第13讲 勾股定理的逆定理（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材苏科版

第13讲 勾股定理的逆定理（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 勾股定理的的逆定理 同学们，四千多年前的古埃及工匠，没有精密量具，却能在尼罗河畔画出标准直角.他们拿出一根长绳，均匀打上绳结，将绳子分出2个结距、3个结距、4个结距的三段，再用木桩围出三角形.奇妙的是，两条短边相交的角恰好是直角！ 为什么边长为3、4、5的三角形，就一定有直角？反过来思考：如果一个三角形的三条边长满足“两边平方和等于第三边平方”，这个三角形是不是必然为直角三角形？ 今天我们就一起来探究这个规律，学习勾股定理的逆定理. 【知识点1 勾股定理的逆定理】 1. 如果三角形的三边长分别为a，b，c，且，那么这个三角形是直角三角形． 2. 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数”．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，是以“一个三角形的三边长满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”． 联系：勾股定理与其逆定理的条件和结论正好相反，都与直角三角形有关． 【知识点2 勾股数】 定义 如果三个正整数a，b，c满足关系，则称a，b，c为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数； ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数 常见形式 ①，，（为大于1的整数）； ②，，（n为正整数）等 判断勾股数的方法步骤 （1）确定三个是正整数； （2）确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大数的平方与两个较小的数的平方和； （3）进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则三个正整数是勾股数，否则不是． 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（24-25八年级下·吉林白山·期末）以下列数据为边，不能组成直角三角形的是（   ） A．1，1， B．，， C．1，， D．6，8，10 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：根据勾股定理的逆定理，逐一判断： A.最长边为，， 能构成直角三角形，故不符合题意； B.最长边为，， 能构成直角三角形，故不符合题意； C.最长边为，， 不能构成直角三角形，故符合题意； D.最长边为，， 能构成直角三角形，故不符合题意． 【变式1-1】（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）一个三角形的三边长分别是厘米，厘米，厘米，这个三角形___________（填“是”或“不是”）直角三角形． 【答案】不是 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，否则不是直角三角形，验证三边长是否满足该关系，即可判断． 【详解】解：由题意可知三角形三边长分别为厘米，厘米，厘米，其中最长边为厘米， 计算两条较短边的平方和：， 最长边的平方为：， ∵， 即， 故这个三角形不是直角三角形． 【变式1-2】（25-26八年级下·山东济宁·阶段检测）三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是____________． 【答案】勾股定理的逆定理 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理的逆定理，三边长分别为、、的三角形不是直角三角形， ∴判断该三角形不是直角三角形，依据是勾股定理的逆定理． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）有①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，，各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】若三角形三边中两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，结合三角形三边关系定理逐一验证各组数即可统计得到结果． 【详解】①，，, ， 能组成直角三角形； ②，，， ， 能组成直角三角形； ③，，， ， 能组成直角三角形； ④，，， ，，， 不能组成直角三角形； ⑤，，， ，不满足三角形三边关系定理， 不能构成三角形，故不能组成直角三角形； 综上，能组成直角三角形的个数为，故选C． 【题型2 勾股数】 【例2】（25-26八年级下·新疆巴州·阶段检测）下列各组数，是勾股数的一组是（     ） A．6，8，10 B．13，14，15 C．3，5， D．2，， 【答案】A 【分析】根据勾股数是指三个正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方逐一验证即可得到结果． 【详解】解：根据勾股数定义，首先三个数必须都是正整数， ∵选项C中不是正整数，选项D中和不是正整数，∴排除C，D； 对选项B：最大数为15，计算得，，， 故选项B中三个数不是勾股数； 对选项A：6，8，10都是正整数，且，满足勾股数定义，∴选项A符合题意． 【变式2-1】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）若是一组勾股数，则整数的值为___________． 【答案】13 【分析】分两种情况讨论：当a最大时，当最大时，即可求解． 【详解】解：当a最大时，， 当最大时， ，不是正整数， 所以a的值为13． 【变式2-2】（25-26八年级下·江西上饶·期中）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫作勾股数，某同学用下表呈现了一系列的勾股数，依据表中的规律，可知的值为___________． 3 5 7 9 11 … 4 12 24 40 … 5 13 25 41 … 【答案】60 【分析】先理解题意，再依据表中的规律，得出，，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：依据表中的规律，得出，， 即 ∴ 解得． 【变式2-3】（25-26九年级下·广东佛山·阶段检测）解决下列问题： (1)大家知道都是勾股数组．有人说勾股数组中一定有一个偶数，你认为这种观点正确吗？请说明你的理由． (2)你还能发现勾股数组具有哪些规律？ (3)小明发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，如，再找几个勾股数组，看看他发现的规律是否正确．满足这个规律的数组都是勾股数组吗？ 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)规律见解析 (3)他发现的规律正确，满足这个规律的数组都是勾股数组 【分析】由勾股定理，结合勾股数组、数的整除性、整式运算及因式分解验证规律、找寻规律即可． 【详解】（1）解：这种观点正确， 理由如下： 设勾股数组为， 若为奇数，则，，为正整数， ，为正整数， 即任何整数的平方除以的余数只可能是或， 不可能等于， 故两直角边不可能同时为奇数，因此，中至少有一个是偶数， 综上所述，勾股数组中一定有一个是偶数； （2）解：①将一组勾股数中的每一个数同时扩大正整数倍后，仍然是一组勾股数，如，都乘以得到也是勾股数； ②当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数，如，最大的两个数是连续整数，最小数的平方是奇数； ③当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是的倍数，如，最大的两个数是连续的奇数，另一数的平方，是的倍数； （3）解：他发现的规律正确， 理由如下： 如：勾股数，其中，满足该形式； 勾股数，约去公因数后为，其中，满足该形式； …， ∴小明发现的规律正确； ， ∴满足这个规律的数组都满足勾股定理，必为勾股数组． 【题型3 网格中判断直角三角形】 【例3】（25-26八年级下·北京·期中）已知图中每个小正方形的边长为，判断的形状． 【答案】是直角三角形． 【分析】根据勾股定理分别求出、、的长；根据勾股定理的逆定理，即可判断的形状． 【详解】解：，，， ∵，即， 故是直角三角形． 【变式3-1】（25-26八年级上·全国·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先根据勾股定理求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的三边长分别为3，，， ∵， ∴选项A中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； B、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项B中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； C、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项C中的三角形是直角三角形，故符合题意； D、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项D中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．延长至点D，连接，根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点D，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【变式3-3】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则_________°． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理与网格，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据勾股定理与网格，勾股逆定理，得出是直角三角形，且，再结合网格特征，证明，则，故，则，即可作答． 【详解】解：连接， 依题意，，， ∵， ∵是直角三角形，且， ∵， ∴， 则， 结合网格特征，得， 则， ∴， 故答案为：． 【题型4 利用勾股定理的逆定理求解】 【例4】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，由作图可知，，再结合等面积法求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是直角三角形，， 由作图可知，， ， ． 【变式4-1】（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据边长比例设三边长为，，，结合周长求出，再利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后计算面积即可． 【详解】解：∵三角形三条边长之比为 ∴设三边长分别为，， ∵三角形周长为 ∴ 解得 ∴三角形三边长分别为，， ∵ ∴该三角形是直角三角形，两条直角边为和 ∴面积为． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知一个三角形的三边长分别为2，3，，则该三角形最长边上的中线长为（   ） A． B．1 C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和直角三角形的性质，证明出该三角形是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形，再根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得解． 【详解】解：由题知， ∴该三角形是直角三角形，3是斜边长， ∴最长边上的中线长为， 故选：C． 【变式4-3】（24-25七年级下·广东深圳·期末）中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是______． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、角平分线的性质，连接，过点O作于D，于E，于F，根据勾股定理的逆定理得到，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于D，于E，于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵O是两内角平分线的交点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 则O到的距离是2， 故答案为：2． 【题型5 图形上与已知两点构成直角三角形】 【例5】如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形. 【答案】见解析 【分析】本题是直角三角形定义的应用问题，如果三角形有一个内角是直角，那么这个三角形就是直角三角形.根据三角形内角和定理，三角形中是直角的内角最多只有一个.从图中可以看出线段AB没有经过任何一个小正方形的边，因此从点A、B处构造直角比较困难；所以考虑在点C处构造直角，通过点A和点B分别作水平和竖直的直线，则直线交点就是点C的位置. 【详解】过点A作竖直的直线，过点B作水平的直线，交点处就是点C，如图①；或者过点A作水平的直线，过点B作竖直的直线，交点处就是点C，如图②. 【点睛】本题考查直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理，解答的关键是掌握直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理. 【变式5-1】在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 【变式5-2】如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 【变式5-3】如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 【题型6 利用勾股定理的逆定理判定直角】 【例6】（2025八年级上·全国·专题练习）车间李师傅收到一个零件质检任务，零件如图所示，按照规定，李师傅依次测量三条边的长度，由此判断该零件是否合格．李师傅这样做的依据是（    ） A．直角三角形两锐角互余 B．三角形两边之和大于第三边 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理；根据勾股定理的逆定理的定义即可求出结果． 【详解】解：根据题意，李师傅这样做的依据是勾股定理的逆定理； 根据勾股定理的逆定理得，若，则说明；则该零件合格； 故选：D． 【变式6-1】木工师傅要做一扇长方形纱窗，做好后量得长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米，则这扇纱窗________（填“合格”或“不合格”） 【答案】不合格 【分析】根据勾股定理的逆定理，若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，即可解答． 【详解】解：根据矩形的性质得：矩形的长、宽、对角线三边能构成直角三角形， ∵长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米， ∴ ， ∴长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米的三边不能构成直角三角形， 即这扇纱窗不合格． 故答案为：不合格． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理的逆定理，能根据勾股定理的逆定理判断三条边长能否构成直角三角形是解题的关键． 【变式6-2】（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，为某种帐篷支架的立柱，和分别为两侧坡柱．安装时要求A，D，B三点固定在地面上，于点D，且．如果按，，进行设置，请判断此支架是否合格． 【答案】合格 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理求出，，得到的长，根据勾股定理的逆定理证明，即可解答． 【详解】解：， ， 在中，， 在中，， ． ，， ， ∴是直角三角形，， 此支架合格． 【变式6-3】某工厂要加工一个零件的形状如图所示，按要求这个零件中必须是直角．工人师傅测量得为直角，这个零件的其余尺寸如图所示．    (1)这个零件符合要求吗？ (2)求四边形的面积． 【答案】(1)这个零件符合要求 (2)114 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形的面积，掌握勾股定理的逆定理及三角形的面积计算公式是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理判断即可； （2）利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：符合要求，理由如下： ， ， ， ， ∴这个零件符合要求． （2）解：， ， ， ． 【题型7 勾股定理及其逆定理的综合】 【例7】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）如图，在中，为边上的一点，连接，过点作交的延长线于点．已知，，，，求的面积． 【答案】150 【分析】勾股定理求出的长，逆定理得到，再利用面积公式进行计算即可. 【详解】解：， ， ∵，， ， ∵，， ， 是直角三角形，且， ． 【变式7-1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 【变式7-2】如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和勾股定理的逆定理、勾股定理，解题的关键是根据尺规作图判断出垂直平分线，得到相等线段，再通过边长关系验证直角三角形，进而求出的长． 先根据尺规作图特征，确定是的垂直平分线、是的垂直平分线，得、；计算的长度；再通过、、的边长关系，用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出；最后在中，用勾股定理求出． 【详解】解：由尺规作图可知，垂直平分垂直平分， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）， （线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）． ∴ 在中， ， ∵，即， ∴为直角三角形，且，即． 在中，由勾股定理得： ． 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为______ 时， 为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于，如图： 则四边形为长方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，， ， 当时，， 即， ， 解得，； 当时，如图：作于， 由勾股定理得，，， ， 在中，， 即， ， 解得：； 当时，在中， 则， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 模块三 课后作业 1．（25-26八年级下·北京·期中）下列数据中，不是勾股数的是（     ）． A．3，4，5 B．1，2，， C．8，15，17 D．5，12，13 【答案】B 【分析】勾股数是能作为直角三角形三边长的三个正整数，需同时满足：三个数均为正整数，且两较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可． 【详解】解： A 三个数都是正整数，且，是勾股数，不符合题意； B 不是正整数，不符合勾股数的定义，不是勾股数，符合题意； C 三个数都是正整数，且，是勾股数，不符合题意； D 三个数都是正整数，，是勾股数，不符合题意． 2．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期末）在中，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】勾股定理逆定理：若一个三角形三边长为，且满足，则该三角形是直角三角形，边长为的边所对的角为直角．根据勾股定理逆定理即可求解． 【详解】解：∵在中，满足， 根据勾股定理逆定理，两条较短边的平方和等于最长边的平方，最长边所对的角是直角， ∴是斜边，斜边所对的角是， 因此． 4．（20-21八年级上·福建泉州·期末）在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【答案】C 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项B中如果 a2＝b2+c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C =75°，没有直角，不是直角三角形，故选项C错误， 选项D中如果 a：b：c＝3：4：5，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 故选：C 【点睛】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题． 5．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解： ，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 6．（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为___． 【答案】30 【分析】根据非负数的性质求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，最后根据三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解： ，，，且， ，，， 解得，，． ，， ， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，直角边为和， 的面积为． 7．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则_________°． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理与网格，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据勾股定理与网格，勾股逆定理，得出是直角三角形，且，再结合网格特征，证明，则，故，则，即可作答． 【详解】解：连接， 依题意，，， ∵， ∵是直角三角形，且， ∵， ∴， 则， 结合网格特征，得， 则， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，，，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则______度，______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，掌握作角平分线的方法，角平分线的性质，勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理可求出是直角三角形，求出；过点作，根据角平分线的性质，勾股定理可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； 根据作图可得是角平分线，如图所示，过点作于点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 故答案为：， ． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为______． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ， 故答案为：16 ． 10．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【分析】（1）对和运用勾股定理求解即可； （2）证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； （2）略 11．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， (2)判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形 【详解】解：（1）如图：即为所求， （2）由勾股定理可知，三边正好为勾股弦，即， （1）中的三角形是直角三角形． 12．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理逆定理可得结论； （2）首先确定的长，进而可得的长，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线分别交、于点、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：∵，且， ∴ ∴， ∴． 由（1）得是直角三角形，且， ∴． 13．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1)15 (2)有，见解析 【分析】（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； (2)计算得到AC2+BC2=AB2，即△ABC为直角三角形，直接两直角边的积除以2求面积， 【详解】（1）∵，，    ∴ ∴ （2）证明：∵，， ∴，， ∴ ∴ 所以∆ABC为直角三角形； ∴ 【点睛】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 勾股定理的逆定理（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 勾股定理的的逆定理 同学们，四千多年前的古埃及工匠，没有精密量具，却能在尼罗河畔画出标准直角.他们拿出一根长绳，均匀打上绳结，将绳子分出2个结距、3个结距、4个结距的三段，再用木桩围出三角形.奇妙的是，两条短边相交的角恰好是直角！ 为什么边长为3、4、5的三角形，就一定有直角？反过来思考：如果一个三角形的三条边长满足“两边平方和等于第三边平方”，这个三角形是不是必然为直角三角形？ 今天我们就一起来探究这个规律，学习勾股定理的逆定理. 【知识点1 勾股定理的逆定理】 1. 如果三角形的三边长分别为a，b，c，且，那么这个三角形是直角三角形． 2. 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数”．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，是以“一个三角形的三边长满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”． 联系：勾股定理与其逆定理的条件和结论正好相反，都与直角三角形有关． 【知识点2 勾股数】 定义 如果三个正整数a，b，c满足关系，则称a，b，c为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数； ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数 常见形式 ①，，（为大于1的整数）； ②，，（n为正整数）等 判断勾股数的方法步骤 （1）确定三个是正整数； （2）确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大数的平方与两个较小的数的平方和； （3）进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则三个正整数是勾股数，否则不是． 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（24-25八年级下·吉林白山·期末）以下列数据为边，不能组成直角三角形的是（   ） A．1，1， B．，， C．1，， D．6，8，10 【变式1-1】（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）一个三角形的三边长分别是厘米，厘米，厘米，这个三角形___________（填“是”或“不是”）直角三角形． 【变式1-2】（25-26八年级下·山东济宁·阶段检测）三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是____________． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）有①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，，各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 勾股数】 【例2】（25-26八年级下·新疆巴州·阶段检测）下列各组数，是勾股数的一组是（     ） A．6，8，10 B．13，14，15 C．3，5， D．2，， 【变式2-1】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）若是一组勾股数，则整数的值为___________． 【变式2-2】（25-26八年级下·江西上饶·期中）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫作勾股数，某同学用下表呈现了一系列的勾股数，依据表中的规律，可知的值为___________． 3 5 7 9 11 … 4 12 24 40 … 5 13 25 41 … 【变式2-3】（25-26九年级下·广东佛山·阶段检测）解决下列问题： (1)大家知道都是勾股数组．有人说勾股数组中一定有一个偶数，你认为这种观点正确吗？请说明你的理由． (2)你还能发现勾股数组具有哪些规律？ (3)小明发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，如，再找几个勾股数组，看看他发现的规律是否正确．满足这个规律的数组都是勾股数组吗？ 【题型3 网格中判断直角三角形】 【例3】（25-26八年级下·北京·期中）已知图中每个小正方形的边长为，判断的形状． 【变式3-1】（25-26八年级上·全国·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则______． 【变式3-3】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则_________°． 【题型4 利用勾股定理的逆定理求解】 【例4】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 【变式4-1】（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知一个三角形的三边长分别为2，3，，则该三角形最长边上的中线长为（   ） A． B．1 C． D．无法确定 【变式4-3】（24-25七年级下·广东深圳·期末）中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是______． 【题型5 图形上与已知两点构成直角三角形】 【例5】如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形. 【变式5-1】在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直． 【变式5-3】如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形． 【题型6 利用勾股定理的逆定理判定直角】 【例6】（2025八年级上·全国·专题练习）车间李师傅收到一个零件质检任务，零件如图所示，按照规定，李师傅依次测量三条边的长度，由此判断该零件是否合格．李师傅这样做的依据是（    ） A．直角三角形两锐角互余 B．三角形两边之和大于第三边 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【变式6-1】木工师傅要做一扇长方形纱窗，做好后量得长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米，则这扇纱窗________（填“合格”或“不合格”） 【变式6-2】（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，为某种帐篷支架的立柱，和分别为两侧坡柱．安装时要求A，D，B三点固定在地面上，于点D，且．如果按，，进行设置，请判断此支架是否合格． 【变式6-3】某工厂要加工一个零件的形状如图所示，按要求这个零件中必须是直角．工人师傅测量得为直角，这个零件的其余尺寸如图所示．    (1)这个零件符合要求吗？ (2)求四边形的面积． 【题型7 勾股定理及其逆定理的综合】 【例7】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）如图，在中，为边上的一点，连接，过点作交的延长线于点．已知，，，，求的面积． 【变式7-1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【变式7-2】如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为_____． 【变式7-3】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为______ 时， 为直角三角形． 模块三 课后作业 1．（25-26八年级下·北京·期中）下列数据中，不是勾股数的是（     ）． A．3，4，5 B．1，2，， C．8，15，17 D．5，12，13 2．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·福建漳州·期末）在中，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定 4．（20-21八年级上·福建泉州·期末）在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 5．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为___． 7．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则_________°． 8．如图，在中，，，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则______度，______． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为______． 10．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 11．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， (2)判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 12．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 13．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $