第08讲 多面体与旋转体（知识详解+5典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（沪教版必修第三册）

第08讲 多面体与旋转体（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：多面体 知识点02：旋转体 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：多面体概念及分类 题型02：多面体的性质探究 题型03：欧拉公式求值计算 题型04：由平面图形旋转得旋转体 题型05：由旋转体找出其旋转图形 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】多面体 1、多面体定义为：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 2、多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n棱锥,有一个底面和n个侧面，所以是n＋１面体；n棱柱或n棱台有两个底面和n个侧面，所以是n＋2面体;由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥; 3、四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用； 4、与平面上的正多边形类比，在空间中可以考虑正多面体．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体； 【例1】已知一个简单多面体共有8个顶点，12条棱，利用多面体欧拉公式，求该多面体的面数，并判断该几何体是否为常见正多面体。 解析：根据简单多面体欧拉公式： 由题意可得已知条件： 将数值代入公式： 整理计算： 结论：该多面体有6个面、8个顶点、12条棱，符合正方体（正六面体）结构特征，是常见正多面体。 答案：面数为6，该几何体为正六面体（正方体），属于正多面体。 【知识点02】旋转体 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 圆柱、圆锥和圆台的概念 （1）圆柱、圆锥和圆台的定义 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台； （2）与圆柱、圆锥、圆台有关的概念 绕着旋转的这条直线叫做轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线； 【例2】已知一个直角三角形的两条直角边长分别为，，将该三角形绕长度为3的直角边旋转一周，求所得旋转体的体积。 解析：（1）判断旋转体类型：直角三角形绕直角边旋转一周，形成圆锥； （2）确定圆锥参数：旋转轴为高，故圆锥高，底面半径； （3）代入圆锥体积公式： 化简计算： 答案：所得旋转体体积为 【题型01】多面体概念及分类 【典例1-1】（25-26高二·上海·暑假作业）一个多面体的面至少有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】结合多面体的几何结构特征可得答案． 【解答】由多面体的几何结构特征可知，多面体底面至少有三条边，即底面是三角形， 则对应有三个侧面，即为三棱锥，所以一个多面体至少有4个面． 故选：C 【变式1-1】（23-24高二上·上海·期中）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则______是正多面体.（写出所有正确的序号）    【答案】（1）（2）（4） 【分析】由题意，逐项判别，可得答案. 【详解】对于（1），该多面体由全等的正三角形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（2），该多面体由全等的正四边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（3），该多面体由全等的正三角形组成，且顶点聚集的棱有条也有3条，不符合题意； 对于（4），该多面体由全等的正五边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 故答案为：（1）（2）（4）. 【变式1-2】如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？ ①四面体；    ②四棱锥；    ③四棱柱； ④五棱锥；    ⑤五棱柱；    ⑥六棱锥； ⑦七面体． ______（找出可能的结果，并将序号填在横线上） 【答案】①③⑤⑦ 【分析】结合正方体的性质逐一作图，可能出现①③⑤⑦这四种情况． 【详解】 如图，平面截正方体，可得到四面体； 如图，平面截正方体，可得到四棱柱； 如图，平面截正方体，可得到五棱柱，也是七面体. 故答案为：①③⑤⑦. 【变式1-3】如图，切正方体形状的土豆块，思考可以得到哪些类型的多面体？ 【答案】一个四面体和一个七面体（或一个三棱锥和一个七面体） 【分析】按截面切正方体即可得到结果. 【详解】按照图中截面切正方体，可得如下图所示的一个七面体和一个四面体（或一个七面体和一个三棱锥）. 【题型02】多面体的性质探究 【典例2-1】正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数，则正二十面体的顶点的个数为（    ）    A．30 B．20 C．12 D．10 【答案】C 【分析】首先求出棱数，在根据所给公式计算可得. 【详解】因为每个面都是三角形，每个面对应3条棱，且每1条棱被2个三角形共用， 即1个面对应条棱，所以共有条棱， 所以由顶点数－棱数＋面数，得：顶点数棱数面数. 故选：C 【变式2-1】如图所示，在六面体ABEDC中，，，，则（    ） A．1 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】把六面体放置于长方体中，进一步计算即可. 【详解】根据棱长特征分析， 可以将该六面体置于长方体（以CA，CB，CD为共顶点的棱）中， 则CE为该长方体的体对角线， 设各边长为，则 解得, 所以. 故选：B. 【变式2-2】正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为______． 【答案】 【分析】根据正二十面体的结构特征，利用条件列出方程求解即可. 【详解】由于正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体， 所以面数为，并且每个顶点处有条棱， 设正二十面体共有个顶点，则棱数为， 由题意可得，解得. 则正二十面体的顶点的个数为 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高二·上海·随堂练习）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的所有棱长和为________． 【答案】/ 【分析】从图形中作一个最大的水平截面，它是一个正八边形，八个顶点都在边长为的正方形边上，由此可计算出棱长． 【详解】取半正多面体的截面正八边形ABCDEFGH，由正方体的棱长为1，可知，易知， 设半正多面体的棱长为x，过B，C分别作于M，于N， 则，，解得， 故该半正多面体的所有棱长和为． 故答案为： 【题型03】欧拉公式求值计算 【典例3-1】多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为，面数为，棱数为，则满足. 已知某面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则 （   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合欧拉公式列出方程组，求解方程组即得. 【详解】设该多面体的顶点数为，棱数为， 依题意，，消去得， 所以. 故选：C 【变式3-1】已知凸多面体的每个面都是正三角形，且每个顶点处都有4条棱，试问：这是几面体？ 【答案】八面体 【分析】根据欧拉公式分析求解即可. 【详解】设有个面，棱数为，顶点数为， 由于每个面都是正三角形，每个顶点处都有4条棱， 则，即， 由欧拉公式，， 则，解得，则， 所求是八面体. 【变式3-2】欧拉定理在研究化学分子结构中的应用： 1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家．是由60个C原子构成的分子，它是形如足球的多面体．这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，试计算分子中五边形和六边形的数目． 【答案】五边形有12个，六边形有20个 【分析】设分子中有五边形个，六边形个．故面数，根据欧拉定理和棱数可由多边形的边数和来表示得到方程组，求出答案. 【详解】设分子中有五边形个，六边形个． 分子这个多面体的顶点数，面数，棱数， 由欧拉定理得：．① 另一方面，棱数可由多边形的边数和来表示，得．② 由①②得：，所以分子中五边形有12个，六边形有20个． 【变式3-3】用欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种． 【答案】证明见解析 【分析】运用欧拉定理同时结合正多面体每个面边数和每个定点连的棱数是特点进行推理证明即可. 【详解】设正多面体的每个面的边数为，每个顶点连有条棱， 令这个多面体的面数为，每个面有条边，故共有条边． 由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数  ① 令这个多面体有个顶点，每一个顶点处有条棱，故共有条棱． 由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数  ② 由①②得：，代入欧拉公式得：，   ③ ，但不能同时大于3，（若，则有，即这是不可能的） 中至少有一个等于3， 令，则，，解得，； 同样，若，可得， 当时，是正四面体； 当时，是正六面体； 当时，是正十二面体； 当时，是正八面体； 当时，是正二十面体， 故题干得证. 【题型04】由平面图形旋转得旋转体 【典例4-1】充满气的车轮内胎（忽略厚度）可由下面哪个图形绕着对称轴旋转而成（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据车轮内胎的几何体特征即可求解. 【详解】车内胎截面为圆形，故车轮内胎是由圆形绕车轮轴所在的直线旋转一周得到. 故选：C 【变式4-1】如图，以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 【答案】C 【分析】根据圆柱的形成即可得到答案. 【详解】以矩形的边所在直线为轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆柱. 故选：C. 【变式4-2】如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球 【答案】A 【分析】由圆锥的定义即可求解 【详解】由圆锥的定义可得直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为圆锥 故选：A 【变式4-3】已知是直角梯形与底边垂直的一腰（如图）．分别以，，，为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？    【答案】答案见解析 【分析】分别画出对应立体图形，逐个说明即可. 【详解】①以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台；如图（1）所示； ②以BC边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥；如图（2）所示； ③以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥； 如图（3）所示． ④以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥；如图（4）所示.    【题型05】由旋转体找出其旋转图形 【典例5-1】如图是由下列哪个平面图形绕轴旋转而成的组合体（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台， 因此应该是由上半部分为直角三角形，下半部分为直角梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确. 【变式5-1】如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】旋转后的几何体是由两个共底的圆锥组合而成的立体图形，再根据四个选项中三角形的特征及旋转轴即可作出判断． 【详解】A旋转一周是圆锥，不满足题意； B旋转一周是两个圆锥，满足题意； C旋转一周是圆锥，不满足题意； D旋转一周是圆柱挖去一个圆锥的几何体，不满足题意. 故选：B. 【变式5-2】下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐项分析旋转图形可得旋转体的立体图，分析即可得答案. 【详解】解： A是上面一个圆锥，下面一个圆台，不符合； B是上下两个圆锥，中间一个圆柱，不符合； C是上面一个圆柱，下面一个圆锥，符合上图； D是两个圆锥，不符合. 故选：C 【变式5-3】如图，观察下列实物图. (1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ (2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？ (3)如何形成上述几何体的曲面？ 【答案】(1)答案见解析 (2)可以 (3)答案见解析 【详解】（1）这三个实物图抽象出的几何体是旋转体，是由平面图形绕某一直线旋转而成的. （2）可以. （3）第一个几何体可以由半圆绕其直径所在的直线旋转而成； 第二个几何体可以由直角梯形绕其直角边所在的直线旋转而成； 第三个几何体可以由直角三角形绕其直角边所在的直线旋转而成. 知识点01多面体 1. 核心定义 由若干个平面多边形围成的封闭几何体称为多面体。 组成要素：面（多边形）、棱（面与面公共边）、顶点（棱与棱公共点）。 2. 三类基础多面体结构特征 （1）棱柱：两组对面互相平行，其余各面为四边形，相邻公共边平行，整体为平移拉伸形成的多面体。 （2）棱锥：一个底面为多边形，其余侧面为共顶点的三角形。 （3）棱台：平行于棱锥底面截去顶部小棱锥，剩余几何体，上下底面相似且平行。 3. 多面体核心公式（欧拉公式） 适用于所有简单多面体（无镂空、无自交）： 参数说明：为顶点个数，为棱的条数，为面的个数。 知识点02旋转体 1. 核心定义 平面内一条图形（直线、线段、曲线）绕定直线（旋转轴）旋转一周形成的封闭几何体，称为旋转体。旋转体必有曲面。 2. 三大必考旋转体形成原理 （1）圆柱：矩形绕任意一条边旋转一周所得； （2）圆锥：直角三角形绕任意一条直角边旋转一周所得； （3）球：半圆绕其直径旋转一周所得。 3. 旋转体核心计算公式 圆柱体积公式： 圆锥体积公式： 参数说明：为底面圆半径，为几何体的高。 知识点03重难点小结 1.多面体全部由平面围成，无曲面，这是与旋转体最本质的区别； 2.棱柱、棱锥、棱台可相互转化：棱台补顶点可成棱锥，棱锥极致拉伸可近似棱柱； 3.欧拉公式是多面体计数、辨析几何体类型的核心工具。 4.旋转体必有曲面，可含平面，区别于全平面的多面体； 5.旋转轴决定几何体的高与底面半径，审题需认准绕哪条边旋转； 6.同一直角三角形绕不同直角边旋转，会得到不同底面半径、不同高的圆锥，体积不同。 一、填空题 1．（24-25高三下·上海宝山·开学考试）正多面体按其面数分有___________种 【答案】5 【分析】由正多面体的概念判断． 【详解】正多面体有正四面体，正方体（正六面体），正八面体，正十二面体，正二十面体共5种， 故答案为：5. 2．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转，所得几何体是________． 【答案】圆锥 【分析】根据旋转体和圆锥的特征可得结论. 【详解】由题意可知：所得几何体为如下图所示的圆锥. 故答案为：圆锥. 3．如图所示的立体图形可由平面图形_________绕轴旋转而成（填序号）． 【答案】③④ 【分析】根据图形判断即可. 【详解】题图中的半球可由③绕轴旋转一周而成，也可由④绕轴旋转而成． 故答案为：③④. 4．给出以下说法： ①棱锥最少有六条棱； ②圆柱的母线和轴不平行； ③长方体一定是平行六面体. 以上所有正确说法的序号是__________. 【答案】①③ 【分析】根据锥体、柱体的性质，分析即可得答案. 【详解】棱锥中棱最少的是三棱锥，有六条棱，故①正确； 圆柱是以矩形的一边为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体， 母线一定和轴平行，故②错误； 长方体是底面为长方形的四棱柱，一定是平行六面体，故③正确. 5．面数最少的多面体是______，当其每条棱长均为2时，其体积为______． 【答案】 三棱锥（或四面体） / 【分析】由多面体的概念即得结果；求出正四面体的高，再利用锥体体积公式计算即可. 【详解】面数最少的多面体是三棱锥或四面体； 每条棱长均为2的四面体为正四面体，如图， 点是正四面体底面正的中心，则平面， 由，得，则， 所以该四面体体积. 故答案为：三棱锥（或四面体）； 6．将一个边长分别是2 cm和5 cm，两邻边夹角为60°的平行四边形绕其5 cm边所在直线旋转一周形成的几何体的构成为__________________. 【答案】一个圆锥和一个圆柱挖去一个圆锥 【分析】过顶点作旋转轴的垂线，得到平面图形的特征，即可判断旋转图形的特征. 【详解】解：如图，过顶点作垂线，可以得到一个直角三角形和一个矩形，绕轴旋转一周， 得到一个圆锥和一个圆柱挖去一个圆锥. 故答案为：一个圆锥和一个圆柱挖去一个圆锥 7．（24-25高二上·上海静安·期中）将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为______． 【答案】 【分析】旋转体为圆柱，高为，底面半径为，利用圆柱体积公式求出答案. 【详解】如图所示，旋转体为圆柱，高为，底面半径为， 故体积为 .    故答案为： 8．正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同．在正十二面体中，有______个顶点和______条棱． 【答案】 20 30 【分析】根据多面体的特征，设每个面是n边形，每个顶点关联r条棱，计算得到顶点数和棱的条数，再结合欧拉定理进行求解即可． 【详解】正十二面体有个面，设每个面是边形，每个顶点关联条棱，面的个数． 每个面有个顶点，每个顶点关联条棱存在于个面中，故顶点数． 每个面有条边，每条棱都存在于个面中，故棱的条数． 代入欧拉定理得，解得． 由于为大于等于的正整数，故，故或． 当时，；当时，（舍去）， 故且，得到，． 9．一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之和为_________． 【答案】 【分析】分别计算绕两条直角边旋转得到的圆锥体积，再求体积之和. 【详解】依题意，，则. 10．（25-26高二上·上海浦东新·期末）如图，等腰直角的斜边长为，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体的体积为_____. 【答案】 【分析】旋转体为两个同底等高的圆锥的组合体，利用体积公式求解即可 【详解】由题意，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体是以为底面半径，为高的两个共底面圆锥， 所以旋转体的体积为. 故答案为： 11．下列说法： ①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ③分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱； ④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确说法的序号是______． 【答案】②③ 【分析】根据圆柱、圆锥、圆台的定义判断即可. 【详解】①错误．以直角梯形垂直于底的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台； 但以另一条不垂直于底的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体不是圆台。故原说法错误. ②正确．圆柱、圆锥、圆台的底面都是垂直于轴的矩形、直角三角形、直角梯形的一边旋转而成的圆面． ③正确．若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同． ④错误．当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否则不能得到． 故答案为：②③ 12．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数．已知一个凸多面体的每个面或是三角形或是五边形，每个顶点处均有2个三角形面和2个五边形面相交，则该凸多面体有___________________个面． 【答案】32 【分析】首先推导出之间的关系，然后代入欧拉公式即可求解. 【详解】设该凸多面体顶点数为，三角形面共个，五边形面共个，总面数，棱数为， 每个顶点处有个面，对应每个顶点连条棱，每条棱由个顶点共用，因此： . 每个三角形含个顶点，每个顶点对应个三角形面，因此： ， 同理，每个五边形含个顶点，每个顶点对应个五边形面，因此： ， 总面数，代入欧拉公式， 可得， 因此总面数. 二、单选题 13．六棱台的顶点数和棱的条数分别为（    ） A．6， B．，6 C．， D．， 【答案】C 【详解】由六棱台的性质可知，上、下底面各有6个顶点，共计个， 上、下底面各有6条边，侧棱有6条，共计条． 14．如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A中图形绕轴旋转可得由一个圆台挖去一个圆柱的组合体； B中图形绕轴旋转可得圆锥； C中图形绕轴旋转可得由一个圆柱挖去两个圆台的组合体； D中图形绕轴旋转可得由两个圆台挖去一个圆柱的组合体.故选A. 15．（25-26高二下·上海杨浦·期末）下列平面图形旋转后能得到如图所示几何体的为（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】根据题意，结合选项，利用旋转体的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由选项A的图形，旋转一周后，得到一个上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的几何体，符合题意； 对于B，由选项B的图形，旋转一周后，得到一个上半部分为圆锥，下半部分为圆台的几何体，不符合题意； 对于C，由选项C的图形，旋转一周后，得到一个上半部分为圆锥，下半部分为圆锥的几何体，不符合题意； 对于D，由选项D的图形，旋转一周后，得到一个上半部分为圆锥，中间部分为圆柱，下半部分为圆锥的几何体，不符合题意； 16．下列说法： ①只有正多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理 ②所有凸多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理 ③所有简单多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理 ④所有多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据欧拉定理的适用条件及简单多面体的定义判断各选项即可. 【详解】简单多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理， 而凸多面体都是简单多面体，故①错误，②③正确； 对于④，并不是所有的多面体顶点数、面数、棱数满足欧拉定理， 比如长方体是简单多面体，但在其表面挖去一个小长方体后不再是简单多面体， 此时不满足欧拉定理，故④错误. 故选：C. 三、解答题 17．有没有棱数是7的简单多面体？ 【答案】没有 【分析】根据欧拉公式分析求解即可. 【详解】假设有一个简单多面体的棱数，根据欧拉公式有：， 因为多面体的顶点数，面数，所以只有两种情形： 或． 但是，有4个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有四个顶点， 所以假设不成立，没有棱数是7的简单多面体． 18．圆台除了可以由平行于圆锥底面的平面截圆锥而得，还可以由什么平面图形怎样旋转而成？ 【答案】圆台可以由直角梯形以其垂直底边的腰为轴旋转而成，也可以由等腰梯形以其上下底边中点连线为轴旋转而成． 【分析】略 【详解】方法一：一个直角梯形以其垂直底边的腰为轴旋转，可以得到一个圆台，其中直角梯形的上下底分别形成圆台的上下底面，其不垂直于底边的腰对应圆台的母线，旋转形成圆台的侧面. 方法二：一个等腰梯形以其上下底边中点的连线为轴旋转，可以得到一个圆台，其中等腰梯形的上下底分别形成圆台的上下底面，等腰梯形的腰对应圆台的母线，旋转形成圆台的侧面. 19．图中平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，试分析该组合体由哪些简单几何体构成． 【答案】组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆柱、圆台 【分析】根据旋转体的定义判断即可. 【详解】因为平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成， 若将它绕直线l旋转形成一个组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆柱、圆台. 20．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，以正方体六个面的中心为顶点所构成的多面体有多少条棱和多少个面？设正方体的棱长为1，这个多面体的表面积和体积是多少？ 【答案】条棱，个面，表面积为，体积为 【分析】根据图形可知得到的多面体是正八面体，然后利用锥体的表面积公式与体积计算公式即可求解. 【详解】由正方体的对称性结合图形可知，这个多面体有条棱，个面， 且这个多面体的各棱长相等，故这个多面体为正八面体， 若正方体的棱长为1，则该正八面体的棱长为， 则这个多面体的表面积， 这个多面体的体积. 21．如图，等腰梯形，已知，将等腰梯形绕直线旋转一周形成一个旋转体． (1)求该旋转体的表面积； (2)求该旋转体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】分析旋转后的几何体是由两个圆锥与一个圆柱的组合体，作出图形： （1）由圆锥和圆柱的表面积公式求解即可； （2）由圆锥和圆柱的体积公式求解即可 【详解】（1）分别过点，点作于点于点， ， ． 等腰梯形绕底边旋转一周所得的几何体为两个圆锥与一个圆柱的组合体， 两个圆锥与圆柱的底面半径，圆锥的母线， 圆柱的高, 所以两个圆锥的侧面积相等， 设每个圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，旋转体的表面积为：， ． ． ． （2）由（1）知等腰梯形绕底边旋转一周所得的几何体为两个圆锥与一个圆柱的组合体，且两个圆锥的体积相等， 设每个圆锥的体积为，圆柱的体积为，旋转体的体积为， 则． ． ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 多面体与旋转体（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：多面体 知识点02：旋转体 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：多面体概念及分类 题型02：多面体的性质探究 题型03：欧拉公式求值计算 题型04：由平面图形旋转得旋转体 题型05：由旋转体找出其旋转图形 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】多面体 1、多面体定义为：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 2、多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n棱锥,有一个底面和n个侧面，所以是n＋１面体；n棱柱或n棱台有两个底面和n个侧面，所以是n＋2面体;由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥; 3、四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用； 4、与平面上的正多边形类比，在空间中可以考虑正多面体．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体； 【例1】已知一个简单多面体共有8个顶点，12条棱，利用多面体欧拉公式，求该多面体的面数，并判断该几何体是否为常见正多面体。 解析：根据简单多面体欧拉公式： 由题意可得已知条件： 将数值代入公式： 整理计算： 结论：该多面体有6个面、8个顶点、12条棱，符合正方体（正六面体）结构特征，是常见正多面体。 答案：面数为6，该几何体为正六面体（正方体），属于正多面体。 【知识点02】旋转体 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 圆柱、圆锥和圆台的概念 （1）圆柱、圆锥和圆台的定义 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台； （2）与圆柱、圆锥、圆台有关的概念 绕着旋转的这条直线叫做轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线； 【例2】已知一个直角三角形的两条直角边长分别为，，将该三角形绕长度为3的直角边旋转一周，求所得旋转体的体积。 解析：（1）判断旋转体类型：直角三角形绕直角边旋转一周，形成圆锥； （2）确定圆锥参数：旋转轴为高，故圆锥高，底面半径； （3）代入圆锥体积公式： 化简计算： 答案：所得旋转体体积为 【题型01】多面体概念及分类 【典例1-1】（25-26高二·上海·暑假作业）一个多面体的面至少有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（23-24高二上·上海·期中）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则______是正多面体.（写出所有正确的序号）    【变式1-2】如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？ ①四面体；    ②四棱锥；    ③四棱柱； ④五棱锥；    ⑤五棱柱；    ⑥六棱锥； ⑦七面体． ______（找出可能的结果，并将序号填在横线上） 【变式1-3】如图，切正方体形状的土豆块，思考可以得到哪些类型的多面体？ 【题型02】多面体的性质探究 【典例2-1】正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数，则正二十面体的顶点的个数为（    ）    A．30 B．20 C．12 D．10 【变式2-1】如图所示，在六面体ABEDC中，，，，则（    ） A．1 B．3 C． D．4 【变式2-2】正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为______． 【变式2-3】（24-25高二·上海·随堂练习）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的所有棱长和为________． 【题型03】欧拉公式求值计算 【典例3-1】多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为，面数为，棱数为，则满足. 已知某面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则 （   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【变式3-1】已知凸多面体的每个面都是正三角形，且每个顶点处都有4条棱，试问：这是几面体？ 【变式3-2】欧拉定理在研究化学分子结构中的应用： 1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家．是由60个C原子构成的分子，它是形如足球的多面体．这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，试计算分子中五边形和六边形的数目． 【变式3-3】用欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种． 【题型04】由平面图形旋转得旋转体 【典例4-1】充满气的车轮内胎（忽略厚度）可由下面哪个图形绕着对称轴旋转而成（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 【变式4-2】如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球 【变式4-3】已知是直角梯形与底边垂直的一腰（如图）．分别以，，，为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？    【题型05】由旋转体找出其旋转图形 【典例5-1】如图是由下列哪个平面图形绕轴旋转而成的组合体（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，观察下列实物图. (1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ (2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？ (3)如何形成上述几何体的曲面？ 知识点01多面体 1. 核心定义 由若干个平面多边形围成的封闭几何体称为多面体。 组成要素：面（多边形）、棱（面与面公共边）、顶点（棱与棱公共点）。 2. 三类基础多面体结构特征 （1）棱柱：两组对面互相平行，其余各面为四边形，相邻公共边平行，整体为平移拉伸形成的多面体。 （2）棱锥：一个底面为多边形，其余侧面为共顶点的三角形。 （3）棱台：平行于棱锥底面截去顶部小棱锥，剩余几何体，上下底面相似且平行。 3. 多面体核心公式（欧拉公式） 适用于所有简单多面体（无镂空、无自交）： 参数说明：为顶点个数，为棱的条数，为面的个数。 知识点02旋转体 1. 核心定义 平面内一条图形（直线、线段、曲线）绕定直线（旋转轴）旋转一周形成的封闭几何体，称为旋转体。旋转体必有曲面。 2. 三大必考旋转体形成原理 （1）圆柱：矩形绕任意一条边旋转一周所得； （2）圆锥：直角三角形绕任意一条直角边旋转一周所得； （3）球：半圆绕其直径旋转一周所得。 3. 旋转体核心计算公式 圆柱体积公式： 圆锥体积公式： 参数说明：为底面圆半径，为几何体的高。 知识点03重难点小结 1.多面体全部由平面围成，无曲面，这是与旋转体最本质的区别； 2.棱柱、棱锥、棱台可相互转化：棱台补顶点可成棱锥，棱锥极致拉伸可近似棱柱； 3.欧拉公式是多面体计数、辨析几何体类型的核心工具。 4.旋转体必有曲面，可含平面，区别于全平面的多面体； 5.旋转轴决定几何体的高与底面半径，审题需认准绕哪条边旋转； 6.同一直角三角形绕不同直角边旋转，会得到不同底面半径、不同高的圆锥，体积不同。 一、填空题 1．（24-25高三下·上海宝山·开学考试）正多面体按其面数分有___________种 2．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转，所得几何体是________． 3．如图所示的立体图形可由平面图形_________绕轴旋转而成（填序号）． 4．给出以下说法： ①棱锥最少有六条棱； ②圆柱的母线和轴不平行； ③长方体一定是平行六面体. 以上所有正确说法的序号是__________. 5．面数最少的多面体是______，当其每条棱长均为2时，其体积为______． 6．将一个边长分别是2 cm和5 cm，两邻边夹角为60°的平行四边形绕其5 cm边所在直线旋转一周形成的几何体的构成为__________________. 7．（24-25高二上·上海静安·期中）将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为______． 8．正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同．在正十二面体中，有______个顶点和______条棱． 9．一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之和为_________． 10．（25-26高二上·上海浦东新·期末）如图，等腰直角的斜边长为，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体的体积为_____. 11．下列说法： ①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ③分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱； ④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确说法的序号是______． 12．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数．已知一个凸多面体的每个面或是三角形或是五边形，每个顶点处均有2个三角形面和2个五边形面相交，则该凸多面体有___________________个面． 二、单选题 13．六棱台的顶点数和棱的条数分别为（    ） A．6， B．，6 C．， D．， 14．如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·上海杨浦·期末）下列平面图形旋转后能得到如图所示几何体的为（     ） A．； B．； C．； D．． 16．下列说法： ①只有正多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理 ②所有凸多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理 ③所有简单多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理 ④所有多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 三、解答题 17．有没有棱数是7的简单多面体？ 18．圆台除了可以由平行于圆锥底面的平面截圆锥而得，还可以由什么平面图形怎样旋转而成？ 19．图中平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，试分析该组合体由哪些简单几何体构成． 20．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，以正方体六个面的中心为顶点所构成的多面体有多少条棱和多少个面？设正方体的棱长为1，这个多面体的表面积和体积是多少？ 21．如图，等腰梯形，已知，将等腰梯形绕直线旋转一周形成一个旋转体． (1)求该旋转体的表面积； (2)求该旋转体的体积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $