可得是直角三角形，且，然后利用等腰直角三角形的性质，即可解答； （3）过点作，垂足为，在上截取，连接，可得是的垂直平分线，从而可得，进而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，，然后利用线段的和差关系可得，最后分别在和中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：等边三角形不是“类勾股三角形”， 理由：设等边三角形的三边长分别为，，， 则， ， 等边三角形不是否“类勾股三角形”； （2）解：等腰三角形是“类勾股三角形”， ，， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 的度数为； （3）证明：过点作，垂足为，在上截取，连接，   是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 为“类勾股三角形”． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 1．若直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长可以是（     ） A．4 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，当4是直角边长时和当4是斜边长时，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：当3，4是直角边长时，由勾股定理得第三边长； 当4是斜边长时，由勾股定理得第三边长． 2．劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理即可求得斜边需要的小木棒的数量． 【详解】解：∵两直角边分别用了3根、4根长度相同的小木棒， ∴由勾股定理，得到斜边需要：（根）， 故选：C． 3．如图，在中，是边上一点．若，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理和等腰直角三角形，过点A作于点E，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，在中，，，，以为一边向外作正方形，则正方形的面积为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴正方形的面积， 故选：C． 5．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理的应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：D． 6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．根据勾股定理的几何意义，可得正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形与正方形之和等于正方形的面积，即可求得正方形的面积． 【详解】解：如图    根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，， ． 故选：C． 7．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为， 由勾股定理得：，即， ， ， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 8．如图，，则线段的长为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在中，由勾股定理可得：， 同理可得：，； 故选B． 9．如图，在中，，，，，平分交于，于，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据角平分线的性质得到，再证明得到，所以，设，则，然后在中利用勾股定理得到，从而解方程得到的长． 【详解】解：平分交于， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得， 即． 10．如图，将上下两边互相平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕．若，，则阴影部分的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；过点作于点，证明是等边三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 依题意， ∴，， ∴ ∵折叠 ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 11．如图，在中，，点D是的中点，，，则______． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵点D是的中点， ∴． 12．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______，却踩伤了花草． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用．利用勾股定理求出“捷径”的长度，据此进一步求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得： “捷径”长度， ∴， 即他们仅仅少走了，却踩伤了花草． 13．将的直角三角板与有刻度的直尺按如图所示的方式放置，点，表示的刻度分别为，当时，线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，先求出，，由长求出长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题可知， ， ， ，的刻度分别为，， ， ， 在中，． 故答案为：． 14．在中，，，，则边上的中线长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，关键是根据直角三角形斜边上中线的性质求解；根据直角三角形斜边上的中线长度等于斜边的一半，先利用勾股定理求出斜边的长度，再计算其一半． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴边上的中线长为：， 故答案为：． 15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为______． 【答案】72 【分析】本题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用．根据勾股定理有，，，等量代换即可求六个小正方形的面积之和． 【详解】解：根据勾股定理知：，，， ∴． 故答案为：． 16．如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，．过，两点作直线，分别交，于点，，连接．若，则_________． 【答案】 【分析】连接，由作图可得是的垂直平分线，则点F是的中点，．根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由勾股定理求出，，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接， 由作图可得是的垂直平分线， ∴点F是的中点，， ∵，， ∴， ∴在中，． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得 ∴． 17．如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 【答案】6 【分析】根据折叠的性质可得，，由的周长及的长可求出的长，设，则，在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点， ， ， 的周长为12， ， ， ， ，即， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得 ∴，解得：， ． 18．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，，， ∴ ． 19．如图，一长方体容器，长、宽均为3，高为7，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则_______． 【答案】5 【分析】根据倾斜前和倾斜后水的体积不变求出长，然后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示： 设，则， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∵， 由勾股定理得：． 20．如图，中，，，，E是内一点且平分，若的面积为，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作，，利用角平分线的性质求得，利用勾股定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作，垂足分别为和， 平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 21．如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，试求正方形A的面积？ 【答案】136 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键 ． 根据勾股定理可得，，计算即可． 【详解】解：三角形是直角三角形， 两直角边的平方和等于斜边的平方， 即， ． 故答案为： ． 22．如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为． (1)图2中______； (2)求钟摆的长度． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的运用． （1）根据题意，，由此即可求解； （2）设，由勾股定理得到，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴， 故答案为：2； （2）解：设，依题意得：， ∵， ∴，即， 解得：， 答：钟摆的长． 23．如图，在中，，垂足为，，，，求的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 在中，由勾股定理得到，，据此得到方程，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 24．（1）在中，，，，求． （2）在中，，，，求的长． 【答案】（1）5；（2）12 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵中，，，， ∴； （2）∵中，，，， ∴． 25．已知：如图，在中，，，垂足为平分交分别于点，点为的中点，过点作交于， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的定义以及平行线的性质等： （1）根据等角的余角相等可得，从而得到，即可求证； （2）连接，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，可得到，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，点为的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．已知：如图，在中，，，，与相交于点 (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据题意，可得，根据直角三角形两锐角互余得，根据等角对等边，可得，最后根据全等三角形的判定方法求证，即可； （2）由（1）得，推出，，根据勾股定理，可得，即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴，， 在中，， ∴， ∴． 27．如图，已知． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的垂线，在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则点到的距离为 ．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)解：如图，直线，点即为所求； (2) 【分析】（1）过点作的垂线，作线段的垂直平分线．垂足为，交直线于点，点即为所求； （2）连接，设直线交于点，利用面积法求出，设，构建方程求出，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）如图，直线，点即为所求； （2）解：连接，设直线交于点． ， 面积＝，， ， ， ， 垂直平分线段， ＝， 设，则有， 解得， ， ， 点到距离为． 28．出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． (1)由此得到等式________； (2)【探索研究】数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为、，斜边长为，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边、、的等式，整理后发现，，请说明此等式成立； 【推广应用】数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边、，斜边都存在的等量关系，利用此发现，解决下面问题： (3)如图3，是直角三角形，，大于，将绕点顺时针旋转得点的对应点为，点的对应点为，连接，若，，，，的面积为10，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）两种方法所表示的图形的面积相等即可得出答案； （2）利用两种方法分别用代数式表示图2的面积即可； （3）根据旋转的性质，勾股定理以及三角形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：图2中大正方形的边长为，因此大正方形的面积为， 拼成图2的五部分的面积和为， 所以有， 即， ； （3）解：是直角三角形，， ， 由旋转可知，，， ， ， 即， ， ， 即， ， ， ， ． 29．如图，在中，，点B在的延长线上，，连接． (1)求的长； (2)动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，； ②当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）①当即，再求出答案； ②分三种情况：再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴即， 解得， 所以当时，； ②当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 此时； 当时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P与点D重合时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P在线段的延长线上时，当时，是等腰三角形， ∴， 此时． 所以当或或2或时，是等腰三角形． 30．综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题： 如图，，，，，垂足分别为，，，，的长为______； 【变式思考】 （2）如图，，，，于，，，求的长； 【拓展运用】 （3）如图，在中，，是高．若，求长的最小值． 【答案】（）；（）；（）长的最小值为． 【分析】（）利用同角的余角相等证明，再利用“”证明，根据全等三角形的性质即可求解； （）过点作于点，证明，得出，然后通过勾股定理得出答案； （）过点作，使，过点作于点，连接，，证明，得出，证出，则可得出答案． 【详解】解：（）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； （）过点作，使，过点作于点，连接，，则， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，同角的余角相等，直角三角形的性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $