广东省广州市2025-2026学年高一下学期数学期末冲刺自编模拟卷

**基本信息** 本卷聚焦高一数学核心内容，融入航天知识竞赛、手工制作等真实情境，通过分层设题考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量运算、圆锥侧面积、概率事件关系|第8题结合掷骰子情境辨析事件独立性，发展推理意识| |填空题|3题/15分|分层抽样、仰角测量、三角函数模型|14题以圆柱展开为背景构建三角函数解析式，体现数学建模| |解答题|5题/77分|函数奇偶性、圆锥侧面展开、立体几何翻折、概率比赛问题|19题设计羽毛球比赛赛制，考查复杂概率计算，培养应用意识|

广东省广州市2025-2026学年下学期高一数学期末冲刺模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．数据12，13，14，15，17，19，23，25，27，30的第70百分位数是（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 3．已知圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，是两个单位向量，且，的夹角为，则（   ） A．1 B． C． D．3 5．如图，在中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．在空间中，l，m是不重合的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 8．掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E，“两个点数都是奇数”为事件F，“两个点数之和是偶数”为事件M，“两个点数之积是偶数”为事件N，则（    ） A．事件E与事件F互为对立事件 B．事件M与事件N相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件F与事件相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 10．年月日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌．为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛．为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了名参赛市民的成绩作为样本进行统计（满分：分），得到如下的频率分布直方图，则（    ） A．图中的值为 B．估计样本中竞赛成绩的众数为 C．估计样本中竞赛的平均成绩不超过分 D．估计样本中竞赛成绩的第百分位数为 11．如图，正八面体的八个面都是正三角形，且四边形是边长为2的正方形，则（    ） A．∥平面 B．平面平面 C．与平面所成角为 D．若正四面体可在内任意转动，则该正四面体棱长的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某企业生产，，三种不同型号的产品，其产量之比为5∶4∶3，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有12件，则________． 13．司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米． 14．手工制作直角圆管弯头时，需先在图纸上绘出展开的截线以便裁剪．现用与底面成45°角的平面斜截底面直径为4.6cm，高为9.0cm的圆柱形纸筒，测得截线最高点距底面6.8cm．从某条母线l出发，沿圆周按规定的正方向量得弧长4.0cm处，恰好到达最高点所在的母线． 沿母线l将纸筒剪开摊平，以矩形下边缘与剪开的母线所在直线分别为x轴、y轴，圆周正方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：cm）．若摊平后的截线恰为函数（，，）在一个完整周期上的图像，则其解析式为________________（φ写精确式或保留三位小数均可）． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)若对任意的不等式成立，求实数的取值范围. 16．（15分）如图，圆锥的表面积为，是底面圆的一条直径，是的中点，，是底面圆上的两点，，劣弧的长为，． (1)若一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求该蚂蚁爬行的最短路程； (2)求证：平面． 17．（15分）如图，在平面四边形中，，． (1)若，，求的值； (2)若，，求的面积． 18．（17分）如图，等腰梯形中，，且，，为的中点，为的中点，将沿着翻折到． (1)若平面平面． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求三棱锥的体积； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值． 19．（17分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛互不影响． (1)若，甲、乙首先比赛，恰好比赛四场结束，求： （ⅰ）甲最终获胜的概率； （ⅱ）丙最终获胜的概率； (2)若，甲、丙首先比赛，求丙最终获胜的概率． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市2025-2026学年下学期高一数学期末冲刺模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法，可得答案. 【详解】. 故选：D. 2．数据12，13，14，15，17，19，23，25，27，30的第70百分位数是（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【分析】根据题意，利用百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】数据12，13，14，15，17，19，23，25，27，30，共有10个数据，可得， 所以数据的第70百分位数是第7个数和第8个数的平均数，即为. 故选：B. 3．已知圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，圆锥的底面半径为，高为，则母线长为， 所以圆锥的侧面积为. 4．已知平面向量，是两个单位向量，且，的夹角为，则（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】先利用数量积的定义计算，再利用公式计算即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：A 5．如图，在中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示向量即可. 【详解】由，得， 由为的中点， 得. 6．在空间中，l，m是不重合的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】若，，，则或是异面直线，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则或，故C错误； 若，，则，故D正确； 7．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据图象平移变换得到，结合是偶函数求解即可. 【详解】由题意知，. 因为是偶函数，所以，， 解得，， 又，所以的最小值是. 8．掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E，“两个点数都是奇数”为事件F，“两个点数之和是偶数”为事件M，“两个点数之积是偶数”为事件N，则（    ） A．事件E与事件F互为对立事件 B．事件M与事件N相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件F与事件相互独立 【答案】D 【分析】用表示掷两枚骰子得到的点数，列出相关事件包含的样本点.对于A，运用对立事件的定义判断；对于B，分别计算的概率，利用独立事件的概率乘法公式检验即得；对于C，根据与的交集是否为空集判断；对于D，与选项B同法判断. 【详解】依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则. 对于A，， 而, 显然事件E与事件F互斥但不对立，如,但,故A错误； 对于B，易得，故 因，故, 而,则,因,即事件M与事件N不独立，故B错误； 对于C，由上分析，，故事件E与事件不可能互斥，即C错误； 对于D，由上分析，而,则， 因，则, 即，故事件F与事件相互独立，即D正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题主要考查随机事件的关系判断，属于较难题. 解题方法有： （1）判断事件对立：必须同时成立； （2）判断事件相互独立：必须成立； （3）判断事件互斥：只需即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据共轭复数的定义、复数的模的定义、复数的运算法则判断各选项. 【详解】对A，，A错； 对B，，，因此，B正确； 对C，，，C正确； 对D，，所以，D正确. 10．年月日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌．为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛．为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了名参赛市民的成绩作为样本进行统计（满分：分），得到如下的频率分布直方图，则（    ） A．图中的值为 B．估计样本中竞赛成绩的众数为 C．估计样本中竞赛的平均成绩不超过分 D．估计样本中竞赛成绩的第百分位数为 【答案】ACD 【分析】先利用频率分布直方图总面积为求出判断A；取最高矩形中点得众数判断B；用每组中点乘对应频率求和算出平均分判断C；逐级累加频率定位百分位数所在区间，列方程求解数值判断D． 【详解】A，，解得，A正确； B，众数是最高矩形的中点，最高矩形是，不是，B错误； C，计算平均成绩（每组中点×组频率求和）： ，C正确； D，先算累计频率， 的频率：； 的频率：； 的频率：， 第百分位数落在累计所在的组内，设为， ， ，解得，D正确． 11．如图，正八面体的八个面都是正三角形，且四边形是边长为2的正方形，则（    ）    A．∥平面 B．平面平面 C．与平面所成角为 D．若正四面体可在内任意转动，则该正四面体棱长的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；利用二面角的定义判断B；利用定义求出线面角判断C；求正八面体的内切球的半径，即正四面体的外接球半径，进而求正四面体的棱长，即可判断D. 【详解】对于A，由正八面体，得四边形为正方形，， 而平面，平面，因此∥平面，故A正确； 对于B，由，平面平面， 得平面，而平面，令平面平面， 因此，取的中点，连接， 由都是正三角形，得， 则，因此是二面角的平面角， 又，是锐角， 因此平面与平面不垂直，故B错误；    对于C，由四棱锥为正四棱锥，取的中点为，连接， 则平面，所以为与平面所成角， 由四边形是边长为2的正方形，所以， 又为正三角形，所以， 所以，所以， 所以与平面所成角为，故C正确；    对于D，由正四面体可在内任意转动， 得棱长最大的四面体外接球是正八面体的内切球，设该球半径为， 而， 又，则， 设正四面体的棱长为，则其高， 由正四面体外接球半径为，得， 即，解得 ，因此该正四面体棱长的最大值为，故D正确.    第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某企业生产，，三种不同型号的产品，其产量之比为5∶4∶3，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有12件，则________． 【答案】48 【详解】由题意得，，得 13．司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米．    【答案】 【分析】设，由仰角分别得到，根据求解. 【详解】因为平面，设雕像高度，根据仰角的直角三角形关系： 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故， 如图可知，， 即， 解得：，因为高度为正，故. 14．手工制作直角圆管弯头时，需先在图纸上绘出展开的截线以便裁剪．现用与底面成45°角的平面斜截底面直径为4.6cm，高为9.0cm的圆柱形纸筒，测得截线最高点距底面6.8cm．从某条母线l出发，沿圆周按规定的正方向量得弧长4.0cm处，恰好到达最高点所在的母线． 沿母线l将纸筒剪开摊平，以矩形下边缘与剪开的母线所在直线分别为x轴、y轴，圆周正方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：cm）．若摊平后的截线恰为函数（，，）在一个完整周期上的图像，则其解析式为________________（φ写精确式或保留三位小数均可）． 【答案】． 【分析】圆柱侧面展开后，斜截线的高度随圆周方向变化呈正弦型．由圆柱底面直径确定周期，由截平面与底面所成角确定振幅，由最高点高度确定中线，再由最高点所在横坐标确定初相． 【详解】圆柱底面直径为 ，所以侧面展开后一个完整周期的长度为底面周长 ，故 ，得 ． 圆柱半径为 ，截平面与底面成 角，所以截线最高点与最低点的高度差为 ，故振幅 ． 截线最高点距底面 ，所以 ，得 ． 最高点所在母线对应的横坐标为 ，因此 在 处取得最大值，即 ． 又 ，所以 ． 因此摊平后的截线解析式为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)若对任意的不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数的定义可得答案； （2）利用单调性的定义可证明； （3）利用奇偶性与单调性把不等式转化为二次不等式恒成立问题，分离变量，利用对勾函数求最值可得答案. 【详解】（1）由题意，定义在上的函数为奇函数， 得，解得， 此时， 则， 所以函数是上奇函数，所以. （2）由（1）知 ， 定义域为，函数在上单调递增， 证明如下： 任取，则 ， 由及在上单调递增，得， 则， 即，所以函数在上单调递增. （3）依题意，对任意的，成立， 因为为定义在上的奇函数， 则， 又因为函数在上单调递增， 则， 即在上恒成立， 即， 而在上单调递增， 当且仅当时，取到最小值6， 因此，所以实数的取值范围是. 16．（15分）如图，在平面四边形中，，．    (1)若，，求的值； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中由余弦定理求出，在中再由正弦定理可得到答案； （2）由余弦定理得、，根据求出，再利用平方关系求出，最后由三角形面积公式可得答案. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得 ， 所以， 在中，，，， 所以由正弦定理得，得， ，得； （2）在中，， 由余弦定理得， 在中，，， 由余弦定理得， 因为， 所以，解得， 所以， 因为，所以， 所以的面积. 17．（17分）如图，等腰梯形中，，且，，为的中点，为的中点，将沿着翻折到． (1)若平面平面． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求三棱锥的体积； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)（ⅰ）取中点，连接，根据翻折性质，为边长是2的等边三角形， 故， 平面平面，交线为，平面， 由面面垂直的性质定理得：平面， 又平面，故， 等腰梯形中，， 故四边形为平行四边形， 又， 故四边形为菱形，则其对角线互相垂直，即， 分别是中点，故是的中位线，， 故， 又，且平面， 故平面， 又平面， 故． （ⅱ）1 (2) 【分析】（1）（ⅰ）根据等腰梯形翻折前后的性质，利用面面垂直推出线线垂直； （ⅱ）利用等体积法结合三棱锥的体积公式计算求解； （2）利用四棱锥的几何性质，找出二面角的平面角，进而求出，结合余弦定理求出，进而求出直线与平面所成角的正切值． 【详解】（1）（ⅰ）略； （ⅱ）由（ⅰ）知平面， 故到平面的距离为等边的高，， 在菱形中，，与菱形同底、等高， 故； 则． （2） 取中点，连接，由等边三角形的性质知， 在平面内，， 则为二面角的平面角，即， 过点作平面，垂足为，则位于上， 则， 故投影到的距离， 在平面中，是的中位线，故， ，故是等边三角形，， 在中，由余弦定理： ， 故， 直线与平面所成角为， ． 18．（15分）如图，圆锥的表面积为，是底面圆的一条直径，是的中点，，是底面圆上的两点，，劣弧的长为，． (1)若一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求该蚂蚁爬行的最短路程； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明：连接，，， 因为，分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为劣弧的长为，则， 因为，则，所以为等边三角形， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【分析】（1）先利用圆锥的表面积公式求出及圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，再利用勾股定理求出展开图中扇形的弦长即可； （2）先通过证，，得到平面，平面，再根据面面平行的判定定理证得平面平面，进而利用面面平行的性质得到平面． 【详解】（1）由题意可知该圆锥的表面积， 又， , 解得，， 该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为,则 ， 则该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形， 所以该扇形的弦长为，即该蚂蚁爬行的最短路程为． （2）略 19．（17分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛互不影响． (1)若，甲、乙首先比赛，恰好比赛四场结束，求： （ⅰ）甲最终获胜的概率； （ⅱ）丙最终获胜的概率； (2)若，甲、丙首先比赛，求丙最终获胜的概率． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2) 【分析】（1）（ⅰ）若甲最终获胜，则四场中乙输两场，丙输两场，将所有比赛情况列出并利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得；（ⅱ）若丙最终获胜，则四场中甲输两场，乙输两场，将所有比赛情况列出并利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得； （2）枚举出所有情况，并利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得. 【详解】（1）（ⅰ）由于恰好比赛四场结束，若甲最终获胜，则四场中乙输两场，丙输两场， 则第一场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第二场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为， 第三场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第四场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为，最终甲获胜； 故甲最终获胜的概率为； （ⅱ）由于恰好比赛四场结束，若丙最终获胜，则四场中甲输两场，乙输两场， 若第一场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 则第二场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 第三场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第四场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为，最终丙获胜； 若第一场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为， 则第二场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为，最终丙获胜； 故丙最终获胜的概率为； （2）若第一场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为， 则有情况一：第二场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第三场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第五场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况二： 第二场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为， 第三场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 第四场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第五场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 若第一场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 则有情况三：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为 最终丙获胜，概率为； 情况四：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况五：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中甲胜丙负，概率为， 第四场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第五场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况六：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中甲胜丙负，概率为， 第四场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况七：第二场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为， 第三场乙、甲比赛中乙胜甲负，概率为， 第四场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况八：第二场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为， 第三场乙、甲比赛中甲胜乙负，概率为， 第四场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 故最终丙获胜的概率为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $