福建南平市顺昌县第一中学2025-2026学年高二下学期期末适应性练习数学试题

**基本信息** 顺昌一中高二数学期末适应性练习，以集合、复数、函数、几何、概率统计为核心，通过客流量回归分析、三棱锥内切球、染色计数等问题，考查数学抽象、空间观念、数据意识及创新思维，适配高二期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量、函数图像|基础概念与运算结合，如向量垂直求参数| |多选题|3/18|统计相关系数、函数性质、概率分布|辨析统计结论与函数定义域，考查推理意识| |填空题|3/15|二项式系数、最值问题、不等式范围|结合随机变量求展开式系数，体现数学思维| |解答题|5/77|回归分析、函数导数、二项式定理、概率分布、函数单调性|客流量数据建模（数学语言表达）、函数极值与恒成立证明（逻辑推理），综合性强|

顺昌一中2025-2026学年第二学期期末适应性练习 高二数学 注意事项： 　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷； 　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分； 　3．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上。 一、单选题（每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知复数z满足，则（ ） A．i B． C． D． 3．已知向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．5 4．已知函数的图象与函数的图象交于两点，则（为坐标原点）的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线过点且与圆交于A，B两点，若是钝角三角形，则直线的斜率可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．如图，在三棱锥中，，，E，F，G分别为，，上靠近点P的三等分点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥的四个面均相切，且小球同时还与平面相切，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8．一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 二、多选题（每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分） 9．下列结论中正确的是（ ） A．两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1； B．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量存在关联； C．经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点； D．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为1. 10．下列选项中说法正确的是（     ） A．函数的单调增区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 11．下列说法正确的是（     ） A．设随机变量，则 B．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则 C．设随机变量服从正态分布，则 D．从集合中任取三个元素，且满足，定义随机变量，则的数学期望为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为____________. 13．若，则（，）取得最大值时，________． 14．已知实数，满足，则的取值范围是______． 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）2024年“元旦档”，某连锁购物中心在2023年12月31日隆重开业，该购物中心随机调查统计了连续8天的客流量（单位：百人），如下表： 日期 12月31日 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 1月5日 1月6日 1月7日 日期代码 1 2 3 4 5 6 7 8 客流量 16.6 18.8 22 24.9 28.6 33.1 38.9 46.3 (1)由表中数据，知可用线性回归模型拟合与之间的关系，请用相关系数加以说明；（结果精确到0.01） (2)求关于的线性回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测1月9日的客流量．（预测结果精确到0.1） 参考公式：相关系数，线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 参考数据：，． 16．（15分）已知函数． (1)若函数在处有极小值，求实数a的值； (2)若，求函数在区间上的最值． 17．（17分）在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，求： (1)的值及展开式中的常数项； (2)展开式中含项的系数； (3)展开式中第几项系数绝对值最大，请说明理由． 18．（17分）某学校组织了网络安全知识竞赛，有A，两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若且小明先回答类问题，记为小明累计得分，求的分布列； (2)若小明先回答A类问题，当为何值时累计得分的期望最大？ 19．（17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，存在不相等的、，满足，证明：； (3)对任意的，恒成立，求a的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高二数学期末考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D B B D D BD BC 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】集合，共有4个元素，故选B. 2．C 【分析】由题意可得，设，，根据共轭复数结合复数运算可得，列式求解即可. 【详解】因为，即， 设，，则， 可得，， 则， 可得，解得，所以. 3．D 【分析】根据向量垂直的坐标表示、向量的线性运算及向量的模计算即可. 【详解】由，得，即，解得，此时. 所以，则. 4．D 【分析】根据已知条件作出图象，利用平关关系及特殊值对应特殊角，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】画出函数与的图象如图所示， 由，可得，得，得或（舍去），又，所以或．所以，．根据函数图象的对称性可得的中点，所以 ， 故选：D． 5．B 【分析】分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，结合是钝角三角形，则需为钝角，从而得到不等式，求出答案 【详解】的圆心为，半径为2， 当直线的斜率不存在时，此时直线方程为， 圆心到直线的距离为， 故直线与圆无交点，不合要求，舍去； 设直线，要使得是钝角三角形，则需为钝角， 则圆心到直线的距离， 其中，即，故， 解得，其中，解得，只有B满足要求. 6．B 【分析】取中点，利用等腰三角形性质证明平面，作，，利用相似比得，结合求解可得. 【详解】如图，取中点，连接，. 因为，所以，. ∵，平面，平面，∴平面. 作，垂足为H. ∵平面，∴. 又，平面，平面，∴平面. 过点H作，垂足为，连接， 因为平面，所以， 又是平面内的两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以. 易知平面平面，设小球半径为，∴，∴. 根据题意，， ∵，，∴，∴. 由，得，∴，∴. ∴. 故选：B 【点睛】方法点睛：关于几何体的内切球问题，通常根据体积公式列方程进行求解. 7．D 【分析】作差，构造函数，，利用导数分析函数在上的单调性，可得出、的大小关系；再比较出、的大小关系，即可得出结论. 【详解】作差得， 设，， 则， 设，，则， 令，得， 所以函数在上单调递减， 又，所以当时，，则， 此时函数在上单调递增， 又，所以，则，即； 又，从而，即，则，所以. 故选：D. 8．D 【分析】分①②③④四边同色、①②③④只有三边同色另一边不同色和①②③④每两个同色三种情况分别求解即可. 【详解】如图所示：    当①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色； 当①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色； 同理其他区域也一样， 所以：①②③④四边同色，此时共有种； 当①②③④只有三边同色时，另一边与其不同色时， 此时共有种； 当①②③④每两个同色时，此时共有种； 综上，共有种. 9．BD 【分析】根据线性相关、独立性检验、经验回归直线及相关系数的知识判断即可. 【详解】对于A，样本相关系数的取值范围为，两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近1，A错误. 对于B，利用进行独立性检验时，的值越大，则说明有更大的把握认为两个分类变量存在关联，B正确. 对于C，经验回归直线是通过最小二乘法得到的，是使样本数据点到该直线的距离的平方和最小，不一定经过其样本数据点中的一个点，C错误. 对于D，说明与是完全正相关，此时相关系数，D正确. 10．BC 【详解】对于选项A：函数需满足定义域条件，解得或. 令，外层函数为增函数，内层函数的对称轴为，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，的单调增区间为，故A错误. 对于选项B：∵ 为幂函数，根据幂函数定义，系数， 又∵ 函数过点，∴ 代入得，解得， ∴ ，故B正确. 对于选项C：∵ 函数的定义域为， ∴ 函数需满足， ∴ 解得，即的定义域为，故C正确. 对于选项D：∵ 函数的定义域为，即对任意恒成立， 当时，不等式化为，显然不能对所有实数恒成立； 当时，需满足， 解得，即实数的取值范围为，故D错误. 【点睛】方法归纳： 1. 求解复合函数单调区间时，优先求解定义域，再结合“同增异减”原则判断； 2. 幂函数需满足自变量前系数为1； 3. 抽象函数定义域遵循“括号内整体取值范围一致”的原则； 4. 二次型不等式恒成立问题需分二次项系数为0和不为0两种情况讨论. 11．ACD 【分析】选项 A，二项分布概率公式求解；选项 B，服从超几何分布求解；选项 C，正态曲线求解；选项 D利用期望的线性性质求解. 【详解】选项 A，因为，则， ，故，A 正确； 选项 B，服从超几何分布，总球数 8 个，取 2 个，则， ，，即，B 错误； 选项 C，，正态曲线关于对称，因此， ，C 正确； 选项 D，集合为，共 6 个元素，任取 3 个的总组合数为， 利用期望的线性性质：每个元素被选中的概率均为，因此 ，D 正确. 12．64 【详解】已知随机变量，且， 由正态分布的对称性可得与关于对称， 即，则，解得. 令，展开式中各项系数之和为. 13．6或7 【详解】由题意知，X服从二项分布，所以，且． 由不等式（且），得，解得． 所以当时，； 当时，， 因为当且仅当时，， 所以当或时，取得最大值． 14． 【分析】令，得到，构造函数 ，通过单调性得到，再构造函数，求导，确定值域，即可求解. 【详解】由对数定义域得，设， 原等式改写为： ， 整理得：， 设 ，其导数 ，故是R上的单调递增函数， 由 ，得，即 ， 设，求导得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故的最大值为​， 且当时，，当时，， 即， 又，结合指数函数单调性， 可得的取值范围是. 15．(1)与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与之间的关系． (2)，51.3百人． 【分析】（1）先计算相关系数，再根据近似值判断说明即可； （2）先根据公式计算得出回归直线，再根据回归直线预测即得. 【详解】（1）由题意，知， 所以相关系数． 因为与的相关系数，接近于1， 所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与之间的关系． （2）因为， ，所以关于的线性回归方程为． 又1月9日对应的日期代码， 当时，，所以预测1月9日的客流量约为51.3百人． 16．(1)4 (2)最小值为，最大值为32． 【分析】（1）由函数在处取得极小值，得，求出或，根据函数极值的概念，分别代入验证，即可求解； （2）利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，求得函数的最值. 【详解】（1）由，得． 因为为的极小值点，所以，解得或． 当时，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以为的极小值点． 当时，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增．所以为的极大值点． 所以当时，在处取极大值，不符合题意， 综上：实数a的值为4． （2）当时，， 令得或． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以为在区间上的极大值，也是最大值． 因为，，，所以最小值为． 综上，函数在区间上的最小值为，最大值为32． 17．(1)； (2) (3)7 【分析】（1）根据二项式系数的关系求解，然后根据二项式展开式的通项公式求得常数项即可. （2）根据二项式展开式的通项公式求得常数项即可. （3）设第项的系数的绝对值最大，列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍， 即，即，解得； 二项式展开式的通项公式为， 令，解得，故常数项为. （2）由（1）的通项公式，令得， 故含的项为，其系数为. （3）设第项的系数的绝对值最大， 则，即，解得且，则， 所以系数的绝对值最大值的项为第7项. 18．(1)分布列见解析； (2)当时累计得分的期望最大. 【分析】（1）由题设写出随机变量的取值并求出相应取值的概率即可得解； （2）先求出累计得分的期望表达式，再根据函数性质求最大值. 【详解】（1）由题可得， 且，，，， 所以的分布列为 X 0 10 30 60 P （2）设累计得分为Y，则, 且，，，， 所以累计得分的期望为 ， 因为，， 所以当时，累计得分的期望最大为. 19．(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对进行求导，然后分和两种情况确定的单调性； （2）当时，由（1）可知在上单调递增，转化为证明，然后利用极值点偏移证明； （3）将问题转化为来求解. 【详解】（1）的定义域为，. （i）当时，，此时在上单调递增. （ii）当时，令，得. 当时，；当时，. 在单调递减，在单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）当时，由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增. 不妨设，要证，即证，即证. ，即证. 令， 在上单调递增，，. ，，，证毕. （3），. 分离参数可得：，对都成立，即求右侧函数最小值. 令，则. 令，则， 在上单调递增，又，， 故存在唯一的，使得，. 令，，在上单调递增， ，，. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. ， . 学科网（北京）股份有限公司 $