第06讲 平方根14大题型（暑假预习讲义）新八年级数学新教材苏科版

第06讲 平方根 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求一个数的算术平方根 题型2 利用算术平方根的非负性解题 题型3 估计算术平方根的取值范围 题型4 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型5 算术平方根的实际应用 题型6 与算数平方根有关的规律探究题 题型7 平方根的概念理解 题型8 求一个数的平方根 题型9 平方根的应用 题型10 已知一个数的平方根求这个数 题型11 平方根、算术平方根的规律探究题（压轴） 题型12 算术平方根的实际应用（压轴） 题型13 与平方根、算术平方根有关的几何问题 题型14 平方根的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 算术平方根、平方根 算术平方根的非负性 算术平方根、平方根的实际应用 1.理解平方根与算术平方根的定义，清晰区分二者概念与专属符号。 2.掌握平方根的性质，明确正数、零、负数的平方根存在规律。 3.熟练求解非负数的平方根与算术平方根，规范书写解题步骤。 4.通过平方与开平方运算，体会数学互逆运算的转化思想。 5.能运用平方根知识解决简单实际问题，提升数学运算能力。 学习重点：理解平方根和算术平方根的概念，掌握平方根的正确求解方法。 学习难点：区分平方根与算术平方根，熟练运用性质解决相关辨析类题型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 易错点： 1. 概念混淆易错：混淆平方根与算术平方根，正数平方根有正负两个值，算术平方根仅为非负值，答题时常漏写负平方根或多写符号。 2. 取值范围易错：忽略负数没有平方根，随意对负数开平方求值。未牢记零的平方根和算术平方根均为零的特殊性质。 3. 符号运用易错：分不清、的含义，误将根号运算默认成正负平方根，符号书写不规范。 4. 逆运算易错：混淆平方与开平方互逆关系，计算平方根时漏项、算错数值，化简带分数、小数的平方根极易出错。 5. 隐含条件易错：忽略被开方数是非负数的隐含条件，解题时不判断取值范围，导致出现无意义的错误结果。 即时即练 1．“的平方根是”的数学表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方根．根据平方根的意义进行解答即可． 【详解】“的平方根是”， ． 故选：A． 2．下列说法中正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义解答即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、没有平方根，该选项说法错误，不合题意； 、，该选项说法正确，符合题意； 、被开方数不能是负数，没有意义，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 3．一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是________ ． 【答案】121 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握一个正数的两个不相等的平方根互为相反数． 根据平方根的性质，正数的两个不相等的平方根互为相反数，列出方程求解参数，再计算平方根的值，最后求原数． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， 则一个平方根为， 因此这个正数为． 故答案为：121． 知识点02 平方根的性质 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 易错点： 1. 存在性性质易错：记错平方根存在规律，正数两平方根互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，常误对负数开平方。 2. 双重非负性性质易错：忽视平方根核心性质，被开方数a≥0、算术平方根√a≥0，解题常忽略隐含条件导致无解或错解。 3. 平方根和差性质易错：不会运用正数两平方根互为相反数、和为0的性质解题，无法快速列式求参数，容易漏用核心条件。 4. 平方化简性质易错：混淆两大公式性质，错将√a²直接等于a，忽略需根据a的正负取绝对值，与(√a)²=a混淆误用。 5. 等值平方根性质易错：片面认为平方根相等则原数相等，忽略两数互为相反数时平方根也可相等，解题极易出现漏解情况。 即时即练 4．若，则_______． 【答案】5或1/1或5 【分析】本题考查利用平方根的概念解方程，方程两边同时除以5，再根据平方根的概念即可转化为两个一元一次方程，求解即可得到答案． 【详解】 ， ∴或， 故答案为：5或1． 5．正数的两个平方根分别是和，则正数_________． 【答案】100 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数m； (3)求关于x的方程 的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的定义是解题的关键． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求a的值； （2）由（1）代入开方，即可求解这个正数m； （3）将代入即可求解． 【详解】（1）解：∵一个正数m的两个不相等的平方根是与， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴； （3）解：将代入得， 解得. 知识点03 算术平方根 开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 即时即练 7．的算术平方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴求的算术平方根即求4的算术平方根， ∵， ∴的算术平方根是2． 8．已知，则的值为_____． 【答案】 【分析】利用非负数的性质，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出x与y的值，再代入计算的值． 【详解】解：∵是算术平方根，是平方数， ∴，． ∵， ∴， ，． 解得，． ∴． 9．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 【答案】(1)81 (2)的算术平方根在之间 【分析】本题考查了平方根及算术平方根： （1）根据题意得，进而可解得，则可得，再根据平方根的定义即可求解； （2）由（1）得，进而可得，再利用算术平方根的估算方法即可求解； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：， ∴， 这个正数是81． （2）由（1）得：， ， ∵， ∴， 的算术平方根在之间． 题型1 求一个数的算术平方根 1．有理数64的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，算术平方根一定为非负数． 【详解】∵． ∴的算术平方根是． 2．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据二次根式的性质可得， ，即． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 【答案】 【分析】根据数轴可知，，根据非负数的性质计算即可． 【详解】解：观察数轴可知：，， ∴， ∴ ． 4．计算：___． 【答案】 【分析】根据绝对值、算术平方根、负整数指数幂的法则分别计算即可． 【详解】解： ． 5．计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方，绝对值，负整数指数幂，算术平方根，再计算乘法，最后加减即可． 【详解】解： ． 题型2 利用算术平方根的非负性解题 6．若，则的值为（    ） A． B．3 C．1 D．5 【答案】D 【分析】几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，先求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵算术平方根和平方数都是非负数，且， ∴， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得． 7．若，则的值为（   ） A． B．1 C．32026 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 8．若实数、满足，则______． 【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，求出与的值，再代入计算即可得到结果 【详解】解：任意实数的绝对值为非负数，任意非负数的算术平方根为非负数，若两个非负数的和为，则每个非负数都为， ，， 解得，， 将，代入得：． 9．已知实数满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性质求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：实数满足， 所以可得，可得， 可得． 10．已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，求一个数的平方根，解二元一次方程组等知识点． （1）先根据算术平方根和绝对值的非负性得到方程组，再解二元一次方程组即可； （2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ 由①②得，， 解得， 将代入①得，， 解得 ∴； （2）解：∵ ∴， ∴的平方根为． 【易错警示】 利用算术平方根非负性解题，需牢记被开方数与算术平方根结果均大于等于0。解题易忽略双重非负性隐含条件，漏写取值范围。多个非负数和为0时，需每项均为0，切勿主观臆断，务必严谨列式求解检验。 题型3 估计算术平方根的取值范围 11．估计的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．22和24之间 【答案】B 【分析】找出与23相邻的两个完全平方数，即可估算出的取值范围． 【详解】解：∵，，， ∴，即的值在4和5之间． 12．若，，为连续的整数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根的性质，被开方数越大，对应算术平方根越大，找到夹着的两个连续整数，即可得到的值． 【详解】解：， ，即， 又，且，为连续整数， ，． 13．若，其中n为正整数，则_______． 【答案】6 【分析】找到与相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再结合已知不等式求出正整数的值． 【详解】解：， ， 即， 又，且为正整数， ． 14．若n为正整数，且满足，则________． 【答案】5 【分析】先估算出的取值范围，再结合已知不等式即可确定正整数的值． 【详解】解：， ，即， 又，且为正整数， ． 15．阅读与思考：请仔细阅读，并完成相应任务． 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值 例如：，4，6最接近， 的最初近似值为， 的二级近似值为， 的三级近似值为． 任务： (1)的最初近似值是_______；二级近似值是_______ (2)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （2）设，进而求出，根据公式代入即可求值． 【详解】（1）解：，与最接近， 的最初近似值为； 的二级近似值是； （2）解：设， 最初近似值， 得， 二级近似值， 解得，． 题型4 求算术平方根的整数部分与小数部分 16．数，则有，即，所以的整数部分是2，小数部分是．用这种方法可以推断的整数部分和小数部分分别是（   ） A．5， B．2， C．5， D．2， 【答案】A 【分析】本题按照题干给出的夹逼法，先找出相邻的两个可开方的完全平方数确定的范围，再据此计算整数部分和小数部分． 【详解】解：∵， ∴，即 ， ∴的整数部分是，小数部分为原数减去整数部分，即． 17．的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个数的小数部分等于该数减去它的整数部分，据此直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵的整数部分为3， ∴的小数部分为． 18．已知是的整数部分，是它的小数部分，则________． 【答案】 【分析】先估算无理数的大小，得到其整数部分，再根据无理数减去整数部分得到小数部分，将，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ， ，， ． 19．根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根的相关知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义及小数点移动规律. (1)根据表格中的数据以及算术平方根的定义进行求解； (2) 由表格知，因为，所以，据此即可解答题目所求； (3) 先对 两边同时平方，再确定n的取值范围，从而得出满足条件的整数n的个数. 【详解】（1）解：由表格可知， 故答案为∶ ； （2）解：由表格知， ∵ ， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：； （3）解∶ 对 两边同时平方可得 计算可得 ∴ n的取值范围是， 则满足条件的整数n的个数为个． 故答案为∶ ． 20．（阅读材料） ∵，即 ∴ ∴的整数部分为1 ∴的小数部分为 （解决问题） (1)填空：的整数部分是__________，小数部分是__________． (2)已知a是的小数部分，b是的整数部分，求代数式的值； (3)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求出的值． 【答案】(1)9， (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的估算，熟练掌握二次根式的估算方法是解题的关键． （1）先估算得到，即，从而得到的整数部分和小数部分； （2）先根据，即，得到的小数部分为，即；同理可得；最后将，代入中计算即可； （3）先根据，即，得到，从而求得的整数部分和小数部分，进而求得的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为9， ∴的小数部分为； （2）解：∵，即， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为， 即； ∵，即， ∴的整数部分为6， 即； ∴， 即； （3）解：∵，即， ∴， ∴的整数部分为6， ∴的小数部分为，即， ∵x是的整数部分，y是的小数部分， ∴，， ∴． 【易错警示】 估算算术平方根时，易精准定界失误导致整数部分判错。牢记小数部分等于原数减去整数部分，切记小数部分恒为非负数。解题常出现小数部分写反、漏写取值范围问题，需准确夹逼估值，规范列式验算。 题型5 算术平方根的实际应用 21．小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1) 长为，宽为. (2) 解：不能裁出想要的正方形纸片，理由如下： ∵原长方形纸片的宽为， ∴用这张纸片裁出一个正方形纸片，则面积的最大值为， ∵， ∴小明不能够裁出想要的正方形纸片． 【分析】（1）根据长宽比设未知数，列方程求解得到长和宽； （2）通过比较面积大小判断能否裁出． 【详解】（1）解：设长方形纸片的长为，宽为，其中 由题意得： 整理得，即 因为长度为正，所以舍去负值，得 因此长为，宽为； （2）略 22．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为__________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长、宽之比为，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 【答案】(1) (2)能将明信片不折叠就放入此信封，见解析 【分析】（1）根据正方形面积公式，求的算术平方根即可； （2）设信封的长是，则宽是，根据面积为，列方程，利用平方根的性质求出的值，即可求出信封的长和宽，比较宽与（1）中所求明信片的边长即可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形感恩明信片的面积为， ∴该明信片的边长为． （2）解：能将明信片不折叠就放入此信封，理由如下： ∵信封的长、宽之比为， ∴设信封的长是，则宽是， ∵信封的面积是， ∴， 解得：，或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴信封的长是cm，宽是cm． ∵， ∴能将明信片不折叠就放入此信封． 23．问题：“一个边长为的正方形，对角线是多长呢？”以下是小明同学的思路： “如图，画一个正方形，连接，相交于点，就得到4个完全一样的等腰直角三角形．若设其中一直角边长为，则正方形的面积既可以用边长表示，也可以用个等腰直角三角形的面积之和来表示，于是可以列出方程求解出，也就求出了正方形的对角线长．” (1)当时，请你依照小明的思路求出正方形对角线长； (2)填空：①若一个正方形边长，则其对角线的长度为__________； ②若一个正方形对角线长为，则这个正方形的边长为__________． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）正方形的面积既可以用边长表示，也可以用个等腰直角三角形的面积之和来表示，列出方程，解方程，即可求解； （2）①设其中一直角边长为，同（1）的方法列出方程，即可求解； ②设正方形的边长为，同（1）的方法列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意 又∵ 解得： ∴正方形的对角线长为 （2）解：∵， 设其中一直角边长为，则 又∵ 解得： ∴正方形的对角线长为 ②解：∵一个正方形对角线长为， ∴， 设正方形的边长为， ∴ 又∵ 解得： 24．如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个大正方形． (1)求小正方形对角线的长度； (2)把正方形放在数轴上，如图2，使得C与重合，D在数轴上表示的数为m，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理、算术平方根的应用，理解题意，求出是解答的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）用点C表示的数减去边的长可得m值，进而代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意，小正方形对角线的长度为； （2）解：由（1）知，正方形的边，C与重合， ∴点D在数轴上表示的数， ∴． 25．交通警察通常根据刹车后车轮滑动的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑动的距离（单位：m），f表示动摩擦因数． (1)若某车刹车后车轮滑动的距离，动摩擦因数，这辆车的速度是___________； (2)在某次交通事故调查中，测得，，该路段限速，这辆肇事汽车是否超速？ 【答案】(1) (2)这辆肇事汽车超速了 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）将，代入计算即可； （2）将，代入计算求出车速，进而比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：； （2）解：， ， ， 这辆肇事汽车超速了． 题型6 与算数平方根有关的规律探究题 26．按要求解答问题： (1)计算：_________，_________． (2)根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于吗？_________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_________；_________． 【答案】(1)； (2)①不一定；②； 【分析】（1）根据公式：，计算即可． （2）①由（1）中可知不一定等于；②根据的取值范围得到和的取值范围，进而得到答案. 【详解】（1）解：根据， 可得：，； （2）解：①∵，当时，，当时，， ∴不一定等于； ②∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴. 27．填写表格： a 0.0016 0.16 16 1600 0.04 0.4 从中观察得出被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律． 【答案】4；40；规律为：被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应的向左（或向右）移动一位 【分析】先根据算术平方根的定义求出16和1600的算术平方根，再对比被开方数和算术平方根的小数点位置总结规律即可． 【详解】解：，， 被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律为：被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应的向左（或向右）移动一位． 28．通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根的理解和规律的应用，熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键． （1）从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，从到被开方数扩大到原来的倍，结果扩大到原来的倍，即可得到答案； （2）根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：从表格中可发现当的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍， ∴从到被开方数扩大到原来的倍， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 29．在算术平方根的学习中，我们做过以下思考： (1)①___________；②___________；③___________． (2)①___________；②___________；③___________． (3)你有什么发现？你能根据算术平方根的定义等知识，说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？ 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握算术平方根的概念． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）①；②；③． 故答案为：； （2）①；②；③． 故答案为：； （3），理由： 由算术平方根的定义，可知是的算术平方根，则． 根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根是指一个非负数，它的平方等于，记作．因此，由定义可知． 30．阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 【答案】(1)①，；②， (2) (3)①；②；③ 【分析】本题考查算术平方根的计算，读懂题意，理解题中新的运算公式，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）由算术平方根的定义计算即可得到答案； （2）根据规律总结即可得答案； （3）由（2）中直接计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①，， ②，． 故答案为：①，；②， （2）解：∵；， ∴通过计算，我们可以发现． 故答案为： （3）解：①． ②． ③． 故答案为：①；②；③． 【易错警示】 算术平方根规律探究题，易片面归纳局部规律，忽略被开方数非负的隐含条件。混淆根式变形公式，未验证式子通用性。忽视取值范围、符号变化，仅凭直觉总结规律，导致结论错误，需多举例验证规律。 题型7 平方根的概念理解 31．下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 【答案】D 【详解】解：对应选项A：∵， ∴的平方根是，故A错误； 对于选项B：∵，的平方根是， ∴的平方根是，故B错误； 对于选项C：，正数有平方根，故C错误； 对于选项D：∵ ， ∴的平方根是和，故D正确． 32．下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【详解】解：根据平方根定义，负数没有平方根，∵是负数，∴没有平方根，故A错误； ∵0的平方根是0，∴0有平方根，故B错误； 的算术平方根是，符合算术平方根的定义，故C正确； ，的平方根是，不是，故D错误． 33．下列说法正确的是（    ） A．没有平方根 B．算术平方根是其本身的数是 C．的平方根是 D．的值一定是 【答案】D 【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐个判断选项正误即可得到答案． 【详解】解：A．当时，，此时有平方根，故该选项错误，不符合题意， B．算术平方根是其本身的数是和，故该选项错误，不符合题意， C．，没有平方根，故该选项错误，不符合题意， D．∵有意义， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故该选项正确，符合题意． 34．正数m的一个平方根是，则另一个平方根是__________（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的性质“正数的两个平方根互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：因为正数 的一个平方根是 ，所以另一个平方根是它的相反数，即 ． 故答案为： ． 35．回答下列问题： (1)12是144的平方根吗？ (2)169的负的平方根是哪个数？ (3)是0.9的平方根吗？ (4)哪个数的平方根只有一个？ 【答案】(1)是 (2) (3)不是 (4)0 【分析】本题主要考查了平方根，熟练掌握知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据平方根的定义和性质解答即可； （2）根据平方根的定义和性质解答即可； （3）根据平方根的定义和性质解答即可； （4）根据平方根的定义和性质解答即可． 【详解】（1）解：因为144的平方根是， 所以12是144的平方根； （2）解：因为169的平方根是， 所以169的负的平方根是； （3）解：因为0.09的平方根是， 所以不是0.9的平方根； （4）解：因为0的平方根是0， 所以0的平方根只有一个是0． 题型8 求一个数的平方根 36．的平方根是（     ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题需先计算出的值，再根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵， ∴根据平方根的定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，3的平方根为． 37．已知数A的两个不同的平方根是和，则数A是（     ） A．2 B．3 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根的基本性质，利用“正数的两个不同平方根互为相反数”求出的值，再计算原数即可． 【详解】解：∵ 正数的两个不同平方根互为相反数， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， 把代入得 ， ∴ ． 38．如果，则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方的非负性，求出，的值，再代入计算的值，最后根据平方根的定义求出结果即可． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， 将，代入得：， 则1的平方根为， 的平方根是． 39．若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 【答案】± 【分析】本题考查了算术平方根和平方根． 根据“算术平方根是指一个正数的正的平方根”即可求解． 【详解】解：∵一个正数的算术平方根是， ∴这个正数是， 故这个正数的平方根是． 故答案为：． 40．已知一个正数x的两个平方根分别是和，． (1)求a和x的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此建立方程求出a的值，进而求出x的值即可； （2）求出b的值，进而求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数x的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 题型9 平方根的应用 41．在月球上，物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系是，那么，在月球上，当物体自由下落的高度为时，其下落的时间是多少？ 【答案】 【分析】将代入，求出时间即可． 【详解】解：将代入， 得，即， 得， ，或（舍） 下落的时间是． 42．工人师傅准备从一块面积为16平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为12平方分米的长方形工件，若要求裁下来的长方形的长和宽的比为，问这块正方形工料能否裁出．（参考数据：，） 【答案】否，见解析 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的应用，分别求出正方形的边长和长方形的长是解题的关键．根据正方形的面积公式求出正方形的边长，设长方形的长宽分别为分米、分米，根据长方形的面积公式，列出方程，求出，再比较即可得出答案． 【详解】解：∵正方形的面积是16平方分米， ∴正方形的边长为：（分米）， 设长方形的长，宽分别为分米、分米，根据题意得： ， ∴， ∴，（舍去）， ∵， ∴这块正方形工料不能裁出符合要求的长方形． 43．图中的正方形的边长是．    (1)求这个正方形面积． (2)将这个正方形沿对角线剪开后拼成一个直角三角形，则正方形的对角线就变成了三角形的两条直角边．你能从中得到启发，求出这个正方形对角线的长吗？ 【答案】(1)8 (2)4 【分析】本题考查正方形面积公式，三角形面积公式． （1）根据题意利用正方形面积公式即可作答； （2）根据题意列出三角形面积式子即可得到本题答案． 【详解】（1）解：， 答：这个正方形的面积是8； （2）解：设正方形的对角线长为x， ∵三角形的面积是8， ∴，即：， 答：这个正方形的对角线长为4． 44．动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖怪的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是________； (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) 混天绫的总长度是； (2) 足够，理由见解析 【分析】（1）先由正方形面积求出边长，再计算正方形周长得到“混天绫”总长度； （2）设长方形宽为，根据长与宽的比表示出长，结合面积求出长和宽，计算长方形周长，与“混天绫”长度比较判断是否足够． 【详解】（1）解：，则正方形的边长为． 正方形的周长为． 答：混天绫的总长度是； （2）解：足够，理由如下： 设宽为，则长为． 根据题意可得，即， 解得（舍去负根）， 则长为， ， ． 答：混天绫长度足够完成新阵法． 45．如图，用图1中的两个面积为的小正方形纸片拼成图2中的一个大正方形； (1)求图2中拼成的大正方形纸片的边长； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请你通过计算说明理由． 【答案】(1)10cm (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的应用，正确理解题意是关键； （1）先得到图2的大正方形的面积为，再计算100的算术平方根即可； （2）若能够剪出符合题意的长方形，不妨设长方形的宽为xcm，则长为cm，根据题意可得，求出x的值后再与正方形的边长进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：∵图2的大正方形是由两个面积为的小正方形纸片拼成， ∴图2的大正方形的面积为 ∴图2中拼成的大正方形纸片的边长； （2）解：不能剪出长、宽之比为且面积为的长方形，理由如下： 若能够剪出符合题意的长方形，不妨设长方形的宽为xcm，则长为cm， 则， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴长方形的宽为6cm，长为12cm， ∵， ∴不能剪出长、宽之比为且面积为的长方形． 【易错警示】 运用平方根解决实际问题时，常忽略结果的实际意义盲目取值。正数平方根有两个，应用题需舍去负值。易混淆平方根与算术平方根，审题不清选错公式，未结合题意检验答案合理性，造成解题失误。 题型10 已知一个数的平方根求这个数 46．若一个正数的两个不相等的平方根分别是和＋，则这个正数是(    ) A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】A 【分析】利用“正数的两个平方根互为相反数”的性质列方程求解，再计算得到这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不相等的平方根互为相反数， ∴ ， 整理得， 解得， 将代入其中一个平方根，得， ∵， ∴这个正数是． 47．如果一个数的两个平方根分别是 与．那么这个数是______ 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出的值，再求出其中的一个平方根，进而即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， ∴． 48．已知实数b是的平方根，当a为非负整数时，满足是有理数，则b的值可以是______． 【答案】0或或 【分析】先由条件可得，且为整数，则，再分别讨论即可求解． 【详解】解：∵实数b是的平方根， ∴，， ∴，， ∴当a为非负整数时，， ∴，且为整数， ∴， 当，即时，，是有理数，符合题意； 当，即时，，是无理数，不符合题意； 当，即时，，是无理数，不符合题意； 当，即时，，是有理数，符合题意； 当，即时，，是无理数，不符合题意； 综上所述，b的值可以是0或或． 49．已知，． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根的定义求出，即得关于的方程，求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出，再求即可． 【详解】（1）解：∵x的算术平方根为3， ∴， 即 ； （2）解：∵x，y都是同一个正数的两个平方根， 解得， ∴． 答：这个数是． 50．定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12 (2)1或100 【分析】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，可得，解得：（舍去）， ②当时，可得，解得：，经检验符合题意， ③当时，可得，解得：，经检验符合题意． 综上所述，的值为1或100． 题型11 平方根、算术平方根的规律探究题（压轴） 51．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，，则（    ） A．130 B．1300 C．41.1 D．411 【答案】C 【分析】先从表格中总结被开方数与算术平方根的小数点移动规律，再利用规律计算得到结果． 【详解】解：观察表格可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，其算术平方根的小数点向相同方向移动一位． ∵，即16.9的小数点向右移动两位得到1690， ∴ ． 52．从表格中探究a与数位的规律，已知，若，用含m的式子表示b，则b是m的多少倍（    ）      …           1 100 10000 … …           1 10 100 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位， ，， ， ． 53．利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … … 根据以上规律，若，，则____________． 【答案】 【分析】通过观察表格数据，得到被开方数小数点移动与算术平方根小数点移动的对应规律，再运用规律计算即可得到结果． 【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位， ，且是的小数点向左移动两位得到的， ． 54．如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由，可以确定是________位数； ②由1849的个位上的数是________，可以确定的个位上的数是________或________； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，可以确定的十位上的数是________；因，而，所以选择较小的个位数字，则_______． (2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 【答案】(1)①两；②9，3，7；③4，43 (2)，理由如下： ①由，可以确定是两位数； ②由3136的个位上的数是6，可以确定的个位上的数是4或6， ③如果划去3136后面的两位36得到数31，而，，可以确定的十位上的数是5；因，而，所以选择较大的个位数字，则． 【分析】（1）根据所提供的方法进行计算即可； （2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可． 【详解】（1）解：①由，可以确定是两位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是3或7， ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，可以确定的十位上的数是4；因，而，所以选择较小的个位数字，则． （2）略 55．阅读观察下列算式，探究规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： (1)计算：； (2)计算：； (3)按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】观察给出的前4个等式，可以发现统一特征：第k个等式中，根号内的减数分子为，分母为，化简后的最终结果为． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ； （3）解：． 题型12 算术平方根的实际应用（压轴） 56．阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)① (2)①内部正方形的边长为；② 【分析】（1）分析材料即可； （2）①由图形面积之间的关系列方程求解即可； ②记的对应点为，1的对应点为，在数轴上方作以为底，为高的三角形，连接，以点为圆心，线段长为半径画弧，在点右侧与数轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：上述材料中蕴含的数学思想是数形结合思想， （2）解：①由题意得：， ， ∵是正方形的边长， ∴， ， 答：内部正方形的边长为． ②略 57．【探究】 (1)观察下列算式，并完成填空： ， ， ， ， ______． (2)下图是某广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，每层有块正方形地板砖，第一层包括块正三角形地板砖，第二层包括块正三角形地板砖……以此递推． （ⅰ）第层中含有______块正三角形地板砖； （ⅱ）第层中含有______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． 【应用】 (3)若某学校拟采用如图样式的图案铺设地面，现有块正六边形、块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正方形地板砖？ 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） (3)还需要块正方形地板砖 【分析】（1）根据所给等式，找出规律，即可得出答案； （2）（ⅰ）根据每层含个正方形，每两个正方形间的正三角形个数分别为、、……，即可得出答案； （ⅱ）根据（i）中规律解得即可； （3）设可铺设层，根据（2）中规律列出方程，结合（1）中规律解方程求出，根据每层都有块正方形地板砖即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴， ∴． （2）解：（ⅰ）由图形可知，每层含个正方形，每两个正方形间的正三角形个数分别为、、……， 第一层包括块正三角形地板砖， 第二层包括块正三角形地板砖， 第三层包括块正三角形地板砖， ∴第层包括块正三角形地板砖， （ⅱ）由（i）规律可得，第层中含有块正三角形地板砖． （3）解：设可铺设层， ∵有块正六边形、块正三角形地板砖， ∴， ∴， 解得：（负值舍去），即共铺设层， ∵每层都有块正方形地板砖， ∴还需要块正方形地板砖． 58．根据下表所提供的信息解答问题． x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 (1)10.89的平方根是________． (2)物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的意义结合表格求解即可； （2）先求出时间，再根据算术平方根的意义结合表格求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， 的平方根是， 故答案为：； （2）解：物体自由下落的高度（单位：与下落时间（单位：之间的关系是． 由题意知，， ∴，又， 由表格知，， 该物体到达地面需要． 59．项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____； 【项目素材】 如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，变成纸⋯⋯． 【任务探究】 (2)将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点E恰好和点D重合，则纸的长与宽之比为____； (3)根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）（参考数据：，，，，，，，） (4)在纸中能裁剪出面积为的圆吗？若能，请你设计裁剪方案；若不能，请说明理由（取3）． 【答案】(1) (2) (3)纸的宽约为，长约为． (4)在纸中不能裁剪出面积为的圆；理由见解析. 【分析】（1）由等面积法可知一个大正方形面积为2，从而得到大正方形的边长为即可解答； （2）由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中，由此即可解答； （3）设纸的宽为，则长为，根据面积建立方程，计算即可解答． （4）先求解半径，再进一步判断即可. 【详解】（1）解： 两个边长为1的小正方形 ，拼成一个大正方形面积为2， 大正方形的边长为. （2）解：由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中， ，即纸的长宽之比为； （3）解：由（2）可知：纸的长与宽之比是， 设纸的宽为，则长为， 纸的面积为， ， ， ， ； 故纸的宽约为，长约为． （4）解：设圆的半径为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴直径为， ∵，， ∴在纸中不能裁剪出面积为的圆. 60．解答下列问题：       (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)如图3，某同学把长为2、宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成一个正方形，求里面小正方形的边长； (3)若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片？若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能；理由见解析 【分析】（1）设边长为1的小正方形的对角线长为x，利用面积求出对角线为，然后结合数轴求解； （2）求出小正方形的面积，然后求算术平方根即可； （3）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积求出，然后得到长为，进而求解即可． 【详解】（1）解：设边长为1的小正方形的对角线长为x，由图1得：， ∴对角线为， ∴图2中A、B两点表示的数分别为和； （2）解：∵大正方形的面积为，两个小长方形的面积之和为 ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为； （3）解：不能．理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 依题意，得， 解得， 此时． ∴不能裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片． 题型13 与平方根、算术平方根有关的几何问题 61．探究解题 (1)如图1，将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形，则大正方形的边长=______； (2)在数轴上表示出点M，使点M表示的数为图1中大正方形的边长（要求保留痕迹并用简单语言描述确定点M位置的过程）； (3)按照国际标准，A系列纸为长方形，且长宽比为定值，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸······． 现将纸按如图2所示的方式折叠，会发现A系列纸的长宽比值=______；你能根据此比值计算纸的长与宽分别是多少毫米吗？（结果取整数，注：，，） 【答案】(1) (2)见详解 (3)，纸的长是1183毫米，宽是845毫米． 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合等面积法以及算术平方根的应用，进行分析，即可作答． （2）结合题意，作出腰长为1的等腰，腰长，以的长为半径画弧交数轴的正方向于一点，即为点M， （3）观察折叠过程，与（1）同理，得纸的长宽之比是，再根据面积公式列式，然后计算化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积， ∴大正方形的边长； （2）解：如图所示：作出腰长为1的等腰，腰长，连接，再以点为圆心，以的长为半径画弧交数轴的正方向于一点，即为点M， （3）解：由（1）得2个边长为1的正方形拼接成边长为的大正方形，此时小正方形的对角线就是大正方形的边长，故等腰直角三角形的斜边与腰长的比值为， 观察折叠过程，与（1）同理，得纸的长宽之比是， 设纸的宽为毫米，长为毫米， ∵纸面积平方毫米， ∴， 则， ； 答：纸的长是1183毫米，宽是845毫米． 62．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：_____；图2：；图3：_____． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ， ，即：， 又， ． 方法二：从“形”的角度解： ， ， 又， ， ． 即． 类比迁移： （2）若则_____． （3）若为非负数，，则_____． （4）若，则_____． （5）如图5，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2）13；（3）；（4）10；（5） 【分析】本题考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，求一个数的算术平方根，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法计算各个图形中阴影部分的面积即可； （2）根据完全平方公式变形求解即可； （3）根据完全平方公式变形，再求算术平方根，即可求解； （4）根据完全平方公式变形求解即可； （5）设，由题意可得，根据求出的值，再求出的值即可． 【详解】解：（1）图1是边长为的正方形，因此面积为， 组成图 1 四个部分的面积和为， 因此， 图3左图阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 图3右图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 因此有， 故答案为：； （2）， ， ， ， 故答案为：13； （3）∵，， 则， ∴ ∵为非负数， ∴． 故答案为：； （4）∵，， 则 ． （5）设， 则， ， ， 解得：， ∴阴影部分的面积为． 63．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．某数学小组在一张白纸上画了一条数轴，点、、对应的数分别为、、，且、满足，是16的算术平方根．动点从点出发沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，设点运动的时间为秒． (1)填空：________，________，________，点在数轴上所表示的数为________（用含的代数式表示）； 操作一： (2)以点为折点，向右折叠数轴，使，两点重合，此时所表示的数为________，________； 操作二： (3)以点为折点，向右折叠数轴，若折叠后，两点之间的距离为2，此时________； 操作三： (4)以点为折点，向右折叠数轴，再将第一次折叠后的数轴沿某点继续向右折叠一次，有没有这样的时间使得，两点重合，且点与数轴上的数11重合？若有，请求出符合条件的时间的最大值和最小值；若无，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)；5 (3)4或6 (4)最小值为7，最大值为10 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负性的性质，求一个数的算术平方根，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出a、b的值，根据算术平方根的定义可得c的值，再用点A表示的数加上点P运动的路程即可得到点P表示的数； （2）点P为折叠前的中点，据此根据中点计算公式求解即可； （3）分折叠后点A在点C左侧和折叠后点A在点C右侧两种情况，分别求出折叠后点C表示的数，进而根据中点计算公式求出点P表示的数，则可得到答案； （4）分P在（不与点重合）上、P在上、P在点C的右边三种情况，根据第二次折叠后C与A的折痕，B与11的折痕是同一点列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵是16的算术平方根， ∴； ∵动点从点出发沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，且点运动的时间为秒， ∴点P表示的数为； （2）解：∵以点为折点，向右折叠数轴，使，两点重合， ∴点P为折叠前的中点， ∴点P表示的数为， ∴， ∴； （3）解：当折叠后点A在点C左侧时，则折叠后点A表示的数为， ∴点P表示的数为， ∴， 解得； 当折叠后点A在点C右侧时，则折叠后点A表示的数为， ∴点P表示的数为， ∴， 解得； 综上所述，或； （4）解：①当在线段上时（不与点重合），则第一次折叠后点A的对应点表示的数小于，若第二次折叠后与点重合，折痕对应的数小于6，若点与11重合，折痕为，故这种情况不可能； ②当点在线段上时（包含，两点），如图，则， ∵点P表示的数为， ∴点表示的数为   点表示的数为 若点与点重合，则第二次折痕表示的数为， 若点与11重合，则第二次折痕表示的数为，折痕一致， ∴均符合题意； ③当点在点右侧时，如图，则， 同理可得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 若点与点重合，则第二次折痕表示的数为， 若点与11重合，则第二次折痕表示的数为， 则， 解得（舍） 综上所述，符合条件的最小值为7，最大值为10． 64．一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 【答案】(1)这块长方形空地的周长为160米 (2)宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了长方形和正方形的面积、周长计算，以及利用比例关系建立方程求解的能力，解题的关键是根据长宽比例设未知数，结合面积公式列方程求出边长，再通过边长关系计算走道宽度，判断车辆能否通行． （1）设长方形空地的长为米，则宽为米，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y米，则长为米，正方形花坛1的边长为米，根据总面积为1200平方米列式，利用平方根的性质求出y，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为米，则宽为米， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为米，则长为米，正方形花坛1的边长为米， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 65．配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为_________，此时_________． (2)某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)6；3 (2)所用的篱笆至少为36米 (3)四边形面积的最小值为25 【分析】本题考查了实数的大小比较、完全平方公式的运用，用配方法求最值，理解在（a、b均为正实数）中，当且仅当a、b满足时，有最小值是解题的关键． 本题主要考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，正确理解题意并举一反三是解题关键； （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6，故可得解； （2）设花圃的宽为x米，则长为米，所用的篱笆，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形ABCD的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． 【详解】（1）解：由题意，设， 由，得， 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为 故答案为：6；3； （2）解：由题意，设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 又令，， 由， ． 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米． （3）解：由题意，设， 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， 又， ， 当时，即（负值舍去）时取等号． 四边形面积的最小值为25． 题型14 平方根的新定义问题 66．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是_____； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】本题考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“青一区间”的定义． （1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是， 故答案为：，； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， ，即， 的“青一区间”为， ， ，即， ， ， 为正整数， 或 当时，， 当时，， 的值为2或； （3）解： ， ，， ， ， ， ，， 两式相减，得， ， 的算术平方根为， ∵ ∴， ， 的算术平方根的“青一区间”是． 67．综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 【答案】(1)4，16，25这三个数是“漂亮数” (2)1，9，16；4，25，64（答案不唯一） (3)81 【分析】本题主要考查了新定义和算术平方根，解题关键是理解已知条件中的定义． （1）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可； （2）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后进行解答即可； （3）分别根据已知条件中的定义和最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，列出关于m的方程，求出m即可． 【详解】（1）解：，，， ，20，10都是整数， ，16，25是“漂亮数”； （2）1，9，16这三个数称为“漂亮数”； 4，25，64这三个数称为“漂亮数”，理由如下： ，，， 1，9，16这三个数称为“漂亮数”； ，，， 4，25，64这三个数称为“漂亮数”； （3）∵正整数， ∴。 三个算术平方根为、、。 ∵，， ∴“最小算术平方根”为15，“最大算术平方根”为。” ， ． 解得． 的值为81． 68．【课本再现】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；的算术平方根是，即．∴被开方数为非负数． (1)【探究新知】若，则的取值范围是 ； (2)【知识应用】若，求的值； (3)【拓展应用】若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法． （1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数确定的取值范围，进而化简绝对值，再解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：，则的取值范围是； 故答案为：； （2）解：， ， 解得：， ； （3）解：， ， ， ， ． 69．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“优美数组”．例如：这三个数，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数是“优美数组”． (1)这三个数是“优美数组”吗？请说明理由； (2)若三个数是“优美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值； (3)若三个数是“优美数组”，将所有满足条件的的取值按从大到小的顺序排列，第1个取值记为，第2个取值记为，以此类推．求的第个取值的表达式（用含的代数式表示）． 【答案】(1)是“优美数组”，理由见解析 (2) (3)，为正整数 【分析】（1）根据“优美数组”的定义进行求解判断即可； （2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“优美数组”的定义进行判断即可． （3）令（为正整数，且），为整数，设，则（为偶数），令（t为正整数），则，此时也为整数，故，再枚举，找出规律即可． 【详解】（1）解：，，这三个数是“优美数组”，理由如下： ∵，，，且4，6，12都是整数， ∴，，这三个数是“优美数组”； （2）解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这两个数的乘积为144， 当时，则， ∵， ∴，此时符合题意； 当时，则不符合题意； 综上所述，； （3）解：∵三个数是“优美数组”， ∴是负整数，且， ∵是整数， ∴只需是整数即可， 令（为正整数，且） 则， ∵为整数，设，则（为偶数）， 令（t为正整数），则， 此时也为整数， ∴（排除，此时；排出，此时）， ∴时，； 时，； 时，； 以此类推，，为正整数． 70．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：_______，_______； (2)若，写出满足题意的的整数值______； (3)①若我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试写出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数______． 【答案】(1)4，6； (2)1，2，3； (3)①3次；②255 【分析】本题考查新定义运算． （1）由根整数的定义，结合及即可得到答案； （2）由根整数的定义，根据得到，再结合与即可确定，从而得到答案； （3）①由根整数的定义，逐次求解即可得到答案； ②由前面求解过程，结合根整数的定义，逐次分析倒推即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ，即， ，， 故答案为：4，6； （2）解：， ， ，， ∴， 或或， 故答案为：1，2，3； （3）解：①第一次：， 第二次：， 第三次：， 第3次之后结果为1， 故答案为：3次； ②由上述求解过程可知，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ，， 进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ，， 进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， 只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255， 故答案为：255． 1．4的平方根是（     ） A． B．2 C． D．16 【答案】A 【详解】解：4的平方根是． 2．的值是（     ） A． B．4 C． D．256 【答案】B 【详解】解：∵表示16的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，又， ∴. 3．下列整数，在与之间的是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】通过比较被开方数大小确定和的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵  ， ∴ ∴． 4．代数式的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵对任意实数，都有， ∴， ∵算术平方根随被开方数增大而增大， ∴，当时取等号， ∴， 即原代数式的最小值是． 5．若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质，根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个非负数都为零据此列式解答即可． 【详解】解：∵且， 又∵， ∴且， ∴ ，， 解得，， ∴． 故选：C． 6．若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】B 【分析】根据题意列方程求解即可； 【详解】解：∵与是同一个数的两个不同的平方根， ∴， 解得：． 7．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根与算术平方根都是 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根的性质是解题关键．根据平方根和算术平方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、9的平方根是，没有平方根，则此项错误，不符合题意； B、没有算术平方根，则此项错误，不符合题意； C、，4的平方根是，则此项错误，不符合题意； D、的平方根与算术平方根都是，则此项正确，符合题意； 故选：D． 8．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论． 【详解】解：第1行的最后一个数是， 第2行的最后一个数是， 第3行的最后一个数是， …… 第8行最后一个数字为， ∴第8行倒数第三个数是， 故选：C． 9．已知，b是49的平方根，且，则的值为（     ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，求一个数的平方根． 先根据绝对值的定义得出，再根据平方根个定义得出，最后根据，得出，得出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵b是49的平方根， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故选：D． 10．如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数． 【详解】解： 正方形的面积为3， ， ， ， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧， 点所表示的数为 . 故选：A. 11．16的平方根是_____． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，若一个数的平方等于 ，则就是 的平方根，据此求解即可． 【详解】解：， 的平方根是． 12．的相反数是______ ；的算术平方根是______ ． 【答案】 8 【分析】先根据有理数乘法法则计算的结果，再根据相反数的定义求解第一个空，最后根据算术平方根的定义求解第二个空. 【详解】解：计算乘积得 . 根据相反数的定义，的相反数是. 因为，且算术平方根为非负数，所以的算术平方根是. 13．一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数为______． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，正数的两个不同平方根互为相反数，据此求出的值，再计算得到这个正数． 【详解】解：一个正数的两个不同平方根为和， ， 解得， 将代入得，该正数的一个平方根为， 这个正数为． 14．已知，则_____． 【答案】 【分析】根据被开方数的小数点每向左移动2位，算术平方根的小数点向左移动1位求解即可． 【详解】解： ∴． 15．图1为五个边长为1的小正方形拼成的图形，若将其剪、拼成一个大正方形（如图2），则图2中的大正方形的边长为______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，关键是明确剪拼前后图形的面积相等．首先计算五个小正方形的总面积，再根据大正方形的面积等于该总面积，利用正方形面积公式求出边长． 【详解】解：根据题意，图1中五个小正方形的总面积为， ∴大正方形的面积为5， 设大正方形的边长为，根据正方形面积公式得， 解得(负值舍去)． 故答案为：． 16．如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、正方形的面积公式，根据题意可得大正方形的面积为，再根据正方形的边长等于其面积的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故答案为：． 17．已知：，则_________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质得，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 所以，． 18．若实数a和b满足，则的算术平方根是________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的被开方数的非负性是解题的关键． 根据平方根的定义，被开方数必须非负，由此确定a的值，再代入方程求b，最后计算的算术平方根 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 19．已知，______，的值为______． 【答案】 【分析】利用非负数的性质求出与的值，代入原式拆项变形，再计算即可求出值． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ ． 20．阅读材料：由，可知的算术平方根是类似地，的算术平方根是________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的计算，通过将表达式配成完全平方形式求解． 【详解】解：， 故 的算术平方根是 ． 故答案为：． 21．计算：． 【答案】 【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂和算术平方根，最后计算有理数加减运算即可． 【详解】解： ． 22．计算：． 【答案】 11 【分析】先分别根据算术平方根、绝对值、乘方的运算法则化简各项，再计算加减即可得到结果． 【详解】解：． 23．解方程： (1) (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以9，最后把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 24．已知某正数的两个不同平方根分别是和，的算术平方根为1．求的值． 【答案】 【分析】根据平方根的性质，算术平方根的定义列式求解即可． 【详解】解：某正数的两个不同平方根分别是和， 故， 解得； 的算术平方根为1， ， 解得． 故． 25．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了平方根解方程． （1）先移项合并同类项，再两边同时除以2，开平方求解即可； （2）先计算算术平方根，再开平方求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：或； （2）解：， ， ， ， ， 解得：或． 26．一个正数的两个平方根记作，，且．若，． (1)求和这个正数； (2)直接填空：________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根的相关概念，掌握相关结论即可； （1）由题意得：，，据此即可求解； （2）由（1）得，；代值计算即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴，解得：； ∴，； ∴这个正数为； （2）解： 27．阅读与思考，请先完成第（1）小题，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握图形的拆补是解题的关键． （1）拼成的正方形面积等于原2个小正方形的面积；进一步求边长即可； （2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可． 【详解】（1）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则 由边长的实际意义，得． 答：该大正方形的边长是； （2）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为5，则 由边长的实际意义，得， 答：该大正方形的边长是． 28．蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴． 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为，面料面积为． (1)求这块长方形蓝印花布面料的长和宽； (2)某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为的正方形布料，他能裁出来吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) 长为，宽为 (2) 不能裁出来，理由见解析 【分析】（1）根据长宽比例设未知数，利用长方形面积公式列方程求解，得到长和宽的值； （2）先根据正方形面积求出边长，再将边长和长方形的宽比较大小，判断能否裁出，用到长方形，正方形面积公式和算术平方根的性质． 【详解】（1）解 ：设这块长方形蓝印花布面料的长为，宽为，其中 已知面料面积为，根据长方形面积公式可得： 整理得 化简得 因为， 所以 因此长为，宽为。 这块面料长为，宽为 ； （2）解：设裁出的正方形布料边长为，其中 已知正方形面积为，可得： 因为， 所以 因为长方形面料的宽为，且，， 所以， 即正方形边长大于长方形面料的宽， 因此不能裁出来 答：他不能裁出来符合要求的正方形布料． 29．清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 【答案】(1)直角三角形的三边长为15，20，25； (2) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，先求出的值，再得出的值，即可解答； （2）设直角三角形的三边长分别为，，，利用三角形的面积公式得出，则有． 【详解】（1）解：当面积S等于150时， 第一步：， 第二步：， 第三步：直角三角形的三边长分别为，，， 直角三角形的三边长为15，20，25； （2）解：设直角三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴， ∴直角三角形的面积， ∴， ∴， 故答案为：． 30．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：_______，_______； (2)若，写出满足题意的的整数值______； (3)①若我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试写出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数______． 【答案】(1)4，6； (2)1，2，3； (3)①3次；②255 【分析】本题考查新定义运算． （1）由根整数的定义，结合及即可得到答案； （2）由根整数的定义，根据得到，再结合与即可确定，从而得到答案； （3）①由根整数的定义，逐次求解即可得到答案； ②由前面求解过程，结合根整数的定义，逐次分析倒推即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ，即， ，， 故答案为：4，6； （2）解：， ， ，， ∴， 或或， 故答案为：1，2，3； （3）解：①第一次：， 第二次：， 第三次：， 第3次之后结果为1， 故答案为：3次； ②由上述求解过程可知，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ，， 进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ，， 进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， 只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255， 故答案为：255． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 平方根 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求一个数的算术平方根 题型2 利用算术平方根的非负性解题 题型3 估计算术平方根的取值范围 题型4 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型5 算术平方根的实际应用 题型6 与算数平方根有关的规律探究题 题型7 平方根的概念理解 题型8 求一个数的平方根 题型9 平方根的应用 题型10 已知一个数的平方根求这个数 题型11 平方根、算术平方根的规律探究题（压轴） 题型12 算术平方根的实际应用（压轴） 题型13 与平方根、算术平方根有关的几何问题 题型14 平方根的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 算术平方根、平方根 算术平方根的非负性 算术平方根、平方根的实际应用 1.理解平方根与算术平方根的定义，清晰区分二者概念与专属符号。 2.掌握平方根的性质，明确正数、零、负数的平方根存在规律。 3.熟练求解非负数的平方根与算术平方根，规范书写解题步骤。 4.通过平方与开平方运算，体会数学互逆运算的转化思想。 5.能运用平方根知识解决简单实际问题，提升数学运算能力。 学习重点：理解平方根和算术平方根的概念，掌握平方根的正确求解方法。 学习难点：区分平方根与算术平方根，熟练运用性质解决相关辨析类题型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 易错点： 1. 概念混淆易错：混淆平方根与算术平方根，正数平方根有正负两个值，算术平方根仅为非负值，答题时常漏写负平方根或多写符号。 2. 取值范围易错：忽略负数没有平方根，随意对负数开平方求值。未牢记零的平方根和算术平方根均为零的特殊性质。 3. 符号运用易错：分不清、的含义，误将根号运算默认成正负平方根，符号书写不规范。 4. 逆运算易错：混淆平方与开平方互逆关系，计算平方根时漏项、算错数值，化简带分数、小数的平方根极易出错。 5. 隐含条件易错：忽略被开方数是非负数的隐含条件，解题时不判断取值范围，导致出现无意义的错误结果。 即时即练 1．“的平方根是”的数学表达式是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C． D． 3．一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是________ ． 知识点02 平方根的性质 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 易错点： 1. 存在性性质易错：记错平方根存在规律，正数两平方根互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，常误对负数开平方。 2. 双重非负性性质易错：忽视平方根核心性质，被开方数a≥0、算术平方根√a≥0，解题常忽略隐含条件导致无解或错解。 3. 平方根和差性质易错：不会运用正数两平方根互为相反数、和为0的性质解题，无法快速列式求参数，容易漏用核心条件。 4. 平方化简性质易错：混淆两大公式性质，错将√a²直接等于a，忽略需根据a的正负取绝对值，与(√a)²=a混淆误用。 5. 等值平方根性质易错：片面认为平方根相等则原数相等，忽略两数互为相反数时平方根也可相等，解题极易出现漏解情况。 即时即练 4．若，则_______． 5．正数的两个平方根分别是和，则正数_________． 6．已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数m； (3)求关于x的方程 的解． 知识点03 算术平方根 开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 即时即练 7．的算术平方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 8．已知，则的值为_____． 9．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 题型1 求一个数的算术平方根 1．有理数64的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 2．计算：（     ） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 4．计算：___． 5．计算：． 题型2 利用算术平方根的非负性解题 6．若，则的值为（    ） A． B．3 C．1 D．5 7．若，则的值为（   ） A． B．1 C．32026 D． 8．若实数、满足，则______． 9．已知实数满足，则的值为__________． 10．已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 【易错警示】 利用算术平方根非负性解题，需牢记被开方数与算术平方根结果均大于等于0。解题易忽略双重非负性隐含条件，漏写取值范围。多个非负数和为0时，需每项均为0，切勿主观臆断，务必严谨列式求解检验。 题型3 估计算术平方根的取值范围 11．估计的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．22和24之间 12．若，，为连续的整数，则的值为（     ） A． B． C． D． 13．若，其中n为正整数，则_______． 14．若n为正整数，且满足，则________． 15．阅读与思考：请仔细阅读，并完成相应任务． 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值 例如：，4，6最接近， 的最初近似值为， 的二级近似值为， 的三级近似值为． 任务： (1)的最初近似值是_______；二级近似值是_______ (2)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 题型4 求算术平方根的整数部分与小数部分 16．数，则有，即，所以的整数部分是2，小数部分是．用这种方法可以推断的整数部分和小数部分分别是（   ） A．5， B．2， C．5， D．2， 17．的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 18．已知是的整数部分，是它的小数部分，则________． 19．根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 20．（阅读材料） ∵，即 ∴ ∴的整数部分为1 ∴的小数部分为 （解决问题） (1)填空：的整数部分是__________，小数部分是__________． (2)已知a是的小数部分，b是的整数部分，求代数式的值； (3)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求出的值． 【易错警示】 估算算术平方根时，易精准定界失误导致整数部分判错。牢记小数部分等于原数减去整数部分，切记小数部分恒为非负数。解题常出现小数部分写反、漏写取值范围问题，需准确夹逼估值，规范列式验算。 题型5 算术平方根的实际应用 21．小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． 22．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为__________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长、宽之比为，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 23．问题：“一个边长为的正方形，对角线是多长呢？”以下是小明同学的思路： “如图，画一个正方形，连接，相交于点，就得到4个完全一样的等腰直角三角形．若设其中一直角边长为，则正方形的面积既可以用边长表示，也可以用个等腰直角三角形的面积之和来表示，于是可以列出方程求解出，也就求出了正方形的对角线长．” (1)当时，请你依照小明的思路求出正方形对角线长； (2)填空：①若一个正方形边长，则其对角线的长度为__________； ②若一个正方形对角线长为，则这个正方形的边长为__________． 24．如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个大正方形． (1)求小正方形对角线的长度； (2)把正方形放在数轴上，如图2，使得C与重合，D在数轴上表示的数为m，求的值． 25．交通警察通常根据刹车后车轮滑动的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑动的距离（单位：m），f表示动摩擦因数． (1)若某车刹车后车轮滑动的距离，动摩擦因数，这辆车的速度是___________； (2)在某次交通事故调查中，测得，，该路段限速，这辆肇事汽车是否超速？ 题型6 与算数平方根有关的规律探究题 26．按要求解答问题： (1)计算：_________，_________． (2)根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于吗？_________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_________；_________． 27．填写表格： a 0.0016 0.16 16 1600 0.04 0.4 从中观察得出被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律． 28．通过观察后再回答问题． 200 (1)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决问题： 已知，，则______； (2)已知，，用含m的代数式表示n（请写出解答过程）． 29．在算术平方根的学习中，我们做过以下思考： (1)①___________；②___________；③___________． (2)①___________；②___________；③___________． (3)你有什么发现？你能根据算术平方根的定义等知识，说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？ 30．阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 【易错警示】 算术平方根规律探究题，易片面归纳局部规律，忽略被开方数非负的隐含条件。混淆根式变形公式，未验证式子通用性。忽视取值范围、符号变化，仅凭直觉总结规律，导致结论错误，需多举例验证规律。 题型7 平方根的概念理解 31．下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 32．下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 33．下列说法正确的是（    ） A．没有平方根 B．算术平方根是其本身的数是 C．的平方根是 D．的值一定是 34．正数m的一个平方根是，则另一个平方根是__________（用含a的代数式表示）． 35．回答下列问题： (1)12是144的平方根吗？ (2)169的负的平方根是哪个数？ (3)是0.9的平方根吗？ (4)哪个数的平方根只有一个？ 题型8 求一个数的平方根 36．的平方根是（     ） A． B．9 C． D． 37．已知数A的两个不同的平方根是和，则数A是（     ） A．2 B．3 C．9 D． 38．如果，则的平方根是______． 39．若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 40．已知一个正数x的两个平方根分别是和，． (1)求a和x的值； (2)求的平方根． 题型9 平方根的应用 41．在月球上，物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系是，那么，在月球上，当物体自由下落的高度为时，其下落的时间是多少？ 42．工人师傅准备从一块面积为16平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为12平方分米的长方形工件，若要求裁下来的长方形的长和宽的比为，问这块正方形工料能否裁出．（参考数据：，） 43．图中的正方形的边长是．    (1)求这个正方形面积． (2)将这个正方形沿对角线剪开后拼成一个直角三角形，则正方形的对角线就变成了三角形的两条直角边．你能从中得到启发，求出这个正方形对角线的长吗？ 44．动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖怪的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是________； (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 45．如图，用图1中的两个面积为的小正方形纸片拼成图2中的一个大正方形； (1)求图2中拼成的大正方形纸片的边长； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请你通过计算说明理由． 【易错警示】 运用平方根解决实际问题时，常忽略结果的实际意义盲目取值。正数平方根有两个，应用题需舍去负值。易混淆平方根与算术平方根，审题不清选错公式，未结合题意检验答案合理性，造成解题失误。 题型10 已知一个数的平方根求这个数 46．若一个正数的两个不相等的平方根分别是和＋，则这个正数是(    ) A．4 B．8 C．16 D．64 47．如果一个数的两个平方根分别是 与．那么这个数是______ 48．已知实数b是的平方根，当a为非负整数时，满足是有理数，则b的值可以是______． 49．已知，． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 50．定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 题型11 平方根、算术平方根的规律探究题（压轴） 51．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，，则（    ） A．130 B．1300 C．41.1 D．411 52．从表格中探究a与数位的规律，已知，若，用含m的式子表示b，则b是m的多少倍（    ）      …           1 100 10000 … …           1 10 100 … A． B． C． D． 53．利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … … 根据以上规律，若，，则____________． 54．如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由，可以确定是________位数； ②由1849的个位上的数是________，可以确定的个位上的数是________或________； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，可以确定的十位上的数是________；因，而，所以选择较小的个位数字，则_______． (2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 55．阅读观察下列算式，探究规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： (1)计算：； (2)计算：； (3)按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________． 题型12 算术平方根的实际应用（压轴） 56．阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 57．【探究】 (1)观察下列算式，并完成填空： ， ， ， ， ______． (2)下图是某广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，每层有块正方形地板砖，第一层包括块正三角形地板砖，第二层包括块正三角形地板砖……以此递推． （ⅰ）第层中含有______块正三角形地板砖； （ⅱ）第层中含有______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． 【应用】 (3)若某学校拟采用如图样式的图案铺设地面，现有块正六边形、块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正方形地板砖？ 58．根据下表所提供的信息解答问题． x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 (1)10.89的平方根是________． (2)物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 59．项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____； 【项目素材】 如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，变成纸⋯⋯． 【任务探究】 (2)将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点E恰好和点D重合，则纸的长与宽之比为____； (3)根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）（参考数据：，，，，，，，） (4)在纸中能裁剪出面积为的圆吗？若能，请你设计裁剪方案；若不能，请说明理由（取3）． 60．解答下列问题：       (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)如图3，某同学把长为2、宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成一个正方形，求里面小正方形的边长； (3)若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片？若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 题型13 与平方根、算术平方根有关的几何问题 61．探究解题 (1)如图1，将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形，则大正方形的边长=______； (2)在数轴上表示出点M，使点M表示的数为图1中大正方形的边长（要求保留痕迹并用简单语言描述确定点M位置的过程）； (3)按照国际标准，A系列纸为长方形，且长宽比为定值，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸······． 现将纸按如图2所示的方式折叠，会发现A系列纸的长宽比值=______；你能根据此比值计算纸的长与宽分别是多少毫米吗？（结果取整数，注：，，） 62．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：_____；图2：；图3：_____． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ， ，即：， 又， ． 方法二：从“形”的角度解： ， ， 又， ， ． 即． 类比迁移： （2）若则_____． （3）若为非负数，，则_____． （4）若，则_____． （5）如图5，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 63．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．某数学小组在一张白纸上画了一条数轴，点、、对应的数分别为、、，且、满足，是16的算术平方根．动点从点出发沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，设点运动的时间为秒． (1)填空：________，________，________，点在数轴上所表示的数为________（用含的代数式表示）； 操作一： (2)以点为折点，向右折叠数轴，使，两点重合，此时所表示的数为________，________； 操作二： (3)以点为折点，向右折叠数轴，若折叠后，两点之间的距离为2，此时________； 操作三： (4)以点为折点，向右折叠数轴，再将第一次折叠后的数轴沿某点继续向右折叠一次，有没有这样的时间使得，两点重合，且点与数轴上的数11重合？若有，请求出符合条件的时间的最大值和最小值；若无，请说明理由． 64．一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 65．配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为_________，此时_________． (2)某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 题型14 平方根的新定义问题 66．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是_____； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 67．综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 68．【课本再现】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；的算术平方根是，即．∴被开方数为非负数． (1)【探究新知】若，则的取值范围是 ； (2)【知识应用】若，求的值； (3)【拓展应用】若，求的值． 69．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“优美数组”．例如：这三个数，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数是“优美数组”． (1)这三个数是“优美数组”吗？请说明理由； (2)若三个数是“优美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值； (3)若三个数是“优美数组”，将所有满足条件的的取值按从大到小的顺序排列，第1个取值记为，第2个取值记为，以此类推．求的第个取值的表达式（用含的代数式表示）． 70．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：_______，_______； (2)若，写出满足题意的的整数值______； (3)①若我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试写出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数______． 1．4的平方根是（     ） A． B．2 C． D．16 2．的值是（     ） A． B．4 C． D．256 3．下列整数，在与之间的是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．代数式的最小值是（     ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D． 7．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根与算术平方根都是 8．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 9．已知，b是49的平方根，且，则的值为（     ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 10．如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 11．16的平方根是_____． 12．的相反数是______ ；的算术平方根是______ ． 13．一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数为______． 14．已知，则_____． 15．图1为五个边长为1的小正方形拼成的图形，若将其剪、拼成一个大正方形（如图2），则图2中的大正方形的边长为______． 16．如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为___________． 17．已知：，则_________． 18．若实数a和b满足，则的算术平方根是________． 19．已知，______，的值为______． 20．阅读材料：由，可知的算术平方根是类似地，的算术平方根是________ ． 21．计算：． 22．计算：． 23．解方程： (1) (2)． 24．已知某正数的两个不同平方根分别是和，的算术平方根为1．求的值． 25．解方程 (1)； (2)． 26．一个正数的两个平方根记作，，且．若，． (1)求和这个正数； (2)直接填空：________． 27．阅读与思考，请先完成第（1）小题，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 28．蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴． 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为，面料面积为． (1)求这块长方形蓝印花布面料的长和宽； (2)某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为的正方形布料，他能裁出来吗？请通过计算说明理由． 29．清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 30．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：_______，_______； (2)若，写出满足题意的的整数值______； (3)①若我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试写出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数______． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $